1、復合函數問題一、復合函數定義：設 y=f(u) 的定義域為a，u=g(x) 的值域為b，若 a b，則 y 關于 x 函數的 y=fg(x) 叫做函數f 與 g的復合函數，u 叫中間量 .二、復合函數定義域問題： (1) 、已知fx( )的定義域，求f g x( )的定義域思路：設函數fx( )的定義域為d，即xd，所以f的作用范圍為d，又 f 對g x( )作用，作用范圍不變，所以dxg)(，解得xe，e為f g x( )的定義域。例 1. 設函數f u( )的定義域為（0，1） ，則函數fx(ln)的定義域為 _。解析：函數f u( )的定義域為（ 0，1）即u()01，所以f的作用范圍為

2、（0， 1）又 f 對 lnx 作用，作用范圍不變，所以01ln x解得xe()1，故函數fx(ln)的定義域為（ 1， e）例 2. 若函數fxx( )11，則函數ff x( )的定義域為 _。解析：先求f 的作用范圍，由fxx( )11，知x1即 f 的作用范圍為xr x|1，又 f 對 f(x)作用所以f xrf x( )( )且1，即ff x( )中 x應滿足xfx11( )即xx1111，解得xx12且故函數ffx( )的定義域為xr xx|12且（2） 、已知f g x( )的定義域，求fx( )的定義域思路：設f g x( )的定義域為d，即xd，由此得g xe( )，所以 f

3、的作用范圍為e，又 f 對 x 作用，作用范圍不變，所以xee，為f x( )的定義域。例 3. 已知fx()32的定義域為x12，則函數fx( )的定義域為 _。解析：fx()32的定義域為12，即x12，由此得3215x，所以 f 的作用范圍為15，又 f 對 x 作用，作用范圍不變，所以x15，即函數fx( )的定義域為15，例 4. 已知fxxx()lg22248， 則函數fx( )的定義域為 -解析：先求f 的作用范圍，由fxxx()lg22248，知xx2280解得x244，f 的作用范圍為()4，又 f 對 x 作用，作用范圍不變，所以x()4，即fx( )的定義域為()4，（3

4、） 、已知f g x( )的定義域，求f h x( )的定義域思路：設f g x( )的定義域為d，即xd，由此得g xe( )，f的作用范圍為e，又 f 對h x( )作用，作用范圍不變，所以h xe( )，解得xf，f 為f h x( )的定義域。例 5. 若函數fx()2的定義域為11，則fx(log)2的定義域為 _。解析：fx()2的定義域為11，即x11，由此得2122x，f的作用范圍為122，又 f 對log2x作用，所以log2122x，解得x24，即fx(log)2的定義域為24，評注：函數定義域是自變量x 的取值范圍（用集合或區間表示）f 對誰作用，則誰的范圍是f 的作用范

5、圍， f 的作用對象可以變，但f 的作用范圍不會變。利用這種理念求此類定義域問題會有“得來全不費功夫”的感覺，值得大家探討。三、復合函數單調性問題（1）引理證明已知函數)(xgfy. 若)(xgu在區間ba,(）上是減函數， 其值域為 (c ，d)，又函數)(ufy在區間 (c,d) 上是減函數，那么，原復合函數)(xgfy在區間ba,(）上是增函數 .證明：在區間ba,(）內任取兩個數21,xx，使bxxa21因 為)(xgu在 區間ba,(） 上是 減函數，所 以)()(21xgxg, 記)(11xgu, )(22xgu即),(,21,21dcuuuu且因為函數)(ufy在區間 (c,d)

6、上是減函數，所以)()(21ufuf, 即)()(21xgfxgf，故函數)(xgfy在區間ba,(）上是增函數.（2） 復合函數單調性的判斷復合函數的單調性是由兩個函數共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結成一個圖表：)(ufy增 減 )(xgu增 減 增 減 )(xgfy增 減 減 增 以上規律還可總結為： “同向得增，異向得減”或“同增異減”.（3）、復合函數)(xgfy的單調性判斷步驟：確定函數的定義域；將復合函數分解成兩個簡單函數：)(ufy與)(xgu。分別確定分解成的兩個函數的單調性；若兩個函數在對應的區間上的單調性相同（即都是增函數，或都是減函數） ，則復合后的函數)(xgfy

