1、第12章微分方程12.1微分方程的基本概念一 主要內(nèi)容名稱內(nèi)容微分方程聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)導數(shù)（或微分）的關系式稱為微分方程；函數(shù)只含有一個自變量的微分方程稱為常微分方程方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)導數(shù)或微分的最高階數(shù)稱為微分方程的階數(shù)線性微分方程線性微分方程的特征是未知函數(shù)及其導數(shù)（微分）在方程的各項中都以一次的形式出現(xiàn)解函數(shù)滿足微分方程，即將代入方程能使方程成為恒等式，則函數(shù)是方程的一個解（顯式解）如果由所確定的隱函數(shù)為微分方程的一個解，則稱為該方程的一個隱式解通解如果微分方程的解中含有相互獨立的任意常數(shù)且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，則稱這樣的解為該方程的通解（也稱一

2、般解）特解微分方程不包含任意常數(shù)的解稱為微分方程的特解初始條件確定通解中的任意常數(shù)的條件：等稱為初始條件初值問題帶有初始條件的微分方程稱為微分方程的初值問題積分曲線方程的解的圖形稱為方程的積分曲線二 疑難解析1. 微分方程非初值問題、初值問題與微分方程的解及圖形有什么關系？答 微分方程非初值問題（即無初始條件）的解是通解，其幾何圖形是曲線簇；微分方程初值問題的解是特解，其圖形是一條曲線反過來，微分方程反映了滿足此方程式的曲線（簇）的性質(zhì)特征.2所有的微分方程是否都有通解？不一定！微分方程的通解是指含有任意常數(shù)且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同。例如考慮下列兩個微分方程： 此方程顯然無解， 此

3、方程僅有一個解由此可見，不是所有的微分方程都有通解。3微分方程的通解是否能包含它的所有解？不一定！例如微分方程因為由得，故所以是的解，又因解中含有一個任意常數(shù)，與方程的階數(shù)相同，所以它是通解。但是顯然也是微分方程的解，但它不包含在通解中，也就是說在通解中無論C取什么值，都不可能有。這里稱作原方程的奇解。奇解的曲線和積分曲線都是相切的。課本中對微分方程的奇解未進行討論。同學們只要知道這一概念即可。三 典型例題1. 判斷函數(shù)是否為所給微分方程的通解（1）（2）確定的隱函數(shù)y解 （1），代入原方程得左邊= =右邊.所以是該方程的解.（2）兩邊對x求導，得：，不滿足原微分方程.所以不是該方程的解.2.

4、 設曲線過點（2，3），它在兩坐標軸間的任意切線段被切點平分，求此曲線滿足的微分方程解 設曲線的方程為，設切點坐標為，依條件有，解得：，代入初始條件得，所求方程為：3. 求曲線簇滿足的微分方程解 由例1(1)知，由，所求方程為：四 綜合與提高1. 求函數(shù)所滿足的一階微分方程，并指出其是否是線性微分方程解 由復合函數(shù)求導法則，得或即為函數(shù)所滿足的一階微分方程若以為未知函數(shù)，該方程不是線性方程；若以為未知函數(shù)，該方程是線性方程2. (1991，江蘇省高等數(shù)學競賽)已知微分方程有特解，求解 因，代入微分方程得令，得，故12.2 可分離變量的微分方程一 主要內(nèi)容名稱內(nèi)容微分方程形如或 的微分方程稱為可

5、分離變量的微分方程解法分離變量法：齊次方程，作變換，化為變量代換齊次方程的求解方法實際上是通過變量代換的方法，將方程轉(zhuǎn)換為能求解的類型二 疑難解析1. 怎樣求解可分離變量的微分方程？答 如果微分方程可分離變量成或則兩邊積分可得. 值得注意的是, 這是一個隱式解，由于含有任意常數(shù)，因此又叫隱式通解隱式解通常不要求化成顯式解2. 怎樣建立應用問題的微分方程？答 常用直接法和間接法，要根據(jù)具體情況選用直接法是利用物理、化學、幾何定理確定具體問題的自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)的導數(shù)，寫出微分方程和初始條件間接法又叫小元素平衡法，是通過具體問題中的微小量的分析，找出自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)的導數(shù)，從而建

