1、會計學1目前為止，我們已經：目前為止，我們已經： 建立了系統的狀態空間模型建立了系統的狀態空間模型 提出了基于狀態空間模型的系統的運動分析提出了基于狀態空間模型的系統的運動分析 探討了系統的性能：穩定性、能控性、能觀性探討了系統的性能：穩定性、能控性、能觀性“認識了世界認識了世界” 如何來如何來“改變改變世界世界”？??？！設計控制系統！設計控制系統！系統的控制方式系統的控制方式-反饋？：開環控制、閉環控制反饋？：開環控制、閉環控制第1頁/共60頁經典控制：經典控制：只能用系統輸出作為反饋控制器的輸入；只能用系統輸出作為反饋控制器的輸入；現代控制：現代控制：由于狀態空間模型刻畫了系統內部特征，由

2、于狀態空間模型刻畫了系統內部特征，故而還可用系統內部狀態作為反饋控制器的輸入。故而還可用系統內部狀態作為反饋控制器的輸入。根據根據用于控制的用于控制的系統信息系統信息：狀態反饋、輸出反饋：狀態反饋、輸出反饋第2頁/共60頁2021-12-124第第6 6章章 狀態反饋和狀態觀測器狀態反饋和狀態觀測器1.狀態反饋及極點配置2.系統的鎮定問題3.狀態觀測器4.帶有觀測器的狀態反饋系統第3頁/共60頁2021-12-125第一節第一節 狀態反饋及極點配置狀態反饋及極點配置第4頁/共60頁2021-12-126將系統每一個狀態變量乘以相應的反饋系數饋送到輸入端與參考輸人相加，其和作為受控系統的控制輸入

3、。反饋的兩種基本形式：狀態反饋（1種）、輸出反饋（2種） AB uxx r nKv CD1my 原受控系統 ： DuCxyBuAxx ),(0CBA 線性反饋規律：Kxvu 第5頁/共60頁2021-12-127狀態反饋閉環系統： DvxDKCyBvxBKAx)()(nrK 維維數數是是反饋增益矩陣： rnrrnnkkkkkkkkkK212222111211BBKAsICsGk1)()( 狀態反饋閉環傳遞函數矩陣為： CxyBvxBKAx)( 一般D=0，可化簡為：),(CBBKAk 狀態反饋閉環系統表示：0)( BKAI 狀態反饋系統的特征方程為：第6頁/共60頁2021-12-128原受控

4、系統 ： DuCxyBuAxx ),(0CBA Hyvu AB uxx r mHv C1my 將系統輸出量乘以相應的反饋系數饋送到參考輸人，其和作為受控系統的控制輸入。（同古典控制，不作過多說明）輸出反饋控制規律： CxyBvxBHCAx)(輸出反饋系統狀態空間描述為：第7頁/共60頁2021-12-129輸出反饋增益矩陣： rmrrmmhhhhhhhhhH212222111211BBHCAsICsGH1)()( 閉環傳遞函數矩陣為：由于反饋引自系統輸出，所以輸出反饋不影響系統的可觀測性。：當HCK時，輸出到參考輸入的反饋與狀態反饋等價。即對于任意的輸出反饋系統，總可以找到一個等價的狀態反饋，

5、即KHC。故輸出反饋不改變系統的能控性。：對于狀態反饋，從KHC中，給定K值，不一定能夠解出H。所以，輸出反饋是部分狀態反饋，輸出信息所包含的不一定是系統的全部狀態變量，適合工程應用，性能較狀態反饋差。第8頁/共60頁輸出反饋在技術實現上很方便；輸出反饋在技術實現上很方便； 而狀態反饋所用的系統狀態可能不能直接而狀態反饋所用的系統狀態可能不能直接 測量得到（需要狀態觀測器重構狀態）。測量得到（需要狀態觀測器重構狀態）。優點優點缺點缺點與狀態反饋相比較，輸出反饋：與狀態反饋相比較，輸出反饋： （輸出反饋只是狀態反饋的一種特例，它能達到的系統性能，狀態反饋一定能達到；反之則不然。）（輸出反饋只是狀

6、態反饋的一種特例，它能達到的系統性能，狀態反饋一定能達到；反之則不然。）第9頁/共60頁2021-12-1211原受控系統 ： CxyBuAxx ),(0CBA AB uxx n mH C1my 將系統的輸出量乘以相應的負反饋系數，饋送到狀態微分處。這種反饋在狀態觀測器中應用廣泛，結構和觀測器很相似。 CxyBuxHCAx)(輸出反饋系統狀態空間描述為：第10頁/共60頁2021-12-1212：通過反饋增益矩陣K的設計，將加入狀態反饋后的閉環系統的極點配置在S平面期望的位置上。(1)判斷系統能控性。如果狀態完全能控，按下列步驟繼續。：(極點配置定理) 對線性定常系統 進行狀態反饋，反饋后的系

