1、第 1 頁（共 18 頁）2016年上海市楊浦區高考數學三模試卷（理科）一.填空題1 .函數 y=log2（ x+1）的反函數為.2. 若直線 li: 2x+my+1=0 與“：y=3x - 1 垂直，則實數 m=_ .3.若 2+i （i 虛數單位）是實系數一元二次方程x2+px+q=0 的根，則 p+q=_ .3兀sinx -14.已知 si nx=，x （可，n）,則行列式的值等于_.b丄1secs95.已知 A=x| 1,B=x|log2（x - 1）v1，則 A QB=.6. 已知 A 地位于東經 30北緯 45 B 地位于西經 60北緯 45則 A、B 兩地的球面距離與地球半徑的比

2、值為 _ .7._ 在某次數學測驗中，5 位學生的成績如下：78、85、a、82、69,他們的平均成績為 80, 則他們成績的方差等于.9.若（x+ I ）n（ n N*）展開式中各項系數的和等于64,則展開式中 x3的系數是_ .Fl10. 三階矩陣a22a23 中有 9 個不同的數 aij（i=1,2, 3；j=1,2, 3）,從中任取三L旦的332a33j個，則至少有兩個數位于同行或同列的概率是 _ （結果用分數表示）11.若函數 y=cos （x+：）的圖象向右平移 $個單位（$0）,所得到的圖象關于 y 軸對稱，貝 y 的最小值為_ .a_b12.-若兩整數 a、b 除以同一個整數

3、m,所得余數相同，即 -=k （k Z）,則稱 a、b 對m模 m 同余，用符號 a= b （mod m）表示，若 a= 10 （mod 6） （a 10）,滿足條件的 a 由小到 大依次記為 a1, a2-an,，則數列軸的前 16 項和為_.&在極坐標系下，點（2,.）到直線 eos（e）=1 的距離為bo第2頁(共 18 頁)|F1F2|2=|PF1| ?| PF2I , P 到坐標原點 O 的距離為 d,且 5vdv9,貝 V ?=_ .14.如圖，已知 AB 丄 AC, AB=3 , AC=，圓 A 是以 A 為圓心半徑為 1 的圓，圓 B 是以B 為圓心的圓.設點 P, Q

4、 分別為圓 A，圓 B 上的動點，且 =,：則.?的取值范圍是_ .二.選擇題15已知數列an的前 n 項和 Sn=pn+q ( p豐0, qz1),貝卩 q= - T 是 數列an是等比數列” 的( )A 充要條件 B 必要不充分條件C.充分不必要條件D 既不充分也不必要條件16.已知 Z1、Z2均為復數，下列四個命題中，為真命題的是()A | zi| =| 丨=B. 若|Z2|=2，則 Z2的取值集合為 - 2, 2,- 2i, 2i (i 是虛數單位)2 2C. 若 Z1+Z2=0，貝 y Z1=0 或 Z2=0D z二Z2一定是實數2217橢圓 C:.的左、右頂點分別為AX也點p在 C

5、 上且直線PA2斜率的取值范圍是-2,- 1，那么直線 PA1斜率的取值范圍是()A 亍亍 B 亍亍 C - D 匚18.定義域為a, b的函數 y=f (x)圖象的兩個端點為 A (a, f (a), B (b, f (b), M(x, y)是 y=f (x)圖象上任意一點，過點 M 作垂直于 x 軸的直線 I 交線段 AB 于點 N (點 M 與點 N 可以重合)，我們稱| 的最大值為該函數的 曲徑”，下列定義域為1, 2上的函 數中，曲徑最小的是()221兀A y=x B y= C . y=x - 一 D . y=sinxKX3三.解答題F1, F2, P 為該雙曲線上一點，滿足13.已

