1、第一章第一章 晶體結構晶體結構一、幾種典型的晶體結構一、幾種典型的晶體結構密排六方結構（密排六方結構（hcp）: ABABAB 如：如：Mg, Zn, Cd 面心立方結構（面心立方結構（fcc）: ABCABC 如：如：Ca，Cu, Al 體心立方結構（體心立方結構（bcc）：如：）：如：Li, Na, K, Ba 簡單立方結構（簡單立方結構（sc）金剛石結構：如：金剛石，金剛石結構：如：金剛石，Si, Ge NaCl結構：如：結構：如：NaCl, LiF, KBr CsCl結構：如：結構：如：CsCl, CsBr, CsI 閃鋅礦結構：如：閃鋅礦結構：如：ZnS, CdS, GaAs, -S

2、iC 二、晶格的周期性二、晶格的周期性晶格晶格 等同點系等同點系 空間點陣空間點陣 數學抽象數學抽象任取一點任取一點格點（或陣點）格點（或陣點）基元：一個格點所代表的物理實體。基元：一個格點所代表的物理實體。格矢：格矢：Rll1a1+l2a2+l3a3基矢：基矢：a1， a2， a3原胞：原胞：1. 空間點陣原胞：空間點陣中最小的重復單元，只含空間點陣原胞：空間點陣中最小的重復單元，只含有一個格點，對于同一空間點陣，原胞的體積相等。有一個格點，對于同一空間點陣，原胞的體積相等。123av a aa2. 晶格原胞：晶格最小的重復單元。晶格原胞：晶格最小的重復單元。晶格的分類：晶格的分類：簡單晶格

3、：每個晶格原胞中只含有一個原子，即簡單晶格：每個晶格原胞中只含有一個原子，即晶格中晶格中 所有原子在化學、物理和幾何環境完全等同所有原子在化學、物理和幾何環境完全等同 （如：（如：Na、Cu、Al等晶格）等晶格） 。 復式晶格：每個晶格原胞中含有兩個或兩個以上的原子，復式晶格：每個晶格原胞中含有兩個或兩個以上的原子， 即晶格中有兩種或兩種以上的等同原子（或即晶格中有兩種或兩種以上的等同原子（或 離子）。如：離子）。如：Zn、Mg、金剛石、金剛石、NaCl等晶格。等晶格。倒格矢：倒格矢：Gnn1b1+n2b2n3b3 , n1, n2, n3整數整數倒格子原胞體積：倒格子原胞體積： b= b1b

4、2 b338abv和和2lnhR Gh整數整數要求：給定一組晶格的基矢，會求出其相應的倒格子基矢。要求：給定一組晶格的基矢，會求出其相應的倒格子基矢。面心立方（晶格常數為面心立方（晶格常數為a）的倒格子是體心立方（格常數）的倒格子是體心立方（格常數為為4 /a）；體心立方（晶格常數為）；體心立方（晶格常數為a ）的倒格子是面心立）的倒格子是面心立方（格常數為方（格常數為4 /a ）。）。三、倒格子三、倒格子倒格子基矢的定義：倒格子基矢的定義：aibj2ij ，i, j=1, 2, 3213132321222aabaabaab1.5 證明：倒格子矢量證明：倒格子矢量 垂直于密勒指數垂直于密勒指數

5、為為 的晶面系。求晶面間距離。的晶面系。求晶面間距離。332211bhbhbhG)(321hhh 因為因為33223311,hahaCBhahaCA容易證明容易證明00321321CBGCAGhhhhhh 與晶面系與晶面系 正交正交)(321hhhijjiba2332211bhbhbhG四、晶體的宏觀對稱性，點群四、晶體的宏觀對稱性，點群 32個點群，只要求一般了解即可個點群，只要求一般了解即可五、晶系和五、晶系和Bravais格子格子晶胞：既能反映晶格的周期性又能體現晶體宏觀對稱晶胞：既能反映晶格的周期性又能體現晶體宏觀對稱 性特征的最小重復單元。注意與原胞的區別。性特征的最小重復單元。注意

6、與原胞的區別。軸矢坐標系：軸矢坐標系：a，b，c晶胞參量：晶胞參量：a，b，c， ， ， 軸矢坐標系中的線指數軸矢坐標系中的線指數lmn和面指數和面指數(hkl)七個晶系：七個晶系：根據晶體的對稱性特征分類。根據晶體的對稱性特征分類。abc 14種種Bravais格子格子（了解）（了解）立方晶系的基矢：立方晶系的基矢：fcc：123122122122aaaabcjkacakiaabijbcc：1231+22122122aaaaa+ bcijkaajcijkaabcijk 慣用晶胞慣用晶胞初級晶胞初級晶胞. . 原胞體積：原胞體積：a a3 3 晶體內的格點數：晶體內的格點數：1 1a.簡單立方

