1、導數的基礎知識一導數的定義：1.(1).函數 yf ( x)在 xx0處的導數 : f '(x0 )y '|x x0limf (x0x0(2).函數 yf ( x)的導數 : f '(x) y ' limf ( x x)f ( x)x 0x2. 利用定義求導數的步驟：y f (x0y求函數的增量：x) f ( x0 ) ；求平均變化率：x取極限得導數：f '( x0 ) limyxx 0（下面內容必記）x)f ( x0 )xf ( x0x)f ( x0 ) ；x二、導數的運算：（ 1）基本初等函數的導數公式及常用導數運算公式：nxn 1 ； ( 1n )

2、 'mm1 C ' 0(C為常數 ) ； ( xn )'( xn ) 'nx n 1 ； ( n xm )' (x n)'m x nxxxxxn (sin x)'cos x ； (cos x)'sin x()'；ee(a )'a ln a(a0,且a 1) (ln x) '110,且 a1)； (log a x)'(axx ln a法則 1： f ( x)g (x)'法則 2：f ( x)g( x)'法則 3：f ( x)'f '( x)g( x)f '(x)

3、g '(x) ；( 口訣：和與差的導數等于導數的和與差).f '( x)g( x) f ( x)g '( x) ( 口訣：前導后不導相乘，后導前不導相乘，中間是正號)g(x)f ( x) g '( x)( g (x) 0) g ( x) 2( 口訣：分母平方要記牢，上導下不導相乘，下導上不導相乘，中間是負號)（ 2）復合函數 yf ( g( x) 的導數求法：y 'g( x)'f (u)' 回代 u換元，令 ug( x) ，則 yf (u) 分別求導再相乘g( x)題型一、導數定義的理解題型二：導數運算1、已知 fxx22xsin，則 f

4、 ' 02、若 f xex sin x，則 f 'x3.f (x) =ax3+3x2+2， f (1)4 ，則 a=（）A.101316193B.3C.D.33三導數的物理意義1. 求瞬時速度：物體在時刻t 0 時的瞬時速度 V0就是物體運動規律Sft在 t t0時的導數 ft0，即有 V0ft0 。2.V s/ (t)表示即時速度。 a=v/ (t)表示加速度。四導數的幾何意義：函數 f x在 x0 處導數的幾何意義， 曲線 yf x 在點 Px0 , fx0處切線的斜率是 kfx0。于是相應的切線方程是： yy0fx0xx0。題型三用導數求曲線的切線注意兩種情況：（ 1）曲

5、線 yfx在點 Px0 , fx0處切線： 性質： k切線fx0 。相應的切線方程是：yy0f x0x x0（ 2）曲線 yf x 過點 Px0 , y0 處切線：先設切點，切點為 Q (a,b) , 則斜率k= f '(a) ，切點 Q( a, b)在曲線yf x 上，切點 Q (a,b) 在切線 yy0fa xx0上，切點 Q(a,b) 坐標代入方程得關于a,b 的方程組， 解方程組來確定切點，最后求 斜率 k= f '(a) ，確定切線方程。例題在曲線 y=x3+3x2+6x-10 的切線中，求斜率最小的切線方程；解析：（ 1） ky'|x x03x 0 26x0

6、63 (x 0 1)23當 x =-1時， k 有最小值 3，0此時 P 的坐標為（ -1 ， -14 ）故所求切線的方程為3x-y-11=0五函數的單調性：設函數yf ( x) 在某個區間內可導，（ 1） f '(x)0f ( x) 該區間內為增函數；（ 2） f '(x)0f ( x) 該區間內為減函數；注意：當 f '(x) 在某個區間內個別點處為零，在其余點處為正（或負）時，f (x) 在這個區間上仍是遞增（或遞減）的。（ 3） f (x) 在該區間內單調遞增f'(x)0 在該區間內恒成立；（ 4） f (x) 在該區間內單調遞減f'(x)0 在

7、該區間內恒成立；題型一、利用導數證明（或判斷）函數f (x)在某一區間上單調性：步驟：（ 1）求導數 yf ( x)(2) 判斷導函數 yf (x) 在區間上的符號(3) 下結論f '( x)0f ( x) 該區間內為增函數；f '( x)0f ( x) 該區間內為減函數；題型二、利用導數求單調區間求函數 yf ( x) 單調區間的步驟為：（ 1）分析yf (x) 的定義域；（2）求導數yf (x)（ 3）解不等式f (x)0，解集在定義域內的部分為增區間（ 4）解不等式 f (x)0 ，解集在定義域內的部分為減區間題型三、利用單調性求參數的取值（轉化為恒成立問題）思路一 .

