1、精選學習資料 - - - 歡迎下載線性代數學問點總結1行列式（一）行列式概念和性質1.逆序數： 全部的逆序的總數2.行列式定義： 不同行不同列元素乘積代數和3.行列式性質：（用于化簡行列式）（ 1）行列互換（轉置） ,行列式的值不變（ 2）兩行（列）互換,行列式變號（ 3）提公因式：行列式的某一行（列）的全部元素都乘以同一數k,等于用數 k乘此行列式（ 4）拆列安排：行列式中假如某一行（列）的元素都為兩組數之和,那么這個行列式就等于兩個行列式之和；（ 5）一行（列）乘k 加到另一行（列）,行列式的值不變；（ 6）兩行成比例,行列式的值為0；（二）重要行列式4.上（下）三角（主對角線）行列式的值

2、等于主對角線元素的乘積5.副對角線行列式的值 等于副對角線元素的乘積乘6.laplace綻開式：（a 為 m 階矩陣, b 為 n 階矩陣）,就7.n 階（ n2）范德蒙德行列式精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載數學歸納法證明 8.對角線的元素為a,其余元素為 b 的行列式的值：（三）按行（列）綻開9.按行綻開定理：（ 1）任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和等于行列式的值（ 2）行列式中某一行（列）各個元素與另一行（列）對應元素的代數余子式乘積之和等于 0（四）行列式公式10.行列式七大公式：（ 1） |ka|=k n|a|（ 2） |ab|=|a|·|b|

3、（ 3） |a t|=|a|（ 4） |a -1|=|a|-1（ 5） |a*|=|a|n-1（ 6）如 a 的特點值 1.2.n,就（7 ）如 a 與 b 相像,就 |a|=|b|（五）克萊姆法就11.克萊姆法就：（ 1 ） 非 齊 次 線 性 方 程 組 的 系 數 行 列 式 不 為0 , 那 么 方 程 為 唯 一 解精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 2）假如非齊次線性方程組無解或有兩個不同解,就它的系數行列式必為0（ 3）如齊次線性方程組的系數行列式不為0,就齊次線性方程組只有0 解；假如方程組有非零解,那么必有d=0；2 矩陣（一）矩陣的運算1.矩陣乘法留意事項：（

4、 1）矩陣乘法要求前列后行一樣；（ 2）矩陣乘法不滿意交換律； （因式分解的公式對矩陣不適用,但如b=e、o、a-1, a*、fa時,可以用交換律）（ 3） ab=o不能推出 a=o 或 b=o；2.轉置的性質（ 5 條）（ 1）（a+b） t=at+bt（ 2）（ka）t=kat（ 3）（ab）t=btat（ 4） |a| t=|a|（ 5）（at） t=a（二）矩陣的逆3.逆的定義：ab=e或 ba=e成立,稱 a 可逆, b 為 a 的逆矩陣,記為b=a-1 注： a 可逆的充要條件為 |a| 0 4.逆的性質：（ 5 條）（ 1）（ka）-1=1/k·a-1 k0（ 2）（a

5、b）-1=b-1·a-1（ 3） |a -1|=|a|-1（ 4）（at） -1=（a-1）t（ 5）（a-1）-1=a精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載5.逆的求法：（ 1） a 為抽象矩陣：由定義或性質求解（ 2） a 為數字矩陣：（a|e）初等行變換 （ e|a-1）（三）矩陣的初等變換6.初等行（列）變換定義：（ 1）兩行（列）互換；（ 2）一行（列）乘非零常數c（ 3）一行（列）乘k 加到另一行（列）7.初等矩陣： 單位矩陣 e 經過一次初等變換得到的矩陣；8.初等變換與初等矩陣的性質：（ 1）初等行（列）變換相當于左（右）乘相應的初等矩陣（ 2）初等矩陣均為可

6、逆矩陣,且eij -1=eij（i,j 兩行互換）；ei-1（ c） =ei（1/c）（第 i 行（列）乘 c） eij-1（k）=eij（-k）（第 i 行乘 k 加到 j）（四）矩陣的秩9.秩的定義： 非零子式的最高階數注：（ 1） r（a）=0 意味著全部元素為0,即 a=o（ 2） r（an ×n）=n（滿秩） |a| 0 a 可逆；r（ a） n|a|=0 a 不行逆；（ 3） r（a）=r（r=1.2. n-1） r 階子式非零且全部r+1 子式均為 0；10.秩的性質：（7 條）（ 1） a 為 m× n 階矩陣,就 r（a） min（m、n）（ 2） r（a