6、知雙曲線=1 （a N ）的兩個焦點為第3頁(共 18 頁)19如圖，圓錐的頂點為 P,底面圓心為 0,線段 AB 和線段 CD 都是底面圓的直徑，且直 線 AB 與直線CD 的夾角為=,已知| OA| =1 , | PA| =2.(1) 求該圓錐的體積；(2) 求證：直線 AC 平行于平面 PBD，并求直線 AC 到平面 PBD 的距離.第4頁(共 18 頁)n*(1 )設 bn=3 an( n N ),求證：bn是等差數列;(2)設數列an的前 n 項和為 Sn,求 一 一 的值.廿 Y9 a昨21.圖為一塊平行四邊形園地 ABCD，經測量，AB=20 米，BC=10 米，/ ABC=12

7、0 擬過 線段 AB上一點 E 設計一條直路 EF (點 F 在四邊形 ABCD 的邊上，不計路的寬度)，將該園地分為面積之比為 3： 1 的左、右兩部分分別種植不同的花卉，設EB=x , EF=y (單位:當點 F 與點 C 重合時，試確定點 E 的位置；求 y 關于 x 的函數關系式，并確定點 E、F 的位置，使直路 EF 長度最短.CD 都是圓 E 的弦， 且 AB 與 CD 垂直且相交于 坐標原點 O,如圖所示，設 AOC 的面積為 S1,設厶 BOD 的面積為 S2；(1)設點 A 的橫坐標為 X1,用 X1表示|OA| ;(2) 求證：|OA|?|OB|為定值；(3) 用|OA|、

8、|OB|、|OC|、|OD|表示出 S1+S2,試研究 S1+S2是否有最小值，如果有,求出最小值，并寫出此時直線AB 的方程；若沒有最小值，請說明理由.23已知非空集合 A 是由一些函數組成，滿足如下性質：-1-120.已知數列an中,an+1=-1+3n(n N ),ai=1 ;米)(1)(2)第5頁(共 18 頁)1對任意 f (X) A , f (x)均存在反函數 f(x)，且 f (x) A ；2對任意 f (x) A，方程 f (x) =x 均有解；3對任意 f (x)、g (x) A，若函數 g (x)為定義在 R 上的一次函數，則 f (g (x) A ；(1 )若 f (x)

9、=丄g (x) =2x - 3 均在集合 A 中，求證：函數 h ( x) = _ (2x- 3) A ；2i(2) 若函數 f (x) =(x 1)在集合 A 中，求實數 a 的取值范圍；x+1(3)若集合 A 中的函數均為定義在 R上的一次函數，求證：存在一個實數 xo,使得對一切 f(x) A，均有 f(xo) =xo.第6頁(共 18 頁)2016 年上海市楊浦區高考數學三模試卷(理科)參考答案與試題解析一.填空題1 .函數 y=log2(x+1)的反函數為y=2x- 1 (x R).【考點】反函數.【分析】由 y=log2(x+1) (x - 1)解得 x=2y- 1,把 x 與 y

10、 互換即可得出.【解答】解：由 y=log2(x+1) ( x- 1)解得 x+1=2y,即 x=2y- 1,把 x 與 y 互換可得：y=2x-1 (x R). y=log2(x+1)的反函數為 y=2x- 1 (x R).故答案為：y=2x- 1 (x R).2.若直線 l1: 2x+my+1=0 與 l2：y=3x - 1 垂直，則實數 m= 6.【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關系.【分析】 根據兩直線垂直時，一次項對應系數之積的和等于0,解方程求得 m 的值.【解答】 解：直線 H：2x+my+1=0 與 b：y=3x - 1 垂直，即為 3x- y-仁 0.2x3+mx (-1

11、)=0,解得 m=6,故答案為：6 .23.若 2+i (i 虛數單位)是實系數一元二次方程x+px+q=0 的根，則 p+q= 1 .【考點】復數代數形式的混合運算.【分析】 可知 2 - i 也是實系數一元二次方程x2+px+q=0 的根，從而利用韋達定理求得.【解答】 解：T2+i 是實系數一元二次方程 x2+px+q=0 的根， 2 - i 是實系數一元二次方程 x2+px+q=0 的根， 2+i+2 - i= - p, ( 2+i) (2 - i) =q,解得，p= - 4, q=5 ;故 p+q=1 ;故答案為：1.31T【解答】解：Isinx=廠,x（ ，n）,4.已知sinx