8、（ 1） f (x) 在該區間內單調遞增f '(x)0 在該區間內恒成立；（ 2） f ( x) 在該區間內單調遞減f '( x)0在該區間內恒成立；思路二 . 先求出函數在定義域上的單調增或減區間，則已知中限定的單調增或減區間是定義域上的單調增或減區間的子集。注意：若函數f （ x）在（ a， c）上為減函數，在（c， b）上為增函數 ，則 x=c 兩側使函數f （ x）變號，即 x=c 為函數的一個極值點，所以f'(c)0例題若函數f ( x)ln xf (4), cf (5)則 ( )x，若 a f (3),bA. a< b < cB. c <

9、b < aC. c < a < bD. b < a < c六、函數的極值與其導數的關系：1. 極值的定義：設函數f ( x) 在點 x0附近有定義，且若對 x0 附近的所有的點都有 f ( x)f ( x0 ) （或 f (x)則稱 f (x ) 為函數的一個極大（或小）值，x 為極大（或極小）值點。00可導數 f ( x) 在極值點0（即 f '(x0 )0 ），但函數 f ( x) 在某點 x0 處的導數為0，并不一定函數 x0 處的導數為該處取得極值（如f ( x)x3 在 x00 處的導數為0，但 f (x) 沒有極值） 。求極值的步驟：第一步：求

10、導數f'(x) ；第二步：求方程f'(x)0 的所有實根；第三步：列表考察在每個根x0 附近，從左到右，導數f '( x) 的符號如何變化，若 f '( x) 的符號由正變負，則f ( x0 ) 是極大值；若 f '( x) 的符號由負變正，則f ( x0 ) 是極小值；若 f '( x) 的符號不變，則 f ( x0 ) 不是極值， x0 不是極值點。2、函數的最值：f ( x0 ) ，f ( x) 在最值的定義： 若函數在定義域D內存 x0 ，使得對任意的x D ，都有 f (x)f (x0 ) ，（或 f (x)f ( x0 ) ）則稱 f

11、 ( x0 )為函數的最大（小）值，記作ymax f ( x0 ) （或 yminf ( x0 ) ）如果函數 yf ( x) 在閉區間 a, b 上的圖象是一條連續不間斷的曲線，則該函數在閉區間 a, b 上必有最大值和最小值。求可導函數f (x) 在閉區間 a, b 上的最值方法：第一步；求 f( x) 在區間 a,b 內的極值；第二步：比較f (x) 的極值與 f (a) 、 f (b) 的大小：第三步：下結論: 最大的為最大值，最小的為最小值。注意： 1、極值與最值關系：函數的最值是比較整個定義域區間的函數值得出的，函數的最大值和最小值點可以在極值點、不可導點、區間的端點處取得。極值最

12、值。函數f(x) 在區間 a,b上的最大值為極大值和f(a)、 f(b)中最大的一個。最小值為極小值和f(a)、 f(b) 中最小的一個。2函數在定義域上只有一個極值，則它對應一個最值（極大值對應最大值; 極小值對應最小值）3、注意：極大值不一定比極小值大。如f ( x) x12 ，極小值為 2。的極大值為x注意：當 x=x 0 時，函數有極值f/ (x 0) 0。但是， f / (x 0) 0 不能得到當 x=x 0 時，函數有極值；判斷極值，還需結合函數的單調性說明。題型一、求極值與最值題型二、導數的極值與最值的應用題型四、導數圖象與原函數圖象關系導函數原函數f'(x) 的符號f

13、( x) 單調性f '(x) 與 x 軸的交點且交點兩側異號f (x) 極值f '(x) 的增減性f ( x) 的每一點的切線斜率的變化趨勢（ f (x) 的圖象的增減幅度）f'(x) 的增f ( x) 的每一點的切線斜率增大（f ( x) 的圖象的變化幅度快）f '(x) 減f ( x) 的每一點的切線斜率減小（ f ( x) 的圖象的變化幅度慢）例 1.已知 f(x)=ex -ax-（ 1）求 f(x) 的單調增區間；（ 2）若 f(x ）在定義域 R 內單調遞增，求a 的取值范圍；（ 3）是否存在 a, 使 f(x) 在（ - ， 0上單調遞減，在0，+）

