1、高中數學必修 1-必修 5 知識點總結1 高中數學必修1知識點第一章集合與函數概念【1.1.1 】集合的含義與表示（1）集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性. （2）常用數集及其記法n表示自然數集，n或n表示正整數集，z表示整數集，q表示有理數集，r表示實數集 .（3）集合與元素間的關系對象a與集合m的關系是am，或者am，兩者必居其一 . （4）集合的表示法自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合. 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合. 描述法： x|x具有的性質 ，其中x為集合的代表元素. 圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合.（5）集合的分類含有有限個元素的集

2、合叫做有限集. 含有無限個元素的集合叫做無限集. 不含有任何元素的集合叫做空集 (). 【1.1.2 】集合間的基本關系（6）子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質示意圖子集ba（或)aba 中的任一元素都屬于 b (1)aa (2)a(3)若ba且bc，則ac(4)若ba且ba，則aba(b)或ba真子集ab （或 ba）ba，且 b 中至少有一元素不屬于a （1）a（a 為非空子集）(2)若ab且bc，則acba集合相等aba 中的任一元素都屬于 b， b 中的任一元素都屬于 a (1)ab (2)ba a(b)（7）已知集合a有(1)n n個元素，則它有2n個子集，它有21n個真子集，它

3、有21n個非空子集，它有22n非空真子集 . 高中數學必修 1-必修 5 知識點總結2 【1.1.3 】集合的基本運算（8）交集、并集、補集名稱記號意義性質示意圖交集ab|,x xa且xb（1）aaa（2）a（3）abaabbba并集ab|,x xa或xb（1）aaa（2）aa（3）abaabbba補集uae|,x xuxa且1()uaae2()uaaue【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法（1）含絕對值的不等式的解法不等式解集|(0)xa a|xaxa|(0)xa a|x xa或xa|,|(0)axbc axbc c把axb看 成 一 個 整 體 ， 化 成|xa，|(0)xa

4、 a型不等式來求解（2）一元二次不等式的解法判別式24bac000二次函數2(0)yaxbxc a的圖象o一元二次方程20(0)axbxca的根21,242bbacxa（其中12)xx122bxxa無實根20(0)axbxca的解集1|x xx或2xx|x2bxar()()()uuuabab痧?()()()uuuabab痧?高中數學必修 1-必修 5 知識點總結3 20(0)axbxca的解集12|x xxx1.2 函數及其表示【1.2.1 】函數的概念（1）函數的概念設a、b是兩個非空的數集， 如果按照某種對應法則f，對于集合a中任何一個數x，在集合b中都有唯一確定的數( )f x和它對應，

5、 那么這樣的對應 （包括集合a，b以及a到b的對應法則f）叫做集合a到b的一個函數，記作:fab函數的三要素: 定義域、值域和對應法則只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數（2）區間的概念及表示法設,a b是兩個實數，且ab，滿足axb的實數x的集合叫做閉區間，記做 , a b；滿足axb的實數x的集合叫做開區間，記做( , )a b；滿足axb，或axb的實數x的集合叫做半開半閉區間，分別記做 , )a b，( , a b；滿足,xa xa xb xb的實數x的集合分別記做 ,),(,),(, ,(, )aabb注意： 對于集合|x axb與區間( , )a b，前者a可以大

6、于或等于b，而后者必須ab（3）求函數的定義域時，一般遵循以下原則：( )f x是整式時，定義域是全體實數( )f x是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數( )f x是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1tanyx中，()2xkkz零（負）指數冪的底數不能為零若( )f x是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時，則其定義域一般是各基本初等函數的定義域的交集對于求復合函數定義域問題，一般步驟是： 若已知( )f x的定義域為 , a b，其復合函數( )f g x的定義域應由不等式( )

7、ag xb解出高中數學必修 1-必修 5 知識點總結4 對于含字母參數的函數，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數進行分類討論由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義（4）求函數的值域或最值求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同求函數值域與最值的常用方法：觀察法：對于比較簡單的函數，我們可以通過觀察直接得到值域或最值配方法：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范圍確定函數的值域或最值判別

8、式法：若函數( )yf x可以化成一個系數含有y的關于x的二次方程2( )( )( )0a y xb y xc y，則在( )0a y時，由于,x y為實數，故必須有2( )4 ( )( )0bya yc y，從而確定函數的值域或最值不等式法：利用基本不等式確定函數的值域或最值換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數函數的最值問題轉化為三角函數的最值問題反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值函數的單調性法【1.2.2 】函數的表示法（5）函數的表示方法表示函數的方法，常用的有解析

