1、第8講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.根式n次方根概念如果xn=a,那么x叫作a的,其中n>1,nn* 性質(zhì)當(dāng)n是時(shí),a的n次方根為x= na當(dāng)n是時(shí),正數(shù)a的n次方根為x=±na,負(fù)數(shù)的偶次方根 0的任何次方根都是0,記作n0=0根式概念式子na叫作,其中n叫作,a叫作 性質(zhì)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),nan= 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),nan=|a|= 2.有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:amn=nam(a>0,m,nn*,且n>1).正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:a-mn=1amn=1nam(a>0,m,nn*,且n>1

2、).0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪. (2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)aras=(a>0,r,sq); (ar)s=(a>0,r,sq); (ab)r=(a>0,b>0,rq). 3.指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)y=ax(a>0且a1)a>10<a<1圖像定義域r值域 性質(zhì)過定點(diǎn) 當(dāng)x>0時(shí),; 當(dāng)x<0時(shí), 當(dāng)x>0時(shí),; 當(dāng)x<0時(shí), 在r上是 在r上是 常用結(jié)論1.函數(shù)y=ax+b(a>0且a1)的圖

3、像恒過定點(diǎn)(0,1+b).2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a1)的圖像以x軸為漸近線. 題組一常識(shí)題1.教材改編 若x+x-1=3,則x2-x-2=. 2.教材改編 已知2x-1<23-x,則x的取值范圍是. 3.教材改編 函數(shù)y=ax-1+2(a>0且a1)的圖像恒過定點(diǎn). 4.教材改編 下列所給函數(shù)中值域?yàn)?0,+)的是. y=-5x;y=131-x;y=12x-1;y=1-2x.題組二常錯(cuò)題索引:忽略n的范圍導(dǎo)致式子nan(ar)化簡出錯(cuò);不能正確理解指數(shù)函數(shù)的概念致錯(cuò);指數(shù)函數(shù)問題時(shí)刻注意底數(shù)的兩種情況;復(fù)合函數(shù)問題容易忽略指數(shù)函

4、數(shù)的值域致錯(cuò).5.計(jì)算3(1+2)3+4(1-2)4=. 6.若函數(shù)f(x)=(a2-3)·ax為指數(shù)函數(shù),則a=. 7.若函數(shù)f(x)=ax在-1,1上的最大值為2,則a=. 8.函數(shù)y=21x-1的值域?yàn)? 探究點(diǎn)一指數(shù)冪的化簡與求值例1 (1)計(jì)算:823-780+4(3-)4+(-2)612=. (2)已知x12+x-12=5,則x2+x-2-6x+x-1-5的值為.    總結(jié)反思 指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則:(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,以便利用法則計(jì)算.(2)

5、先乘除后加減,負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是負(fù)數(shù),先確定符號(hào);底數(shù)是小數(shù),先化成分?jǐn)?shù);底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的,先化成假分?jǐn)?shù).(4)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).變式題 (1)計(jì)算:2x-1312x13+x43=()a.3b.2c.2+xd.1+2x(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的兩根,且a>b>0,則a-ba+b=. 探究點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用例2 (1)函數(shù)y=xax|x|(a>1)的圖像大致是()a bc d圖2-8-1(2)2018·遼陽一模 設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-1|,x2,-x+5,x>2,

6、若互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c滿足f(a)=f(b)=f(c),則2a+2b+2c的取值范圍是()a.(16,32)b.(18,34)c.(17,35)d.(6,7)   總結(jié)反思 (1)研究指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a1)的圖像要抓住三個(gè)特殊點(diǎn):(1,a),(0,1),-1,1a.(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖像問題的研究,往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖像,通過平移、對稱變換得到其圖像.(3)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往結(jié)合相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像,利用數(shù)形結(jié)合求解.變式題 (1)已知函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的圖像如圖2-8-2所示,則函

7、數(shù)g(x)=ax+b的圖像大致是()圖2-8-2abcd圖2-8-3(2)函數(shù)f(x)=|ax+b|(a>0,a1,br)的圖像如圖2-8-4所示,則a+b的取值范圍是. 圖2-8-4探究點(diǎn)三利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題微點(diǎn)1比較指數(shù)式的大小例3 (1)2018·凱里一中二模 已知a=0.5-2.1,b=20.5,c=0.22.1,則a,b,c的大小關(guān)系是()a.c<b<ab.b<c<ac.b<a<cd.c<a<b(2)2018·杭州一中模擬 已知0<a<b<1,則()a.(1-a)1b&g

