1、高三數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)函數(shù)的奇偶性與周期性一、選擇題：(本大題共6 小題，每小題6 分，共 36 分，將正確答案的代號填在題后的括號內(nèi)) 1定義在 r 上的函數(shù)f(x)滿足： f(x) f(x2)13，f(1)2，則 f(99) () a13 b2 c.132d.213解析： 由 f(x) f(x2)13，知 f(x 2) f(x4)13，所以 f(x4)f(x)，即 f(x)是周期函數(shù)，周期為4.所以 f(99)f(3424)f(3)13f(1)132. 答案： c 2(2010 鄭州 )定義在 r 上的函數(shù)f(x)滿足：對于任意 ， r，總有 f( )f( ) f( )2010，則下列說法正確的

2、是() af(x)1 是奇函數(shù)bf(x) 1 是奇函數(shù)cf(x) 2010 是奇函數(shù)df(x)2010 是奇函數(shù)解析： 依題意，取 0，得 f(0) 2010；取 x， x，得 f(0) f(x)f(x)2010， f(x)2010 f(x)f(0) f(x)2010，因此函數(shù)f(x)2010 是奇函數(shù)，選d. 答案： d 3設(shè) f(x)是定義在r 上以 2 為周期的偶函數(shù)，已知x(0,1)時， f(x) log12(1x)，則函數(shù)f(x)在(1,2)上() a是增函數(shù)，且f(x)0 c是減函數(shù)，且f(x)0 解析： 由題意得當(dāng)x(1,2) 時， 02x1,0 x10，則可知當(dāng)x (1,2)時

3、， f(x)是減函數(shù)，選d. 答案： d 4設(shè) f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x0 時是單調(diào)函數(shù)，則滿足f(x)fx3x4的所有 x 之和為 () a 3 b3 c 8 d8 解析： 因?yàn)?f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，且 x0 時是單調(diào)函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)可知若f(x)fx3x4，只有兩種情況： xx3x4； xx3x4 0. 由知 x23x30，故兩根之和為x1 x2 3. 由知 x25x30，故其兩根之和為x3x4 5. 因此滿足條件的所有x 之和為 8. 答案： c 5已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間 3,7上是增函數(shù)，且最小值為5，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間 7， 3上() a是增函數(shù)且最小值為5 b是

4、增函數(shù)且最大值為5 c是減函數(shù)且最小值為5 d是減函數(shù)且最大值為5 解析： f(x)為奇函數(shù)， f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱f(x)在3,7 上是增函數(shù)，f(x)在7， 3上也是增函數(shù)f(x)在3,7 上的最小值為5，由圖可知函數(shù)f(x)在 7， 3上有最大值5. 答案： b 評析： 本題既涉及到函數(shù)的奇偶性，又涉及到函數(shù)的單調(diào)性，還涉及到函數(shù)的最值，是一道綜合性較強(qiáng)的題目，由于所給的函數(shù)沒有具體的解析式，因此我們畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間 3,7上的示意圖，由圖形易得結(jié)論6(2010 新課標(biāo)全國 )設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足 f(x) x38(x0)，則 x|f(x2)0 () ax|x4 b x|x4

5、 cx|x6 dx|x2 解析： 當(dāng) x0，f(x)(x)38 x38，又 f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x) x38，f(x)x38，x0 x3 8，x0. f(x2)(x2)38，x2(x2)38， x0或x0，解得 x4 或 x0.故選 b. 答案： b 二、填空題：(本大題共4 小題，每小題6 分，共 24 分，把正確答案填在題后的橫線上) 7(2010 江蘇 )設(shè)函數(shù) f(x)x(exaex)(xr)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a 的值為 _解析： 設(shè) g(x)x， h(x) ex aex，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)x 是奇函數(shù)，則由題意知，函數(shù)h(x)exaex為奇函數(shù)，又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閞，h(

6、0)0，解得 a 1. 答案： 1 8已知函數(shù)f(x1)是奇函數(shù)， f(x1)是偶函數(shù)，且f(0)2，則 f(4)_. 解析： 依題意有f(x1) f(x1)，f(x1)f(x1)，所以 f(4)f(3)1) f(2) f(11) f(0) 2. 答案： 2 9(2010 湖北八校 )設(shè)函數(shù) f(x)的定義域、值域分別為a、 b，且 ab 是單元集，下列命題若 ab a，則 f(a)a；若 b 不是單元集，則滿足ff(x)f(x)的 x 值可能不存在；若 f(x)具有奇偶性，則f(x)可能為偶函數(shù)；若 f(x)不是常數(shù)函數(shù)，則f(x)不可能為周期函數(shù)其中，正確命題的序號為_解析： 如 f(x)