14、上單調遞增？若存在，求出a 的值；若不存在，說明理由 .解： f (x) =ex-a（ 1）若 a0， f(x) =ex- a0恒成立，即 f(x)在 R上遞增若 a>0,e x- a0, ex a,x lna. f(x) 的單調遞增區間為（ 2） f （ x）在 R 內單調遞增，f ( x) 0在 R 上恒成立xxxxe- a0，即 ae 在 R 上恒成立（ e） min，又e >0，（ 3）由題意知， x=0 為 f(x)的極小值點 . f(0 ) =0, 即 e0- a=0, a=1.例 2.已知函數 f(x)=x 3+ax2+bx+c, 曲線 y=f(x ）在點 x=1 處

15、的切線為 l:3x-y+1=0，若 x= 2 時， y=f(x ）有極值 . （ 1）求3a,b,c的值；（ 2）求 y=f(x）在 -3 ， 1上的最大值和最小值 .解 （ 1）由 f(x)=x 3+ax2+bx+c, 得 f(x) =3x2當 x=1 時，切線 l的斜率為 3，可得當 x=2 時， y=f(x)有極值，則f2=0, 可得33由解得 a=2,b=-4. 由于切點的橫坐標為（ 2）由（ 1）可得 f(x)=x 3+2x2- 4x+5, f( x) =3x2+4x-令 f (x ) =0, 得 x=-2,x=23當 x 變化時， y,y 的取值及變化如下表：222x-3(-3,-

16、2)-22,3,1133y+0-0+y8單調遞增13單調遞減95單調遞增274y=f （ x）在 -3 ， 1上的最大值為13，最小值為95 .27例 3. 當 x0 ，證明不等式xx)ln(11 x證明： f ( x)ln( x 1)xln( x， g (x)1x當 x 0 時。f ( x) 在 0,內是增函數，x.1)x ，則 f (x)x，x)2(1f ( x)f (0) ，即 ln(1x)x0 ，1 x又 g ( x)x0 時， g (x)0 ，g (x) 在 0,內是減函數，g (x) g(0) ，即 ln(1 x) x0 ，因，當 x1xx此，當 x 0時，不等式ln(1x)x成立

17、 .1xx點評： 由題意構造出兩個函數f (x)ln( x1)ln( x 1)x .， g( x)1x.利用導數求函數的單調區間或求最值，從而導出是解決本題的關鍵七定積分求值bnb a1定積分的概念limf設函數 f ( x) 在區間 a,b 上連續，則f ( x)dxinani 1nba2. 用定義求定積分的一般方法是：分割： n 等分區間a, b ；近似代替： 取點 ixi 1 , xi ；求和：i 1bnb alim取極限：f (x)dxf iani 1nnf ( i ) ；3. 曲邊圖形面積 ： fx0,Sb0, Sbf x dx ； f xf x dxaa在 x 軸上方的面積取正，下

18、方的面積取負b變速運動路程 St2變力做功 Wv(t )dt ；F (r )drt1a4定積分的性質bkb性質 1kf ( x)dxf ( x)dx （其中 k 是不為 0 的常數）aabf2 (x)dxbb性質 2 f1 (x)f1( x)dxf 2 (x)dxaaabcb性質 3f (x)dxf (x)dxf (x)dx(其中a cb)（定積分對積分區間的可加性）aacb5. 定理函數 F ( x) 是 a, b 上 f (x) 的一個原函數，即f (x)F ( x) 則 f ( x)dx F (x) |ab F (b) F (a)a導數各種題型方法總結（一）關于二次函數的不等式恒成立的主

19、要解法：1、分離變量； 2 變更主元； 3 根分布； 4 判別式法 5、二次函數區間最值求法：（1）對稱軸（重視單調區間）與定義域的關系（2）端點處和頂點是最值所在（二）分析每種題型的本質，你會發現大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應用數形結合思想”，創建不等關系求出取值范圍。（三）同學們在看例題時，請注意尋找關鍵的等價變形和回歸的基礎一、基礎題型：函數的單調區間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：第一步：令f ' ( x)0 得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實質是函數的最值問題，2、常見處理方法有三