9、法、列表法、圖象法三種解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系（6）映射的概念設a、b是兩個集合， 如果按照某種對應法則f，對于集合a中任何一個元素， 在集合b中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應 （包括集合a，b以及a到b的對應法則f） 叫做集合a到b的映射，記作:fab給定一個集合a到集合b的映射，且,aa bb如果元素a和元素b對應，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 1.3 函數的基本性質【1.3.1 】單調性與最大（小）值（1）函數的單調性定義及判定方法高中數

10、學必修 1-必修 5 知識點總結5 yxo函數的性 質定義圖象判定方法函數的單調性如果對于屬于定義域i內某個區間上的任意兩個自變量的值 x1、x2,當 x1 x2時，都有 f(x 1)f(x 2)， 那 么 就 說f(x) 在這個區間上是 增函數x1x2y=f(x)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定義（2）利用已知函數的單調性（3） 利用函數圖象 （在某個區間圖象上升為增）（4）利用復合函數如果對于屬于定義域i內某個區間上的任意兩個自變量的值 x1、x2，當 x1f(x 2)， 那 么 就 說f(x) 在這個區間上是 減函數y=f(x)yxoxx2f(x )f(x )211（1）利用定

11、義（2）利用已知函數的單調性（3） 利用函數圖象 （在某個區間圖象下降為減）（4）利用復合函數在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數為增函數，減函數減去一個增函數為減函數 對 于 復 合 函 數( )yf g x， 令( )ug x， 若( )yf u為 增 ，( )ug x為 增 ， 則( )yf g x為增；若( )yf u為減，( )ug x為減，則( )yf g x為增；若( )yf u為增 ，( )ug x為 減 ， 則 ( )yf g x為 減； 若( )yf u為 減，( )ug x為 增， 則( )yf g x為減（2）打“”函數(

12、 )(0)af xxax的圖象與性質( )f x分別在(,a、,)a上為增函數，分別在,0)a、(0,a上為減函數（3）最大（小）值定義一般地，設函數( )yf x的定義域為i，如果存在實數m滿足：（1）對于任意的xi，都有( )fxm；（2）存在0 xi，使得0()f xm那么，我們稱m是函數( )f x的最大值，記作max( )fxm一般地，設函數( )yf x的定義域為i，如果存在實數m滿足： （1）對于任意的xi，都有( )f xm； （2）存在0 xi，使得0()fxm那么，我們稱m是函數( )f x的最小值，記作高中數學必修 1-必修 5 知識點總結6 max( )fxm【1.3.

13、2 】奇偶性（4）函數的奇偶性定義及判定方法函數的性 質定義圖象判定方法函數的奇偶性如果對于函數f(x) 定義域內任意一個x，都有f( x)= f(x) ,那么函數f(x) 叫做 奇函數（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于原點對稱）如果對于函數f(x) 定義域內任意一個 x， 都有 f( x)= f(x) ,那么函數 f(x) 叫做 偶函數（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于 y 軸對稱）若函數( )fx為奇函數，且在0 x處有定義，則(0)0f奇函數在y軸兩側相對稱的區間增減性相同，偶函數在y軸兩側相對稱的區間增減性相反

14、在公共定義域內，兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是偶函數（或奇函數），兩個偶函數（或奇函數）的積（或商）是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積（或商）是奇函數補充知識函數的圖象（1）作圖利用描點法作圖：確定函數的定義域；化解函數解析式；討論函數的性質（奇偶性、單調性）；畫出函數的圖象利用基本函數圖象的變換作圖：要準確記憶一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等各種基本初等函數的圖象平移變換0,0,|( )()hhhhyf xyf xh左移 個單位右移 |個單位0,0,|( )( )kkkkyf xyf xk上移 個單位下移 |個單位伸縮變換01,1,( )()y

15、fxyfx伸縮01,1,( )( )aayfxyaf x縮伸對稱變換高中數學必修 1-必修 5 知識點總結7 ( )( )xyf xyf x軸( )()yyf xyfx軸( )()yf xyfx原點1( )( )y xyf xyfx直線( )(|)yyyyf xyfx去掉 軸左邊圖象保留 軸右邊圖象，并作其關于軸對稱圖象( )|( ) |xxyfxyfx保留 軸上方圖象將 軸下方圖象翻折上去（2）識圖對于給定函數的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數解析式中參數的關系（3）用圖函數圖象形象地顯示了函數的性質，為研究數