7、統其全部極點得到任意配置的充要條件是： 狀態完全能控。),(0CBA ),(0CBA 矩陣 的特征值就是所期望的閉環極點。對不能控的狀態，狀態反饋不能改變其特征值。BKA 第11頁/共60頁2021-12-1213(2)求狀態反饋后閉環系統的特征多項式：)(det)(BKAIf (3)根據給定（或求得）的期望閉環極點，寫出期望特征多項式。*112110( )nnnnf（ (4)由 確定反饋矩陣K：21nkkkK )()(* ff ：（1）先判斷該系統的能控性 考慮線性定常系統其中：試設計狀態反饋矩陣K，使閉環系統極點為-2j4和-10。,xAxBuyCx0100001,0 ,1001561AB

8、C 第12頁/共60頁2021-12-1214該系統狀態完全能控，通過狀態反饋，可任意進行極點配置。331616101002 rankBAABBrankQrankc（2）計算閉環系統的特征多項式321kkkK 12332321123000100( ) |000010 0015611001(6)(5)1156fIABKkkkkkkkkk 設狀態反饋增益矩陣為：2006014)10)(42)(42()(23* jjf（3）計算期望的特征多項式第13頁/共60頁2021-12-1215由 得2001,605,146123 kkk8,55,199321 kkk855199 K（4）確定K陣)()(*

9、ff 求得：所以狀態反饋矩陣K為： 對如下的線性定常系統，討論狀態反饋對系統極點的影響：（1）先判斷該系統的能控性由對角線標準型判據可知，特征值為1的狀態不能控。(2)假如加入狀態反饋陣K，得到反饋后的特征多項式為：100021xxu 第14頁/共60頁2021-12-1216)2)(1(201)(det)(221kkkBKAIf 從中可以看出，對于1的極點，狀態反饋不起作用，狀態反饋只能通過k2去影響2這個極點。即狀態反饋對不能控部分狀態，不能任意配置其極點。求 將相當繁瑣，所以引入能控標準型法。( ) |()|fIABK1、首先將原系統 化為能控標準型 ),(CBA ),(CBA2、求出在

10、能控標準型的狀態 下的狀態反饋矩陣xK3、求出在原系統的狀態 下的狀態反饋矩陣x12 cPKK第15頁/共60頁2021-12-1217）式式（ 1)(BvxBKAx vBxKBAx )(BPBAPPAxPxcccc122122, 22111122222212()()()2cccccccccxP xPABK xBvPP APP BK P xP BvABKPxBv式（ ）證明：原系統：能控標準型：其中：式（1）和式（2）比較，得：12 cPKK12 cPKK第16頁/共60頁2021-12-1218 100,100001000010121210212BPBAPPAcncc 能控標準型：此時的系統

11、不變量和原系統相同。 )()()()(1000010000101322110nnkkkkKBA 能控標準型下，加入狀態反饋后，系統矩陣為：K第17頁/共60頁2021-12-1219111201( )()()()()nnnnfIABKkkk 能控標準型下，狀態反饋后閉環系統特征多項式為：根據期望閉環極點，寫出期望特征多項式：*112110( )nnnnf（ 111100 nnaaK 由 ，可以確定能控標準型下的反饋矩陣為：)()(* ff 第18頁/共60頁2021-12-1220(1)判斷系統能控性。如果狀態完全能控，按下列步驟繼續。(2)確定將原系統化為能控標準型 的變換陣 ),(CBA若

12、給定狀態方程已是能控標準型，那么 ，無需轉換 IPc 2即即可可然然后后確確定定只只需需要要求求系系統統不不變變量量2,ciP 1110( )nnnfIA 101001,12121212nnnncbbAbAP 2cP系統不變量：第19頁/共60頁2021-12-1221(3)根據給定或求得的期望閉環極點，寫出期望的特征多項式：*112110( )nnnnf（ *0*11*1012211)( sssssssGnnnnnnn*i (4)直接寫出在能控標準型下的反饋增益矩陣：111100 nnaaK 12 cPKK(5)求未變換前原系統的狀態反饋增益矩陣：還可以由期望閉環傳遞函數得到：能控標準型法，