6、立微分方程并確定初始條件3. 用可分離變量法解微分方程是否會發(fā)生丟掉原方程解的情況？怎么辦？答 用可分離變量法解微分方程可能發(fā)生丟掉原方程解的情況.例如解微分方程，兩邊同除以得，積分得通解，確實就丟掉了解與應該采取適當?shù)拇胧G失的解補回三 典型例題對可分離變量的微分方程，可先將改寫成，再分離變量求解對某些較困難的微分方程，可先作變量代換，對新變量作變量分離，積分后再代換回去遇到積分后兩邊都有對數(shù)的情形，可將積分常數(shù)寫作，以便消去解中的對數(shù)記號1. 求解微分方程：（1） （2） （3）（4） （5） （6）解 （1）分離變量得：，兩邊積分得：；（2）分離變量得：，兩邊積分得：；（3）分離變量得

7、：，兩邊積分得：；（4）分離變量得：，兩邊積分得：；(5)分離變量得：，兩邊積分，得通解：， 由初始條件y(1)=2,知：（6）分離變量得：， 兩邊積分得：2. 求下列方程的通解（1）； （2）；（3）解 (1) 原方程可化為，令，則解得，代入整理得(2) 原方程可化為，令，則解得，代入整理得(3) 原方程可化為，令，則解得，代入整理得3. 求解微分方程：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解：(1) 令，則，解得即(2 ) 原方程可化為，即令，則，分離變量后解得，代入化簡得： (3) 令得，令代入原方程得，令，則，解得：，或特解，再代入得， 所以：，特解(4) 令，則，或，于

8、是原方程可化為解得：，特解，再代入得所求解為：，特解注：(3)、(4)題總結：對于型方程，若時是齊次的，令即可求解，否則不是齊次的，分下列兩種情形求解() 當時，由解得，再令即可將原方程化為齊次方程來求解() 當時，令，原方程可化為：，作代換，將原方程化為：，這是可分離變量的方程，能夠求解(5) 原方程可化為，令，則，分離變量后解得，代入化簡得：(6) 令，則，代入原方程得4. 物體的冷卻速率正比于物體溫度與環(huán)境溫度之差，用開水泡速溶咖啡，3min后咖啡的溫度是85，若房間溫度為20幾分鐘后咖啡溫度為60？解：設咖啡溫度為T=T(t)，由題意得： 其中k為常數(shù)方程的通解為：由T(0)=100,

9、得C=ln80，又由T(3)=85，得k=0.07所以 代入T=60，得t約為10min5. 在美國把核廢料拋到91.5m深的海底是否恰當?shù)臓幷撝校こ處焸儼l(fā)現(xiàn)，當廢物桶落到海底的速度超過12.2m/s時，會與海底相撞而破裂，而廢物桶速度v與海水深x滿足微分方程： 美國這樣拋核廢物到海底是否妥當（其中桶重W為239.46kg，g為9.8m/s，海水對桶的浮力B為213.5kg）?解：代入數(shù)據(jù)，方程化為 ，滿足初始條件的解為代入x=91.5m，得v=13.9434m/s>12.2m/s所以美國這樣的作法是不妥的四 綜合與提高1. (1996，江蘇省高等數(shù)學競賽)設曲線C經(jīng)過點，且位于x軸上

10、方就數(shù)值而言主，C上任何兩點之間的弧長都等于該弧以及它在x軸上的投影為邊的曲邊梯形的面積，求C的方程解：設曲線方程為，由題意得兩邊求導得于是由，解得故或，所以，曲線方程為2. (2004，數(shù)學一)某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700km/h. 經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比（比例系數(shù)為）問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小時.分析：本題是標準的牛頓第二定理的應用，列出關系式后再解微分方程即可解：由題設