16、量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具要重視數形結合解題的思想方法第二章基本初等函數 ()2.1 指數函數【2.1.1 】指數與指數冪的運算（1）根式的概念如果,1nxa ar xr n，且nn，那么x叫做a的n次方根當n是奇數時，a的n次方根用符號na表示；當n是偶數時，正數a的正的n次方根用符號na表示，負的n次方根用符號na表示； 0 的n次方根是 0；負數a沒有n次方根式子na叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數當n為奇數時，a為任意實數；當n為偶數時，0a 根 式 的 性 質 ：()nnaa； 當n為 奇 數 時 ，nnaa； 當n為 偶 數

17、時 ， (0)| (0) nnaaaaaa（2）分數指數冪的概念正數的正分數指數冪的意義是：(0,mnmnaaam nn且1)n0 的正分數指數冪等于 0正數的負分數指數冪的意義是：11()() (0,mmmnnnaam nnaa且1)n0的負分數指數冪沒有意義注意口訣： 底數取倒數，指數取相反數（3）分數指數冪的運算性質(0, ,)rsrsaaaar sr()(0, ,)rsrsaaar sr()(0,0,)rrraba babrr高中數學必修 1-必修 5 知識點總結8 【2.1.2 】指數函數及其性質（4）指數函數函數名稱指數函數定義函數(0 xyaa且1)a叫做指數函數圖象1a01a定

18、義域r值域(0,)過定點圖象過定點(0,1)，即當0 x時，1y奇偶性非奇非偶單調性在r上是增函數在r上是減函數函數值的變化情況1 (0)1 (0)1 (0)xxxaxaxax1 (0)1 (0)1 (0)xxxaxaxaxa變化對圖象的影響在第一象限內，a越大圖象越高；在第二象限內，a越大圖象越低2.2 對數函數【2.2.1 】對數與對數運算（1）對數的定義若(0,1)xan aa且，則x叫做以a為底n的對數，記作logaxn，其中a叫做底數，n叫做真數負數和零沒有對數對數式與指數式的互化：log(0,1,0)xaxnan aan（2）幾個重要的對數恒等式log 10a，log1aa，log

19、baab（3）常用對數與自然對數常用對數：lg n，即10logn；自然對數：ln n，即logen（其中2.71828e） xayxy(0,1)o1yxayxy(0,1)o1y高中數學必修 1-必修 5 知識點總結9 （4）對數的運算性質如果0,1,0,0aamn，那么加法：logloglog ()aaamnmn減法：logloglogaaammnn數乘：loglog()naanmmnrlogananloglog(0,)bnaanmm bnrb換底公式：loglog(0,1)logbabnnbba且【2.2.2 】對數函數及其性質（5）對數函數函數名稱對數函數定義函數log(0ayx a且1

20、)a叫做對數函數圖象1a01a定義域(0,)值域r過定點圖象過定點(1,0)，即當1x時，0y奇偶性非奇非偶單調性在(0,)上是增函數在(0,)上是減函數函數值的變化情況log0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxlog0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxa變化對圖象的影響在第一象限內，a越大圖象越靠低；在第四象限內，a越大圖象越靠高(6) 反函數的概念設函數( )yf x的定義域為a， 值域為c， 從式子( )yf x中解出x，得式子( )xy如xyo(1 ,0 )1xlo gayxxyo( 1 ,0 )1xl o gayx高中數學必修 1-

21、必修 5 知識點總結10 果對于y在c中的任何一個值，通過式子( )xy，x在a中都有唯一確定的值和它對應，那么式子( )xy表示x是y的函數，函數( )xy叫做函數( )yf x的反函數，記作1( )xfy，習慣上改寫成1( )yfx（7）反函數的求法確定反函數的定義域，即原函數的值域；從原函數式( )yf x中反解出1( )xfy；將1( )xfy改寫成1( )yfx，并注明反函數的定義域（8）反函數的性質原函數( )yf x與反函數1( )yfx的圖象關于直線yx對稱函數( )yf x的定義域、值域分別是其反函數1( )yfx的值域、定義域若( , )p a b在原函數( )yf x的圖

