1、§9.4直線與圓、圓與圓的位置關系1判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關系d<r相交；dr相切；d>r相離(2)代數法：知識拓展圓的切線方程常用結論(1)過圓x2y2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0xy0yr2.(2)過圓(xa)2(yb)2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)過圓x2y2r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0xy0yr2.2圓與圓的位置關系設圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圓O2：(

2、xa2)2(yb2)2r(r2>0). 方法位置關系幾何法：圓心距d與r1，r2的關系代數法：聯立兩圓方程組成方程組的解的情況外離d>r1r2無解外切dr1r2一組實數解相交|r1r2|<d<r1r2兩組不同的實數解內切d|r1r2|(r1r2)一組實數解內含0d<|r1r2|(r1r2)無解知識拓展常用結論(1)兩圓的位置關系與公切線的條數：內含：0條；內切：1條；相交：2條；外切：3條；外離：4條(2)當兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項系數相同)相減便可得公共弦所在直線的方程【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)“k1”

3、是“直線xyk0與圓x2y21相交”的必要不充分條件(×)(2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數解，則兩圓外切(×)(3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交(×)(4)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程(×)(5)過圓O：x2y2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程是x0xy0yr2.()(6)過圓O：x2y2r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則O，P，A，B四點共圓且直線AB的方程是x0xy0yr2.()1圓(x1)2(y2)26與直線2xy50的位置關系是_答案相

4、交但直線不過圓心解析由題意知圓心(1，2)到直線2xy50的距離d<且2×1(2)50，所以直線與圓相交但不過圓心2(2013·安徽改編)直線x2y50被圓x2y22x4y0截得的弦長為_答案4解析圓的方程可化為(x1)2(y2)25，圓心(1,2)到直線x2y50的距離d1，截得弦長l24.3兩圓交于點A(1,3)和B(m,1)，兩圓的圓心都在直線xy0上，則mc的值等于_答案3解析由題意，知線段AB的中點在直線xy0上，20，mc3.4(2014·重慶)已知直線xya0與圓心為C的圓x2y22x4y40相交于A，B兩點，且ACBC，則實數a的值為_答案0

5、或6解析由x2y22x4y40得(x1)2(y2)29，所以圓C的圓心坐標為(1,2)，半徑為3，由ACBC可知ABC是直角邊長為3的等腰直角三角形，故可得圓心C到直線xya0的距離為，由點到直線的距離公式可得，解得a0或a6.題型一直線與圓的位置關系例1已知直線l：ykx1，圓C：(x1)2(y1)212.(1)試證明：不論k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點；(2)求直線l被圓C截得的最短弦長思維點撥直線與圓的交點個數即為直線方程與圓方程聯立而成的方程組解的個數；最短弦長可用代數法或幾何法判定方法一(1)證明由消去y得(k21)x2(24k)x70，因為(24k)228(k21)>0

6、，所以不論k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點(2)解設直線與圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則直線l被圓C截得的弦長AB|x1x2|22 ，令t，則tk24k(t3)0，當t0時，k，當t0時，因為kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值為4，此時AB最小為2.方法二(1)證明圓心C(1，1)到直線l的距離d，圓C的半徑R2，R2d212，而在S11k24k8中，(4)24×11×8<0，故11k24k8>0對kR恒成立，所以R2d2>0，即d<R，所以不論k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點(2)解由平面幾何知

7、識，知AB22 ，下同方法一方法三(1)證明因為不論k為何實數，直線l總過點P(0，1)，而PC<2R，所以點P(0,1)在圓C的內部，即不論k為何實數，直線l總經過圓C內部的定點P.所以不論k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點(2)解由平面幾何知識知過圓內定點P(0,1)的弦，只有和AC (C為圓心)垂直時才最短，而此時點P(0,1)為弦AB的中點，由勾股定理，知AB22，即直線l被圓C截得的最短弦長為2.思維升華(1)與弦長有關的問題常用幾何法，即利用弦心距、半徑和弦長的一半構成直角三角形進行求解(2)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關系，也可利用直線的方程與圓的方程聯立后得