7、為增函數；若兩個函數在對應的區間上的單調性相異（即一個是增函數，而另一個是減函數），則復合后的函數)(xgfy為減函數。（4）例題演練例 1、 求函數)32(log221xxy的單調區間，并用單調定義給予證明解：定義域130322xxxx或單調減區間是), 3(設2121),3(,xxxx且則) 32(log121211xxy)32(log222212xxy)32(121xx) 32(222xx=)2)(1212xxxx312xx012xx0212xx)32(121xx) 32(222xx又底數1210012yy即12yyy在),3(上是減函數同理可證：y在) 1,(上是增函數例 2、討論函數

8、)123(log)(2xxxfa的單調性 .解由01232xx得函數的定義域為.31, 1|xxx或則當1a時，若1x，1232xxu為增函數，)123(log)(2xxxfa為增函數 .若31x，1232xxu為減函數 .) 123(log)(2xxxfa為減函數。當10a時 ，若1x， 則) 123(log)(2xxxfa為 減 函 數 ， 若31x， 則) 123(log)(2xxxfa為增函數 .例 3、. 已知 y=alog(2-xa) 在 0，1上是 x 的減函數，求a 的取值范圍 .解： a0 且 a1當 a1 時，函數t=2-xa0是減函數由 y=alog (2-xa) 在 0

9、，1上 x 的減函數，知y=alogt 是增函數，a1由 x0，1時， 2-xa2-a 0, 得 a2,1a2當 0a0是增函數由 y=alog (2-xa) 在 0，1上 x 的減函數，知y=alogt 是減函數，0a1由 x0，1時， 2-xa2-1 0, 0a1綜上述， 0a1 或 1a2例 4、已知函數2) 3()2(2axaaxxf（a為負整數）的圖象經過點rmm),0,2(，設)()()(),()(xfxpgxfxffxg. 問是否存在實數)0( pp使得)(xf在區間)2(,(f上是減函數，且在區間)0),2( f上是減函數并證明你的結論。解析由已知0)2(mf，得02) 3(2

10、amaam，其中.0,arm0即09232aa，解得.37213721aa為負整數，. 1a1)2(34)2(2xxxxf，即.1)(2xxf242221) 1()()(xxxxffxg，.1)12()()()(24xppxxfxpgxf假設存在實數)0(pp，使得)(xf滿足條件，設21xx，.12)()()()(2221222121pxxpxxxfxf3)2(f，當)3,(,21xx時，)(xf為減函數，0)()(21xfxf，.012)(,022212221pxxpxx3, 321xx, 182221xx,11612)(2221ppxxp,.0116 p當)0, 3(,21xx時,)(x

11、f增函數 ,. 0)()(21xfxf02221xx, 11612)(2221ppxxp,0116 p. 由、可知161p，故存在.161p一指數函數與對數函數同底的指數函數xya與對數函數logayx互為反函數；（二）主要方法：1解決與對數函數有關的問題，要特別重視定義域；2指數函數、對數函數的單調性決定于底數大于1 還是小于1，要注意對底數的討論；3比較幾個數的大小的常用方法有：以0和1為橋梁；利用函數的單調性；作差（三）例題分析：例 1 （1）若21aba，則logbba，logba，logab從小到大依次為；（2）若235xyz，且x，y，z都是正數，則2x，3y，5z從小到大依次為；

