1、解三角形知識講解一、正弦定理1.正弦定理：；（為三角形外接圓半徑）2.正弦定理變形式：1）；：2）3.正弦定理的應用 1）已知兩角和任意一邊，求另一角和其它的兩條邊2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其中的對角二、余弦定理1.余弦定理：；2.余弦定理變形式：；3.余弦定理的應用1）已知三邊，求各角2）已知兩邊和它們的夾角，求第三個邊和其它的兩個角3）已知兩邊和其中一邊的對角，求其它的角和邊三、面積公式1. (、分別表示a、b、c上的高)；2.；3.；4.（為三角形內切圓半徑）注：中易得：， ，銳角中，類比得鈍角的結論經典例題一選擇題（共10小題）1在abc中，a、b、c的對邊分別為a、b、

2、c，若2cos2a+b2-cos2c=1，4sinb=3sina，a-b=1，則c的值為（）a13b7c37d6【解答】解：根據題意，abc中，2cos2a+b2cos2c=1，變形可得2cos2a+b21=cos2c，則有cos2c+cosc=0，即2cos2c+cosc1=0，解可得cosc=12或cosc=1（舍），又由4sinb=3sina，則有4b=3a，又由ab=1，則a=4，b=3，則c2=a2+b22abcosc=16+912=13，則c=13，故選：a2在abc中，已知a2+b2c2=4s（s為abc的面積），若c=2，則a-22b的取值范圍是（）a(0，2)b（1，0）c(

3、-1，2)d(-2，2)【解答】（本題滿分為13分）解：根據余弦定理得a2+b2c2=2abcosc，abc的面積s=12absinc，由a2+b2c2=4s，得tanc=1，0c，c=4；（6分）由正弦定理asina=bsinb=222=2，可得：a=2sina，b=2sinb=2sin（34a），a-22b=2sina2sin（34a）=sinacosa=2sin（a4），0a34，可得：4a42，可得：22sin（a4）1，（10分）a-22b=2sin（a4）的范圍為（1，2）（13分）故選：c3abc中，角a，b，c所對的邊分別是a，b，c，abc的面積s=12，且滿足asinb=b

4、cosa，則1ab+cosc的取值范圍是（）a（0，2b12，22c22，1）d（1，2【解答】解：由asinb=bcosa以及正弦定理可知sinasinb=sinbcosa，sinb0，tana=1，0a，a=4，abc的面積s=12，12absinc=12，1ab=sinc1ab+cosc=sinc+cosc=2sin（c+4），c（0，34），c+4（4，），0sin（c+4）1，02sin（c+4）2故選：a4已知abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且coscc+cosbb=33abccosa，則cosa=（）a33b-33c36d-36【解答】解：根據題意，abc中，cos

5、cc+cosbb=33abccosa，則有1c×a2+b2-c22ab+1b×a2+c2-b22ac=33abccosa，即2a2abc=33×abccosa變形可得：cosa=33；故選：a5在abc中，內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若2ba=bcosa+acosb，且a+c=4，則abc面積的最大值為（）a14b2-34c3d2+34【解答】解：由2ba=bcosa+acosb，利用正弦定理可得：2sinbsina=sinbcosa+sinacosb=sin（a+b）=sinc，再利用正弦定理可得：2ba=c，又a+c=4，解得b=2，a=4c（1c4

6、）cosc=a2+b2-c22ab=(4-c)2+4-c24(4-c)=5-2c4-csinc=1-cos2c=3(3-c)(c-1)4-c，則abc面積s=12absinc=12×(4-c)×2×3(3-c)(c-1)4-c=3-c2+4c-3=3-(c-2)2+13，當且僅當c=2=a時取等號abc面積的最大值為3也可以利用海倫公式計算abc的面積故選：c6如圖所示，在平面四邊形abcd中，ab=1，bc=2，acd為正三角形，則bcd面積的最大值為（）a23+2b3+12c32+2d3+1【解答】解：在abc中，設abc=，acb=，由余弦定理得：ac2=1

7、2+222×1×2cos=54cos，acd為正三角形，cd2=54cos，由正弦定理得：1sin=acsin，acsin=sin，cdsin=sin，（cdcos）2=cd2（1sin2）=cd2sin2=54cossin2=（2cos）2，bac，為銳角，cdcos=2cos，sbcd=122cdsin（3+）=cdsin（3+）=32cdcos+12cdsin=32（2cos）+12sin=3+sin（3），當=56時，（sbcd）max=3+1故選：d7abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若2bcosb=acosc+ccosa，b=2，則abc面積的最大值