8、到的一元二次方程的判別式來判斷直線與圓的位置關系(1)若直線axby1與圓x2y21相交，則P(a，b)_在圓上 在圓外在圓內 以上都有可能(2)(2014·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，直線x2y30被圓(x2)2(y1)24截得的弦長為_答案(1)(2)解析(1)由<1，得>1，所以點P在圓外(2)圓心為(2，1)，半徑r2.圓心到直線的距離d，所以弦長為22 .題型二圓的切線問題例2(1)過點P(2,4)引圓(x1)2(y1)21的切線，則切線方程為_；(2)已知圓C：(x1)2(y2)210，求滿足下列條件的圓的切線方程與直線l1：xy40平行；與直線l2：x2

9、y40垂直；過切點A(4，1)思維點撥用待定系數法，先設出切線方程，再求系數(1)答案x2或4x3y40解析當直線的斜率不存在時，直線方程為x2，此時，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；當直線的斜率存在時，設直線方程為y4k(x2)，即kxy42k0，直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，即d1，解得k，所求切線方程為xy42×0，即4x3y40.(2)解設切線方程為xyb0，則，b1±2，切線方程為xy1±20；設切線方程為2xym0，則，m±5，切線方程為2xy±50；kAC，過切點A(4，1)的切線斜率為3，過切點A(4

10、，1)的切線方程為y13(x4)，即3xy110.思維升華求圓的切線方程的常用方法：(1)設出切線方程，由幾何性質確定參數值(2)過圓外一點(x0，y0)求切線，既可采用幾何法也可采用代數法幾何方法：當斜率存在時，設為k，切線方程為yy0k(xx0)，由圓心到直線的距離等于半徑求解代數方法：當斜率存在時，設切線方程為yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圓方程，得一個關于x的一元二次方程，由0，求得k，切線方程即可求出(2013·江蘇)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y2x4.設圓C的半徑為1，圓心在l上(1)若圓心C也在直線yx1上，過點A作圓C的切線

11、，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使MA2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍解(1)由題設，圓心C是直線y2x4和yx1的交點，解得點C(3,2)，于是切線的斜率必存在設過A(0,3)的圓C的切線方程為ykx3，由題意，得1，解得k0或，故所求切線方程為y3或3x4y120.(2)因為圓心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設點M(x，y)，因為MA2MO，所以2 ，化簡得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|21|CD21，即13.由5a212a80，得a

12、R；由5a212a0，得0a.所以點C的橫坐標a的取值范圍為.題型三圓與圓的位置關系例3(1)已知兩圓C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x2y80，則兩圓公共弦所在的直線方程是_(2)兩圓x2y26x6y480與x2y24x8y440公切線的條數是_(3)已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100，若由動點P向O和O所引的切線長相等，則動點P的軌跡方程是_答案(1)x2y40(2)2(3)x解析(1)兩圓的方程相減得：x2y40.(2)兩圓圓心距d<，兩圓相交，故有2條公切線(3)O的圓心為(0,0)，半徑為，O的圓心為(4,0)，半徑為，設點P為(x，y)，

13、由已知條件和圓切線性質得x2y22(x4)2y26，化簡得x.思維升華判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數法若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到(1)圓C1：x2y22y0，C2：x2y22x60的位置關系為_(2)設M(x，y)|y，a>0，N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a>0，且MN，求a的最大值和最小值(1)答案內切解析圓C1：x2y22y0的圓心為C1(0,1)，半徑r11，圓C2：x2y22x60的圓心為C2(，0)，半徑r23，C1C22，又r1r24，r2r12，C

14、1C2r2r12，圓C1與C2內切(2)解M(x，y)|y，a>0，即(x，y)|x2y22a2，y0，表示以原點O為圓心，半徑等于a的半圓(位于橫軸或橫軸以上的部分)N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a>0，表示以O(1，)為圓心，半徑等于a的一個圓再由MN，可得半圓和圓有交點，故半圓和圓相交或相切當半圓和圓相外切時，由OO2aa，求得a22；當半圓和圓相內切時，由OO2aa，求得a22，故a的取值范圍是22,22，a的最大值為22，最小值為22.高考中與圓交匯問題的求解一、與圓有關的最值問題典例：(1)(2014·江西改編)在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y

