1、精選優質文檔-傾情為你奉上長沙市2019屆高三年級統一模擬考試文科數學第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】寫出集合N，然后對集合M,N取交集即可得到答案.【詳解】,則故選：B.【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于簡單題.2.在復平面內表示復數（，為虛數單位）的點位于第二象限，則實數的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用復數的除法運算將復數化簡為a+bi的形式，然后根據復數對應點位于第二象限，即可得到m范圍.

2、【詳解】,復數對應的點為（），若點位于第二象限，只需m>0,故選：C.【點睛】本題考查復數的有關概念和復數的商的運算，屬于基礎題.3.下列函數中，圖象關于原點對稱且在定義域內單調遞增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題意可知函數為奇函數，由奇函數和單調性對四個選項逐個進行檢驗即可得到答案.【詳解】由函數圖象關于原點對稱知函數為奇函數，選項B，函數定義域為，不關于原點對稱，不具有奇偶性，故排除；選項C，因為f(x)=f（-x）,函數為偶函數，故排除；選項A，函數為奇函數且f(x)=cosx-1可知函數在定義域上單調遞減，故排除；選項D，函數為奇函數，由指數函數單

3、調性可知函數在定義域上單調遞增，故選：D.【點睛】本題考查函數奇偶性和單調性的判斷方法，屬于基礎題.4.某人午覺醒來，發現表停了，他打開收音機，想聽電臺的整點報時，則他等待的時間不多于5分鐘的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由于電臺的整點報時之間的間隔60分，等待的時間不多于5分鐘，根據幾何概型的概率公式可求【詳解】設電臺的整點報時之間某刻的時間x，由題意可得，0x60，等待的時間不多于5分鐘的概率為P，故選：B【點睛】本題考查幾何概型，先要判斷概率模型，對于幾何概型，它的結果要通過長度、面積或體積之比來得到，屬于基礎題5.設，表示不同直線，表示不同平面，下列命題

4、：若，則；若，則；若，則；若，則.真命題的個數是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】利用線面平行和線線平行的性質和判定定理對四個命題分別分析進行選擇【詳解】對于,由平行公理4,可知正確；對于，若a，顯然結論不成立，故錯誤；對于，若a，b，則a，b可能平行，可能相交，可能異面，故錯誤；對于，a，a，b，a與b平行或異面，故錯誤；真命題的個數為1個，故選：A.【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力，是中檔題6.若，滿足，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由約束條件畫出可行域，

5、化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組得到最優解的坐標，代入目標函數得到答案.【詳解】根據約束條件畫出可行域如圖，即y=2x-z,由圖得當z2xy過點O（0，0）時，縱截距最大，z最小為0當z2xy過點B（1，-1）時，縱截距最小，z最大為3故所求z2xy的取值范圍是故選：A【點睛】本題考查線性規劃中利用可行域求目標函數的最值和范圍，求目標函數范圍的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最后通過的頂點就是最優解）；（3）將最優解坐標代入目標函數求出最值，

6、從而得到范圍.7.已知，是雙曲線的上、下焦點，點是其一條漸近線上一點，且以為直徑的圓經過點，則的面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由雙曲線方程得到漸近線方程和以為直徑的圓的方程，設點P坐標，根據點P在漸近線上和圓上，得點P坐標，從而可得三角形的面積.【詳解】等軸雙曲線的漸近線方程為，不妨設點在漸近線上，則以為直徑的圓為又在圓上，解得，故選：.【點睛】本題考查雙曲線方程和漸近線的簡單應用，考查三角形面積的求法，屬于基礎題.8.若，則的最小值為（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即可直接得到所求最小值.【詳解】，于是或（舍

7、），當時取等號，則a+b的最小值為4，故選.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值問題，屬于基礎題.9.已知是函數 圖象的一個最高點，是與相鄰的兩個最低點.若，則的圖象對稱中心可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據題意可得函數周期，從而得點B,C的坐標，即是圖象的對稱中心.【詳解】因為P是函數圖象的一個最高點，是與相鄰的兩最低點，可知|BC的周期，半個周期為3，則得，由圖像可知（-1,0），都是圖象的對稱中心，故選：.【點睛】本題考查函數 的周期性和對稱性，屬于基礎題.10.在中，且是的外心，則 （ ）A. 16 B. 32 C. -16 D. -32【答案】D【解析

