1、會計(jì)學(xué)1ch函數(shù)的極值與最大值最小值函數(shù)的極值與最大值最小值;0)(,)(lnlim;0)(), 0(,)(lnlim443030 xfxaxxxfUxaxxxx使使充充分分大大的的正正數(shù)數(shù)即即使使即即.ln0)(,ln)無根無根所以方程所以方程，恒小于恒小于時(shí)，時(shí)，即即當(dāng)當(dāng)最大最大axxxfeaaaf10111.ln,ln)2有唯一根有唯一根時(shí)，方程時(shí)，方程即即當(dāng)當(dāng)最大最大axxeaaaf1011時(shí)，時(shí)，即即當(dāng)當(dāng)最大最大eaaaf10011,ln)3又在區(qū)間又在區(qū)間(0,1/a)上，上，f (x)單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間(1/a，+ )上，上，f (x)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，所以方程所

2、以方程lnx=ax有兩個(gè)根有兩個(gè)根. .第1頁/共42頁問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC第2頁/共42頁;),()(,2)()()2(,),(212121內(nèi)的圖形是凸的內(nèi)的圖形是凸的在在那末稱那末稱恒有恒有內(nèi)任意兩點(diǎn)內(nèi)任意兩點(diǎn)如果對如果對baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸內(nèi)的圖形是凹內(nèi)的圖形是凹在在那末稱那末稱的的或凸或凸內(nèi)的圖形是凹內(nèi)的圖形是凹且在

3、且在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在如果如果baxfbabaxf定義定義;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121內(nèi)的圖形是凹的內(nèi)的圖形是凹的在在那末稱那末稱恒有恒有兩點(diǎn)兩點(diǎn)內(nèi)任意內(nèi)任意如果對如果對內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在設(shè)設(shè)baxfxfxfxxfxxbabaxf 第3頁/共42頁xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內(nèi)內(nèi)若在若在二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有內(nèi)具有在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果bax

4、fxfbaxfxfbababaxf 第4頁/共42頁例例6 6.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0.)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是曲線由凸變凹的分界是曲線由凸變凹的分界點(diǎn)點(diǎn)注意到注意到,第5頁/共42頁連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)曲線的拐點(diǎn).1.1.定義定義2.2.拐點(diǎn)的求法拐點(diǎn)的求法方法方法: :,)(0)()(00不存在不存在或或的的設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfxfxf ;)(,(,)()1(000即為拐點(diǎn)即為拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)變

5、號變號兩近旁兩近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)不變號不變號兩近旁兩近旁xfxxfx 第6頁/共42頁例例7 7.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點(diǎn)及的拐點(diǎn)及求曲線求曲線 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32(.32, 0).,32,0 ,(凸區(qū)間為凸區(qū)間為凹區(qū)間為凹區(qū)間為第7頁/共42頁例例8 8.3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)求曲線求曲線xy 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,3

6、132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可導(dǎo)點(diǎn)是不可導(dǎo)點(diǎn)yyx , 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在 , 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在.), 0上是凸的上是凸的曲線在曲線在.)0 , 0(3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是曲線是曲線點(diǎn)點(diǎn)xy .)()(,(,)(000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是連續(xù)曲線是連續(xù)曲線也可能也可能點(diǎn)點(diǎn)不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :第8頁/共42頁一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義二、函數(shù)極值的求法二、函數(shù)極值的求法5 函數(shù)的極值與最大值最小值函數(shù)的極值與最大值最小值三、最值的求法三、最值的求法四、應(yīng)用舉例四、應(yīng)用舉例五、小結(jié)五、小

7、結(jié)第9頁/共42頁oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x第10頁/共42頁.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個(gè)極小值的一個(gè)極小值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對于這鄰域內(nèi)的對于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)的一個(gè)極大值的一個(gè)極大值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對于這鄰域內(nèi)的對于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)是是內(nèi)有定義內(nèi)有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxf

8、xxxbaxbaxf 定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值,使函數(shù)取得使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn).第11頁/共42頁 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處取得極值處取得極值, ,那末那末必定必定0)(0 xf或或不存在不存在)(0 xf. . 定理定理1 1( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實(shí)根的實(shí)根即方程即方程使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)xfxf 注意注意:.,)(一定是極值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)但駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)卻不但駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)卻不導(dǎo)點(diǎn)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)或不可點(diǎn)或不可的極值點(diǎn)必定是它的駐的極值點(diǎn)必定是它的駐函數(shù)函數(shù)xf例如

9、例如,3xy , 00 xy.0不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn)但但 x.,)(點(diǎn)卻不一定是其極值點(diǎn)點(diǎn)卻不一定是其極值點(diǎn)但駐但駐點(diǎn)點(diǎn)的極值點(diǎn)必定是它的駐的極值點(diǎn)必定是它的駐可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)xf第12頁/共42頁(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值. .(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .(3)(3)如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xxx 及及),(00 xxx時(shí)時(shí), , )(x

10、f符號相同符號相同, ,則則)(xf在在0 x處無極值處無極值. .定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極值點(diǎn)情形是極值點(diǎn)情形)第13頁/共42頁xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù));()()2(0可能不止一個(gè)可能不止一個(gè)不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)求駐點(diǎn)及使求駐點(diǎn)及使xxf ;,)()3(0判斷極值點(diǎn)判斷極值點(diǎn)點(diǎn)左右的正負(fù)號點(diǎn)左右的正負(fù)號在在檢查檢查xxf .)4(求極值求極值(不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形)第14頁/共42頁例例1 1解解.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf963)(2

11、xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)列表討論列表討論x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx第15頁/共42頁 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處具有二階導(dǎo)數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù), ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末(1)(1)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值; ;(2)(2)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .定理定理3(3(第二充分

12、條件第二充分條件) )注意：注意：第二充分條件只適合于在第二充分條件只適合于在x0處一階導(dǎo)數(shù)為處一階導(dǎo)數(shù)為零而二階導(dǎo)數(shù)不為零的情形；零而二階導(dǎo)數(shù)不為零的情形；. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理處不一定取極值處不一定取極值在點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)時(shí)xxfxf 第16頁/共42頁例例2 2解解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f, 018 )2(f故極小值故極小值.48 第17頁/共42頁注意注意: :函

13、數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).例例3 3解解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfx 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf.)(1)2(的極大值的極大值為為xff 第18頁/共42頁oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上的最大值與最小值存上的最大值與最小值存在在為零的點(diǎn)，則為零的點(diǎn)，則并且至多有有限個(gè)導(dǎo)數(shù)并且至多有有限個(gè)導(dǎo)數(shù)處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，上連續(xù)，除個(gè)別點(diǎn)外處上連續(xù)，除個(gè)別點(diǎn)外處在在若函數(shù)若函數(shù)baxfbaxf注：最值點(diǎn)不一定是

14、內(nèi)點(diǎn)注：最值點(diǎn)不一定是內(nèi)點(diǎn). .第19頁/共42頁步驟步驟: :1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比比較大小較大小,哪個(gè)大哪個(gè)就是最大值哪個(gè)大哪個(gè)就是最大值,哪個(gè)小哪個(gè)哪個(gè)小哪個(gè)就是最小值就是最小值;注意注意: :1 1、如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極則這個(gè)極值就是最值值就是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)2 2、如果在實(shí)際問題中，如果在實(shí)際問題中，f(x)在定義區(qū)間內(nèi)只有在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)一個(gè)駐點(diǎn)x0，且根據(jù)問題本身的實(shí)際情況，且根據(jù)問題本身的實(shí)際情況,f(x)一定有最值且一定在

15、區(qū)間的內(nèi)部（開區(qū)間）獲一定有最值且一定在區(qū)間的內(nèi)部（開區(qū)間）獲得，則得，則x0就是最值點(diǎn)就是最值點(diǎn)(最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn))。否則按一般函數(shù)處理。否則按一般函數(shù)處理。第20頁/共42頁例例4 4解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值與最小值上的最大值與最小值在在求函數(shù)求函數(shù) xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx計(jì)算計(jì)算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f，最大值最大值142)4( f比較得比較得. 7)1( f最小值最小值第21頁/共42頁例例5 5要建造一個(gè)體積要建造一個(gè)體積V為為50m3的有