8、是（）a1b3c2d4【解答】解：（1）2bcosb=acosc+ccosa，可得：2sinbcosb=sinacosc+sinccosa=sinb，sinb0，cosb=12b=60°由余弦定理可得ac=a2+c24，由基本不等式可得ac=a2+c242ac4，可得：ac4，當且僅當a=c時，“=”成立，從而abc面積s=12acsinb=3，故abc面積的最大值為3故選：b8在abc中，a=6，abc的面積為2，則2sincsinc+2sinb+sinbsinc的最小值為（）a32b334c32d53【解答】解：abc中，a=6，abc的面積為2，sabc=12bcsina=14

9、bc=2，bc=8，2sincsinc+2sinb+sinbsinc=21+2sinbsinc+sinbsinc，令t=sinbsinc則t0，上式化為：21+2sinbsinc+sinbsinc=21+2t+t=21+2t+12(2t+1)-12221+2t12(2t+1)12=32，當且僅當2t+1=2，即t=12，可得b=2c，又bc=8，解得c=4，b=2時，等號成立；2sincsinc+2sinb+sinbsinc的最小值為：32故選：c9在abc中，ap=13（ab+ac），若sinbab+2sinapa+3sincpc=0，則cosc=（）a118b16c56d1718【解答】解

10、：根據題意，如圖，在abc中，設d為bc的中點，有ab+ac=2ad，又由ap=13（ab+ac），則ap=23ad，則p為abc的重心，則有pa+pb+pc=0，若sinbab+2sinapa+3sincpc=0，則bab+2apa+3cpc=0，而ab=pbpa，則b（pbpa）+2apa+3cpc=0，bpb+（2ab）pa+3cpc=0，又由pa+pb+pc=0，則有&2a-b=b&b=3c，解可得a=b=3c，則cosc=a2+b2-c22ab=1718；故選：d10在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且csin(b+3)=32a，cacb=20，c=7，

11、則abc的內切圓的半徑為（）a2b1c3d3【解答】解：csin(b+3)=32a，由正弦定理可得：sinc（12sinb+32cosb）=32sina，12sincsinb+32sinccosb=32sina=32sinbcosc+32sinccosb，可得：12sincsinb=32sinbcosc，sinb0，可得：tanc=3，c（0，），c=3，c=7，cacb=20=abcosc=12ab，可得：ab=40，由余弦定理c2=a2+b22abcosc，可得：49=a2+b2ab=（a+b）23ab=（a+b）2120，解得：a+b=13，設abc的內切圓的半徑為r，則12（a+b+c

12、）r=12absinc，可得：12（5+8+7）r=12×5×8×32，可得abc的內切圓的半徑r=3故選：d二填空題（共7小題）11在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c若a=7，b=2，a=60°，則sinb=217，c=3【解答】解：在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，ca=7，b=2，a=60°，由正弦定理得：asina=bsinb，即7sin60°=2sinb，解得sinb=2×327=217由余弦定理得：cos60°=4+c2-72×2c，解得c=3或c=1（舍），sinb

13、=217，c=3故答案為：217，312abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c已知bsinc+csinb=4asinbsinc，b2+c2a2=8，則abc的面積為233【解答】解：abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，cbsinc+csinb=4asinbsinc，利用正弦定理可得sinbsinc+sincsinb=4sinasinbsinc，由于0b，0c，所以sinbsinc0，所以sina=12，則a=6或56由于b2+c2a2=8，則：cosa=b2+c2-a22bc，當a=6時，32=82bc，解得bc=833，所以sabc=12bcsina=233當a=56時，-32=

14、82bc，解得bc=833（不合題意），舍去故：sabc=233故答案為：23313如圖，在abc中，點d是ab中點，ab=2，acd=90°，dcb=45°，abc的面積為s，則5s=2【解答】解：abc中，點d是ab中點，c=ab=2，acd=90°，dcb=45°，a=bc，b=ac，設bc=x，則sacd=sbcd，即12bx=12axsin45°，b=22a，c2=a2+b22abcosacb，4=a2+12a22a22acos135°，a=85，b=25；abc的面積為s=12absin135°=12×

15、85×25×22=25，5s=2故答案為：214已知a，b，c分別為abc的三個內角a，b，c的對邊，b=6，且accosb=a2-b2+74bc，o為abc內一點，且滿足oa+ob+oc=0，bao=30°，則|oa|=3【解答】解：由余弦定理可得b2=a2+c22accosb，b=6，且accosb=a2-b2+74bc，2a22b2+72bc=a2+c2b2，a2=b2+c22bc74，cosa=74，sina=1-716=34，滿足oa+ob+oc=0，bao=300，可得o為abc的重心，且sabo=13sabc，即為12c|ao|sin30°