8、】【分析】利用數量積公式和投影的定義計算即可得到答案.【詳解】，又是的外心，由投影的定義可知則故選.【點睛】本題考查向量的數量積的運算，考查投影定義的簡單應用，屬于基礎題.11.已知拋物線的焦點為，點 在上，.若直線與交于另一點，則的值是（ ）A. 12 B. 10 C. 9 D. 4.5【答案】C【解析】【分析】由點A在拋物線上得點A坐標，又F(2,0)，設直線AF方程并與拋物線方程聯立，利用拋物線的定義即可得到弦長.【詳解】法一：因為 在上，所以，解得或（舍去），故直線的方程為，由，消去，得，解得，由拋物線的定義，得，所以.故選.法二：直線過焦點，又，所以，故選.【點睛】本題考查直線與拋物

9、線的位置關系，考查利用拋物線定義求過焦點的弦長問題，考查學生計算能力.12.已知，若函數有三個零點，則實數的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本道題將零點問題轉化成交點個數問題，利用數形結合思想，即可。【詳解】有三個零點，有一個零點，故，有兩個零點，代入的解析式，得到，構造新函數，繪制這兩個函數的圖像，如圖可知因而介于A,O之間，建立不等關系，解得a的范圍為，故選A。【點睛】本道題考查了函數零點問題，難度加大。第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.設曲線在點處的切線與直線垂直，則 _【答案】1【解析】【分析】對函數求導，利用導數的

10、幾何意義可得曲線在點(1,a)處的切線斜率，根據兩條直線垂直斜率乘積為-1即可得a值.【詳解】，所以切線的斜率，又切線與直線垂直得，解得.故答案為：1【點睛】本題考查導數的幾何意義的應用，屬于基礎題.14.在平面直角坐標系中，角的頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點，則 _【答案】【解析】【分析】由三角函數定義可得和，然后利用正弦的二倍角公式計算即可得到答案.【詳解】由三角函數定義可得，所以.故答案為：【點睛】本題考查三角函數定義和二倍角公式的應用，考查學生計算能力，屬于簡單題.15.在正方體中，點在線段上運動，則異面直線與所成角的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由得為異面直線與所

11、成角，求解即可.【詳解】在正方體中，連、，則，所以為異面直線與所成角，點與重合，最大，且最大為，當點與無限接近時，趨近于零，故異面直線與所成角的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查異面直線所成角，求異面直線所成角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質及余弦定理求解.16.中，內角，所對的邊分別為，.已知，且，則面積的最大值是_【答案】【解析】【分析】由正弦定理將已知化簡可得角B，再由余弦定理和基本不等式得ac的最大值，即可得到面積的最大值.【詳解】由及正弦定理得，即，又，于是可得，即，.在中，由余弦定理得，即，又因為，由此可得，當且僅當時等號成立

12、，面積，故面積最大值為.故答案為：【點睛】本題考查正弦定理，余弦定理和三角形面積公式的應用，考查利用基本不等式求最值問題，屬于常考題型.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.已知數列的首項，且對任意的，都有，數列滿足，.（）求數列，的通項公式；（）求使成立的最小正整數的值.【答案】（），;（）10【解析】【分析】（）由已知的遞推關系式可知數列為等差數列，從而可得的通項公式，代入可得的通項公式；（）利用分組求和法和等比數列的求和公式得到數列的前n項和,通過判斷數列的單調性可得滿足條件的n的值.【詳解】（）令得，解得.又由知 ，故數列是首項，公差

13、的等差數列，于是，.（）由（）知，.于是 .令，易知是關于的單調遞增函數，又，故使成立的最小正整數的值是10.【點睛】本題考查等差，等比數列的通項公式和等差，等比數列的前n項和公式的應用，以及數列單調性的判斷，考查學生推理和計算能力.18.如圖，已知三棱錐的平面展開圖中，四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：（）證明：平面平面；（）求三棱錐的表面積和體積.【答案】（）詳見解析（）表面積，體積【解析】【分析】（）由題意知和為等腰三角形，可取AC中點O，連接PO,OB，可證明平面然后利用面面垂直的判定定理即可得到證明；（）求各個面的面積之和即可到棱錐的表面積，由平面，利用棱錐的體積