15、軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2xy40相切，則圓C面積的最小值為_(2)(2014·北京改編)已知圓C：(x3)2(y4)21和兩點A(m,0)，B(m，0)(m>0)，若圓C上存在點P，使得APB90°，則m的最大值為_思維點撥(1)原點O在圓上，當切點與O連線過圓心時，半徑最小(2)以AB為直徑的圓與圓C有交點解析(1)AOB90°，點O在圓C上設直線2xy40與圓C相切于點D，則點C與點O間的距離等于它到直線2xy40的距離，點C在以O為焦點，以直線2xy40為準線的拋物線上，當且僅當O，C，D共線時，圓的直徑最小為OD.又OD，圓C的最小半

16、徑為，圓C面積的最小值為()2.(2)根據題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標為(3,4)，半徑r1，且AB2m.因為APB90°，連結OP，易知OPABm.要求m的最大值，即求圓C上的點P到原點O的最大距離因為OC5，所以OPmaxOCr6，即m的最大值為6.答案(1)(2)6溫馨提醒與圓有關的最值問題主要表現在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關參數的最值等方面解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質將問題轉化如本例(1)中，將面積問題轉化為了點到直線的距離；(2)中，將參數范圍轉化為了兩圓位置關系問題熟練掌握圓的幾何性質是解決問題的根本二、圓與不等

17、式的交匯問題典例：(3)設m，nR，若直線(m1)x(n1)y20與圓(x1)2(y1)21相切，則mn的取值范圍是_(4)(2014·安徽改編)過點P(，1)的直線l與圓x2y21有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是_思維點撥圓與不等式的交匯實質上反映了圓的獨特性質，即圓內點、圓外點的性質，直線與圓相交、相離的性質，圓與圓的相交、相離的性質等，這些問題反映在代數上就是不等式的形式解析(1)根據圓心到直線的距離是1得到m，n的關系，再用基本不等式求解圓心(1,1)到直線(m1)x(n1)y20的距離為1，所以mn1mn(mn)2，所以mn22或mn22.(2)設過點P的直線方程為y

18、k(x)1，則由直線和圓有公共點知1.解得0k.故直線l的傾斜角的取值范圍是0，答案(1)(，2222，)(2)溫馨提醒直線與圓位置關系的考查，一般是已知位置關系求參數值，基本不等式的考查，一般是給出參數關系，利用基本不等式求最值或范圍而典例(3)卻以直線與圓的位置關系給出參數之間的數量關系，利用基本不等式轉化，結合換元法把關系轉化為一元二次不等式，從而求得mn的取值范圍，這一交匯命題新穎獨特，考查知識全面，難度中等，需要注意各知識點應熟練掌握才能逐一化解方法與技巧1直線與圓的位置關系體現了圓的幾何性質和代數方法的結合，“代數法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來判斷的2求過一點的圓的切線方程

19、時，首先要判斷此點是否在圓上，然后設出切線方程注意：斜率不存在的情形3圓的弦長的常用求法(1)幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則2r2d2；(2)代數方法：運用根與系數的關系及弦長公式：AB|x1x2|.失誤與防范1求圓的弦長問題，注意應用圓的性質解題，即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質，可以用勾股定理或斜率之積為1列方程來簡化運算2過圓上一點作圓的切線有且只有一條；過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解.A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)1(2014·湖南改編)若圓C1：x2y21與圓C2：x2y

20、26x8ym0外切，則m_.答案9解析圓C2的標準方程為(x3)2(y4)225m.又圓C1：x2y21，C1C25.又兩圓外切，51，解得m9.2(2013·福建改編)已知直線l過圓x2(y3)24的圓心，且與直線xy10垂直，則l的方程是_答案xy30解析圓x2(y3)24的圓心為點(0,3)，又因為直線l與直線xy10垂直，所以直線l的斜率k1.由點斜式得直線l：y3x0，化簡得xy30.3若圓C1：x2y22axa290(aR)與圓C2：x2y22byb210 (bR)內切，則ab的最大值為_答案2解析圓C1：x2y22axa290 (aR)化為：(xa)2y29，圓心坐標為

