1、活動活動1：美麗的拱橋 如圖是某公園一圓形噴水池，水流在各方向沿形狀相如圖是某公園一圓形噴水池，水流在各方向沿形狀相同的拋物線落下，如果噴頭所在處同的拋物線落下，如果噴頭所在處A A距地面距地面1.251.25米米, ,水流路水流路線最高處線最高處B B距地面距地面2.252.25米米, ,且距水池中心的水平距離為且距水池中心的水平距離為1 1米米. .試建立適當的坐標系試建立適當的坐標系, ,表示該拋物線的解析式表示該拋物線的解析式為為 , ,如果不考慮其他因素，那么水池的如果不考慮其他因素，那么水池的半徑至少要半徑至少要 米，才能使噴出的水流不致落到池外。米，才能使噴出的水流不致落到池外。

2、 2.5B(1,2.25 ）XY0BCA探究探究1:公園要建造圓形的噴水池，在水池中央公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子垂直于水面處安裝一個柱子OA，O點恰在水面點恰在水面中心，中心，OA=1.25米，由柱子頂端米，由柱子頂端A處的噴頭向處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線路線落下。為使水流較為漂亮，要求設計成水路線落下。為使水流較為漂亮，要求設計成水流在離流在離OA距離為距離為1米處達到距水面最大高度米處達到距水面最大高度2.25米。如果不計其他因素，那么水池的半徑米。如果不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，

3、才能使噴出的水流落不到池外？至少要多少米，才能使噴出的水流落不到池外？ 本題是涉及公園美化的本題是涉及公園美化的應用性問題。應用性問題。0BCA解：如圖建立坐標系，設拋物線頂點解：如圖建立坐標系，設拋物線頂點 為為B，水流落水與，水流落水與x軸交于軸交于C點。點。 由題意可知由題意可知A（，（，1.25）、）、 頂點頂點B（1，.25） XY設拋物線為設拋物線為y=a(x1)2+2.25 將點將點A坐標代入，得坐標代入，得a= 1y= (x1)2+2.25當當y= 0，即，即(x 1) 2+2.25=0時，時，x= 0.5（舍去），（舍去）， x=2.5水池的半徑至少要水池的半徑至少要2.5米

4、。米。x= 0.5（舍去）（舍去）變式變式. .要修建一個圓形噴水池要修建一個圓形噴水池, ,在池中在池中心豎直安裝一根水管心豎直安裝一根水管. .在水管的頂端在水管的頂端安裝一個噴水頭安裝一個噴水頭, ,使噴出的拋物線形使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為水柱在與池中心的水平距離為1m1m處處達到最高達到最高, ,高度為高度為3m,3m,水柱落地處離水柱落地處離池中心池中心3m,3m,水管應多長水管應多長? ?123123解解: :如圖建立直角坐標系如圖建立直角坐標系, , 點點(1,3)(1,3)是是圖中這段拋物線的頂點圖中這段拋物線的頂點. . 因此可因此可設這段拋物線對應的函數是

5、設這段拋物線對應的函數是這段拋物線經過點這段拋物線經過點(3,0)(3,0) 0=a(30=a(31) 1)2 23 3 解得解得: :因此拋物線的解析式為因此拋物線的解析式為: :y y=a(x=a(x1) 1)2 23 (0 x3)3 (0 x3)當當x=0 x=0時時,y=2.25,y=2.25答答: :水管長應為水管長應為2.25m.2.25m.3 34 4a=a=y y= (x= (x1) 1)2 23 (0 x3)3 (0 x3)3 34 4 如圖的拋物線形拱橋如圖的拋物線形拱橋,當水面在當水面在 時時,拱橋頂離水面拱橋頂離水面 2 m,水面寬水面寬 4 m,水面下降水面下降 1

6、m, 水面寬度增加多少水面寬度增加多少?l探究探究2：探究探究2 2 圖中是拋物線形拱橋，圖中是拋物線形拱橋，當水面在當水面在l時，拱頂離水時，拱頂離水面面2m，水面寬，水面寬4m，水，水面下降面下降1m，水面寬度增，水面寬度增加多少？加多少？ 分析：我們知道，二次函數的圖象是拋物線，建立適當的分析：我們知道，二次函數的圖象是拋物線，建立適當的坐標系，就可以求出這條拋物線表示的二次函數，為解題坐標系，就可以求出這條拋物線表示的二次函數，為解題簡便，以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為簡便，以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸建軸建立直角坐標系立直角坐標系42l 拋物線形拱橋，當水面

