1、v定積分的概念定積分的概念v定積分的性質定積分的性質 中值定理中值定理v微積分根本公式微積分根本公式v定積分的換元積分定積分的換元積分v定積分的分部積分定積分的分部積分v廣義積分與廣義積分與函數函數v定積分的運用定積分的運用第五章第五章 定積分定積分第一節 定積分概念定積分概念定定 積積 分分引例：曲邊梯形的面積引例：曲邊梯形的面積設 y=f(x)在區間a,b上非負、延續。求由 曲線y=f(x)與直線x=a,x=b(ag(x)與直線x=a,x=b(ab)所圍圖形的面積。aby=f(x)y=g(x)xx+ dx,bax(i)取x為積分變量，那么(ii)相應于a,b上任一小區間x,x+dx的小窄條

2、面積近似值，即面積元素(iii)所求面積dxxgxfdA)()(badxxgxfA)()(i)求交點(ii)相應于0,1上任一小區間x,x+dx的小窄條面積的近似值，即面積元素(iii)所求面積解解NoImageY110022yxyxxyxydxxxdA)(2dxxxA)(210yxo例求由拋物線所圍例求由拋物線所圍22,xyxy圖形之面積。xy 22xyx x+dx31(i)求交點(ii)相應于-2,4上任一小區間y,y+dy的小窄條面積的近似值，即面積元素(iii)所求面積解解NoImageY4822422yxyxyxxydyyydA)24(2dyyyA)24(422yxo例求由拋物線與直

3、線例求由拋物線與直線所圍圖形面積。所圍圖形面積。xy224 yxxy224yxyy+dy18方法方法1yxoxy224yx(i)取x為積分變量，那么 8 , 0 x(ii)面積元素2 , 0)2(21xdxxxdA8 , 2)4(22xdxxxdA(iii)所求面積822120dAdAA18方法方法2比較方法比較方法1 1和方法和方法2 2知：適中選擇積分變量可知：適中選擇積分變量可以簡化計算過程。以簡化計算過程。(i)兩切線交點為(ii)面積元素(iii)所求面積解解NoImageYdxxxxdAdxxxxdA)34() 3( 2)34() 34(2221493201212323dAdAAA

4、Ayxo練習求由拋物線及其在點練習求由拋物線及其在點(0,-3)和和(3,0)處的切線所圍圖形面積。處的切線所圍圖形面積。342xxy42 xy那么2)3(, 4)0(yy點(0,-3)和(3,0)處的切線方程分別為y=4x-3 y=-2(x-3)3,23(3/2,3)1)2(2xy二、極坐標情形(ii)面積元素(iii)所求面積ddA2)(21dA2)(21設由曲線 與射線，)(r圍成一圖形,求該圖形的面積。(i)取極角為積分變量，那么,xo)(rd面積元素所求面積NoImageYdadrdA22)(21)(21daA202222,0例求由阿基米得螺線上相應例求由阿基米得螺線上相應于的一段弧

5、與極軸所圍圖形面。于的一段弧與極軸所圍圖形面。ar 解解023232a3234axoar 設曲線弧由參數方程給出，)(),(),(21ttttytx求由這曲線弧所圍圖形的面積。(i)取 t 為積分變量，那么,21tttydxdAdttt)()(dtttAtt21)()(iii) 所求面積(ii) 面積元素三、 參數方程情形橢圓參數方程為面積元素所求面積NoImageY)20(sincosttbytaxdttatbydxdA)sin(sindttabA2022cos1例求由橢圓所圍圖形面。例求由橢圓所圍圖形面。12222byax解解02)2sin21(2ttababxyo-aa-bbNoImag

6、eYcos3ar練習練習1 .求由曲線求由曲線 所圍圖所圍圖形面積。形面積。 2.求由曲線求由曲線 及及 所圍所圍圖形的公共部分的面積圖形的公共部分的面積taytax33sin,coscos1rxyoaa-a-a0.511.52-1-0.50.51xS1S2NoImageY2220242202420233083)221436522143(12)sin1 (sin12cossin12)cos(sin44aadtttatdttatatdaydxAa答案答案 1.所求面積 2.所求面積)(221SSA所求面積NoImageY)3,23(cos1cos3的極坐標得點解方程組Arr16394)cos1

7、(213021dS45)(221SSA0.511.52-1-0.50.51S1S2Ax163983cos9212322dS體積定積分幾何運用之二旋轉體：由一平面圖形繞該平面內一條直旋轉體：由一平面圖形繞該平面內一條直線旋轉一周而成的立體，稱為旋轉體。線旋轉一周而成的立體，稱為旋轉體。一、旋轉體的體積定直線旋轉軸,baxdxxfdV2)(baxdxxfV2)(旋轉體體積的計算(i)取x為積分變量，那么(ii)相應于a,b上任一小區間x.x+dx的小旋轉 體體積近似值，即體積元素(iii)所求體積旋轉軸為x軸： 曲邊梯形繞 x軸旋轉一周而成的立體體積。)(0 ,xfybxayabxoxx+dx)(

8、xfy例求由銜接坐標原點例求由銜接坐標原點O及及P(h,r)的直線及的直線及x=h,x軸所圍三角形繞軸所圍三角形繞x軸所成旋轉體之體積。軸所成旋轉體之體積。(i)取x為積分變量，那么(ii)相應于a,b上任一小區間x,x+dx的小旋轉 體體積近似值，即體積元素(iii)所求體積解解OP的方程為的方程為NoImageY, 0hxxhrydxxhrdV2)(dxxhrVh20)(yxoP(h,r)32hr旋轉體體積的計算(i)取y為積分變量，那么(ii)相應于c,d上任一小區間y,y+dy的小旋轉 體體積近似值，即體積元素(iii)所求體積旋轉軸為y軸： 曲邊梯形繞y軸旋轉一周而成的立體體積。)(