20、種：第一種：分離變量求最值 - 用分離變量時要特別注意是否需分類討論（>0,=0,<0）第二種：變更主元（即關于某字母的一次函數）-（已知誰的范圍就把誰作為主元） ；例 1：設函數 yf ( x) 在區間 D 上的導數為 f ( x) ， f (x)在區間 D 上的導數為 g ( x) ，若在區間 D 上， g (x)0 恒成立，則稱函數y f (x) 在區間 D 上為“凸函數” ，已知實數 m 是常數， f ( x)x4mx33x21262（ 1）若 yf ( x) 在區間0,3 上為“凸函數” ，求 m 的取值范圍；（ 2）若對滿足m 2的任何一個實數m ，函數 f(x) 在區

21、間 a, b 上都為“凸函數” ，求 ba 的最大值 .解 :由函數 f (x)x4mx33x2x3mx23x1262得 f ( x)32x2g(x)mx3（ 1）yf (x) 在區間 0,3 上為“凸函數” ，則g(x)x2mx30 在區間 0,3 上恒成立解法一：從二次函數的區間最值入手：等價于gmax (x)0g( 0 )030m2g( 3 )09 m330解法二：分離變量法： 當 x0 時 ,g( x)x2mx330恒成立 ,當0x 3 時 ,g( x)x2mx30 恒成立等價于 mx2330x3 ）恒成立，x的最大值（xx而 h(x)3x3 ）是增函數，則hmax (x)h(3)2x

22、（ 0m2x(2) 當 m2 時 f ( x) 在區間a, b 上都為“凸函數”則等價于當 m 2 時 g( x)x2mx30恒成立變更主元法再等價于 F ( m)mxx230 在 m2 恒成立 （視為關于 m 的一次函數最值問題）F (2 )0x2x23 0F (2)02x x231 x 10ba2-22例 2：設函數f ( x)1x32ax232x b(0a1,)3ab R（）求函數 f （x）的單調區間和極值；（）若對任意的x a1, a2, 不等式 f ( x)a恒成立，求 a 的取值范圍 .（二次函數區間最值的例子）解：（） f ( x)x24ax3a2x3axa0 a1f(x)a3

23、aa3a令 f ( x)0, 得 f (x) 的單調遞增區間為（a,3a）令 f ( x)0, 得 f (x) 的單調遞減區間為（， a）和（ 3a， +）當 x=a 時， f ( x) 極小值 =3 a3b;當 x= 3a 時， f ( x) 極大值 =b.42, a x24ax 3a2（）由 | f ( x) | a，得：對任意的x a1, aa 恒成立則 等 價 于 g( x) 這 個 二 次 函 數gm a x( x)ag( x)x24ax3a2 的 對 稱 軸 x 2a0 a 1,gm i n( x)aa 1 a a 2a （放縮法）即定義域在對稱軸的右邊，g (x) 這個二次函數的

24、最值問題：單調增函數的最值問題。g( x)x24ax3a2在 a1, a2 上是增函數 .（ 9g( x) maxg( a2)2a1.g( x) ming (a 1)4a4.于是，對任意 x a1, a2 ，不等式恒成立，等價于a1,a2g (a2)4a4a, 解得 4a 1.x2ag (a1)2a1a5又 0a1, 4a1.5點評：重視二次函數區間最值求法：對稱軸（重視單調區間）與定義域的關系第三種：構造函數求最值題型特征： f ( x)g ( x) 恒成立h(x) f ( x)g ( x) 0 恒成立；從而轉化為第一、二種題型例 3；已知函數 f ( x)x3ax2 圖象上一點 P(1,b

25、) 處的切線斜率為3，g(x) x3 t 6 x2(t 1)x 3(t 0)2（）求（）當（）當a, b的值；x 1,4 時，求f ( x) 的值域；x1,4 時，不等式f (x)g( x) 恒成立，求實數t 的取值范圍。解：（） f / ( x) 3x2f/(1)3 ，a32ax 解得2b1 ab（）由（）知，f ( x) 在 1,0上單調遞增，在0, 2 上單調遞減，在2, 4 上單調遞減又 f ( 1) 4, f (0)0, f (2)4, f (4)16 f ( x) 的值域是 4,16（）令 h( x)f ( x)g( x)tx2(t1)x3 x1,42思路 1：要使 f ( x)g