16、=13×12cbsinbac，則|ao|=13×6×34×2=3，故答案為：315在銳角三角形abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若已知b2+c2=4bcsin（a+6），則tana+tanb+tanc的最小值是83【解答】解：由題意由b2+c2=4bcsin（a+6），余弦定理可得：a2+2bccosa=23bcsina+2bccosa，即a=23bsinc那么sina=23sinbinc即sinbcosc+cosbsinc=23sinbinc那么tanb+tanc=23tanbtanctana=tan（b+c）=tanb+tanctanbt

17、anc-1，那么tana+tanb+tanc=tanb+tanctanbtanc-1+23tanbtanc=23tanbtanctanbtanc-1+23tanbtanc設tanbtanc1=m，可得：tana+tanb+tanc=23(m+1)m+23（m+1）=23×(m+1)2m=23×（m+1m+2）23×（2+2）=83；當且僅當m=1時取“=”，即tanbtanc=2故答案為：8316已知abc的內角a，b，c的對邊分別是a，b，c，且（a2+b2c2）（acosb+bcosa）=abc，若a+b=2，則c的取值范圍為1，2）【解答】解：根據題意，ab

18、c中，acosb+bcosa=a×a2+c2-b22ac+b×b2+c2-a22bc=2c22c=c，若（a2+b2c2）（acosb+bcosa）=abc，則有a2+b2c2=ab，則cosc=a2+b2-c22ab=12，則c=3，又由a+b=2，則c2=a2+b22abcosc=a2+b2ab=（a+b）23ab=43ab，又由a+b=2，則ab（a+b2）2=1，則c21，則有c1，又由ca+b=2，則c的取值范圍為1，2）；故答案為：1，2）17我國古代著名的數學家劉徽著有海島算經內有一篇：“今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直從前表卻行百

19、二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合問島高及去表各幾何？”請你計算出海島高度為1255步（參考譯文：假設測量海島，立兩根標桿，高均為5步，前后相距1000步，令前后兩根標桿和島在同一直線上，從前標桿退行123步，人的視線從地面（人的高度忽略不計）過標桿頂恰好觀測到島峰，從后標桿退行127步，人的視線從地面過標桿頂恰好觀測到島峰，問島高多少？島與前標桿相距多遠？）（丈、步為古時計量單位，當時是“三丈=5步”）【解答】解：如圖，設島高x步，與前標桿相距y步，則有&5x=123123+y&5x=127127+1000+y，解得：x

20、=1255步故答案為：1255三解答題（共6小題）18在abc中，內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c已知bsina=acos（b6）（）求角b的大小；（）設a=2，c=3，求b和sin（2ab）的值【解答】解：（）在abc中，由正弦定理得asina=bsinb，得bsina=asinb，又bsina=acos（b6）asinb=acos（b6），即sinb=cos（b6）=cosbcos6+sinbsin6=32cosb+12sinb，tanb=3，又b（0，），b=3（）在abc中，a=2，c=3，b=3，由余弦定理得b=a2+c2-2accosb=7，由bsina=acos（b6），得

21、sina=37，ac，cosa=27，sin2a=2sinacosa=437，cos2a=2cos2a1=17，sin（2ab）=sin2acosbcos2asinb=437×12-17×32=331419在abc中，a=7，b=8，cosb=17（）求a；（）求ac邊上的高【解答】解：（）ab，ab，即a是銳角，cosb=17，sinb=1-cos2b=1-(-17)2=437，由正弦定理得asina=bsinb得sina=asinbb=7×4378=32，則a=3（）由余弦定理得b2=a2+c22accosb，即64=49+c2+2×7×c

22、×17，即c2+2c15=0，得（c3）（c+5）=0，得c=3或c=5（舍），則ac邊上的高h=csina=3×32=33220在平面四邊形abcd中，adc=90°，a=45°，ab=2，bd=5（1）求cosadb；（2）若dc=22，求bc【解答】解：（1）adc=90°，a=45°，ab=2，bd=5由正弦定理得：absinadb=bdsina，即2sinadb=5sin45°，sinadb=2sin45°5=25，abbd，adba，cosadb=1-(25)2=235（2）adc=90°，cosbdc=sinadb=25，dc=22，bc=bd2+dc2-2×bd×dc×cosbdc=25+8-2×5×22×25=521如圖，在abc中，內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c且2acoscc=2b（1）求角a的大小；（2）若abc=6，ac邊上的中線bd的長為35，求abc的面積【解答】解：由2acoscc=2b正弦定理，可得2sinacoscsinc=2sinb即2sinaco