11、，飛機的質(zhì)量m=9000kg，著陸時的水平速度. 從飛機接觸跑道開始記時，設t時刻飛機的滑行距離為x(t)，速度為v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得 .又 ，由以上兩式得 ，積分得 由于，故得，從而 當時， 所以，飛機滑行的最長距離為1.05km.另解：也可由,分離變量求得通解，代入初始條件解得，故 飛機滑行的最長距離為 本題還可用二階齊次線性微分方程求解12.3一階線性微分方程一 主要內(nèi)容名稱內(nèi)容微分方程形如的微分方程稱為一階線性的微分方程若，稱為齊次的；否則稱為非齊次的.解法公式法：常數(shù)變易法：先求對應齊次方程的通解，然后 變易常數(shù)C令非齊次方程通解為代入原方程，得待定系數(shù)，滿足：貝努里方程形

12、如的微分方程稱為貝努里微分方程令，化為線性微分方程：二 疑難解析怎樣理解常數(shù)變易法？答 常數(shù)變易法是基于這樣一種想法而產(chǎn)生的.當求得線性齊次微分方程的通解自然會想到如何求非線性微分方程的通解形式由于齊次微分方程和非齊次微分方程左邊完全一致，僅在右邊的是否等于零的有所區(qū)別，因此推測通解的形式相類似，從而設想用待定函數(shù)代替齊次通解中的常數(shù)這種以未知函數(shù)代換常數(shù)的方法，就是常數(shù)變易法它在二階常系數(shù)微分方程的求解中也有應用求解一階線性的微分方程時，可用常數(shù)變易法，也可用公式法前者行之有效，后者比較簡捷三 典型例題1. 求微分方程的通解（1） （2） （3）解 該題都是一階線性微分方程，可用公式法求解（

13、1），代入公式，得：（2），代入公式，得：（3），代入公式，得： （4），代入公式，得：（5），代入公式，得： （6），代入公式，得： 2. 求微分方程滿足初始條件的特解（1） （2）解 該題都是一階線性微分方程，可用公式法求通解后利用初始條件確定常數(shù)（1），代入公式得通解：代入初始條件，得：，所以特解為：（2），代入公式得通解： 3. 解微分方程：（1） （2） （3）解 該題都可變形為一階線性微分方程（1）方程變形為：，是函數(shù)u的線性微分方程，代入公式，得：即：（2）方程變形為：，是函數(shù)u的線性微分方程，代入公式，得：即：（3）方程變形為：，是x=x(y) 的線性微分方程，代入公式，得：4

14、. 一曲線過原點，它在點（）處的切線的斜率等于，求此曲線的方程解 由題意，得：，代入公式得通解代入初始條件，得C=1，所以曲線方程為：四 綜合與提高1. 求函數(shù)所滿足的一階微分方程，并指出其是否是線性微分方程解 由復合函數(shù)求導法則，得或即為函數(shù)所滿足的一階微分方程若以為未知函數(shù)，該方程不是線性方程；若以為未知函數(shù)，該方程是線性方程2. (1991，江蘇省數(shù)學競賽)已知微分方程有特解，求解 因，代入微分方程得令，得，故3. (2004，數(shù)學三)設級數(shù)的和函數(shù)為S(x). 求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達式.分析：對S(x)進行求導，可得到S(x)所滿足的一階微分

15、方程，解方程可得S(x)的表達式.解 (I) ，易見 S(0) = 0，.因此S(x)是初值問題的解.(II) 方程的通解為 ，由初始條件y(0) = 0，得C = 1.故，因此和函數(shù).12.4可降階的高階微分方程一 主要內(nèi)容名稱內(nèi)容型連續(xù)兩次積分得型令，原方程化為一階方程：型令，原方程化為一階方程：二 疑難解析1. 對于可降階的高階微分方程，方程的特點是不顯含自變量，令則用=而不用，為什么？因為中不顯含，用代換，則=,代入原方程，可將方程化為一個含有關于與的一階方程： =，從而達到降階求解的目的。但是若用代換，將得到方程：=，出現(xiàn)三個變元不易積分。2. 在可降階的微分方程求解過程中，常常需要