7、±b） r（ a）±（ b）（ 3） r（ab） minr （ a）,r（b）（ 4） r（ka）=r（a）（k0）（ 5） r（a）=r（ac）（c 為一個可逆矩陣）（ 6） r（a）=r（at）=r（ ata）=r（aat）（ 7）設 a 為 m×n 階矩陣, b 為 n×s 矩陣, ab=o,就 r（ a） +r（b） n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載11.秩的求法：（ 1） a 為抽象矩陣：由定義或性質求解；（ 2） a 為數字矩陣： a初等行變換 階梯型（每行第一個非零元素下面的元素均為 0）,就 r（a）=非零行的行數（五）相

8、伴矩陣12.相伴矩陣的性質： （8 條）（ 1） aa*=a*a=|a|e a*=|a|a -1（ 2）（ka）*=kn-1a*（ 3）（ab）*=b*a*（ 4） |a*|=|a|n-1（ 5）（at） *=（a* ）t（ 6）（a-1）*=（ a*）-1=a|a| -1（ 7）（a* ）*=|a|n-2·a（ 8）r（ a*）=n （r（ a）=n）； r（ a*）=1（r（ a） =n-1）； r（ a*）=0（r（ a） n-1）（六）分塊矩陣13.分塊矩陣的乘法： 要求前列后行分法相同；14.分塊矩陣求逆：3 向量（一）向量的概念及運算1.向量的內積：（,） =t = t2

9、.長度定義：| |=3.正交定義：（,） = t=t=a1b1+a2b2+anbn =04.正交矩陣的定義： a 為 n 階矩陣, aat=e a-1=at ata=e |a|= ±1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（二）線性組合和線性表示5.線性表示的充要條件：非零列向量可由 1, 2, s 線性表示1非齊次線性方程組（1, 2, s）（x1, x2, xs） t=有解；2r（ 1,2, s）=r（ 1, 2, s,）（系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,用于大題第一步的檢驗）6.線性表示的充分條件： （明白即可）如 1,2, s 線性無關, 1, 2, s,線性相關,就可

10、由 1, 2, s 線性表示；7.線性表示的求法： （大題其次步）設 1, 2, s 線性無關,可由其線性表示；（ 1, 2, s| ） 初等行變換 （行最簡形 | 系數）行最簡形：每行第一個非0 的數為 1,其余元素均為0（三）線性相關和線性無關8.線性相關留意事項：（ 1）線性相關 =0（ 2） 1, 2 線性相關 1, 2 成比例9.線性相關的充要條件：向量組 1, 2, s 線性相關（ 1） 有個向量可由其余向量線性表示；（ 2） 齊次方程（ 1, 2, s）（ x1 ,x2, xs）t=0 有非零解；（ 3） r（ 1, 2, s） s 即秩小于個數特殊地, n 個 n 維列向量 1

11、, 2, n 線性相關（ 1） r（ 1, 2, n） n（ 2） | 1, 2, n |=0（ 3） （ 1, 2, n）不行逆精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載10.線性相關的充分條件：（ 1）向量組含有零向量或成比例的向量必相關（ 2）部分相關,就整體相關（ 3）高維相關,就低維相關（ 4）以少表多,多必相關推論： n+1 個 n 維向量肯定線性相關11.線性無關的充要條件向量組 1, 2, s 線性無關（ 1） 任意向量均不能由其余向量線性表示；（ 2） 齊次方程（ 1, 2, s）（ x1 ,x2, xs）t=0 只有零解（ 3） r（ 1, 2, s）=s特殊地, n

12、個 n 維向量 1, 2, n線性無關r（ 1, 2, n）=n| 1, 2, n | 0矩陣可逆12.線性無關的充分條件：（ 1）整體無關,部分無關（ 2）低維無關,高維無關（ 3）正交的非零向量組線性無關（ 4）不同特點值的特點向量無關13.線性相關.線性無關判定（ 1）定義法（ 2）秩：如小于階數,線性相關；如等于階數,線性無關【專業學問補充】（ 1）在矩陣左邊乘列滿秩矩陣（秩=列數）,矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行滿秩矩陣,矩陣的秩不變；（ 2）如 n 維列向量 1,2 ,3 線性無關, 1,2, 3可以由其線性表示,即（ 1, 2, 3）=（ 1, 2, 3）c,就 r（ 1, 2,

13、3）=r（c）,從而線性無關；r（ 1, 2, 3） =3 r（c）=3 |c| 0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（四）極大線性無關組與向量組的秩14.極大線性無關組不唯獨15.向量組的秩 :極大無關組中向量的個數成為向量組的秩對比：矩陣的秩 :非零子式的最高階數注:向量組 1, 2 , s 的秩與矩陣 a=（ 1, 2 , s）的秩相等16.極大線性無關組的求法（ 1） 1, 2, s 為抽象的：定義法（ 2） 1, 2, s 為數字的：（ 1, 2, s）初等行變換 階梯型矩陣就每行第一個非零的數對應的列向量構成極大無關組（五）向量空間17.基（就為極大線性無關組）變換公式