22、象上，則( , )p b a在反函數1( )yfx的圖象上一般地，函數( )yf x要有反函數則它必須為單調函數2.3 冪函數（1）冪函數的定義一般地，函數yx叫做冪函數，其中x為自變量，是常數（2）冪函數的圖象（3）冪函數的性質圖象分布：冪函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數是偶函數時，圖象分布在第高中數學必修 1-必修 5 知識點總結11 一、二象限 (圖象關于y軸對稱 )；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數時，圖象只分布在第一象限過定點：所有的冪函數在(0,)都有定義，并且圖象都通過點(1,1)單調性：如果0，則冪函數的圖象過原點，并且

23、在0,)上為增函數如果0，則冪函數的圖象在(0,)上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近x軸與y軸奇偶性：當為奇數時，冪函數為奇函數，當為偶數時，冪函數為偶函數當qp（其中, p q互質，p和qz） ，若p為奇數q為奇數時， 則qpyx是奇函數， 若p為奇數q為偶數時， 則qpyx是偶函數，若p為偶數q為奇數時，則qpyx是非奇非偶函數圖象特征：冪函數,(0,)yxx，當1時，若01x，其圖象在直線yx下方，若1x，其圖象在直線yx上方，當1時，若01x，其圖象在直線yx上方，若1x，其圖象在直線yx下方補充知識二次函數（1）二次函數解析式的三種形式一般式：2( )(0)f xaxbxc a頂

24、點式：2( )()(0)f xa xhk a兩根式：12( )()()(0)f xa xxxxa（2）求二次函數解析式的方法已知三個點坐標時，宜用一般式已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（小）值有關時，常使用頂點式若已知拋物線與x軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求( )f x更方便（3）二次函數圖象的性質二次函數2( )(0)f xaxbxc a的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為,2bxa頂點坐標是24(,)24bacbaa當0a時，拋物線開口向上，函數在(,2ba上遞減，在,)2ba上遞增， 當2bxa時，2min4( )4acbfxa；當0a時，拋物線開口向下，函數在(,2

25、ba上遞增，在,)2ba上遞減，當2bxa時，2max4( )4acbfxa高中數學必修 1-必修 5 知識點總結12 二次函數2( )(0)f xaxbxc a當240bac時，圖象與x軸有兩個交點11221212( ,0),( ,0),| | |m xm xmmxxa（4）一元二次方程20(0)axbxca根的分布一元二次方程根的分布是二次函數中的重要內容，這部分知識在初中代數中雖有所涉及，但尚不夠系統和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理（韋達定理）的運用，下面結合二次函數圖象的性質，系統地來分析一元二次方程實根的分布設一元二次方程20(0)axbxca的兩實根為

26、12,x x，且12xx令2( )f xaxbxc， 從以下四個方面來分析此類問題：開口方向：a對稱軸位置：2bxa判別式：端點函數值符號kx1x2xy1x2x0aoabx20)(kfkxy1x2xoabx2k0a0)(kfx1x2kxy1x2x0aoabx2k0)(kfxy1x2xoabx2k0a0)(kfx1kx2af( k) 0 0)(kfxy1x2x0aokxy1x2xok0a0)(kf高中數學必修 1-必修 5 知識點總結13 k1x1x2k2xy1x2x0ao1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xo0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2有且僅有一個根x1（或 x

27、2）滿足 k1x1（或 x2）k2f( k1) f( k2)0，并同時考慮f(k1)=0或 f( k2)=0 這兩種情況是否也符合xy1x2x0ao1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xo0a1k2k0)(1kf0)(2kfk1x1k2p1x2p2此結論可直接由推出（5）二次函數2( )(0)f xaxbxc a在閉區間, p q上的最值設( )f x在區間, p q上的 最大值為m，最小值為m，令01()2xpq（）當0a時（開口向上）若2bpa，則( )mf p若2bpqa，則()2bmfa若2bqa，則( )mf q若02bxa，則( )mf q02bxa，則( )mfpxof(p

28、)f(q)()2bfaxof(p)f(q)()2bfaxof(p)f(q)()2bfaxof(p)f(q)()2bfa0 xxof(p)f(q)b0 x高中數學必修 1-必修 5 知識點總結14 ( ) 當0a時( 開口向下 ) 若2bpa，則()mfp若2bpqa，則()2bmfa若2bqa，則( )mf q若02bxa，則( )mf q02bxa，則( )mfp第三章函數的應用一、方程的根與函數的零點1、函數零點的概念：對于函數)(dxxfy，把使0)(xf成立的實數x叫做函數)(dxxfy的零點。2、函數零點的意義： 函數)(xfy的零點就是方程0)(xf實數根， 亦即函數)(xfy的圖