8、t;(1-a)bb.(1-a)b>(1-a)b2c.(1+a)a>(1+b)bd.(1-a)a>(1-b)b  總結(jié)反思 指數(shù)式的大小比較,依據(jù)的就是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,原則上化為同底的指數(shù)式,并要注意底數(shù)范圍是(0,1)還是(1,+),若不能化為同底,則可化為同指數(shù),或利用中間變量比較.微點(diǎn)2解簡單的指數(shù)方程或不等式例4 (1)已知函數(shù)f(x)=a+14x+1的圖像過點(diǎn)1,-310,若-16f(x)0,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是. (2)方程4x+|1-2x|=11的解為.   總結(jié)反思 (1)af(x)=ag(x)f(x)=g(x

9、).(2)af(x)>ag(x),當(dāng)a>1時(shí),等價(jià)于f(x)>g(x);當(dāng)0<a<1時(shí),等價(jià)于f(x)<g(x).(3)有些含參指數(shù)不等式,需要分離變量,轉(zhuǎn)化為求有關(guān)函數(shù)的最值問題.微點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題例5 (1)2018·遵義聯(lián)考 函數(shù)f(x)=a+bex+1(a,br)是奇函數(shù),且圖像經(jīng)過點(diǎn)ln3,12,則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?) a.(-1,1)b.(-2,2)c.(-3,3)d.(-4,4)(2)已知f(x)=2x-a2x+1(ar)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,若存在x0,1,使不等式f(x)+2x-b2x+1<0成立,則實(shí)數(shù)b的

10、取值范圍為.    總結(jié)反思 指數(shù)函數(shù)的綜合問題,主要涉及單調(diào)性、奇偶性、最值問題,應(yīng)在有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決,而指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的重點(diǎn)是單調(diào)性,注意利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.應(yīng)用演練1.【微點(diǎn)1】已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,則()a.a>b>cb.a>c>bc.c>a>bd.b>c>a2.【微點(diǎn)1】2018·河南八市聯(lián)考 設(shè)函數(shù)f(x)=x2-a與g(x)=ax(a>1且a2)在區(qū)間(0,+)上具有不同的單調(diào)性,則m=(a-1)0.2與n=1a0

11、.1的大小關(guān)系是()a.m=nb.mnc.m<nd.m>n3.【微點(diǎn)2】當(dāng)x(-,-1時(shí),不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()a.(-1,2)b.(-4,3)c.(-3,4)d.(-2,1)4.【微點(diǎn)2】若關(guān)于x的方程|ax-1|=2a(a>0且a1)有兩個(gè)不等實(shí)根,則a的取值范圍是()a.(0,1)(1,+)b.(0,1)c.(1,+)d.0,125.【微點(diǎn)3】已知函數(shù)f(x)=b·ax(其中a,b為常數(shù),且a>0,a1)的圖像經(jīng)過點(diǎn)a(1,6),b(3,24).若不等式1ax+1bx-m0,x(-,1恒成立,則

12、實(shí)數(shù)m的取值范圍為. 第8講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)考試說明 1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義,了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義,掌握冪的運(yùn)算.2.指數(shù)函數(shù)(1)了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景.(2)理解指數(shù)函數(shù)的概念,理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點(diǎn),會(huì)畫底數(shù)為2,3,10,12,13的指數(shù)函數(shù)的圖像.(3)知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.【課前雙基鞏固】知識(shí)聚焦1.n次方根奇數(shù)偶數(shù)沒有意義根式根指數(shù)被開方數(shù)aa(a0),-a(a<0)2.(1)0沒有意義(2)ar+sarsarbr3.(0,+)(0,1)y>10<y<10<y<1y>1增函數(shù)減函數(shù)對

13、點(diǎn)演練1.±35解析 把x+x-1=3兩邊平方,可得x2+x-2=7,則(x-x-1)2=x2-2+x-2=5,所以x-x-1=±5,所以x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±35.2.(-,2)解析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì),得x-1<3-x,解得x<2,所以x的取值范圍是(-,2).3.(1,3)解析 令x-1=0,得x=1,此時(shí)y=a0+2=3,所以函數(shù)圖像恒過定點(diǎn)(1,3).4.解析 對于,1-xr,y=131-x的值域是(0,+);的值域?yàn)?-,0);的值域?yàn)?,+);的值域?yàn)?,1).5.22解析 3(1+2)3+4(1-2)4=1+2+|