12、嶺 x (牛n),則行列式sinxSOCK的值等于-【考同角三角函數基本關系的運用.由已知利用同角三角函數基本關系式可求式的值即可得解.【分cosx，進而可求 secx 的值，再計算行列第7頁(共 18 頁)=sin xsecx+1=（二）+1=一.544 COSX=-“ L.r/-z=-：1,secx=-5cosxsinx -1secs第8頁(共 18 頁)故答案為2小5.已知 A=x| 1, B=x|log2(x - 1)v1，則 A AB= x| 1vxv2.X【考點】交集及其運算.【分析】求出 A 與 B 中不等式的解集分別確定出A 與 B,找出兩集合的交集即可.【解答】解：集合 A

13、中不等式，當 x 0 時，解得：xv2，此時 Ovxv2;當 xv0 時，解得：x 2,無解， A=x| Ovxv2,集合 B 中不等式變形得：Iog2(x- 1)v1=log22，即 0vx- 1v2,解得：1vxv3,即 B=x| 1vxv3,則 A nB=x| 1vxv2,故答案為：x| 1vxv2.6.已知 A 地位于東經 30北緯 45 B 地位于西經 60北緯 45則 A、B 兩地的球面距 TT離與地球半徑的比值為3一【考點】球面距離及相關計算.【分析】求出球心角，然后 A、B 兩點的距離，地的球面距離與地球半徑的比值.【解答】 解：地球的半徑為 R,在北緯 45而 AB=R，所以

14、 A、B 的球心角為：一,所以兩點間的球面距離是：= R,所以 A、B 兩地的球面距離與地球半徑的比值為7T故答案為：.O 78+85+a+82+69=5X80,解得：a=86, s2= _ ( 78 - 80)2+ (85 - 80)2+ (86 - 80)5則他們成績的方差等于 38,故答案為：38.Tt&在極坐標系下，點(2,廠)到直線 pcos (求出兩點間的球面距離，即可求出7在某次數學測驗中， 則他們成績的方差等于極差、方差與標準差.根據披平均成績求出 a 的值，根據方差的計算公式求出這組數據的方差即可.解： 5 位學生的成績如下：5 位學生的成績如下:38.78、 85、

15、a、82、【考點】【分析】78、85、a、82、69,他們的平均成績為 80,2+ (82 - 80)2+ (69 - 80)2 =38,e-) =1 的距離為第9頁（共 18 頁）【考點】簡單曲線的極坐標方程.【分析】把極坐標方程化為直角坐標方程，利用點到直線的距離公式即可得出.【解答】 解：直線 pcos（ 0-） =1 化為：二 d . - 一 +-:. =1 ,即 x - *：-y+2=0 .點 P （2,）化為 P .,點 P 到直線的距離 d=1 .2故答案為：1.9.若（x+）n（ n N*）展開式中各項系數的和等于 64,則展開式中 x3的系數是 15 .【考點】二項式系數的性

16、質.【分析】令 x=1，則（x+ ）n（n N*）展開式中各項系數的和 =2n=64，解得 n.再利用 二項式定理的通項公式即可得出.【解答】解：令 x=1，則（x+ I ）n（ n N*）展開式中各項系數的和為：2n=64，解得 n=6 . |I*的展開式的通項公式 Tr+1=i 八 一亠=|；L令二-斗- -=3，解得 r=2 .展開式中 x3的系數為：:=15 .故答案為：15.【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率.【分析】利用間接法，先求從 9 個數中任取 3 個數的取法，再求三個數分別位于三行或三列 的情況，即可求得結論.【解答】解：從 9 個數中任取 3 個數共有 C93=