14、：如 1,2, n與 1,2, n 為 n 維向量空間 v 的兩組基,就基變換公式為（ 1, 2, n） =（ 1, 2, n） cn×n其中, c 為從基 1, 2, n 到 1, 2, n的過渡矩陣；c=（ 1, 2, n ）-1（ 1, 2, n）18.坐標變換公式：向量在基 1,2, n 與基 1,2, , n的坐標分別為 x=（x1,x2,xn）t,y=（ y1,y2, yn）t,即 =x11 + x2 2 +xn n =y1 1 + y22 +ynn,就坐標變換公式為x=cy或 y=c-1x；其中, c 為從基 1, 2, n到 1, 2, n 的過渡矩陣； c=（ 1

15、,2, n） -1（ 1, 2,n）（六） schmidt 正交化19.schmidt 正交化設 1, 2, 3 線性無關（ 1）正交化令 1=1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 2）單位化4 線性方程組（一）方程組的表達形與解向量1.解的形式：1一般形式2矩陣形式： ax=b；3向量形式： a=（ 1, 2, n ）2.解的定義：如 =（c1,c2, cn）t 滿意方程組 ax=b,即 a =b,稱為 ax=b 的一個解（向量）（二）解的判定與性質3.齊次方程組：（ 1）只有零解 r（a）=n（ n 為 a 的列數或為未知數x 的個數）（ 2）有非零解 r（a） n4.非齊次

16、方程組：（ 1）無解 r（a） r（a|b ） r（ a）=r（a）-1（ 2）唯獨解 r（ a） =r（a|b ）=n（ 3）無窮多解 r（a）=r（a|b ） n5.解的性質：（ 1）如 1, 2 為 ax=0的解,就 k11+k22 為 ax=0 的解（ 2）如為 ax=0 的解,為 ax=b 的解,就 +為 ax=b 的解（ 3）如 1, 2 為 ax=b 的解,就 1-2 為 ax=0 的解精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【推廣】（ 1）設 1, 2, s 為 ax=b 的解,就 k11+k22+ks s 為ax=b 的解（當 ki=1）ax=0的解（當 ki=0）（

17、2）設 1, 2,s為 ax=b 的 s 個線性無關的解, 就 2- 1,3- 1, s- 1 為 ax=0 的 s-1 個線性無關的解；變式： 1-2, 3 -2, s-2 2-1, 3-2, s-s-1（三）基礎解系6.基礎解系定義：（ 1） 1, 2, s 為 ax=0 的解（ 2） 1, 2, s 線性相關（ 3） ax=0 的全部解均可由其線性表示基礎解系即全部解的極大無關組注：基礎解系不唯獨；任意 n-r（a）個線性無關的解均可作為基礎解系；7.重要結論：（證明也很重要）設 a 施 m×n 階矩陣, b 為 n×s 階矩陣, ab=o（ 1） b 的列向量均為方

18、程ax=0 的解（ 2） r（a）+r（b） n（第 2 章,秩）8.總結：基礎解系的求法（ 1） a 為抽象的：由定義或性質湊n-r（ a）個線性無關的解（ 2） a 為數字的： a初等行變換 階梯型自由未知量分別取1、0、0；0、1、0；0、0、1；代入解得非自由未知量得到基礎解系（四）解的結構（通解）9.齊次線性方程組的通解（全部解）設 r（ a） =r, 1, 2, n-r為 ax=0 的基礎解系,就 ax=0 的通解為 k1 1+k22+kn-rn-r （其中 k1,k2, kn-r 為任意常數）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載10.非齊次線性方程組的通解設 r（ a）

19、 =r, 1, 2, n-r為 ax=0 的基礎解系,為ax=b 的特解, 就 ax=b 的通解為 + k1 1+k22+kn-rn-r （其中 k1,k2,kn-r 為任意常數）（五）公共解與同解11.公共解定義：假如既為方程組ax=0 的解,又為方程組bx=0 的解,就稱為其公共解12.非零公共解的充要條件：方程組 ax=0 與 bx=0有非零公共解有非零解 13.重要結論（需要把握證明）（ 1）設 a 為 m× n 階矩陣,就齊次方程atax=0與 ax=0 同解, r（ ata）=r（a）（ 2）設 a 為 m×n 階矩陣, r（a）=n,b 為 n× s