14、公式計算即可得到答案.【詳解】解：（）設的中點為，連接，.由題意，得，.因為在中，為的中點，所以.因為在中，所以.因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（）三棱錐的表面積 ，由（）知，平面，所以三棱錐的體積為 .【點睛】本題考查線面垂直，面面垂直判定定理的應用，考查棱錐的表面積和體積的計算，考查學生的空間想象能力和計算能力.19.為了解某校學生參加社區服務的情況，采用按性別分層抽樣的方法進行調查.已知該校共有學生960人，其中男生560人，從全校學生中抽取了容量為的樣本，得到一周參加社區服務的時間的統計數據好下表：超過1小時不超過1小時男208女12m（）求，；（）能否有95%的把握認

15、為該校學生一周參加社區服務時間是否超過1小時與性別有關？（）以樣本中學生參加社區服務時間超過1小時的頻率作為該事件發生的概率，現從該校學生中隨機調查6名學生，試估計6名學生中一周參加社區服務時間超過1小時的人數.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（），（）沒有95%把握（）4人【解析】【分析】（）由已知得該校女生人數，利用分層抽樣的原則列等式得m值，由列聯表中的數據可得n值；（）由列聯表計算的值，對照臨界值，即可得出結論；（）由列聯表中的數據可得學生一周參加社區服務時間超過1小時的概率，從而得到6名學生中一周參加社區服務時間超過1小時的人數.【詳解】解：

16、（）由已知，該校有女生400人，故，得從而.（）作出列聯表如下：超過1小時的人數不超過1小時的人數合計男20828女12820合計321648 .所以沒有95%的把握認為該校學生一周參加社區服務時間是否超過1小時與性別有關.（）根據以上數據，學生一周參加社區服務時間超過1小時的概率，故估計這6名學生一周參加社區服務時間超過1小時的人數是4人.【點睛】本題考查概率的計算，考查獨立性檢驗知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題20.已知橢圓 的離心率，左、右焦點分別為、，為橢圓上一點，且 .（）求橢圓的方程；（）設橢圓的左、右頂點為、，過、分別作軸的垂直、，橢圓的一條切線與、交于、兩點，求證：的

17、定值.【答案】（）（）詳見解析【解析】【分析】（）由和離心率以及進行計算即可得到橢圓的方程；（）由已知可得點M和點N的坐標，然后將切線l方程與橢圓方程聯立，利用0可得，利用的夾角公式進行計算可得到為定值.【詳解】（），得.又，解得，故所求橢圓的標準方程為.（）由題可知，的方程為，的方程為.直線與直線、聯立得、，所以，.所以.聯立得.因為直線橢圓相切，所以 ，化簡得.所以，所以，故為定值.（注：可以先通過計算出此時，再驗證一般性）【點睛】本題考查橢圓標準方程的求法，考查直線與橢圓相切問題和橢圓中的定值問題，考查學生推理和計算能力，屬于中檔題.21.已知函數， .（）試討論的單調性；（）記的零點為

18、，的極小值點為，當時，求證.【答案】（）詳見解析（）見解析【解析】【分析】（）對函數f(x)求導，分和a<0進行討論，可得函數單調性；（）對函數g(x)求導，分析單調性，由零點存在性定理可確定的零點即極小值點，從而得到a與的等量關系，將等量關系代入中，利用函數f(x)的單調性即可得到證明.【詳解】解：（） .若，則，在上單調遞增；若，則必有一正一負兩根，且正根為.當，在上單調遞增；當，在上單調遞減.綜上可知，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（），所以在單調遞增.又，故存在零點，且在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，即為的極小值點，故.由知，所以 ，又，所以.由（）可知，時，在單調遞增，因此.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，極值問題，考查導數的綜合應用，考查分類討論思想和推理能力，屬于中檔題.請考生在22、2