29、象與x軸交點的橫坐標。即：方程0)(xf有實數根函數)(xfy的圖象與x軸有交點函數)(xfy有零點3、函數零點的求法：求函數)(xfy的零點： 1（代數法）求方程0)(xf的實數根； 2（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數)(xfy的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點4、二次函數的零點：二次函數)0(2acbxaxy），方程02cbxax有兩不等實根，二次函數的圖象與x軸有兩個交點，二次函數有兩個零點），方程02cbxax有兩相等實根（二重根） ，二次函數的圖象與x軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點），方程02cbxax無實根，二次函數的圖象與x軸無交點，二次函

30、數無零點xof(p)f(q)()2bfaxof(p)f(q)()2bfaxof(p)f(q)()2bfa0 xxof(p)f(q)()2bfaxof(p)f(q)()2bfa0 x高中數學必修 1-必修 5 知識點總結15 高中數學必修 2 知識點第一章空間幾何體1.1 柱、錐、臺、球的結構特征1.2 空間幾何體的三視圖和直觀圖1 三視圖：正視圖：從前往后側視圖：從左往右俯視圖：從上往下2 畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等3 直觀圖：斜二測畫法4 斜二測畫法的步驟：（1）.平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；（2）.平行于 y 軸的線長度變半，平行于x，z 軸的線長度不變；（3）.畫法要寫

31、好。5 用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（ 2）畫底面（ 3）畫側棱（ 4）成圖1.3 空間幾何體的表面積與體積（一）空間幾何體的表面積1 棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和2 圓柱的表面積3 圓錐的表面積2rrls4 圓臺的表面積22rrlrrls5 球的表面積24 rs（二）空間幾何體的體積1 柱體的體積hsv底2 錐體的體積hsv底313 臺體的體積hssssv)31下下上上（4 球體的體積334rv第二章直線與平面的位置關系2.1 空間點、直線、平面之間的位置關系2.1.1 1 平面含義：平面是無限延展的2 平面的畫法及表示（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形

32、，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的 2 倍長（如圖）（2）平面通常用希臘字母、等表示，如平面 、平面 等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面ac 、平面 abcd等。3 三個公理：（1）公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內符號表示為al bl = l ab公理 1 作用：判斷直線是否在平面內222rrlsd c b a la 高中數學必修 1-必修 5 知識點總結16 （2）公理 2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。符號表示為： a、b、c三點不共線 = 有且只有一個平面，使 a、b 、c。公理 2 作用：確

33、定一個平面的依據。（3）公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為： p = =l，且 pl 公理 3 作用：判定兩個平面是否相交的依據2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關系1 空間的兩條直線有如下三種關系：相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點。2 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設a、b、c 是三條直線ab cb 強調：公理4 實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。公理 4 作用：判斷空間兩條直線平行的依據。3 等角

34、定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補4 注意點： a 與 b 所成的角的大小只由a、b 的相互位置來確定，與o 的選擇無關，為簡便，點o 一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角(0， ) ； 當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。2.1.3 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系1、直線與平面有三種位置關系：（1）直線在平面內有無數個公共點（2）直線與平面相交 有且只有一個公共點（3）直線在平

35、面平行 沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外，可用a 來表示a a=a a2.2. 直線、平面平行的判定及其性質2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：c b a p l共面直線=a c2高中數學必修 1-必修 5 知識點總結17 a b = aab 2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。符號表示：a b ab = p ab2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；

36、（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3 2.2.4 直線與平面、平面與平面平行的性質1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：aa ab = b 作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：= a ab = b 作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3 直線、平面垂直的判定及其性質2.3.1 直線與平面垂直的判定1、定義如果直線l 與平面 內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l 與平面 互相垂直，記作l，直線

37、l 叫做平面 的垂線，平面 叫做直線 l 的垂面。如圖，直線與平面垂直時, 它們唯一公共點p叫做垂足。 l p 2、判定定理： 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。高中數學必修 1-必修 5 知識點總結18 注意點： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想。2.3.2 平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發的兩個半平面所組成的圖形a 梭 l b 2、二面角的記法：二面角-l-或-ab- 3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.3