7、點陣（簡單立方點陣（sc）規定的基矢取法：規定的基矢取法：立方晶系立方晶系 ba y ca z aa xabca3a2a10j ji ib ba aa ai ik ka ac ca ak kj jc cb ba a221221221321aaak kj ji ic cb ba aa ak kj ji ic cb ba aa ak kj ji ic cb ba aa a221221221321aaafcc：abca1a2a30bcc：六六. 體心和面心立方點陣的基矢和原胞體心和面心立方點陣的基矢和原胞第二章第二章 晶體的結合晶體的結合一、晶體結合的基本類型及主要特征一、晶體結合的基本類型及主要特

8、征二、晶體中粒子的相互作用二、晶體中粒子的相互作用雙粒子模型：雙粒子模型： mnabu rrr 晶體的互作用能：晶體的互作用能： mnABU rrr 由平衡條件由平衡條件00rdUdr求出求出r0和和U0結合能：結合能：W U0 0結合能的物理意義：把晶體拆分成彼此沒有相互作用的原結合能的物理意義：把晶體拆分成彼此沒有相互作用的原 子、離子或分子時，外界所做的功。子、離子或分子時，外界所做的功。體積壓縮模量體積壓縮模量2020VdPd UKVVdVdV 體積壓縮模量的物理意義：產生單位相對體積壓縮所需體積壓縮模量的物理意義：產生單位相對體積壓縮所需 的外加壓強。的外加壓強。 3VN r晶體體積

9、：晶體體積： 為體積因子，只與結構有關為體積因子，只與結構有關三、離子晶體的互作用能三、離子晶體的互作用能 204nN qBU rrr j 0jj 為為Madelung const. ，只與結構有關，只與結構有關Madelung const.的求法：中性組合法。的求法：中性組合法。四、分子晶體的互作用能四、分子晶體的互作用能 1264u rrr LennardJones勢勢 1261262U rNAArr晶體互作用能晶體互作用能A12和和A6只與晶體結構有關。只與晶體結構有關。在常壓下，在常壓下，He即使當即使當T0時，也不能凝結成晶體，這時，也不能凝結成晶體，這是由于原子零點振動能的影響，是

10、一個量子效應。是由于原子零點振動能的影響，是一個量子效應。 雙粒子模型用于離子晶體和分子晶體上是相當成功雙粒子模型用于離子晶體和分子晶體上是相當成功的，這是由于在這兩類晶體中，電子云的分布基本上是的，這是由于在這兩類晶體中，電子云的分布基本上是球對稱的，因而可以用球與球之間的相互作用來模擬。球對稱的，因而可以用球與球之間的相互作用來模擬。五、共價結合的基本特征：方向性和飽和性五、共價結合的基本特征：方向性和飽和性本章要求：掌握各種晶體結合類型的基本特征；本章要求：掌握各種晶體結合類型的基本特征； 給定晶體相互作用能的形式（一般情況、給定晶體相互作用能的形式（一般情況、 離子晶體或分子晶體），會

11、根據平衡條件、離子晶體或分子晶體），會根據平衡條件、 體積壓縮模量的定義以及體積因子求出平體積壓縮模量的定義以及體積因子求出平 衡時晶體中最近鄰兩個粒子間的距離衡時晶體中最近鄰兩個粒子間的距離r0、 相互作用能相互作用能U0（或結合能（或結合能W）和體積壓縮）和體積壓縮 模量模量K的表達式。的表達式。六、共價鍵與離子鍵之間的混合鍵六、共價鍵與離子鍵之間的混合鍵 當形成共價鍵的兩個原子不是同種原子時，這種結當形成共價鍵的兩個原子不是同種原子時，這種結合不是純粹的共價結合，而是含有離子結合的成分。合不是純粹的共價結合，而是含有離子結合的成分。例題1：兩原子間互作用勢為：當兩原子構成一穩定分子時，核