14、1-2|=22.6.2解析 由指數(shù)函數(shù)的定義可得a2-3=1,a>0,a1,解得a=2.7.2或12解析 若a>1,則f(x)max=f(1)=a=2;若0<a<1,則函數(shù)f(x)max=f(-1)=a-1=2,得a=12.8.y|y>0且y1解析 函數(shù)的定義域?yàn)閤|x1,因?yàn)?x-10,所以y1,又指數(shù)函數(shù)y=2x的值域?yàn)?0,+),故所求函數(shù)的值域?yàn)閥|y>0且y1.【課堂考點(diǎn)探究】例1思路點(diǎn)撥 (1)直接利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解即可,解答過程中注意避免符號(hào)錯(cuò)誤;(2)由已知平方得x+x-1的值,再平方可得x2+x-2的值,最后代入求值.(1)+8(2)

15、-12解析 (1)823-780+4(3-)4+(-2)612=23×23-1+(-3)+26×12=22-1+-3+23=4+-4+8=+8.(2)由已知可得x+x-1=(x12+x12)2-2=3,則x2+x-2=(x+x-1)2-2=7,故原式=7-63-5=-12.變式題(1)d(2)55解析 (1)原式=2x13·12x13+2x13·x43=1+2x.(2)由已知得,a+b=6,ab=4,所以a-ba+b2=a+b-2aba+b+2ab=6-246+24=15.因?yàn)閍>b>0,所以a>b,所以a-ba+b=55.例2思路點(diǎn)撥

16、 (1)化簡所給的解析式,然后結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷;(2)作出函數(shù)圖像,結(jié)合圖像可知2a+2b=2,再分析2c的范圍求解.(1)b(2)b解析 (1)由題意得y=xax|x|=ax,x>0,-ax,x<0.a>1,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)為增函數(shù);當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)為減函數(shù).結(jié)合各選項(xiàng)可得b滿足題意.故選b.(2)畫出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示.不妨令a<b<c,則1-2a=2b-1,則2a+2b=2.結(jié)合圖像可得4<c<5,故16<2c<32,18<2a+2b+2c<34.故選b.變式題(1)a(2)(0,+)解析 (1)由函數(shù)

17、f(x)=(x-a)(x-b)的圖像可得0<a<1,b<-1,故g(x)=ax+b的大致圖像為選項(xiàng)a中的圖像.(2)根據(jù)圖像得a>1,f12=0,b<0,所以a+b=0,所以a+b=a-a>1-1=0.例3思路點(diǎn)撥 (1)將a,b化為同底的指數(shù)式,利用指數(shù)函數(shù)y=2x的單調(diào)性比較a,b的大小,再估算c,從而得a,b,c的大小關(guān)系;(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增,當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時(shí)單調(diào)遞減,對選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到正確答案.(1)a(2)d解析 (1)因?yàn)閍=0.5-2.1=22.1>20.5>1,所以a>b>1,

18、又因?yàn)閏=0.22.1<0.20=1,所以a>b>c,故選a.(2)因?yàn)?<a<1,所以0<1-a<1,所以y=(1-a)x是減函數(shù),又因?yàn)?<b<1,所以1b>b,b>b2,所以(1-a)1b<(1-a)b,(1-a)b<(1-a)b2,所以a,b均錯(cuò)誤; 又1<1+a<1+b,所以(1+a)a<(1+b)a<(1+b)b,所以c錯(cuò)誤;對于d,(1-a)a>(1-a)b>(1-b)b,所以(1-a)a>(1-b)b,所以d正確.故選d.例4思路點(diǎn)撥 (1)先確定a的值,再結(jié)