38、.3 2.3.4 直線與平面、平面與平面垂直的性質1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2 性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。本章知識結構框圖第三章直線與方程3.1 直線的傾斜角和斜率3.1 傾斜角和斜率1、直線的傾斜角的概念：當直線l 與 x 軸相交時 , 取 x 軸作為基準 , x軸正向與直線l 向上方向之間所成的角 叫做直線 l 的傾斜角 . 特別地 , 當直線 l 與 x 軸平行或重合時 , 規定 = 0 . 2、 傾斜角 的取值范圍： 0 180. 當直線 l 與 x 軸垂直時 , = 90 . 3、直線的斜率 : 一條直線的傾斜角( 90)

39、的正切值叫做這條直線的斜率, 斜率常用小寫字母k表示 , 也就是 k = tan 當直線 l 與 x 軸平行或重合時 , =0, k = tan0=0; 當直線 l 與 x 軸垂直時 , = 90 , k 不存在 . 由此可知 , 一條直線 l 的傾斜角 一定存在 , 但是斜率 k 不一定存在 . 平面（公理1、公理 2、公理 3、公理 4）空間直線、平面的位置關系平面與平面的位置關系直線與平面的位置關系高中數學必修 1-必修 5 知識點總結19 22122221ppxxyy4、 直線的斜率公式 : 給定兩點 p1(x1,y1),p2(x2,y2),x1x2, 用兩點的坐標來表示直線p1p2的

40、斜率：斜率公式 : k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 兩條直線的平行與垂直1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即注意 : 上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論并不成立即如果k1=k2, 那么一定有 l1l2 2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數；反之，如果它們的斜率互為負倒數，那么它們互相垂直，即3.2.1 直線的點斜式方程1、直線的 點斜式 方程：直線l經過點),(000yxp，且斜率為k)(00 xxkyy2、 、直線的 斜截式 方程：已知直線l的斜

41、率為k，且與y軸的交點為),0(bbkxy3.2.2 直線的兩點式方程1 、 直 線 的 兩 點 式 方 程 ： 已 知 兩 點),(),(222211yxpxxp其 中),(2121yyxxy-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直線的截距式方程：已知直線l與x軸的交點為a)0,(a，與y軸的交點為b),0(b，其中0,0 ba3.2.3 直線的一般式方程1、直線的一般式方程：關于yx,的二元一次方程0cbyax（a，b 不同時為 0）2、各種直線方程之間的互化。3.3 直線的交點坐標與距離公式3.3.1 兩直線的交點坐標1、給出例題：兩直線交點坐標l1：3x+4y-2=0 l1：2x+

42、y +2=0 方程組3422220 xyxy解 ： 解得 x=-2，y=2 所以 l1 與 l2 的交點坐標為m（-2，2）3.3.2兩點間距離兩點間的距離公式3.3.3點到直線的距離公式高中數學必修 1-必修 5 知識點總結20 1點到直線距離公式：點),(00yxp到直線0:cbyaxl的距離為：2200bacbyaxd2、兩平行線間的距離公式：已知兩條平行線直線1l和2l的一般式方程為1l：01cbyax，2l：02cbyax，則1l與2l的距離為2221baccd第四章圓與方程4.1.1 圓的標準方程1、圓的標準方程：222()()xaybr圓心為 a(a,b),半徑為 r 的圓的方程

43、2、點00(,)m xy與圓222()()xaybr的關系的判斷方法：（1）2200()()xayb2r，點在圓外（2）2200()()xayb=2r，點在圓上（3）2200()()xayb2r，點在圓內4.1.2 圓的一般方程1、圓的一般方程：022feydxyx2、圓的一般方程的特點：(1) x2 和 y2 的系數相同，不等于0沒有 xy 這樣的二次項 (2)圓的一般方程中有三個特定的系數d、e、f，因之只要求出這三個系數，圓的方程就確定了(3) 、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。4.2.1 圓與圓的位

44、置關系1、用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系設直線l：0cbyax， 圓c：022feydxyx， 圓的半徑為r， 圓心)2,2(ed到直線的距離為d，則判別直線與圓的位置關系的依據有以下幾點：（1）當rd時，直線l與圓c相離； （2）當rd時，直線l與圓c相切；（3）當rd時，直線l與圓c相交；4.2.2 圓與圓的位置關系高中數學必修 1-必修 5 知識點總結21 兩圓的位置關系設兩圓的連心線長為l，則判別圓與圓的位置關系的依據有以下幾點：（1）當21rrl時，圓1c與圓2c相離；（2）當21rrl時，圓1c與圓2c外切；（3）當|21rr21rrl時，圓1c與圓2c相交；（4）當|2