16、蓋圓柱形的有蓋圓柱形水池，問水池的高和底的半徑比例為多少時(shí)，水池，問水池的高和底的半徑比例為多少時(shí)，用料最省？用料最省？解解 (1)建立圓柱形水池表面積建立圓柱形水池表面積函數(shù)關(guān)系式函數(shù)關(guān)系式則圓柱形水池表面積函數(shù)則圓柱形水池表面積函數(shù)設(shè)水池底半徑為設(shè)水池底半徑為r，高為，高為h，則表面積則表面積rhrS 222 由已知：由已知：502 hrV 表達(dá)式，表達(dá)式，代入代入將將S502rh )0(1002)(2 rrrrS 第22頁/共42頁.)()2(的的最最小小值值點(diǎn)點(diǎn)求求rSS )(rS.10042rr , 0)( rS令令得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn).253 r.12 時(shí)用料最省時(shí)用料最省：比例為

17、比例為故水池的高和底的半徑故水池的高和底的半徑.2522550r50h,25332223 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)r. 1:2r: h即：即：由問題的實(shí)際意義，唯一駐點(diǎn)即為最小值點(diǎn)由問題的實(shí)際意義，唯一駐點(diǎn)即為最小值點(diǎn)第23頁/共42頁實(shí)際問題求最值一般步驟實(shí)際問題求最值一般步驟: :(1)建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù)實(shí)際問題中變量間的實(shí)際問題中變量間的關(guān)系關(guān)系;(2)求最值求最值將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最值問題數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最值問題;值值或最小或最小所求的最大所求的最大則該點(diǎn)的函數(shù)值即為則該點(diǎn)的函數(shù)值即為一定在區(qū)間內(nèi)部獲得，一定在區(qū)間內(nèi)部獲得，有唯一駐點(diǎn)，且最值有唯一駐

18、點(diǎn)，且最值若目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只若目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只)(根據(jù)已知條件，將目標(biāo)函數(shù)表示成關(guān)于一根據(jù)已知條件，將目標(biāo)函數(shù)表示成關(guān)于一個(gè)變量的函數(shù)。個(gè)變量的函數(shù)。第24頁/共42頁.)(,)(的的一一條條漸漸近近線線就就稱稱為為曲曲線線那那么么直直線線的的距距離離趨趨向向于于零零到到某某定定直直線線如如果果點(diǎn)點(diǎn)窮窮點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)沿沿著著曲曲線線移移向向無無上上的的一一動動點(diǎn)點(diǎn)當(dāng)當(dāng)曲曲線線xfyLLPPxfy 鉛直漸近線鉛直漸近線.)()(lim)(lim000的的一一條條鉛鉛直直漸漸近近線線就就是是那那么么或或如如果果xfyxxxfxfxxxx 水平漸近線水平漸近線.)()()(lim)(lim的的一一條條

19、水水平平漸漸近近線線就就是是那那么么為為常常數(shù)數(shù)或或如如果果xfybybbxfbxfxx 斜漸近線斜漸近線.)(),(0)()(lim0)()(lim的的一一條條斜斜漸漸近近線線就就是是那那么么為為常常數(shù)數(shù)或或如如果果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 第25頁/共42頁兩坐標(biāo)軸兩坐標(biāo)軸0 x，0 y是否都是函數(shù)是否都是函數(shù)xxxfsin)( 的漸近線？的漸近線？ 0sinlim xxx0 y是是其其圖圖象象的的漸漸近近線線. 0 x不不是是其其圖圖象象的的漸漸近近線線. 1sinlim0 xxxxxysin 第26頁/共42頁利用函數(shù)特性描繪其圖形利用函數(shù)特性描繪其圖形.基本步驟基本