13、非常適合于計算機matlab求解 期望的閉環極點有時直接給定；有時給定某些性能指標：如超調量 和調整時間 等）%pMst第20頁/共60頁2021-12-1222（2）計算原系統的特征多項式：156|)(23 AIf：（1）可知，系統已經是能控標準型了，故系統能控，此時變換陣IPc 22006014)10)(42)(42()(23* jjf（3）計算期望的特征多項式85519912 cPKK（4）確定K陣所以狀態反饋矩陣K為： 855199221100 aaK能控標準型下的狀態反饋矩陣為：0100001,01561AB 第21頁/共60頁2021-12-1223為系統期望的特征多項式系數，由下

14、式確定：*112110( )nnnnf（ )A(BAABB1000K11 n其中 是A滿足其自身的特征方程，為：*1*110()nnnAAAAI )A( *i 推導過程：略此方法也非常適合于計算機matlab求解第22頁/共60頁2021-12-1224 11743771598855199I200A60A14AIAAA)A(23*0*12*23aaa ：（1）確定系統期望的特征多項式系數：2006014)10)(42)(42()(23* jjf14,60,200210 所以：（2）確定)A( 0100001,01561AB 第23頁/共60頁2021-12-1225（3）所以狀態反饋矩陣K為：

15、 85519911743771598855199001016165100117437715988551993161610100100)A(BAAB100K112 B第24頁/共60頁2021-12-1226例已知線性定常連續系統的狀態空間表達式為 01003210uy xxx設計狀態反饋增益矩陣K，使閉環系統的極點為1和2，并畫出閉環系統的結構圖。解：先判斷系統的能控性。 02rankrankrank226cQBAB系統狀態完全能控，可以通過狀態反饋任意配置其極點。 12kkK令第25頁/共60頁2021-12-1227則狀態反饋閉環系統的特征多項式為 221121( ) |()|(32)22

16、(32)fkkkkIABK期望的特征多項式為 *2( )(1)(2)32f由 ff，求得13K 狀態反饋閉環系統的結構圖如下： 第26頁/共60頁2021-12-1228期望極點選取的原則： 1）n維控制系統有n個期望極點； 2）期望極點是物理上可實現的，為實數或共軛復數對； 3）期望極點的位置的選取，需考慮它們對系統品質的影響（離虛軸的位置），及與零點分布狀況的關系。 4）離虛軸距離較近的主導極點收斂慢，對系統性能影響最大，遠極點收斂快，對系統只有極小的影響。第27頁/共60頁2021-12-1229：如果SI線性定常系統 是能控的，則狀態反饋所構成的閉環系統 也是能控的。),(0CbA),

17、(CbbKAk:的能控性判別陣為：),(0CbAbAAbbQnc10的能控性判別陣為：),(CbbKAkbbKAbbKAbQnck1)()(0ckcQQ可見，的第一列同的第一列。一、二列的線性組合為的第二列0)( :cckQbKbAbbbKAQ標量標量能控性不發生變化。的秩可知，狀態反饋后由初等變換不改變矩陣初等變換得到列向量的線性組合。的每一列都是依次類推，ckccckQQQQ00第28頁/共60頁2021-12-1230：對SISO系統，引入狀態反饋后，不改變系統原有的閉環零點。所以經過極點的任意配置，可能會出現零極點相約，由于可控性不變，故可能破壞可觀測性。01110122111)()(

18、 ssssssbAsICsGnnnnnnn能控標準型，受控系統傳遞函數：狀態反饋后，閉環系統傳遞函數： )()()()()(1021110122111kskskssssbKbAsICsGnnnnnnnn 第29頁/共60頁2021-12-1231BBKAsICsGk1)()( CxyBvxBKAx)(0)( BKAI 狀態反饋閉環系統：狀態反饋閉環傳遞函數矩陣為：狀態反饋系統的特征方程為：閉環系統動態方程：閉環傳遞函數矩陣為：系統的特征方程為：BBHCAsICsGH1)()( ()xABHC xBvyCx0)( BHCAI 第30頁/共60頁2021-12-1232：閉環系統動態方程：閉環傳遞

19、函數矩陣為：系統的特征方程為：BHCAsICsGH1)()( 0)( HCAI CxyBvxHCAx)(：系統狀態完全能控。：反饋陣k的求法第31頁/共60頁2021-12-1233(4)由 確定反饋矩陣K：21nkkkK )()(* ff (2)求狀態反饋后閉環系統的特征多項式：)(det)(BKAIf (3)根據給定（或求得）的期望閉環極點，寫期望特征多項式。*112110( )nnnnf（ (1)判斷系統能控性。如果狀態完全能控，按下列步驟繼續。第32頁/共60頁2021-12-1234(4)寫出能控標準型下的反饋增益矩陣：111100 nnaaK 12 cPKK(5)求未變換前原系統的