12、間距為 ，解離能為 ，求 和 。eVrrru4)(8203 AeV4解答 當兩原子構成一穩定分子即平衡時，其相互作用勢能取極小值，于是有： 由此得平衡時兩原子間的距離為： （1）082)(90300rrdrrdurr6140r而平衡時的勢能為： （2）208020043)(rrrru根據定義，解離能為物體全部離解成單個原子時所需要的能量，其值等于 。已知離解能為 ，因此得： （3）再將 代入（1），（3）兩式，得：)(0rueVr44320ergeVAr120010602. 11,32271069. 7cmerg8721040. 1cmergeV4第三章第三章 晶格振動和晶體的熱學性質晶格振動

13、和晶體的熱學性質一、晶格振動一、晶格振動要求：會寫出一維（簡單晶格或復式晶格）晶體鏈晶格要求：會寫出一維（簡單晶格或復式晶格）晶體鏈晶格 振動的動力學方程，格波方程，并導出色散關系。振動的動力學方程，格波方程，并導出色散關系。二、光學波和聲學波的物理圖象二、光學波和聲學波的物理圖象光學波的物理圖象：原胞內不同原子間基本上作相對振光學波的物理圖象：原胞內不同原子間基本上作相對振 動，當動，當q0時，原胞內不同原子完時，原胞內不同原子完 全作反位相振動。全作反位相振動。聲學波的物理圖象：原胞基本上作為一個整體振動，當聲學波的物理圖象：原胞基本上作為一個整體振動，當 q0時，原胞內各原子的振動（包時

14、，原胞內各原子的振動（包 括振幅和位相）都完全相同。括振幅和位相）都完全相同。周期性邊界條件周期性邊界條件（BornKarman 邊界條件）邊界條件）nnN 上面求解假定原子鏈無限長，這是不現實的，確定何種邊界條件才既能使運動方程可解，又能使結果符合實際晶體的測量結果呢？ BornKarman 最早利用周期性邊界條件解決了此問題，最早利用周期性邊界條件解決了此問題，成為固體理論的一個典范。成為固體理論的一個典范。 所謂周期性邊界條件就是將一有限長度的晶體鏈看成無限長將一有限長度的晶體鏈看成無限長晶體鏈的一個重復單元晶體鏈的一個重復單元，即：itN n aqit naqAeAe1iNaqe即：2

15、qnNan =任意整數，但考慮到 q 值的取值范圍，n 取值取值數目是有限的：只有布里淵區內的數目是有限的：只有布里淵區內的 N 個整數值。個整數值。2naNaa22NNn周期性邊界條件并沒有改變方程解的形式，只是對解提出一周期性邊界條件并沒有改變方程解的形式，只是對解提出一定的條件定的條件，q 只可取只可取N個不同的值，每個個不同的值，每個q對應著一個格波。對應著一個格波。 結論： N個原胞個原胞每個原胞有n個原子個原子的三維晶體， 晶體中格波的支數支數 原胞內的自由度數：3n 其中 3 支為聲學支支為聲學支（1支縱波、2支橫波） 3n3支為光學支支為光學支（也有縱波、橫波之分） 晶格振動的

16、波矢數波矢數 晶體的原胞數原胞數 N 晶格振動的模式數模式數 晶體的自由度數自由度數 3nN思考思考 Cu，金剛石，NaI 晶體應該分別有幾支色散關系？以上結論是否正確，只能依據實驗結果來判定以上結論是否正確，只能依據實驗結果來判定。 布里淵區布里淵區-布里淵區是倒空間中由倒格矢的中垂面布里淵區是倒空間中由倒格矢的中垂面（二維為中垂線）所圍成的區域，按序號由倒空間的（二維為中垂線）所圍成的區域，按序號由倒空間的原點逐步向外擴展，每個布區的體積（或面積）等于原點逐步向外擴展，每個布區的體積（或面積）等于倒格子原胞的體積（或面積）。第一布里淵區（中心倒格子原胞的體積（或面積）。第一布里淵區（中心布

17、區或簡約布區）是倒格矢的中垂面（線）所圍成的布區或簡約布區）是倒格矢的中垂面（線）所圍成的最小區域，是倒空間中的對稱性原胞。第最小區域，是倒空間中的對稱性原胞。第n布區是跨越布區是跨越第第(n-1)布區的邊界所能到達的，由倒格矢的中垂面布區的邊界所能到達的，由倒格矢的中垂面（線）所圍成的一些分離區域，且各區域體積（面積）（線）所圍成的一些分離區域，且各區域體積（面積）之和等于倒格子原胞體積（面積）。之和等于倒格子原胞體積（面積）。三、布里淵區三、布里淵區12nnn GqGG 布里淵區邊界面方程布里淵區邊界面方程在在q空間中，空間中， j(q)有如下性質：有如下性質： jjnqqG源于晶格的周期