12、（3）設0 x，且1xxab（0a，0b） ，則a與b的大小關系是（）（a）1ba（b）1ab（c）1ba（d）1ab解： （1）由21aba得baa，故logbbalogba1logab（2）令235xyzt，則1t，lglg 2tx，lglg 3ty，lglg 5tz，2lg3lglg(lg9lg8)230lg 2lg3lg 2 lg3tttxy，23xy；同理可得：250 xz，25xz，325yxz （3）取1x，知選（b） 例 2已知函數2( )1xxf xax(1)a，求證：（1）函數( )f x在( 1,)上為增函數；（2）方程( )0f x沒有負數根證明：（1）設121xx，則

13、1212121222()()11xxxxfxfxaaxx121212121212223()11(1)(1)xxxxxxxxaaaaxxxx，121xx，110 x，210 x，120 xx，12123()0(1)(1)xxxx；121xx，且1a，12xxaa，120 xxaa，12()()0f xf x，即12()()f xf x，函數( )f x在( 1,)上為增函數；（2）假設0 x是方程( )0f x的負數根，且01x，則000201xxax，即00000023(1)31111xxxaxxx，當010 x時，0011x，0331x，03121x，而由1a知01xa，式不成立；當01x時

14、，010 x，0301x，03111x，而00 xa，式不成立綜上所述，方程( )0f x沒有負數根例 3已知函數( )log (1)xaf xa（0a且1a） 求證：（1）函數( )f x的圖象在y軸的一側；（2）函數( )f x圖象上任意兩點連線的斜率都大于0證明：（1）由10 xa得：1xa，當1a時，0 x，即函數( )f x的定義域為(0,)，此時函數( )f x的圖象在y軸的右側；當01a時，0 x，即函數( )f x的定義域為(,0)，此時函數( )f x的圖象在y軸的左側函數( )f x的圖象在y軸的一側；（2）設11(,)a x y、22(,)b xy是函數( )f x圖象上

15、任意兩點，且12xx，則直線ab的斜率1212yykxx，1122121log (1)log (1)log1xxxaaaxayyaaa，當1a時，由（ 1）知120 xx，121xxaa，12011xxaa，121011xxaa，120yy，又120 xx，0k；當01a時，由（ 1）知120 xx，121xxaa，12110 xxaa，12111xxaa，120yy，又120 xx，0k函數( )f x圖象上任意兩點連線的斜率都大于0同步練習（二）同步練習：1、 已知函數)x(f的定義域為 1, 0，求函數)x(f2的定義域。答案： 1, 12、 已知函數)x23(f的定義域為3, 3，求)

16、x(f的定義域。答案：9, 33、 已知函數)2x(fy的定義域為)0, 1(，求|)1x2(|f的定義域。答案：)23, 1()0,21(4、設xxxf22lg，則xfxf22的定義域為（） a. 4 ,00, 4 b. 4 ,11,4c. 2 , 11,2 d. 4,22,4解 ： 選c. 由202xx得 ，( )f x的 定 義 域 為| 22xx。 故22,2222.xx， 解 得4, 11,4x。故xfxf22的定義域為4, 11,45、已知函數)(xf的定義域為)23,21(x，求)0)()()(aaxfaxfxg的定義域。解析由已知，有.232,2321,2321,2321axa

17、axaaxax（1）當1a時，定義域為2321|xx；（2）當aa2323，即10a時，有221aa，定義域為232|axax；（3）當aa2323，即1a時，有221aa，定義域為2321|axax.故當1a時，定義域為2321|axax；當10a時，定義域為.232|axax點評對于含有參數的函數，求其定義域，必須對字母進行討論，要注意思考討論字母的方法。練習二（5）同步練習：1函數y21log（x23x 2）的單調遞減區間是（）a （， 1）b （2，）c （，23）d （23，）解析： 先求函數定義域為（o，1）（ 2，），令t（x）x23x2，函數t（x）在（，1）上單調遞減，在（2

18、，）上單調遞增，根據復合函數同增異減的原則，函數y21log（x23x 2）在（ 2，）上單調遞減答案： b2 找出下列函數的單調區間.（1）)1(232aayxx；（2）.2322xxy答案： (1) 在23,(上是增函數，在),23上是減函數。（2）單調增區間是 1 , 1，減區間是 3, 1 。3、討論)0,0(),1(logaaayxa且的單調性。答案：, 1a時),0(為增函數，01a時，)0,(為增函數。4求函數y31log（x25x4）的定義域、值域和單調區間解： 由（x）x25x40，解得x4 或x1，所以x（， 1）（ 4，），當x（， 1）（ 4，）， x25x4 r，所以