20、狀態反饋增益矩陣：(1)判斷系統能控性。如果狀態完全能控，按下列步驟繼續。(3)寫出期望的特征多項式：*112110( )nnnnf（ (2)確定將原系統化為能控標準型 的變換陣 ),(CBA2cP第33頁/共60頁2021-12-1235可以保持原系統的能控性，但可能破壞原系統的能觀測性。 )A(BAABB1000K11 n其中 是A滿足其自身的特征方程，為：*1*110()nnnAAAAI )A( 為系統期望的特征多項式系數，由下式確定：*112110( )nnnnf（ *i 2）和3）方法非常適合于計算機matlab求解第34頁/共60頁2021-12-1236第二節第二節 系統的鎮定問

21、題系統的鎮定問題1.系統鎮定的概念2.狀態反饋與系統的鎮定第35頁/共60頁2021-12-1237鎮定：一個控制系統，如果通過反饋使系統實現漸近穩定，即閉環系統極點具有負實部，則稱該系統是能鎮定的。可以采用狀態反饋實現鎮定，則稱系統是狀態反饋能鎮定的。如果線性定常系統不是狀態完全能控的，則它狀態反饋能鎮定的充要條件是：不能控子系統是漸近穩定的。1( ,)A B C原系統：第36頁/共60頁2021-12-1238 22121110AAAARRAcc 011BBRBc 22211211110AkBAkBAKBA將原系統按照能控性分解，得到系統2( ,)A B C對系統 引入狀態反饋后，系統矩陣

22、變為2閉環系統特征多項式為：22211111222211211111)(0)()()(AsIkBAsIAsIkBAkBAsIKBAsI 能控部分，總可以通過狀態反饋使之鎮定要求漸近穩定第37頁/共60頁2021-12-1239：如果線性定常系統是狀態完全能控的，則不管其特征值是否都具有負實部，一定是狀態反饋能鎮定的。（一定存在狀態反饋陣K，使閉環系統的極點得到任意配置） 不穩定但狀態完全能控的系統，可以通過狀態反饋使它鎮定：可控系統是一定可鎮定的，可鎮定系統不一定是可控的第38頁/共60頁2021-12-1240系統的狀態方程為 （2）由動態方程知系統是不能控的，但不能控部分的特征值是-5，位

23、于左半S平面，可知此部分是漸近穩定的。因此該系統是狀態反饋能鎮定的。 ：（1）系統的特征值為1，2和5。有兩個特征值在右半S平面，因此系統不是漸近穩定的。 5, 22, 22321 jj（1）該系統是否是漸近穩定的？（2）該系統是否是狀態反饋能鎮定的？（3）設計狀態反饋，使期望的閉環極點為100102010050XAXbuXu 第39頁/共60頁2021-12-1241（3）不能控部分的極點為5，與其中一個期望極點相同。此時，只能對能控部分進行極點配置。設 ，對能控部分進行極點配置。 21,kkK 21212121212001kkkkkkkkBKAA 212122121212212122321

24、321kkkkkkkkkkkkkkAIf 8422222 jjf期望的特征多項式為：第40頁/共60頁2021-12-1242 ff 822432121kkkk131 k202 k由 得：解得：所以反饋陣為： 2013 K第41頁/共60頁2021-12-1243系統的狀態方程和輸出方程如下 ：（1）系統特征方程為：（1）討論系統的穩定性。（2）加狀態反饋可否使系統漸近穩定？uXX 010110 Xy10 01112 AIf特征值為 ，系統不是漸近穩定的。jj 21, （2）系統能控，加入狀態反饋可以任意配置極點。設反饋陣為 ，加狀態反饋后的系統矩陣為 21,kkK 第42頁/共60頁2021

25、-12-1244 01121kkbKA系統的特征多項式為： 21210fkk通過k1和k2的調整可使系統的特征值都位于左半S平面，使系統漸近穩定。第43頁/共60頁45 具有實際應用價值的是下圖所示狀態觀測器。具有實際應用價值的是下圖所示狀態觀測器。它和開環狀態觀測器的差別在于增加了反饋校正通道。被控系統的輸出與觀測器的輸出進行比較，其差值作為校正信號。它和開環狀態觀測器的差別在于增加了反饋校正通道。被控系統的輸出與觀測器的輸出進行比較，其差值作為校正信號。 yKbuxcKAxcKyKbuxAyyKbuxAxeeeee)() (第44頁/共60頁46) )()(xxcKAcxKbuxcKAbu