17、84 種取法，1取出的三個數，使它們不同行且不同列：從第一行中任取一個數有C3=3 種方法，則第二行只能從另外兩列中的兩個數任取一個有C21=2 種方法，第三行只能從剩下的一列中取即可有1 中方法，10.三階矩陣a2la22a23 中有 9 個不同的數 aij(i=1 , 2, 3; j=1 , 2, 3),從中任取三個，則至少有兩個數位于同行或同列的概率是23藥一（結果用分數表示）a12第10頁(共 18 頁)共有 3X2=6 種方法三個數分別位于三行或三列的情況有6 種;所求的概率為84 6 _ 1384 F第11頁（共 18 頁）故答案為：稱，貝U 0的最小值為_.【考點】函數 y=As

18、in (wx+0)的圖象變換.【分析】由 y=Asin (必+0)的圖象變換規律，結合正弦函數、余弦函數的圖象的對稱性可 得0+從而求得0的最小值.根據所得到的圖象關于 y 軸對稱，可得-可得0的最小值為一, 故答案為:a - b12.若兩整數 a、b 除以同一個整數 m,所得余數相同，即 - =k (k Z),則稱 a、b 對模 m 同余，用符號 a= b (mod m)表示，若 a= 10 (mod 6) (a 10),滿足條件的 a 由小到 大依次記為a1, a2-an,，則數列an的前 16 項和為 976.【考點】整除的定義.【分析】由兩數同余的定義， m 是一個正整數，對兩個正整數

19、 a、b,若 a-b 是 m 的倍數， 則稱 a、b 模 m 同余，我們易得若 a= 10( mod 6)(a 10)，則 a- 10 為 6 的整數倍，則 a=6n+10, 再根據等差數列 an的前 n 項公式計算即可得答案.【解答】解：由兩數同余的定義，m 是一個正整數，對兩個正整數a、b，若 a- b 是 m 的倍數，則稱 a、b 模 m 同余，我們易得若 a= 10 (mod 6) (a 10),則 a- 10 為 6 的整數倍，則 a=6n+10,故 a=16, 22, 28,均滿足條件.由等差數列 an的前 n 項公式 宀厶 一一-：16X(16- 1)則I=976.故答案為：97

20、6.13已知雙曲線-丄_=1 （a N*）的兩個焦點為Fi, F2, P 為該雙曲線上一點，滿足/42 211.若函數y=cos (x+：)的圖象向右平移0個單位(00),所得到的圖象關于 y 軸對【解解：把函數4Hy=cos(x+)的圖象向右平移0個單位(00),可得 y=cos (x -00+的圖象;=knk z.第12頁(共 18 頁)IF1F2I =|PFI|?|PF2| , P 到坐標原點 0 的距離為 d,且 5vdv9,貝卩 a =1 或 4.【考點】雙曲線的簡單性質.【分析】求得雙曲線的 b, c,設 P 為右支上一點，| Ph|=m, |PF2| =n，運用雙曲線的定義， 結

21、合條件，由兩點的距離公式，解不等式可得a 的正整數解.【解答】 解：雙曲線 r-二=1 的 b=2 , c2=a2+4,a24設 p 為右支上一點，|PFi|=m, | PF2| =n,由雙曲線的定義可得 m - n=2a,2由題意可得 4c =mn ,222m +n =d ,可得（m- n）2+2mn=4a2+8c2=d2（ 25 , 81）,即 25v12a2+32v81,即為 a2v工,由 a 為正整數，可得 a=1, 2 ,12故答案為：1 或 4.14.如圖，已知 AB 丄 AC, AB=3 , AC=，圓 A 是以 A 為圓心半徑為 1 的圓，圓 B 是以B 為圓心的圓.設點 P,

22、 Q 分別為圓 A ,圓 B 上的動點，且：=,.,貝 U .-?的取值范圍是-1, 11【考點】平面向量數量積的運算.【分析】設/ QBA=0,則/ PAC=90 +0,從而有 =:-：.，=-，通過計算求 出即可.【解答】 解：設/ QBA=0則/ PAC=90匸：,=-？ L：（：-：）?0 !） -4-*-*-*-*?丨 +廠7T廠兀廠 廠=2-乂 Feos+0)+3cos( n- 0) - VE?2?cos (三 +0)WS?2V5?cos-r=5+3 . sin0-3cos07T=5+6sin( 0-.),b/-1wsin(o-)CF時，EF=二-二:-.11當BEvCF時，EF=