9、0 ,yxdyc,dcydyydV2)(dcydyyV2)(yxocd)(yxdy解解:取y為積分變量，那么 1 , 0y相應于0,1上任一小區間y, y+dy的體積元素dyydV)1 (22所求體積10210)21()1 (hyyrdyyV例求由曲線例求由曲線 和和 及及x軸軸所圍圖形繞所圍圖形繞y軸旋轉所成旋轉體的體積。軸旋轉所成旋轉體的體積。2xy 1x2(1,1)yo1x解解:旋轉軸為x軸體積元素：dxxdxxdV623)(旋轉軸為y軸564)4(8032dyyVy例求由曲線例求由曲線 和直線所圍圖形和直線所圍圖形分別繞分別繞x軸和軸和y軸旋轉而成旋轉體的體積。軸旋轉而成旋轉體的體積。

10、3xy 0, 2yx所求體積:體積元素：7128206dxxVxdyydV)(22322y3xy oxdyy )4(32所求體積： 如圖，在距坐標原點為x處取一底邊長為dx的小曲邊梯形ABCD,易知它繞y軸旋轉所得的旋轉體體積近似值，即體積元素dxxfxVba)(2dxxxfVba)(2例例4證明：由平面圖形證明：由平面圖形 繞繞 y軸旋轉而成的旋轉體的體積為軸旋轉而成的旋轉體的體積為)(0 ,0 xfybxa于是,所求體積為：)(2dxxfxdV這是一個底面積為 ，高為的圓柱體的體積dxxf)(x2A BC D)(xfy xyoabbadxxxf)(2證明證明解解:旋轉軸為 x 軸dxeed

11、Vxx)()(22旋轉軸為 y 軸edxeexVxxy4)(210練習求由曲線練習求由曲線 和直線和直線 x=1 所圍所圍圖形分別繞圖形分別繞 x 軸和軸和 y 軸旋轉而成旋轉體的體積。軸旋轉而成旋轉體的體積。xxeyey,所求體積：22)(221022eedxeeVxxxeydyydyyVe122221)(ln1 )ln(1 1xey 所求體積：yox1xey或(1,1/e)(1,e)體積元素：體積定積分幾何運用之二二、平行截面面積知的立體體積假設立體不是旋轉體，但立體垂直于某定軸的各截面面積知，該立體體積亦可用定積分計算。)( )(bxaxAbadxxAV)(. 過點x而垂直于x軸的平面截

12、立體得截口面積為那么立體體積為)(dycyBdcdyyBV)(2. 過點y而垂直于y軸的平面截立體得截口面積為那么立體體積為yocdyB(y)222222)(xRxRxRxA在所圍立體上，作平行于坐標面 yoz 的截面KLMN，由于NM=ML，所以KLMN為正方形，其面積為dxxRdxxAVRR)(8)(80220例例5求求 及及 兩圓柱面所圍兩圓柱面所圍立體的體積。立體的體積。222Ryx222Rzx所求體積:NLMKyoz222Ryx222Rzxx3316R解解: tan)(21tan21)(22xRyyxAdxxRdxxAVRRRR)(21)(22所求立體體積為222Ryx例例6一平面經

13、過半徑為的圓柱體的底圓中心，一平面經過半徑為的圓柱體的底圓中心，并與底面成交角如圖。計算這平面截圓柱體并與底面成交角如圖。計算這平面截圓柱體所得立體的體積。所得立體的體積。如圖建立坐標系，那么底圓的方程為 tan323R截面積為xyyxR-RO立體中過點 x 且垂直于 x 軸直角的截面為直角三角形，直角邊長分別 y 為及ytana，解解一、平面曲線弧長的概念BMMMMAnn 110定理：定理：假設 且 均縮為一點時n),2, 1(1niMMii xy0M1M1nM定積分幾何運用之三平 面 曲 線 的 弧 長定義：定義：設A、B為曲線弧上兩端點，在AB上任取分點光滑曲線弧是可求長的。niiiMM

14、11的極限存在，稱此極限 為曲線弧的弧長；并稱該曲 線弧是可求長的。. 直角坐標情形,bax22)()(dydxdsdxy21dxydssbaba21xx+dxdy定積分xyoaby=f(x)曲線弧由方程y=f(x) 給出，其中f(x)在a,b上具有延續一階導數，求該曲線(如圖)的長度。(i) 取x為積分變量,那么(iii)所求弧長(ii)弧長元素弧微分二、光滑曲線弧長的計算設曲線弧由參數方程給出，)(),(),(ttytx其中、 在 上具有延續導數，求這曲線)(t)(t,(i)取 t 為積分變量，那么,t22)()(dydxdsdttt)()(22dttts)()(22(iii) 所求弧長(ii) 弧長元素 參數方程情形的長度。曲線弧由極坐標方程)()(xrr給出，其中在上具有延續導數，)(rr ,利用)(,sin)(,cos)(ryrxdyxds)()(22drrs)()(22所求弧長drr)()(22極坐標情形有求該曲線弧長。解解,1xy 從而弧長元素dxxxdxxds221)1(1所求弧長8321dxxxsdtt)111(232例例1求由曲線求由曲線 相應于相應于 的一的一段弧如圖的長度。段弧如圖的長度。 83 xxylntx 21令dttt3222123ln211xyln38yox3211ln211tt解解dtttds)()(22所求弧長dtttas20222coss