19、合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解;(2)分情況討論去掉絕對值,解相應(yīng)的指數(shù)方程.(1)0x12(2)x=log23解析 (1)由題意知f(1)=a+14+1=a+15=-310,則a=-12.因?yàn)?16f(x)0,所以-1614x+1-120,所以1314x+112,所以24x+13,所以14x2,解得0x12.(2)當(dāng)x0時(shí),1-2x0,原方程即為4x-2x-10=0,可得2x=12+412,此時(shí)x>0,故舍去.當(dāng)x>0時(shí),1-2x<0,原方程即為4x+2x-12=0,可得2x=3,則x=log23,即為原方程的解.例5思路點(diǎn)撥 (1)根據(jù)條件先確定a,b的值,再依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

20、及值域確定函數(shù)f(x)的值域;(2)由函數(shù)f(x)為奇函數(shù),確定a的值,將不等式分離變量,轉(zhuǎn)化成b>g(x)的形式,從而轉(zhuǎn)化為考查函數(shù)g(x)的最小值問題.(1)a(2)b>2解析 (1)函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(0)=a+b2=0,函數(shù)圖像過點(diǎn)ln3,12,則f(ln 3)=a+b4=12.結(jié)合可得a=1,b=-2,則f(x)=1-2ex+1.因?yàn)閑x>0,所以ex+1>1,所以0<2ex+1<2,所以-1<1-2ex+1<1,即函數(shù)f(x)的值域?yàn)?-1,1).(2)由題意知f(x)是r上的奇函數(shù),所以f(0)=0,得a=1,所以f(x)=

21、2x-12x+1.設(shè)h(x)=2x-12x+1+2x-b2x+1=(2x)2+2x+1-1-b2x+1,由題設(shè)知h(x)<0在0,1內(nèi)有解,即不等式(2x)2+2x+1-1-b<0在0,1內(nèi)有解,即b>(2x)2+2x+1-1在0,1內(nèi)有解.設(shè)g(x)=(2x)2+2x+1-1,x0,1,而函數(shù)y=2x,y=2x+1在定義域內(nèi)均單調(diào)遞增,所以g(x)=(2x)2+2x+1-1在0,1上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(0)=2,所以b>2.應(yīng)用演練1.a解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=0.4x在r上為減函數(shù),所以0.40.6<0.40.2<0.40=1,又因?yàn)?0.

22、2>20=1,所以20.2>0.40.2>0.40.6,即a>b>c.故選a.2.d解析 因?yàn)閒(x)=x2-a與g(x)=ax(a>1且a2)在區(qū)間(0,+)上具有不同的單調(diào)性,所以a>2,所以m=(a-1)0.2>1,n=1a0.1<1,所以m>n,故選d.3.a解析 由題意知當(dāng)x(-,-1時(shí),m2-m<2x4x=12x恒成立,當(dāng)x(-,-1時(shí),12x2,+),則m2-m<2,解得-1<m<2,故選a.4.d解析 方程|ax-1|=2a(a>0且a1)有兩個(gè)不等實(shí)根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|ax-1|與y=2

23、a的圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn). 當(dāng)0<a<1時(shí),兩函數(shù)圖像如圖,則0<2a<1,即0<a<12;當(dāng)a>1時(shí),兩函數(shù)圖像如圖,而y=2a>1,不符合題意. 故0<a<12.5.-,56解析 把a(bǔ)(1,6),b(3,24)代入f(x)=b·ax,得6=ab,24=b·a3,結(jié)合a>0且a1,解得a=2,b=3,所以f(x)=3·2x.要使12x+13xm,x(-,1恒成立,只需函數(shù)y=12x+13x在(-,1上的最小值不小于m即可.因?yàn)楹瘮?shù)y=12x+13x在(-,1上為減函數(shù),所以當(dāng)x=1時(shí),y=12x+13x取得最小值56,所以只需m56即可,即m的取值范圍為-,56.【備選理由】 例1為指數(shù)冪的運(yùn)算,涉及換元運(yùn)算和指數(shù)運(yùn)算,技巧性較強(qiáng);例2為分段函數(shù)與函數(shù)不等式結(jié)合問題,需要分區(qū)間處理,考查函數(shù)的單調(diào)性;例3為含參不等式,進(jìn)一步熟悉分離變量以及轉(zhuǎn)化與化歸思想;例4考查了求解指數(shù)方程、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立問題,要善于使用分離變量法求解.例1配合例1使用 已知a23=2+3,則a+a-1a13+a13的值為. 答案 3解析 設(shè)a13=t,則t2=2+3,則a+a-1a13+a13=t3+1t3t+1t