18、性源于晶格的周期性 jjqq源于時間反演對稱性源于時間反演對稱性 簡約區就是倒易空間中的簡約區就是倒易空間中的WignerSeitz原胞，每原胞，每個布里淵區的體積均相等，都等于倒格子原胞的體積。個布里淵區的體積均相等，都等于倒格子原胞的體積。立方晶系的簡約區立方晶系的簡約區簡單立方晶格的簡約區：由簡單立方晶格的簡約區：由6個個100面圍成的簡單立方體。面圍成的簡單立方體。面心立方晶格的簡約區：由面心立方晶格的簡約區：由8個個111面和面和6個個100面圍成面圍成 的十四面體。的十四面體。體心立方晶格的簡約區：由體心立方晶格的簡約區：由12個個110面圍成的正十二面面圍成的正十二面 體。體。要

19、求：給定一簡單晶體（二維）結構，會作出其前幾個要求：給定一簡單晶體（二維）結構，會作出其前幾個 布里淵區圖形。布里淵區圖形。五、聲子概念五、聲子概念聲子：晶格振動的能量量子聲子：晶格振動的能量量子 ，是反映晶體中原子，是反映晶體中原子 集體運動狀態的激發單元。聲子只是一種準粒子，集體運動狀態的激發單元。聲子只是一種準粒子， 它不能脫離晶體二單獨存在。聲子與聲子（或聲它不能脫離晶體二單獨存在。聲子與聲子（或聲 子與其他粒子）的相互作用過程遵從能量守恒和子與其他粒子）的相互作用過程遵從能量守恒和 準動量守恒。準動量守恒。j j第第j種聲子的能量本征值為種聲子的能量本征值為jjj12En一個典型聲子

20、能量：一個典型聲子能量：210 eV在一定溫度下，第在一定溫度下，第j種聲子的統計平均能量為種聲子的統計平均能量為jjjjjB11122exp1kEnT 聲子是一種玻色子，在一定溫度下，平均聲子數聲子是一種玻色子，在一定溫度下，平均聲子數按能量的分布遵從按能量的分布遵從BoseEinstein分布：分布：jj1exp1Bnk T六、確定晶格振動譜的實驗方法六、確定晶格振動譜的實驗方法 利用中子或光子受聲子的非彈性散射來確定晶格振利用中子或光子受聲子的非彈性散射來確定晶格振動譜。動譜。 中子的非彈性散射：是確定晶格振動譜最常見也是最中子的非彈性散射：是確定晶格振動譜最常見也是最 有效的實驗方法。

21、有效的實驗方法。 可見光的非彈性散射：可見光光子受光學聲子的非彈可見光的非彈性散射：可見光光子受光學聲子的非彈 性散射稱為性散射稱為Raman散射；受聲學聲子的非彈性散射稱散射；受聲學聲子的非彈性散射稱 為為Brillouin散射。散射。可見光非彈性散射的局限性：只能可見光非彈性散射的局限性：只能 確定簡約區中心附近很小一部分區域的振動譜。確定簡約區中心附近很小一部分區域的振動譜。 X光的非彈性散射：光的非彈性散射：缺點：缺點：X光光子的能量太高，很光光子的能量太高，很 難精確測定散射前后難精確測定散射前后X光光子的能量變化。光光子的能量變化。七、晶格熱容七、晶格熱容 0012mgEd晶體的零

22、點能：晶體的零點能：與溫度有關的振動能：與溫度有關的振動能： 0exp1mBE Tdk Tg 03mgdN（三維簡單晶格）（三維簡單晶格）g( ）：晶格振動模式密度；）：晶格振動模式密度； m：截止頻率：截止頻率晶格振動的總能量：晶格振動的總能量： 0EEE T 220expexp1mBVBBBk TCkdk Tk Tg晶格熱容：晶格熱容： DulongPetit定律：常溫下定律：常溫下CV 3R6 cal/mol.K Einstein模型：模型： 0const.Einstein溫度：溫度：0EBk 0gd N d:晶體維數，晶體維數，N:晶體原胞數晶體原胞數高溫下：高溫下：T E ，CV 3R，與，與DulongPetit定律一致；定律一致；低溫下：低溫下： T D ， CV 3R，與，與DulongPetit定律一致；定律一致；34125BVDNkTC低溫下：低溫下： T D，聲子的平均自由程主要取決于聲，聲子的平均自由程主要取決于聲 子與聲子間的相互碰撞，這時