1、妙用韋達定理解題在一元二次方程ax2 bx c = 0 a = 0中，如果b2 -4ac _ 0，那么它的兩個根X1、X2具有如下關系：X1 X2 = -b、XjX2。這就是一元二次方程的根與aa系數的關系，簡稱韋達定理。本文就如何利用韋達定理解決一元二次方程中的有 關問題略舉幾例，供同學們在學習中借鑒。一、巧用韋達定理求值例1:已知x1、x2是方程3x2 - 2x -4 = 0的兩個根，求3x12 - 2x2的值。解:因為為是方程3x2 -2x -4 =0的根，所以3x-2% -4 = 0即3x12x1 4，2 2由韋達定理知：x1 x2，于是 3x1 - 2x 2x1 4 2x 2 x1

2、x2 43216=24 二33例2:已知x1、x2是方程x2 -3=0的兩個根，求代數式4x22 19的值。解：由于 x1、x2 是方程 x2 x - 3 = 0 的根，故有 - 3 = 0、x22 x2 - 3 = 0 從而有x1 =3 -捲、x2 =3 - x2，另一方面，由韋達定理得 為 x2 = -1、x/2二-33 2 2 2因此 X1 -4X2 19-X1X1 -4X2 19 = X13-X1 -43-X2 192=3x1 - x1 4x2 7 = 3x1 - 3 - 4x2 7 = 4 x1 x2 4 = 0解題反思：上述兩例，都巧妙地利用了韋達定理，但在解題過程中的靈活性，很

3、值得我們去思考。二：利用韋達定理求作新方程例3:已知方程x2 -4x 1 = 0，求作一個新方程，使新方程的兩根分別是原方程 兩根的2倍解：設x為原方程的任一根，y為新方程的任一根，由題意得y = 2x即x二將2x=- 代入方程 x2 -4x + 1 =0 得"'-4 ' +1 = 0 即 y2 -8y+ 4= 0為所 2i2丿求新方程。另解：設X1 X2為原方程的兩個根， y為新方程的兩個根，則 1=2x1、y2 二 2x2 由韋達定 理得：為 x2 = 4、為 x2 = 1 - y1 y 2 x1 x2 =8、y2 =4x1X2 =4 故所求新方程為 y -8y，

4、4 = 0例4：已知方程x2 -3x 0，求作一新方程，使新方程的兩根分別是原方程兩根的平方。解：設X1、X2為原方程的兩個根，y1由韋達定理得：x1 x2 = 3、nx2 = 22 2y2為新方程的兩個根，則如=、y2 = x22二有 yi 十 y2 = X, + x2（x. +x2 f -2x1x2故所求新方程為y2 - 5y 4 = 0=9 _ 4 = 5、y1 y x1 x2 4 例5：已知方程x2 -3x 0，求作一新方程，使新方程的兩根分別是原方程兩根的倒數。解：設X1、X2為原方程的兩個根，y1 y2為新方程的兩個根，則由韋達定理得:2-X2X1、3-X2+X12人 2+ X1為

5、X-丄X2+丄X1X1X21131討門2二二-,故所求新方程為 寸-、一 =0、即為2y2 - 3y T = 0X1X2 222解題反思：求作新方程，關鍵是步驟與方法的把握，且有一定的規律可循。 三：利用韋達定理巧解方程例6:若c是實數，且x2-3x，c=0的一個解的相反數是方程x2，3x-c = 0的一 個解，求方程x2 -3x c = 0的根。解:設方程x2 -3x c = 0的兩根為x1> x2，方程x2 3x - c = 0的兩根為- x1、x3 由韋達定理得 X1 X2= 3 1X1X2二 c 2 又-X1x -3 3? -X1X3 二-c 4再由 13 得 X2x 052 -

6、 4 得 X1X2 X3 = 2c 6 將 5 代入6得c=0所以方程x2-3x，c=0即為x2-3x = 0 故所求方程的根為 捲=0 x2 = 3解題反思：在利用韋達定理時，應注意其相關聯系，進行巧妙整合，從而使解題達到優化。四：利用韋達定理求拋物線解析式例7:拋物線y =ax2 bx c與X軸交于A、B兩點，（A在B的左側）與y軸的 正半軸交于點 C， ABC為RV-，A、B兩點橫坐標X1、X2是關于X的方程 x2 2(m 1 X-m2+1 =0的兩個根，且(捲x2 $ =16，求拋物線解析式。解：由韋達定理得：x1+x2=2(m1 )、x1x = -m2 +1、因為(x -x2'

7、;) =16所以有 X +x2 f4x2 =16 即 I2(m 1 聲4(m2 十1 )= 16 化簡得 m2m 2 = 0解得 = -1 m2 = 2 當 m - -1 時，方程為 x2 4x = 0 得捲=-4 x2 = 0此時點A( -4 0) B ( 0 0 )不合題意 (舍去)當 m =2 時，方程為 x2 2x -3 =0 解得 x -1 x 3 得 A(-1 0)B( 3 0) 滿足條件。故所求拋物線解析式為 y = x2 - 2x - 3解題反思：在利用韋達定理解決二次函數的問題中， 要注意結果的驗證，以防出 現多解或漏解等問題。五：利用韋達定理解決證明問題例&已知關于x的二次方程c a-b x2 b c-a x a b-c = 0有兩個相等實根，1 1 2求證：a c b解：因為ca-b 12，bc-a 1，ab-c=0所以x = 1是原方程的根，又原方程兩實根相等，所以X2 =X1 =1，從而由韋達定理得：X1X2=1c(a-b)1 1 2 即ab - ac二ac - be，所以ab be二2ac故原題得證。a c b解題反思：本題運用了一元二次方