7、 x1，a1,0，b0,1滿足 ab0 ，但 f(0)0，且滿足ff(x)f(x)的 x 可能不存在， 錯， 正確；如， f(x)1，ar，b 1 ，則 f(x) 1，ar 是偶函數(shù)， 正確；如f(x) x2k1， a2k1,2k， b0,1 ，kz，f(x)是周期函數(shù)，但不是常數(shù)函數(shù)，所以錯誤答案： 10對于定義在r 上的函數(shù)f(x)，有下述四個命題，其中正確命題的序號為_若 f(x)是奇函數(shù)，則f(x 1)的圖象關(guān)于點(diǎn)a(1,0)對稱；若對 xr，有 f(x1)f(x1)，則 yf(x)的圖象關(guān)于直線x1 對稱；若函數(shù)f(x1)的圖象關(guān)于直線x1 對稱，則f(x)為偶函數(shù)；函數(shù) yf(1x

8、)與函數(shù) yf(1x)的圖象關(guān)于直線x1 對稱解析：f(x1)的圖象是由f(x)的圖象向右平移一個單位而得到，又 f(x)是奇函數(shù)， 其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以 f(x1)的圖象關(guān)于點(diǎn)a(1,0)對稱，故 正確；由 f(x1)f(x1)可知 f(x)的周期為2，無法判斷其對稱軸，故 錯誤；f(x1)的圖象關(guān)于直線x1 對稱，則f(x)關(guān)于 y 軸對稱，故f(x)為偶函數(shù)， 正確；y f(1x)的圖象是由yf(x)的圖象向左平移一個單位后得到，yf(1x)是由 y f(x)的圖象關(guān)于y 軸對稱后再向右平移一個單位而得到，兩者圖象關(guān)于y 軸對稱，故 錯誤答案： 三、解答題：(本大題共3 小題， 11

9、、 12 題 13 分， 13 題 14 分，寫出證明過程或推演步驟) 11已知定義域?yàn)閞 的函數(shù) f(x)2xb2x1a是奇函數(shù)(1)求 a、b 的值；(2)若對任意的tr，不等式f(t22t)f(2t2 k)0 恒成立，求k 的取值范圍分析： (1)由 f(0)0 可求得 b，再由特殊值或奇函數(shù)定義求得a；(2)先分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號f，然后用判別式解決恒成立問題解： (1)因?yàn)?f(x)是定義在r 上的奇函數(shù)，所以 f(0)0，即b1a2 0? b1，所以 f(x)1 2xa2x1，又由 f(1) f(1) 知12a4112a1? a2. (2)由(1)知 f

10、(x)12x22x11212x1，易知 f(x)在(， )上為減函數(shù)又因 f(x)是奇函數(shù)，從而不等式：f(t22t)f(2t2k)0 等價于f(t22t)k 2t2，即對 tr 有：3t22tk0，從而 412k0? k13. 12設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閞，對于任意的實(shí)數(shù)x，y，都有 f(xy)f(x)f(y)，當(dāng) x0 時， f(x) 0，求證： (1)f(x)為奇函數(shù)； (2)f(x)在(， )上是減函數(shù)證明： (1)令 xy0，得 f(0)f(0)f(0)，f(0)0. 再令 y x，得 f(0)f(x)f(x)，f(x) f(x)，f(x)為奇函數(shù)(2)設(shè) x1、x2(， )且 x1x2，則 x2x10，當(dāng) x0 時， f(x)0，f(x2x1)0. 又對于任意的實(shí)數(shù)x，y 都有 f(xy)f(x)f(y)且 f(x)為奇函數(shù)，f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，f(x)在(， )上是減函數(shù)13設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足f(x1x2)f(x1)f(x2)1f(x2) f(x1)；存在正常數(shù)a，使 f(a)1. 求證： (1)f(x)是奇函數(shù)；(2)f(x)是周期函數(shù)，并且有一個周期為4a. 證明： (1)不妨令 xx1x2，則f(x)