26、( x) 恒成立，只需h( x)0，即 t( x22x)2 x 6 分離變量思路 2：二次函數區間最值二、已知函數在某個區間上的單調性求參數的范圍解法 1：轉化為 f ' (x)0或f ' ( x)0在給定區間上恒成立，回歸基礎題型解法 2：利用子區間（即子集思想） ；首先求出函數的單調增或減區間，然后讓所給區間是求的增或減區間的子集；做題時一定要看清楚“在（ m,n）上是減函數”與“函數的單調減區間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區別：前者是后者的子集例 4：已知 aR ，函數 f ( x)1 x3a 1 x 2(4a1) x 122（）如果函數g( x) f (x) 是偶函

27、數，求 f ( x) 的極大值和極小值；（）如果函數f ( x) 是 (,) 上的單調函數，求a 的取值范圍解： f ( x)1 x2(a 1) x(4a 1) .4（） f (x) 是偶函數，a1.此時 f ( x)1x33x ，f ( x)1 x23 ，124令 f ( x)0 ，解得： x23 .列表如下：x( ,2 3 ) 23(2 3 ,23 )2 3(2 3,+)f (x)+00+f ( x)遞增極大值遞減極小值遞增可知： f (x) 的極大值為 f ( 23)4 3 ，f ( x) 的極小值為f (23)4 3 .（） 函數 f ( x) 是 (,)上的單調函數， f ( x)1

28、 x2(a1)x(4 a1)0 ，在給定區間 R 上恒成立判別式法4則(a1)241(4 a1)a22a 0，解得： 0a 2 .4綜上， a 的取值范圍是 a 0 a2 .例 5、已知函數f ( x)1 x3 1 (2 a)x2 (1 a) x(a 0).3 2（ I ）求 f ( x) 的單調區間；（ II ）若 f (x) 在 0， 1上單調遞增，求 a 的取值范圍。 子集思想（ I） f (x)x2(2 a) x1a( x1)(x1a).1、 當a0時, f ( x)(x1)20恒成立 ,當且僅當 x1 時取“ =”號， f ( x)在(,) 單調遞增。2、 當a0時由, f ( x)

29、0, 得x11, x2a 1,且 x1x2 ,f (x)單調增區間： (,1),( a1,)單調增區間： (1,a1)則 0,1（II）當f ( x)在0,1上單調遞增 ,是上述增區間的子集：-1a-11a 0 時，f ( x)在(,)單調遞增符合題意、， a、0,1a1,10a12綜上， a 的取值范圍是 0， 1。三、根的個數問題提型一 函數 f(x)與 g(x)（或與 x 軸）的交點 = 即方程根的個數問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖” （即解導數不等式）和“趨勢圖”即三次函數的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減” ；第二步：由趨勢圖結合交點個數或根的個數寫不等式（組

30、） ；主要看極大值和極小值與 0 的關系；第三步：解不等式（組）即可；例 6、已知函數f ( x)1 x3( k1) x2 ， g ( x)1kx ，且 f ( x) 在區間 (2,) 上為增函數323（ 1）求實數 k 的取值范圍；k 的取值范圍2若函數f ( x)與g ( x)的圖象有三個不同的交點，求實數（ ）解：（ 1）由題意f( x)x 2(k1)x f (x) 在區間 ( 2,) 上為增函數， f ( x)x 2(k1)x0在區間 (2,) 上恒成立（分離變量法）即 k 1x 恒成立，又x2 ， k12 ，故 k1 k 的取值范圍為 k1（ 2）設 h(x)f (x)g( x)x 3(k 1) x 2kx1 ，323h ( x)x 2(k1)xk( xk )( x1)令 h ( x)0 得 xk 或 x 1 由（ 1）知 k1 ，當 k1時， h (x)( x1) 20 ， h( x) 在 R 上遞增，顯然不合題意 當 k1 時， h( x) ， h ( x) 隨 x的變化情況如下表：x(, k )k(k,1)1(1,)h ( x)00h( x)極大值極小值k 3k 21k1由于 k162320 ，欲使f ( x) 與 g( x) 的圖象有三個不同的交點，即方程h( x)0 有三個不同的實根，故需2k1k 3k 21