21、(a,0)，半徑為3.圓C2：x2y22byb210 (bR)，化為x2(yb)21，圓心坐標為(0，b)，半徑為1，圓C1：x2y22axa290 (aR)與圓C2：x2y22byb210 (bR)內切，31，即a2b24，ab(a2b2)2.ab的最大值為2.4(2013·山東改編)過點P(3,1)作圓C：(x1)2y21的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為_答案2xy30解析如圖所示：由題意知：ABPC，kPC，kAB2，直線AB的方程為y12(x1)，即2xy30.5已知直線ykxb與圓O：x2y21相交于A，B兩點，當b時，·_.答案1解析設A(x1，

22、y1)，B(x2，y2)，將ykxb代入x2y21得(1k2)x22kbxb210，故x1x2，x1x2，從而·x1x2y1y2(1k2)x1x2kb(x1x2)b2b21b211.6若直線yxb與曲線y3有公共點，則b的取值范圍是_答案12b3解析由y3，得(x2)2(y3)24(1y3)曲線y3是半圓，如圖中實線所示當直線yxb與圓相切時，2.b1±2.由圖可知b12.b的取值范圍是.7(2014·上海)已知曲線C：x，直線l：x6，若對于點A(m,0)，存在C上的點P和l上的Q使得0，則m的取值范圍為_答案2,3解析曲線C：x，是以原點為圓心，2為半徑的圓，

23、并且xP2,0，對于點A(m,0)，存在C上的點P和l上的Q使得0，說明A是PQ的中點，Q的橫坐標x6，m2,38若圓x2y24與圓x2y22ay60 (a>0)的公共弦長為2，則a_.答案1解析方程x2y22ay60與x2y24.相減得2ay2，則y.由已知條件 ，即a1.9已知以點C(t，)(tR，t0)為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為原點(1)求證：OAB的面積為定值；(2)設直線y2x4與圓C交于點M，N，若OMON，求圓C的方程(1)證明圓C過原點O，OC2t2.設圓C的方程是(xt)2(y)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，

24、SOABOA·OB×|×|2t|4，即OAB的面積為定值(2)解OMON，CMCN，OC垂直平分線段MN.kMN2，kOC.t，解得t2或t2.當t2時，圓心C的坐標為(2,1)，OC，此時C到直線y2x4的距離d<，圓C與直線y2x4相交于兩點當t2時，圓心C的坐標為(2，1)，OC，此時C到直線y2x4的距離d>.圓C與直線y2x4不相交，t2不符合題意，舍去圓C的方程為(x2)2(y1)25.10已知矩形ABCD的對角線交于點P(2,0)，邊AB所在直線的方程為x3y60，點(1,1)在邊AD所在的直線上(1)求矩形ABCD的外接圓的方程；(2)

25、已知直線l：(12k)x(1k)y54k0(kR)，求證：直線l與矩形ABCD的外接圓恒相交，并求出相交的弦長最短時的直線l的方程解(1)lAB：x3y60且ADAB，點(1,1)在邊AD所在的直線上，AD所在直線的方程是y13(x1)，即3xy20.由得A(0，2)AP2，矩形ABCD的外接圓的方程是(x2)2y28.(2)直線l的方程可化為k(2xy4)xy50，l可看作是過直線2xy40和xy50的交點(3,2)的直線系，即l恒過定點Q(3,2)，由(32)2225<8知點Q在圓P內，l與圓P恒相交設l與圓P的交點為M，N，則MN2(d為P到l的距離)，設PQ與l的夾角為，則dPQ·sin sin ，當90°時，d最大，MN最短此時l的斜率為PQ的斜率的負倒數，即，故l的方程為y2(x3)，即x2y70.B組專項能力提升(時間：20分鐘)1若直線l：ykx1 (k<0)與圓C：x24xy22y30相切，則直線l與圓D：(x2)2y23的位置關系是_答案相交解析因為圓C的標準方程為(x2)2(y1)22，所以其圓心坐標為(2,1)，半徑為，因為直線l與圓C相切所以，解得k±1，因為k<0，所以k1，所以直線l的方程為xy10.圓心D(2,0)到直線l的距離