7、在拋物線形拱橋，當水面在 時，時，拱頂離水面拱頂離水面2m2m，水面寬度，水面寬度4m4m，水，水面下降面下降1m1m，水面寬度增加多少？，水面寬度增加多少？lxy0(2,-2)(-2,-2)當當 時，時，所以，水面下降所以，水面下降1m，水面的寬，水面的寬度為度為 m.3y6x62462水面的寬度增加了水面的寬度增加了m探究探究2：2axy 解：解：如圖建立如下直角坐標系如圖建立如下直角坐標系,設這條拋物設這條拋物線解析式為線解析式為21a由拋物線經過點（由拋物線經過點（2，-2），可得），可得221xy所以，這條拋物線的二次函數為：所以，這條拋物線的二次函數為：3y當水面下降當水面下降1m

8、時，水面的縱坐標為時，水面的縱坐標為 拋物線形拱橋，當水面在拋物線形拱橋，當水面在 時，時，拱頂離水面拱頂離水面2m2m，水面寬度，水面寬度4m4m，水，水面下降面下降1m1m，水面寬度增加多少？，水面寬度增加多少？lxy0(4, 0)(0,0)462水面的寬度增加了水面的寬度增加了m(2,2)2(2)2ya x解：解：如圖建立如下直角坐標系，如圖建立如下直角坐標系，設這條拋物線解析式為設這條拋物線解析式為21a由拋物線經過點（由拋物線經過點（0，0），可得），可得21(2)22yx 所以，這條拋物線的二次函數為：所以，這條拋物線的二次函數為：當當 時，時，所以，水面下降所以，水面下降1m，水

9、面的，水面的寬度為寬度為 m.1 y6262x 1y 當水面下降當水面下降1m時，水面的縱坐標為時，水面的縱坐標為X yxy00 注意注意: 在解決實際問題時在解決實際問題時,我們應建立簡單方便的平面直角坐標我們應建立簡單方便的平面直角坐標系系. 用拋物線的知識解決生活中的一些實用拋物線的知識解決生活中的一些實際問題的一般步驟：際問題的一般步驟：建立直角坐標系建立直角坐標系二次函數二次函數 問題求解問題求解 找出實際問題的答案找出實際問題的答案注意變量的取值范圍注意變量的取值范圍探究探究3:投籃問題投籃問題一場籃球賽中，小明跳起投籃，已知球出手時離地一場籃球賽中，小明跳起投籃，已知球出手時離地

10、面高面高 米，與籃圈中心的水平距離為米，與籃圈中心的水平距離為8 8米，當球出米，當球出手后水平距離為手后水平距離為4 4米時到達最大高度米時到達最大高度4 4米，設籃球米，設籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面運行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3 3米。米。209 問此球能否投中？問此球能否投中？3米米2098米米4米米4米米0048（4，4）920 xy442xay(0 x8)9200，拋物線經過點4409202a91 a44912xy(0 x8)9208yx時，當籃圈中心距離地面籃圈中心距離地面3米米此球不能投中此球不能投中如圖，建立平面如圖，建立平面 直角坐標系，直角坐標系，點（

11、點（4，4）是圖中這段拋物）是圖中這段拋物線的頂點，因此可設這段拋線的頂點，因此可設這段拋物線對應的函數為：物線對應的函數為：3如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長是是8m，寬是，寬是2m，拋物線可以用，拋物線可以用 表示表示.（1）一輛貨運卡車高）一輛貨運卡車高4m，寬，寬2m，它能通過該隧道嗎？，它能通過該隧道嗎？（2）如果該隧道內設雙行道，那么這輛貨運卡車是否可）如果該隧道內設雙行道，那么這輛貨運卡車是否可以通過？以通過？2144yx （1）卡車可以通過）卡車可以通過.提示：當提示：當x=1時，時，y =3.75, 3.7524