45、1rrl時，圓1c與圓2c內切；（5）當|21rrl時，圓1c與圓2c內含；4.2.3 直線與圓的方程的應用1、利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系；2、過程與方法用坐標法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題；第二步：通過代數運算，解決代數問題；第三步：將代數運算結果“翻譯”成幾何結論4.3.1 空間直角坐標系1、點 m 對應著唯一確定的有序實數組),(zyx，x、y、z分別是 p、q、r 在x、y、z軸上的坐標2、有序實數組),(zyx，對應著空間直角坐標系中的一點3、空間中任意點m 的坐標都可以用有序實數組

46、),(zyx來表示，該數組叫做點m 在此空間直角坐標系中的坐標， 記 m),(zyx，x叫做點 m 的橫坐標，y叫做點 m 的縱坐標，z叫做點 m 的豎坐標。4.3.2 空間兩點間的距離公式1、空間中任意一點),(1111zyxp到點),(2222zyxp之間的距離公式22122122121)()()(zzyyxxppoyxmmrpqoyzxmp1p2nm1n2n1m2h高中數學必修 1-必修 5 知識點總結22 高中數學必修 3 知識點第一章算法初步1.1.1算法的概念1、算法概念：在數學上，現代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有

47、效的，而且能夠在有限步之內完成. 2. 算法的特點 : (1)有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的. (2)確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執行且得到確定的結果，而不應當是模棱兩可. (3)順序性與正確性： 算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能完成問題. (4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法. (5)普遍性：很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經過有限、

48、事先設計好的步驟加以解決. 1.1.2程序框圖1、程序框圖基本概念：（一）程序構圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。（二）構成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能起止框表示一個算法的起始和結束，是任何流程圖不可少的。輸入、輸出框表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。處理框賦值、計算，算法中處理數據需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數據的處理框內。判斷框判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明 “是”高中數學必修

49、 1-必修 5 知識點總結23 或“ y” ；不成立時標明“否”或“n” 。學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規則，畫程序框圖的規則如下：1 、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4 、判斷框分兩大類， 一類判斷框“是” 與“否” 兩分支的判斷， 而且有且僅有兩個結果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結果。5、在圖形符號內描述的語言要非常簡練清楚。（三） 、算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環結構。1 、順序結構：順序結構是最簡單的算法結構，

50、語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結構。順序結構在程序框圖中的體現就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執行算法步驟。如在示意圖中，a 框和 b 框是依次執行的，只有在執行完a 框指定的操作后，才能接著執行 b 框所指定的操作。2、條件結構：條件結構是指在算法中通過對條件的判斷根據條件是否成立而選擇不同流向的算法結構。條件 p是否成立而選擇執行a框或 b框。無論 p條件是否成立，只能執行a 框或 b框之一，不可能同時執行 a 框和 b框，也不可能a框、 b 框都不執行。一個判斷結構可以有多個判

51、斷框。3 、循環結構： 在一些算法中，經常會出現從某處開始，按照一定條件，反復執行某一處理步驟的情況，這就是循環結構，反復執行的處理步驟為循環體，顯然，循環結構中一定包含條件結構。循環結構又稱重復結構，循環結構可細分為兩類：（1） 、一類是當型循環結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件p 成立時，執行a 框，a 框執行完畢后，再判斷條件p 是否成立，如果仍然成立，再執行a 框，如此反復執行a 框，直到某一次條件p 不成立為止，此時不再執行a 框，離開循環結構。（2） 、另一類是直到型循環結構，如下右圖所示，它的功能是先執行，然后判斷給定的條件p 是否成立，如果 p仍然不成立，則繼續執行a

52、框，直到某一次給定的條件p 成立為止，此時不再執行a 框，離開循環結構。a b a 成立不成立p 不成立p 成立a 高中數學必修 1-必修 5 知識點總結24 當型循環結構直到型循環結構注意： 1 循環結構要在某個條件下終止循環，這就需要條件結構來判斷。因此，循環結構中一定包含條件結構，但不允許“死循環”。2 在循環結構中都有一個計數變量和累加變量。計數變量用于記錄循環次數，累加變量用于輸出結果。計數變量和累加變量一般是同步執行的，累加一次，計數一次。1.2.1輸入、輸出語句和賦值語句1 、輸入語句（1）輸入語句的一般格式（2）輸入語句的作用是實現算法的輸入信息功能；（3） “提示內容”提示用

