1、浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院任課教師：潘永娟任課教師：潘永娟課程網(wǎng)址課程網(wǎng)址: http:/:74/fbhs/公共公共 E-mail Address Password: fubian 在在文件中心文件中心-網(wǎng)盤目錄下的子目錄下網(wǎng)盤目錄下的子目錄下復(fù)變函數(shù)歷史背景復(fù)變函數(shù)歷史背景十八世紀(jì)：十八世紀(jì)：十六世紀(jì)：復(fù)數(shù)十六世紀(jì)：復(fù)數(shù)“虛數(shù)虛數(shù)”復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義流體力學(xué)等流體力學(xué)等達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾(Alembert: 1717-1783)歐拉歐拉 (Euler: 1707-1783) 復(fù)變函數(shù)歷史背景復(fù)變函數(shù)歷史背景十十九九世紀(jì)：世紀(jì)：柯西柯西 (Cauchy:

2、1789-1857): 復(fù)積分復(fù)積分黎曼黎曼 (Riemann: 1826-1866): 保形映射等保形映射等Cauchy-Riemann方程方程維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯 (Weierstrass: 1815-1897): 復(fù)級數(shù)復(fù)級數(shù)-復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立Fourier (傅里葉傅里葉 1768 1830)法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家. 代表作代表作熱的解析理論熱的解析理論(1822年年)(三角級數(shù)和三角積分三角級數(shù)和三角積分) 傅里葉分析傅里葉分析對近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展對近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展 都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響. 積分變換歷

3、史背景積分變換歷史背景(Fourier級數(shù)和級數(shù)和Fourier積分積分) Laplace (拉普拉斯拉普拉斯 1749 1827)法國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家法國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家代表性成果代表性成果:拉普拉斯變換、拉普拉斯定理、拉普拉斯方程拉普拉斯變換、拉普拉斯定理、拉普拉斯方程在科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。積分變換歷史背景積分變換歷史背景(天體力學(xué)的主要奠基人、分析概率論天體力學(xué)的主要奠基人、分析概率論的創(chuàng)始人的創(chuàng)始人)研究內(nèi)容研究內(nèi)容主要內(nèi)容主要內(nèi)容:復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù): 自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)解析函數(shù)解析函數(shù)( 可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù) )復(fù)變函數(shù)

4、的積分復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)級數(shù)復(fù)級數(shù)留數(shù)留數(shù)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)積分變換積分變換: 將實函數(shù)變換為復(fù)函數(shù)將實函數(shù)變換為復(fù)函數(shù)Fourier變換變換Laplace變換變換Z變換變換(2) 復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于計算某些復(fù)雜的復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于計算某些復(fù)雜的實函實函數(shù)的積分?jǐn)?shù)的積分. (1) 解決了代數(shù)方程解決了代數(shù)方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解在實數(shù)范圍內(nèi)無解的的210 x (3) 復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于流體流體的平面平行流動的平面平行流動等問題的研究等問題的研究.應(yīng)用復(fù)變函數(shù)理論證明了應(yīng)用復(fù)變函數(shù)理論證明了代數(shù)基本定理代數(shù)基本定理復(fù)變

5、函數(shù)與積分變換應(yīng)用背景問題問題.(4) 應(yīng)用于計算繞流問題中的應(yīng)用于計算繞流問題中的壓力和力矩壓力和力矩等等.(5) 應(yīng)用于計算應(yīng)用于計算滲流滲流問題問題. 例如：大壩、鉆井的浸潤曲線例如：大壩、鉆井的浸潤曲線.(6) 應(yīng)用于平面應(yīng)用于平面熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)問題、電問題、電(磁磁)場強(qiáng)度場強(qiáng)度. 例如：熱爐中溫度的計算例如：熱爐中溫度的計算. 最著名的例子是飛機(jī)機(jī)翼剖面壓力的計算最著名的例子是飛機(jī)機(jī)翼剖面壓力的計算, 從而研究機(jī)翼的造型問題從而研究機(jī)翼的造型問題.變換應(yīng)用于變換應(yīng)用于頻譜分析頻譜分析和和信號處理信號處理等等. (7) 復(fù)變函數(shù)理論也是復(fù)變函數(shù)理論也是積分變換的重要基礎(chǔ)積分變換的重要基

6、礎(chǔ). 積分變換在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力積分變換在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力工程、通信和控制領(lǐng)域以及信號分析、圖象處理工程、通信和控制領(lǐng)域以及信號分析、圖象處理和其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域和其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域 頻譜分析是對各次諧波的頻率、振幅、相位之頻譜分析是對各次諧波的頻率、振幅、相位之間的關(guān)系進(jìn)行分析間的關(guān)系進(jìn)行分析. 隨著計算機(jī)的發(fā)展，語音、圖隨著計算機(jī)的發(fā)展，語音、圖象等作為信號，在頻域中的處理要方便得多象等作為信號，在頻域中的處理要方便得多.(8)變換應(yīng)用于求解微積分方程和控制問題變換應(yīng)用于求解微積分方程和控制問題. 在控制問題中，傳遞函數(shù)是輸入量的在控制問