26、Axxxeeexxx令 ()exAK c x則)()(0)(txetxtcKAe其解為可知，當選取可知，當選取 ，使得，使得 所有特征值具有負實部則有：所有特征值具有負實部則有： 若觀測器和系統的初始狀態相同，觀測器的狀態與系統實若觀測器和系統的初始狀態相同，觀測器的狀態與系統實際狀態完全相同；際狀態完全相同； 若觀測器初始狀態與系統初始狀態不相等，觀測器狀態以若觀測器初始狀態與系統初始狀態不相等，觀測器狀態以指數收斂到系統的實際狀態，指數收斂到系統的實際狀態， 即即 。因此，這。因此，這種觀測器稱為種觀測器稱為漸近狀態觀測器。漸近狀態觀測器。eKcKAe0)(limtxt第45頁/共60頁4

27、7定理：線性（連續或者離散）定常系統存在狀態觀測器，并且能夠任意配置極點的充分必要條件是定理：線性（連續或者離散）定常系統存在狀態觀測器，并且能夠任意配置極點的充分必要條件是 此定理也適用于此定理也適用于MIMO系統。系統。)(*f)()(*ffeK確定)(det)(cKAIfe第46頁/共60頁48 102102,10,3210cbAnrankcAcrank22002解：解： 判斷系統的能觀性判斷系統的能觀性所以，系統可觀，狀態觀測器極點可以任意配置。所以，系統可觀，狀態觀測器極點可以任意配置。第47頁/共60頁4921eeeKKK設設112221012 02 2323eeeeeKKA Kc

28、KK 則則1221211221( ) det()det2 23(2)(3) 2 2(3 2)(2 62)eeeeeeeeKfIA KcKKKKKK 系統特征方程如下：系統特征方程如下：10020)10()(22*f狀態觀測器的期望特征方程為狀態觀測器的期望特征方程為第48頁/共60頁501002622023211eeeKKK)()(*ff令令則則5 . 81eK5 .232eK解得解得5 .235 . 8eK即即uy2x圖8.10 狀態觀測器結構圖2-3-2y 2 x2-3-223.58.51x1 x第49頁/共60頁51小結就是將系統的每一狀態變量乘以相應的反饋系數，反饋到輸入端就是將系統的

29、每一狀態變量乘以相應的反饋系數，反饋到輸入端,與參考輸入相加，其和作為被控系統的控制信號。與參考輸入相加，其和作為被控系統的控制信號。是將系統的輸出量乘以相應的系數反饋到輸入端是將系統的輸出量乘以相應的系數反饋到輸入端,與參考輸入相加，其和作為被控系統的控制信號。與參考輸入相加，其和作為被控系統的控制信號。線性（連續或者離散）定常系統存在線性（連續或者離散）定常系統存在狀態觀測器，并且能夠任狀態觀測器，并且能夠任意配置極點的充分必要條件是系統完全能觀測。意配置極點的充分必要條件是系統完全能觀測。)()()()(txtKtrtu多變量線性系統在任何形如多變量線性系統在任何形如 的狀態反饋下，的狀

30、態反饋下，狀態反饋閉環系統完全能控的充要條件是被控對象完全能控狀態反饋閉環系統完全能控的充要條件是被控對象完全能控。 線性（連續或離散）多變量系統能任意配置極點的充分必要條件是線性（連續或離散）多變量系統能任意配置極點的充分必要條件是,該系統狀態完全能控。該系統狀態完全能控。第50頁/共60頁2021-12-1252第四節第四節 帶有觀測器的帶有觀測器的狀態反饋系統狀態反饋系統1.帶有觀測器的狀態反饋系統的構成2.帶有觀測器的狀態反饋系統的輸入輸出特性第51頁/共60頁2021-12-1253狀態觀測器的建立，為不能直接量測的狀態反饋提供了條件：帶有狀態觀測器的狀態反饋系統由觀測器和狀態反饋兩個子系統構成。用觀測器的估計狀態實現反饋。 是x重構狀態，階數小于等于x階數。系統階數為 與x階數和x x B x CAyB xCAy eK xx uK v全維狀態觀測器加入狀態反饋第52頁/共60頁2021-12-1254帶有全維狀態觀測器的狀態反饋系統等價結構圖：B x CAyB xCCKAe y eK xx uK v第53頁/共60頁2021-12-1255CxyBuAxx ,加入反饋控制規律：xKvu CxyBvxBKAxxKvBAxBuAxx ,) (狀態反饋部分的狀態方程