53、戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運行時其值是可以變化的量；（4）輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數，不能是函數、變量或表達式；（5）提示內容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。2、輸出語句（1）輸出語句的一般格式（2）輸出語句的作用是實現算法的輸出結果功能；（3） “提示內容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達式是指程序要輸出的數據； （4）輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符。3、賦值語句（1）賦值語句的一般格式（2）賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；（3）賦值語句中的“”稱作賦值號，與數學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不

54、能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量；（4）賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數據、常量或算式；（5）對于一個變量可以多次賦值。注意： 賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=x是錯誤的。賦值號左右不能對換。如“a=b ” “b=a ”的含義運行結果是不同的。不能利用賦值語句進行代數式的演算。（如化簡、 因式分解、解方程等）賦值號“= ”與數學中的等號意義不同。122 條件語句1、條件語句的一般格式有兩種： （1）ifthen else 語句； （2）ifthen 語句。2、ifthen else語句ifthen else 語句的一般格式

55、為圖1，對應的程序框圖為圖2。圖形計算器格式input“提示內容”；變量input “提示內容”，變量print“提示內容”；表達式圖形計算器格式disp “提示內容”，變量變量表達式圖形計算器格式表達式變量高中數學必修 1-必修 5 知識點總結25 圖 1 圖 2 分析：在 ifthen else 語句中，“條件”表示判斷的條件， “語句 1”表示滿足條件時執行的操作內容；“語句2”表示不滿足條件時執行的操作內容；end if 表示條件語句的結束。計算機在執行時，首先對if 后的條件進行判斷，如果條件符合，則執行then 后面的語句1；若條件不符合，則執行else 后面的語句 2。3、ift

56、hen 語句ifthen 語句的一般格式為圖3，對應的程序框圖為圖4。注意： “條件”表示判斷的條件； “語句”表示滿足條件時執行的操作內容， 條件不滿足時，結束程序；end if 表示條件語句的結束。計算機在執行時首先對if 后的條件進行判斷，如果條件符合就執行then 后邊的語句，若條件不符合則直接結束該條件語句，轉而執行其它語句。123 循環語句循環結構是由循環語句來實現的。對應于程序框圖中的兩種循環結構，一般程序設計語言中也有當型（ while型）和直到型（ until型）兩種語句結構。即while語句和 until語句。1、while語句（1）while語句的一般格式是對應的程序框圖

57、是（2）當計算機遇到while語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執行while與 wend之間的循環體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執行循環體，這個過程反復進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執行循環體，直接跳到wend 語句后，接著執行wend 之后的語句。因此，當型循環有時也稱為“前測試型”循環。if 條件then語句 1 else 語句 2 end if 否是滿足條件？語句 1 語句 2 if 條件 then語句end if （圖 3）滿足條件？語句是否（圖 4）while 條件循環體wend 滿足條件？循環體否是高中數學必修 1-必修 5 知識點總結26

58、 2、until語句（1）until語句的一般格式是對應的程序框圖是（2）直到型循環又稱為“后測試型”循環，從until型循環結構分析，計算機執行該語句時，先執行一次循環體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續返回執行循環體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復進行，直到某一次條件滿足時，不再執行循環體，跳到loop until語句后執行其他語句，是先執行循環體后進行條件判斷的循環語句。分析： 當型循環與直到型循環的區別：（先由學生討論再歸納）（1）當型循環先判斷后執行，直到型循環先執行后判斷；在 while語句中，是當條件滿足時執行循環體，在until語句中，是當條件不滿足時執行循環1.3

59、.1 輾轉相除法與更相減損術1、輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：（1） ：用較大的數m除以較小的數n 得到一個商0s和一個余數0r； （2） ：若0r0，則 n 為 m ，n 的最大公約數；若0r0，則用除數n 除以余數0r得到一個商1s和一個余數1r； （3） ：若1r0，則1r為 m ，n 的最大公約數； 若1r0，則用除數0r除以余數1r得到一個商2s和一個余數2r；依次計算直至nr0，此時所得到的1nr即為所求的最大公約數。2、更相減損術我國早期也有求最大公約數問題的算法，就是更相減損術。在九章算術中有更相減損術求最大公約數的步驟：可半者半之，不可半者

60、，副置分母?子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。翻譯為：（1） ：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。若是，用2 約簡；若不是，執行第二步。 （2） ：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。例 2 用更相減損術求98 與 63的最大公約數 . 分析：（略）3、輾轉相除法與更相減損術的區別：（1）都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯。滿足條件？循環體是