16、消去，這時要注意什么問題？答 消去時，注意是否丟失的解. 例如，是型的微分方程令，于是方程變形為注意這里消去了，有可能丟失解將上式分離變量得積分，得故所求解為 消去，丟失和（常數(shù)）的解，則取和是任意常數(shù)，將丟失的解包含進去三 典型例題1. 求下列微分方程的通解（1） （2）（3） （4） （5）解 （1）對方程兩邊積分兩次，得：（2）令，得p的線性微分方程：利用公式法得：，即：兩邊積分，的原方程通解：（3）令，得p的齊次線性微分方程：，所以： （4）令，代入原方程，得：，這是關于p(y)的線性微分方程，其中：，利用公式法，得：，所以：（5）令，代入原方程，得：，積分得：，即，分離變量積分得：2

17、. 求下列方程滿足初始條件的特解（1） （2）解 （1）令，則原方程變?yōu)椋河沙跏紬l件知：即：再由初始條件：（2）令，則原方程變?yōu)椋河沙跏紬l件知：，即：即：，再由初始條件：3. 某質(zhì)點運動的加速度與速度和時間的關系為 求質(zhì)點運動規(guī)律解 由題意得：令，這是非齊次線性微分方程，其中，由公式法，得：，代入初始條件，得：所以：，代入初始條件得：4. 求的經(jīng)過點且在此點與直線相切的解曲線解 依題意得初始條件為：對方程連積分兩次得，代入初始條件得，于是所求方程的解曲線為：四 綜合與提高1.（2002年，數(shù)學一）微分方程滿足初始條件的特解是.解 這是二階的可降階微分方程.令(以為自變量),則代入方程得,即(或

18、,但其不滿足初始條件).分離變量得積分得即(對應);由時得于是積分得又由得所求特解為2. (1999年，數(shù)學一、二)設函數(shù)二階可導且過曲線上任意一點作該曲線的切線及軸的垂線，上述兩直線與軸圍成的三角形的面積為，在區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形的面積為，并設的面積恒為1求曲線的方程解 設過曲線上任意一點的切線方程為它與軸的交點為由于，從而，于是又，故由得 兩邊對求導，得，令，于是方程化為即，由知及知，故所求曲線方程為12.5二階常系數(shù)線性微分方程一 主要內(nèi)容1 二階線性微分方程解的結構二階常系數(shù)非齊次線性微分方程名稱內(nèi)容線性微分方程方程 稱為n階線性微分方程當時方程 稱為齊次的；當，稱為非齊次的方程

19、稱為二階線性微分方程當時方程 稱為齊次的；當，稱為非齊次的齊次方程解的結構設是齊次方程的兩個解，則也是方程的解，其中是任意常數(shù)設是二階線性齊次微分方程的兩個線性無關的特解，則方程的通解為其中是任意常數(shù)非齊次方程解的結構設是的一個特解，是其對應齊次方程的通解，則是線性非齊次方程的通解設分別是方程與的解，則是方程的解2 二階常系數(shù)線性微分方程名稱內(nèi)容定義稱方程 為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，對應代數(shù)方程稱為方程的特征方程解法當方程有兩個不等實根時，方程的通解為 當方程有兩個相等實根時，方程的通解為 當方程有一對共軛虛根時，方程的通解為 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程定義稱方程，其中為常數(shù)， 為二階常

20、系數(shù)齊次線性微分方程特解構造法型，可用待定系數(shù)法構造特解為，其中是與同次冪的多項式型，構造特解為其中，是階多項式，二 疑難解析1. 怎樣求常系數(shù)齊次線性微分方程的解？答 對二階常系數(shù)齊次線性微分方程，求通解的步驟是寫出微分方程的特征方程正確求得特征方程的特征根；根據(jù)特征根寫出齊次線性微分方程的通解這里，正確求得特征方程的特征根是關鍵，尤其是階齊次方程的情形，求特征根比較復雜，更要注意2. 求二階非常系數(shù)齊次線性微分方程的通解通常有哪能些步驟？需要注意哪些問題？答 對二階非常系數(shù)齊次線性微分方程，求通解的步驟是寫出對應齊次特征方程；求出對應齊次特征方程的特征根；寫出對應齊次微分方程的通解；求出非