19、函數的值域是r因為函數y31log（x25x4）是由y31log（x）與（x）x25x4 復合而成，函數y31log（x）在其定義域上是單調遞減的，函數（x）x25x 4 在（，25）上為減函數，在25，上為增函數考慮到函數的定義域及復合函數單調性，y31log（x25x4）的增區間是定義域內使y31log（x）為減函數、（x）x25x4 也為減函數的區間，即（，1） ；y31log（x25x4）的減區間是定義域內使y31log（x）為減函數、（x）x25x4 為增函數的區間，即（4，）變式練習一、選擇題1函數f（x）) 1(log21x的定義域是（） a （1，）b （2，） c （， 2）

20、d21 ( ，解析： 要保證真數大于0，還要保證偶次根式下的式子大于等于0，所以0)1(log0121xx解得 1x2答案： d2函數y21log（x23x 2）的單調遞減區間是（） a （， 1）b （2，） c （，23）d （23，）解析： 先求函數定義域為（o，1）（ 2，），令t（x）x23x2，函數t（x）在（，1）上單調遞減，在（2，）上單調遞增，根據復合函數同增異減的原則，函數y21log（x23x 2）在（ 2，）上單調遞減答案： b3若 2lg（x2y）lgxlgy，則xy的值為（） a4 b1 或41 c1 或 4 d41錯解： 由 2lg（x2y）lgxlgy，得（x2

21、y）2xy，解得x4y或xy，則有xy41或yx1答案： 選 b正解： 上述解法忽略了真數大于0 這個條件，即x2y0，所以x2y所以xy舍掉只有x4y答案： d4若定義在區間（1，0）內的函數f（x）a2log（x1）滿足f（x） 0，則a的取值范圍為（） a （0，21）b （0，1） c （21，）d （0，）解析： 因為x（ 1，0） ，所以x 1（ 0，1） 當f（x） 0 時，根據圖象只有02al ，解得 0a21（根據本節思維過程中第四條提到的性質）答案： a5函數ylg（x121）的圖象關于（） ay軸對稱bx軸對稱 c原點對稱d直線yx對稱解析：ylg（x121）xx11lg

22、，所以為奇函數形如yxx11lg或yxx11lg的函數都為奇函數答案： c二、填空題已知yalog（2ax）在 0，1上是x的減函數，則a的取值范圍是 _解析：a0 且a 1（x） 2ax是減函數，要使yalog（ 2ax）是減函數，則a1，又2ax0ax2（0 x1）a2，所以a（ 1，2） 答案：a（ 1，2）7函數f（x）的圖象與g（x）（31）x的圖象關于直線yx對稱，則f（2xx2）的單調遞減區間為 _解析： 因為f（x）與g（x）互為反函數，所以f（x）31log x則f（2xx2）31log（2xx2） ，令（x） 2xx20，解得 0 x2（x） 2xx2在（ 0，1）上單調遞

23、增，則f（x） 在（ 0，1）上單調遞減；（x） 2xx2在（ 1，2）上單調遞減，則f（x） 在 1，2）上單調遞增所以f（ 2xx2）的單調遞減區間為（0，1） 答案： （0，1）8已知定義域為r的偶函數f（x）在 0，上是增函數，且f（21） 0，則不等式f（log4x） 0 的解集是 _解析： 因為f（x）是偶函數，所以f（21）f（21） 0又f（x）在 0，上是增函數，所以f（x）在（，0）上是減函數所以f（log4x） 0log4x21或 log4x21解得x 2 或 0 x21答案：x2 或 0 x21三、解答題9求函數y31log（x25x4）的定義域、值域和單調區間解：由（x）x25x