12、.（2）卡車可以通過）卡車可以通過.提示：當提示：當x=2時，時，y =3, 324.13131313O練習練習1252yxABAB30hA 5B 6C 8D 9河北省趙縣的趙州橋的橋拱是拋物線型，建立如圖所示的坐標系,其函數的解析式為， 當水位線在位置時，水面寬米,這時水面離橋頂的高度 是（）、米、米； 、米； 、米實際問題抽象轉化數學問題數學問題運用數學知識問題的解決問題的解決談談你的學習體會談談你的學習體會解題步驟：解題步驟：1、分析題意，把實際問題轉化為數學問題，畫出圖形。、分析題意，把實際問題轉化為數學問題，畫出圖形。2、根據已知條件建立適當的平面直角坐標系。、根據已知條件建立適當的

13、平面直角坐標系。3、選用適當的解析式求解。、選用適當的解析式求解。4、根據二次函數的解析式解決具體的實際問題。、根據二次函數的解析式解決具體的實際問題。例例1某涵洞是拋物線形，它的截面如圖所某涵洞是拋物線形，它的截面如圖所示，現測得水面寬示，現測得水面寬16m，涵洞頂點，涵洞頂點O到到水面的距離為水面的距離為24m，在圖中直角坐標系，在圖中直角坐標系內，涵洞所在的拋物線的函數關系式是什內，涵洞所在的拋物線的函數關系式是什么？么？分析：分析： 如圖，以如圖，以AB的垂直平分線為的垂直平分線為y軸，以過點軸，以過點O的的y軸的垂線為軸的垂線為x軸，建立了直角坐標系這軸，建立了直角坐標系這時，涵洞所

14、在的拋物線的頂點在原點，對稱軸時，涵洞所在的拋物線的頂點在原點，對稱軸是是y軸，開口向下，所以可設它的函數關系式軸，開口向下，所以可設它的函數關系式是是 此時只需拋物線上的一個點就此時只需拋物線上的一個點就能求出拋物線的函數關系式能求出拋物線的函數關系式)0(2aaxyAB解：如圖，以解：如圖，以AB的垂直平分線為的垂直平分線為y軸，以過點軸，以過點O的的y軸的垂線為軸的垂線為x軸，建立了直角坐標系。軸，建立了直角坐標系。 由題意，得點由題意，得點B的坐標為（的坐標為（0. .8，-2. .4），），又因為點又因為點B在拋物線上，將它的坐標代入在拋物線上，將它的坐標代入 ,得得所以所以因此，函

15、數關系式是因此，函數關系式是)0(2aaxy28 . 04 . 2a415a2415xyBA問題問題2一個涵洞成拋物線形，它的截面如圖一個涵洞成拋物線形，它的截面如圖,現測現測得，當水面寬得，當水面寬AB1.6 m時，涵洞頂點與水面時，涵洞頂點與水面的距離為的距離為2.4 m這時，離開水面這時，離開水面1.5 m處，涵處，涵洞寬洞寬ED是多少？是否會超過是多少？是否會超過1 m？解一解一解二解二解三解三探究探究3 3 圖中是拋物線形拱橋，當水面在圖中是拋物線形拱橋，當水面在 L L 時，拱時，拱頂離水面頂離水面2m2m，水面寬，水面寬4m4m，水面下降，水面下降1m1m時，水面寬度時，水面寬度

16、增加了多少？增加了多少？繼續繼續解一解一如圖所示，如圖所示， 以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為 軸，軸，建立平面直角坐標系。建立平面直角坐標系。y可設這條拋物線所表示可設這條拋物線所表示的二次函數的解析式為的二次函數的解析式為:2axy 當拱橋離水面當拱橋離水面2m時時,水面寬水面寬4m即拋物線過點即拋物線過點(2,-2)22a2 5 .0a 這條拋物線所表示的二這條拋物線所表示的二次函數為次函數為:2x5.0y 當水面下降當水面下降1m時時,水面的水面的縱坐標為縱坐標為y=-3,這時有這時有:2x5 . 03 6x m62這這時時水水面面寬寬度

17、度為為當水面下降當水面下降1m時時,水面寬水面寬度增加了度增加了m)462( 返回返回解二解二如圖所示如圖所示,以拋物線和水面的兩個交點的連線為以拋物線和水面的兩個交點的連線為x軸，以拋物線軸，以拋物線的對稱軸為的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系軸，建立平面直角坐標系.當拱橋離水面當拱橋離水面2m時時,水面寬水面寬4m即即:拋物線過點拋物線過點(2,0)22a02 5 .0a 這條拋物線所表示的二這條拋物線所表示的二次函數為次函數為:2x5.0y2 當水面下降當水面下降1m時時,水面的水面的縱坐標為縱坐標為y=-1,這時有這時有:2x5 . 012 6x m62這這時時水水面面寬寬度度為為當水