20、步驟1 1、確確定定函函數(shù)數(shù))(xfy 的的定定義義域域, , 討討論論其其奇奇偶偶性性、周周期期性性、與與坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸交交點(diǎn)點(diǎn), ,求求出出)(xf和和)(xf; ; 2、求、求駐點(diǎn)駐點(diǎn)、拐點(diǎn)拐點(diǎn)、間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)及及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)把函數(shù)的把函數(shù)的定義域劃分成幾個(gè)子區(qū)間定義域劃分成幾個(gè)子區(qū)間.4 4、確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其、確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢他變化趨勢; ;5、描描出出與與方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根對對應(yīng)應(yīng)的的曲曲線線上上的的點(diǎn)點(diǎn)，有有時(shí)時(shí)還還需需要要補(bǔ)補(bǔ)充充一一些些點(diǎn)點(diǎn)，再再綜綜合合前前四四步步討討論

21、論的的結(jié)結(jié)果果畫畫出出函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形. . 3、確定函數(shù)的增減性及凹凸性、確定函數(shù)的增減性及凹凸性（列表討論）（列表討論）第27頁/共42頁.2)1(4)(22的的圖圖形形作作函函數(shù)數(shù)例例 xxxf解解, 0: xD非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù), ,且無對稱性且無對稱性. .,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得得駐駐點(diǎn)點(diǎn), 0)( xf令令. 3 x得得特特殊殊點(diǎn)點(diǎn)x)3,( ), 0()2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐拐點(diǎn)點(diǎn)極值極值點(diǎn)點(diǎn)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)3 )926, 3( 列表列表第28頁/

22、共42頁2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ;2 y得得水水平平漸漸近近線線2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得得鉛鉛直直漸漸近近線線:補(bǔ)補(bǔ)充充點(diǎn)點(diǎn)),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(Cxyo2 3 2111 2 3 6ABC第29頁/共42頁2)1(4)(2 xxxf第30頁/共42頁.),()(內(nèi)內(nèi)具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxfNRTA0 xMxxx xyo),(:00yxA基點(diǎn)基點(diǎn),),(為為任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)yxM規(guī)定：規(guī)定：;)1(增增大大的的方方向向一一致致曲曲線線的的正正向向與與 xAMs )2(號號

23、取正號，相反時(shí)，取負(fù)取正號，相反時(shí)，取負(fù)一致時(shí)，一致時(shí)，的方向與曲線的正向的方向與曲線的正向當(dāng)當(dāng)sAM第31頁/共42頁).(xss 單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)),(yyxxN 設(shè)設(shè)如圖，如圖，22)()(yxMN .12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式NMTRA0 xxxx xyoMNs 記：記：則有：則有：xMNMNMNxMNxs 時(shí)時(shí)，取取極極限限：0 x2211ydxdydxds 第32頁/共42頁曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量。曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同

24、弧段越轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大短彎曲程度越大1.1.曲率的定義曲率的定義1 )第33頁/共42頁) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的的平平均均曲曲率率為為弧弧段段（設(shè)曲線設(shè)曲線C C是光滑的，是光滑的，.0是基點(diǎn)是基點(diǎn)M, sMM （. 切切線線轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為MM定義定義sKs 0lim曲線曲線C C在點(diǎn)在點(diǎn)M M 處的曲率處的曲率,lim0存存在在的的條條件件下下在在dsdss .dsdK 第34頁/共42頁2.2.曲率的計(jì)算公式曲率的計(jì)算公式,)(二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)設(shè)設(shè)xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctan y 有有.12dxyds 注意注

25、意:(1) 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零; ;(2)(2)圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù)圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù), ,且半徑越且半徑越小曲率越大小曲率越大. .第35頁/共42頁?42上哪一點(diǎn)的曲率最大上哪一點(diǎn)的曲率最大拋物線拋物線例例cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 顯然顯然, ,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)abx .最大最大k,)44,2(2為為拋拋物物線線的的頂頂點(diǎn)點(diǎn)又又aacbab .最最大大拋拋物物線線在在頂頂點(diǎn)點(diǎn)處處的的曲曲率率第36頁/共42頁定義定義D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(處處的的曲曲率率圓圓稱稱此此圓圓為為曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)如如圖圖作作圓圓為為半半徑徑為為圓圓心心以以使使在在凹凹的的一一側(cè)側(cè)取取一一點(diǎn)點(diǎn)處