23、.,化簡均為 y=EF=27.;j -吋疋一5x+戈5, 0 x10綜上所述，打店+弩偵,10 x 10T5_,故當點 E 距點 B2.5m，點 F 距點 C7.5m 時，EF 最短，其長度為 5 二.2 222已知圓 E: (x- 1)2+y2=4，線段 AB、CD 都是圓 E 的弦，且 AB 與 CD 垂直且相交于 坐標原點 O,如圖所示，設 AOC 的面積為 S1,設厶 BOD 的面積為 S2；(1) 設點 A 的橫坐標為 旳，用 X1表示| OA| ;(2) 求證：|OA|?|OB|為定值；(3)用|OA|、|OB|、|OC|、|OD|表示出+S2，試研究是否有最小值，如果有，求出最小

24、值，并寫出此時直線AB 的方程；若沒有最小值，請說明理由.【考點】圓方程的綜合應用.第21頁(共 18 頁)【分析】(1)利用距離公式，即可用 X1表示| OA| ;第22頁(共 18 頁)(2) 分類討論，計算|OA|?|OB|，即可證明|OA|?|OB|為定值；(3) 由(2)得| 0A|?|0B|=3，同理|0C| OD| =3，禾 U 用基本不等式，即可得出結論.【解答】(1)解：設 A ( xi， yi)，代入圓 E： ( x - 1)2+y2=4，得 yi2=-XI2+2XI+3,(2) 證明：設 B (X2, y2),同理可得| 0B| =二.：,/ | OA | ?| OB |

25、 = - 、- - - - :-:2xiMX2,設直線 AB 的方程為 y=kx，代入圓的方程得(k+1) x2- 2x - 3=0,23x1+x2=, X1X2=-,-I代入可得|0A| ?| 0B| =3,X1=X2， 直線過原點， 直線 AB 的方程為 x=0， 即 X1=X2=O,代入可得|OA|?|OB|=3 , 綜上所述， | OA | ?|OB | =3 為定值；(3) 解：由(2)得 |OA|?|OB|=3，同理 |OC| OD| =3-S1+S2=,： (|OA| OC|+| OB| OD| )r；f| j：=3，當且僅當| OA| OC| =|OB| OD| 時取等號，此時

26、，S1+S2最小值為 3,直線 AB 的方程為 y= X.23已知非空集合 A 是由一些函數組成，滿足如下性質：-1 11對任意 f (x ) A , f (x)均存在反函數 f(X)，且 f (x) A ；2對任意 f (x ) A，方程 f (x) =x 均有解；3對任意 f (x)、g (x) A，若函數 g (x)為定義在 R 上的一次函數，則 f (g (x) A ； A ；2(2) 若函數 f (x) = : _(x 1)在集合 A 中，求實數 a 的取值范圍；x+1(3) 若集合 A 中的函數均為定義在 R 上的一次函數，求證： 存在一個實數 x0,使得對一切f (x) A，均有

27、 f (X0) =x0.【考點】反函數；函數解析式的求解及常用方法.0，使得_ =X0，由 g (x) =2x - 3 A，且為一次函數，根據性質 即可證明.22(2)由性質，方程_=x (x 1) ,即卩 a=x 在 x 1, +8)上有解，可得 a 1.變形K+12if (X) = =X+1+r - 2 , (X 1, +8).對 -與 2 的關系分類討論，利用基本不 x+1龍十丄等式的性質即可得出.(1 )若 f (x). , g (x) =2x - 3 均在集合 A 中，求證：函數h ( x) = 亠(2x- 3)2【分(1)由 f (X) A，根據性質可得:f-1(X) =A，且存在X0(3)任取 fi(x) =ax+b, f2(x) =cx+d A，由性質(1) a,CM0,不妨設 a,CM1,(若a=1，貝 V b=0, fi(x) =x),由性質 函數 g (x) =fi(f2(x) =acx+ (ad+b) A，函數 h(x) =f