18、面下降當水面下降1m時時,水面寬水面寬度增加了度增加了m)462( 可設這條拋物線所表示可設這條拋物線所表示的二次函數的解析式為的二次函數的解析式為:2axy2 此時此時,拋物線的頂點為拋物線的頂點為(0,2)返回返回解三解三 如圖所示如圖所示,以拋物線和水面的兩個交點的連線為以拋物線和水面的兩個交點的連線為x軸，以其中軸，以其中的一個交點的一個交點(如左邊的點如左邊的點)為原點，建立平面直角坐標系為原點，建立平面直角坐標系.可設這條拋物線所表示可設這條拋物線所表示的二次函數的解析式為的二次函數的解析式為:2)2x(ay2 拋物線過點拋物線過點(0,0)2)2(a02 5 .0a 這條拋物線所

19、表示的二這條拋物線所表示的二次函數為次函數為:2)2x(5 . 0y2 當水面下降當水面下降1m時時,水面的水面的縱坐標為縱坐標為y=-1,這時有這時有:2)2x(5 . 012 62x,62x21 m62xx12 當水面下降當水面下降1m時時,水面寬水面寬度增加了度增加了m)462( 此時此時,拋物線的頂點為拋物線的頂點為(2,2)這時水面的寬度為這時水面的寬度為:返回返回 例例:某工廠大門是一拋物線形的水泥建筑物某工廠大門是一拋物線形的水泥建筑物,大門底部寬大門底部寬AB=4m,頂部頂部C離地面的高度為離地面的高度為4.4m,現有載滿貨物的汽車欲通過大門現有載滿貨物的汽車欲通過大門,貨物頂

20、貨物頂部距地面部距地面2.7m,裝貨寬度為裝貨寬度為2.4m.這輛汽車能否這輛汽車能否順利通過大門順利通過大門?若能若能,請你通過計算加以說明請你通過計算加以說明;若若不能不能,請簡要說明理由請簡要說明理由.解：如圖，以解：如圖，以AB所在的直線為所在的直線為x軸，軸，以以AB的垂直平分線為的垂直平分線為y軸，建立平面軸，建立平面直角坐標系直角坐標系.AB=4A(-2,0) B(2,0)OC=4.4 C(0,4.4)設拋物線所表示的二次函數為設拋物線所表示的二次函數為4 . 4axy2 拋物線過拋物線過A(-2,0)04 . 4a4 1 . 1a 拋物線所表示的二次函數為拋物線所表示的二次函數

21、為4 . 4x1 . 1y2 7 . 2816. 24 . 42 . 11 . 1y2 . 1x2 時，時，當當汽車能順利經過大門汽車能順利經過大門.一座拱橋的示意圖如圖，當水面寬一座拱橋的示意圖如圖，當水面寬4m4m時，橋洞頂部離水時，橋洞頂部離水面面2m2m。已知橋洞的拱形是拋物線，（。已知橋洞的拱形是拋物線，（1 1）求該拋物線的）求該拋物線的函數解析式。函數解析式。（2 2）若水面下降若水面下降1米，水面寬增加多少米？米，水面寬增加多少米？ 探究活動:M M2m2mA AB B4m4m首先要建立適當的平面直角坐標系首先要建立適當的平面直角坐標系你認為首先要做的工作是什么你認為首先要做的工作是什么?ABMxyo解法一解法一：（：（1）以水面）以水面AB所在的直線為所在的直線為x軸，以軸，以AB的垂直平分線為的垂直平分線為y軸建立平面直軸建立平面直角坐標系。角坐標系。設拋物線的解析式為：設拋物線的解析式為：y=ax2+c(a0)拋物線過（拋物線過（2，0），（），（0，2）點）點4a+c=0 a=-0.5 即解析式為：即解析式為：y=-0.5x2+2c=2 c=2 （2）水面下降）水面下降1米，即當米，即當y=-1時時 -0.5x2+2=-1 解得解得x1=-6 x2=6CD=x1-x2=26水面寬增加水面寬增加 CD-AB=（26-4）米）米C