7、題中，傳遞函數(shù)是輸入量的Laplace變換與輸出量的變換與輸出量的Laplace變換之比變換之比.(9)(10) 后繼的相關(guān)課程后繼的相關(guān)課程電路原理電路原理， 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)，通信原理通信原理， 數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理，自動控制原理自動控制原理，電磁場與電磁波電磁場與電磁波學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)方法 復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論和方法是實復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論和方法是實變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多之間有許多相似之處相似之處。但又有。但又有不同之處不同之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)

8、與結(jié)果意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果. 積分變換中公式積分變換中公式復(fù)雜復(fù)雜，但要理解和掌握，但要理解和掌握本質(zhì)本質(zhì).復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)的幾何表示乘冪與方根乘冪與方根復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點一、復(fù)數(shù)的概念一、復(fù)數(shù)的概念引進(jìn)虛數(shù)單位引進(jìn)虛數(shù)單位i，規(guī)定：規(guī)定：21,i iyxz稱稱為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù). .,Rx yx, y 分別稱為分別稱為 z 的的實部實部和和虛部，虛部，記為記為)Im(),Re(zyzx復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)(C)實數(shù)實數(shù) ( y =0)虛數(shù)虛數(shù) ( )0y 純

9、虛數(shù)純虛數(shù) ( x=0)非純虛數(shù)非純虛數(shù) ( )0 x 簡單性質(zhì)：簡單性質(zhì)：111,zxiy222iyxz,則212121yyxxzz且(2) 000yxiyxz且.(1) 設(shè)注意：一般說來，任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小！注意：一般說來，任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小！. .11221212()()()()xiyxiyxxi yy)()()()(211221212211yxyxiyyxxiyxiyx11111222222222()()()()zxiyxiyxiyzzxiyxiyxiy二二 、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算111,zxiy222iyxz設(shè)1. 和、差：2. 積：3. 商：2(0)z 復(fù)數(shù)的

10、加法與乘法滿足交換律，結(jié)合律；乘法還滿復(fù)數(shù)的加法與乘法滿足交換律，結(jié)合律；乘法還滿足分配律。足分配律。1212211222222222,x xy yx yx yixyxy1212,zzzz1 212,z zz z11222 (0);zzzzz;zz222Re( )Im( ) ;zzzzz2Re( ), 2Im( ).z zzz ziz （1）（2） （3）（4）41,mi41,mii421,mi43,mii()m Z5. 4. 共軛復(fù)數(shù)： 設(shè) , 則定義共軛復(fù)數(shù) zxiyzxiy,并有如下性質(zhì)：1nn-110. aaaa0,2. ()nnzxxxz證明若 是實系數(shù)方程證明若 是實系數(shù)方程的根

11、則 也是其根實系數(shù)方程的復(fù)根成對出現(xiàn)的根 則 也是其根實系數(shù)方程的復(fù)根成對出現(xiàn)例例22. ,1? zzzz對任何 是否有如果是,給出證明,對任何 是否有如果是,給出證明,如果不是,對哪些 值如果不是,對哪些 值例例才成立?才成立?三、復(fù)平面及復(fù)數(shù)的幾何表示三、復(fù)平面及復(fù)數(shù)的幾何表示設(shè) zxiyOxyxyP()P x y,x軸實軸,虛軸y軸1. 模模 、輻角、輻角z rOP (x,y)22xy ;, ,xzyz,zxy22 zzzz則有模：輻角：Arg,ztan(Arg )yzxOP A 00 OPz在在 時時, 定義定義 的輻角的輻角 是以正實軸為始邊是以正實軸為始邊,以表示以表示 的向量的向

12、量 為終邊的角的為終邊的角的弧度數(shù)弧度數(shù), 記作：記作： 0z zzOP 任一非零復(fù)數(shù)的幅角有無窮多個，且任意兩個幅任一非零復(fù)數(shù)的幅角有無窮多個，且任意兩個幅角之間相差角之間相差2.k輻角主值輻角主值 的確定的確定)0(argzzzarg00 在在 的幅角中的幅角中, 把滿足把滿足 的幅角的幅角 定義定義為為z的輻角主值，記作的輻角主值，記作 (0)z 0OxyxyP(x,y)0arctan 0,00/2, 0, 0/2 0, 0argarctan 0,0arctan 0,0 0,0yxyyxxyxyzyxyxyxyxxy ,;,;,;,.或，注意：當(dāng)注意：當(dāng)z=0時時, 輻角不確定輻角不確定