20、 階矩陣,就齊次方程abx=0與bx=0同解, r （ab） =r（b）5 特點值與特點向量（一）矩陣的特點值與特點向量1.特點值.特點向量的定義：設 a 為 n 階矩陣,假如存在數及非零列向量,使得a=,稱為矩陣a 屬于特點值的特點向量；2.特點多項式.特點方程的定義：| e-a|稱為矩陣 a 的特點多項式（的n 次多項式）；| e-a |=0 稱為矩陣 a 的特點方程（的n 次方程）；注:特點方程可以寫為 |a- e|=0 3.重要結論：（ 1）如為齊次方程ax=0的非零解,就 a=0·,即為矩陣 a 特點值 =0的特點向量（ 2） a 的各行元素和為 k,就1, 1, 1t 為

21、特點值為 k 的特點向量；（ 3）上（下）三角或主對角的矩陣的特點值為主對角線各元素；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4.總結：特點值與特點向量的求法（ 1） a 為抽象的：由定義或性質湊（ 2） a 為數字的：由特點方程法求解5.特點方程法：（ 1）解特點方程 | e-a|=0,得矩陣 a 的 n 個特點值 1, 2, n注： n 次方程必需有 n 個根可有多重根,寫作 1=2= s=實數,不能省略 （ 2）解齊次方程 （ i e-a）=0,得屬于特點值 i 的線性無關的特點向量, 即其基礎 解 系 （ 共 n-r（ i e-a） 個 解 ） 6.性質：（ 1）不同特點值的特點

22、向量線性無關（ 2） k 重特點值最多k 個線性無關的特點向量1n-r（ i e-a） ki（ 3）設 a 的特點值為 1, 2, n,就|a|= i, i = aii（ 4）當 r（a）=1,即 a= t,其中,均為n 維非零列向量,就a 的特點值為 1= aii = t=t, 2=n=0（ 5）設為矩陣 a 屬于特點值的特點向量,就精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載fa（a）a-ata*1p-1ap（相似）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f（）-|a| -11精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載/p-1（二）

23、相像矩陣7.相像矩陣的定義：設 a.b 均為 n 階矩陣,假如存在可逆矩陣p 使得 b=p-1ap,稱 a 與 b 相像,記作 ab8.相像矩陣的性質（ 1）如 a 與 b 相像,就 f（a）與 f（ b）相像（ 2）如 a 與 b 相像, b 與 c 相像,就 a 與 c 相像精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 3）相像矩陣有相同的行列式.秩.特點多項式.特點方程.特點值.跡（即主對角線元素之和）【推廣】（ 4）如 a 與 b 相像,就 ab 與 ba 相像, at 與 bt 相像, a-1 與 b-1 相像, a* 與 b*也相像（三）矩陣的相像對角化9.相像對角化定義：假如

24、 a 與對角矩陣相像,即存在可逆矩陣p,使得 p-1ap=,稱 a 可相像對角化；注：ai=ii（ i 0,由于 p 可逆）,故 p 的每一列均為矩陣a 的特點值 i 的特點向量10.相像對角化的充要條件（ 1） a 有 n 個線性無關的特點向量（ 2） a 的 k 重特點值有 k 個線性無關的特點向量11.相像對角化的充分條件：（ 1） a 有 n 個不同的特點值（不同特點值的特點向量線性無關）（ 2） a 為實對稱矩陣12.重要結論：（ 1）如 a 可相像對角化,就r（a）為非零特點值的個數,n-r（a）為零特點值的個數（ 2）如 a 不行相像對角化, r（ a）不肯定為非零特點值的個數（

25、四）實對稱矩陣13.性質（ 1）特點值全為實數（ 2）不同特點值的特點向量正交（ 3） a 可相像對角化,即存在可逆矩陣p 使得 p-1ap=（ 4） a 可正交相像對角化,即存在正交矩陣q,使得 q-1aq=qtaq=精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載6 二次型（一）二次型及其標準形精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1.二次型：（ 1）一般形式（ 2）矩陣形式（常用）2.標準形：11假如二次型只含平方項,即f （x1,x2, xn） =d x2+d2 x22+dnxn2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載這樣的二次型稱為標準形（對角線）3.二次型化為標準形的方法：（ 1）配方法：通過可逆線性變換x=cy（c 可逆）,將二次型化為標準形；其中,可逆線性變換及標準形通過先配方再換元得到；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 2）正交變換法：通過正交變換 x=qy,將二次型化為標準形1y12+22y 2+nyn2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載其中, 1, 2, n 為 a 的 n 個特點值, q 為 a 的正交矩陣注:正交矩陣 q 不唯獨, i 與 i對應即可；（二）慣性定理及規范形4.定義：正慣性指數：標準形中正平方項的個數稱為正慣性指數,記為p； 負慣性指