21、齊次微分方程的一個特解；寫出非齊次微分方程的通解；如果要求滿足初始條件的非齊次微分方程的一個特解，則還應有：根據(jù)初始條件確定任意常數(shù)，求出特解全部過程中最關鍵也是最困難的是步驟，要根據(jù)對應齊次微分方程的特征根和方程形式確定特解形式，然后用待定系數(shù)法確定特解，因此一定要熟練、細心3. 二階線性齊次微分方程解的結構定理中，如果是的兩個線性無關的特解，那么(為任意常數(shù))為該線性齊次方程的通解。這里“線性無關”能否可去掉？為什么？不能去掉。是方程的解，這一性質(zhì)稱為線性齊次方程的疊加原理。但不一定是該方程的通解，這里雖然兩個任意常數(shù)，但當與線性相關時，兩常數(shù)就會合并為一個任意常數(shù)，因而不是該方程的通解；

22、只有當和線性無關時，是該方程的通解。4. 對于方程，為什么特解仍設為），而不設為呢？這是因為方程右端雖然僅含，沒有，但實際上的多項式因式是0，可以視為0次多項式，根據(jù)設特解的規(guī)則仍設為）。反之，若設就會導致錯誤，而求不出正確的解。三 典型例題1、解微分方程：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）解 （1）方程特征根為：；（2）方程特征根為：；（3）方程特征根為：；（4）方程特征根為：；（5）方程特征根為：2、解微分方程：（1） ; （2）; （3） ; （4）; （5） ; （6）解 （1）特征方程的根為：，所以對應齊次方程的通解為： 方程特解的待定形式為：，所以代入方程，得：比較系數(shù)

23、，得：所以方程的解為：（2）特征方程的根為1和2，方程特解的待定形式為：，代入方程得：，比較系數(shù)，得：對應齊次方程的通解為：所以方程的通解為：（3）特征方程的根為i和-i，方程特解的待定形式為： 代入原方程，得：，對應齊次方程的通解為：，所以原方程的通解為：（4）特征方程的根為i和-i，方程特解的待定形式為：，對應齊次方程的通解為：所以原方程的通解為：（5）特征方程的根為：1，2特解的待定形式為：對應齊次方程的通解為：所以方程的通解為：（6）2是特征方程的重根方程特解的待定形式為：，代入原方程得：比較系數(shù)，得：，對應齊次方程的通解為：，所以原方程的通解為：3. 寫出下列非齊次方程特解的形式：（

24、1）； （2）；（3）； （4）解：（1）特征方程為：解得. 所以是特征根，所以方程特解的待定形式為：（2）由得. 所以是特征根，所以方程特解的待定形式為：（3）特征方程為：解二重根及. 所以0是特征根，1不是特征根，所以方程特解的待定形式為：（4）方程可化為，由得二重根. 所以1是特征根，不是特征根，所以方程特解的待定形式為：4. 一質(zhì)量為m的質(zhì)點從水面由靜止狀態(tài)開始下降，所受阻力與下降速度成正比(比例系數(shù)為k)求質(zhì)點下降深度與時間t的函數(shù)關系解：設下降深度與時間的關系為h=h(t)，質(zhì)點受力為重力F和阻力f由題意由牛頓第二定律，得：由題意知初始條件為：特征方程的根為0和，方程特解的待定形式為代入方程知：又對應齊次方程的通解為：所以原方程的通解為：代入初始條件，得：5. 一彈簧懸掛有質(zhì)量為2kg的物體時，彈簧伸長了0.098m，阻力與速度成正比，阻力系數(shù)當彈簧受到強迫力的作用后，物體產(chǎn)生了振動設物體的初始位置在它的平衡位置，初速度為零，求振動規(guī)律解：由題意，知彈性系數(shù)為200物體受力為彈力、阻力和強迫力設物體運動規(guī)