13、.Argarg2 ,zzkkZ即argarg ?zz (第二象限第二象限)(第三象限第三象限)121212,zzzzzz2. 復(fù)數(shù)的向量運(yùn)算復(fù)數(shù)的向量運(yùn)算: yx y OO12z z2z1z2z2z 12z zx平行四邊形法則或三角形法則平行四邊形法則或三角形法則有關(guān)系式：有關(guān)系式：1z3. 復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示cossinxryr, rz其中則則(cossin )zriire復(fù)數(shù)的三角表示復(fù)數(shù)的三角表示.復(fù)數(shù)的指數(shù)表示復(fù)數(shù)的指數(shù)表示. 線段線段 的長度的長度12z z12zz為為為為z的一個輻角的一個輻角(一般取一般取 輻角主值輻角主值) 1211221) ,ii

14、zrezr e設(shè)則則121212,=+2.zzrrk且2) 0| 0.zz有如下結(jié)論有如下結(jié)論:1) 13 ,zi 2) sincos55zi1,rz3sincoscos,52510例例1 1 將下列復(fù)數(shù)化為三角形式與指數(shù)形式將下列復(fù)數(shù)化為三角形式與指數(shù)形式. .3cossinsin,5251033cossin1010zi 310.ie解解 1)2,rz3arctan()12,3222 cossin33zi 232.ie 2)1212() ()zzzz例例2 2 設(shè)設(shè)z1, ,z2為任意兩個復(fù)數(shù)，求證為任意兩個復(fù)數(shù)，求證證明證明2121zzzz2121212()()zzzzzz21122211

15、zzzzzzzz21122221zzzzzz1 21 21 22Re(),z zzzz z)2Re(212221221zzzzzz2122212zzzz2212122 zzzz因為因為所以所以兩邊開方即得所要得不等式兩邊開方即得所要得不等式. .212()zz四四、乘冪與方根乘冪與方根111111(cossin),izrire222222)sin(cosierirz12121122(cossin)(cossin)z zrrii1 212,z zzz)Arg()Arg()Arg(2121zzzz設(shè)則于是，12()12121212cos()sin()irrirr e1 212arg()arg( )

16、arg( )z zzz1、乘積乘積如取，121zzi ,幾何意義幾何意義 將復(fù)數(shù)將復(fù)數(shù)z1按按逆時針逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度方向旋轉(zhuǎn)一個角度 Argz2，再將其伸縮再將其伸縮|z2|倍。倍。1 oxy(z)1z2 z1z22 z212()1 212121212cos()sin()iz zrrirr e對有限個復(fù)數(shù)相乘也有類似結(jié)果 ！2、商、商)-(121212121212)sin()cos(ierrirrzz2211,zzzz1212ArgArgArgzzzz于是，由復(fù)數(shù)除法的定義由復(fù)數(shù)除法的定義 z=z2 /z1,1211122,(0),iizrerzr e設(shè) |z|z1|=|z2| 及及 A

17、rgz1+Argz=Arg z2（ z10）即即 z1z = z22211,zrzzrArgz=Argz2-Argz1 即：即：2211argarg()arg( )zzzz(cossin ),izrire設(shè)innnnnerninrzzzz )sin(cos 個則 innnerz 由由定定義義得得.1nnzz 定義定義特別：當(dāng)特別：當(dāng)|z|=1時，即：時，即：zn=cosn+isin n，則有，則有 (cos+isin)n=cosn+isinn 一棣模佛一棣模佛(De Moivre)公式。公式。3、乘冪、乘冪()nZ問題問題 給定復(fù)數(shù)給定復(fù)數(shù)z=re i ，當(dāng)，當(dāng)z0時，求所有滿足時，求所有滿足

18、 n=z 的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)。這樣的。這樣的值都稱為值都稱為z 的的 n次方根，次方根，1.nz記,zeni 由由設(shè)設(shè) iinnree 有有)(2,Zkknrn （開方）（開方）乘方的逆運(yùn)算乘方的逆運(yùn)算112kinnnzr e22(cossin)nkkrinn)1, 2 , 1 , 0( nk3、方根、方根2, ()nkrkZn幾何上幾何上， 的的n個值是個值是以原點為中心，以原點為中心， 為半為半徑的圓周上徑的圓周上n個等分點，個等分點，即它們是內(nèi)接于該圓周即它們是內(nèi)接于該圓周的正的正n邊形的邊形的n個頂點。個頂點。1nznr148(1)22442(cossin) (0,1,2,3)44kikkik如xyo0 1 2 3 822i 113( 8)2k ?222(cossin) (0,1,2)33kkik13