1、全等三角形經典例題（全等三角形的概念和性質）類型一、全等形和全等三角形的概念1、全等三角形又叫做合同三角形，平面內的合同三角形分為真正合同三角形與鏡面合同三角形，假設abc和a1b1c1是全等 (合同）三角形，點a與點 a1對應，點 b與點 b1對應，點 c與點 c1對應，當沿周界 abc a，及 a1b1c1a1環繞時 , 若運動方向相同，則稱它們是真正合同三角形（如圖1） ，若運動方向相反，則稱它們是鏡面合同三角形(如圖 2）, 兩個真正合同三角形都可以在平面內通過平移或旋轉使它們重合， 兩個鏡面合同三角形要重合，則必須將其中一個翻轉180, 下列各組合同三角形中，是鏡面合同三角形的是（）

2、（答案） b；提示：抓住關鍵語句 , 兩個鏡面合同三角形要重合, 則必須將其中一個翻轉180，b答案中的兩個三角形經過翻轉180就可以重合，故選b；其它三個選項都需要通過平移或旋轉使它們重合 . 類型二、全等三角形的對應邊，對應角類型三、全等三角形性質3、 如圖, 將長方形 abcd沿 ae 折疊，使d點落在 bc 邊上的f點處，如果60baf， 那么dae等于（ )a。60 b。45 c。30 d.15（答案） d ； （解析）因為 afe是由 ade折疊形成的，所以 afe ade, 所以 faedae ，又因為60baf，所以fae dae 9060215. （點評）折疊所形成的三角形與

3、原三角形是全等的關系, 抓住全等三角形對應角相等來解題. 舉一反三： （變式 ) 如圖，在長方形 abcd 中，將bcd沿其對角線 bd翻折得到 bed ，若135，則 2_。（答案） 35；提示：將 bcd 沿其對角線 bd翻折得到 bed,所以 2cbd ，又因為 ad bc ，所以 1cbd ，所以 235. 4、 如圖，abe和adc 是abc分別沿著 ab ，ac翻折 180形成的 , 若1232853，的度數是 _. （答案） 80(解析）1232853， 設128x,25x，33x, 28x5x3x36x180，x5即1140， 225，315abe和adc 是abc分別沿著 a

4、b ，ac翻折 180形成的，abe adc abc2abe ，3acd ebc bcd 2223503080（點評）此題涉及到了三角形內角和, 外角和定理，并且要運用全等三角形對應角相等的性質來解決問題。見“比例”設未知數x 是比較常用的解題思路 . 舉一反三： ( 變式) 如圖, 在abc中，a： abc:bca 3:5:10 ，又mnc abc ，則bcm ：bcn等于( ）a1：2 b1:3c2:3 d1：4 （答案)d；提示：設a3x, abc 5x, bca 10 x，則 3x5x10 x18x180,x10. 又因為mnc abc ，所以 nb50，cn cb ，所以 ncbn

5、50, acb mcn 100， bcn 180 50 50 80, 所以bcm ：b cn 20:80 1：4. (全等三角形判定一（ sss ，sas)）類型一、全等三角形的判定1- “邊邊邊”1、如圖，在 abc和ade中,abac ，ad ae ，bd ce ，求證 : bad cae 。（答案與解析）證明：在 abd和ace 中,abacadaebdceabd ace(sss) bad cae （全等三角形對應角相等 ). （點評）把證明一對角或線段相等的問題，轉化為證明它們所在的兩個三角形全等，綜合應用全等三角形的判定和性質 . 要證 bad cae ，先找出這兩個角所在的三角形分

6、別是bda和cae,然后證這兩個三角形全等。舉一反三：（變式) 已知: 如圖， ad bc,ac bd 。試證明 : cad dbc. （答案）證明 : 連接 dc ，在acd與bdc 中adbcacbdcddc 公共邊acd bdc(sss ）cad dbc( 全等三角形對應角相等）類型二、全等三角形的判定2“邊角邊”2、3、舉一反三 : （變式) 已知, 如圖, 在四邊形 abcd 中，ac平分bad ，ce ab于 e，并且ae 12（ab ad ） ，求證： bd180。(答案）證明：在線段ae上，截取 ef eb ，連接 fc ，ce ab ， ceb cef 90在 cbe 和cf

7、e中，cebcefec =ecebef cbe 和cfe(sas ） bcfe ae12（ab ad)，2ae abad ad 2ae ab aeaf ef，ad 2（af ef）ab 2af 2ef ab af af ef eb ab af ab ab ，即 ad af 在 afc和adc中(afadfacdacacac角平分線定義） afc adc(sas ） afc d afc cfe 180，bcfe.afc b180，bd 180. 類型三、全等三角形判定的實際應用4、如圖，公園里有一條“ z字形道路 abcd, 其中 ab cd ，在 ab ，bc ，cd三段路旁各有一個小石凳e，

8、m ，f，且 be cf ，m在 bc的中點。試判斷三個石凳e，m ，f是否恰好在一條直線上？ why? （答案與解析）三個小石凳在一條直線上證明： ab平行 cd （已知） bc(兩直線平行 , 內錯角相等）m在 bc的中點（已知） bm cm( 中點定義 ) 在bme 和cmf 中becfbdbmmcbme cmf （sas ） emb fmc （全等三角形的對應角相等）emf emb bmf fmc bmf bmc 180（等式的性質） e，m ，f 在同一直線上（點評）對于實際應用問題，首先要能將它化成數學模型, 再根據數學知識去解決 . 由已知易證 bme cmf, 可得 emb f

9、mc, 再由 emf emb bmf fmc bmf bmc 180得到 e， m ，f 在同一直線上 .（全等三角形判定二（ asa，aas） ）類型一、全等三角形的判定3“角邊角”1、如圖， g是線段 ab上一點 ,ac 和 dg相交于點 e。請先作出 abc的平分線 bf，交 ac于點 f；然后證明：當 ad bc,ad bc ，abc 2adg時，de bf。(答案與解析）證明: ad bc,dac cbf平分abcabc 2cbfabc 2adgcbf adg在dae與bcf中cdacbcadcbfadgdae bcf （ asa)de bf （點評） 利用全等三角形證明線段（角)相

10、等的一般方法和步驟如下： (1)找到以待證角 ( 線段) 為內角 (邊)的兩個三角形； (2）證明這兩個三角形全等；（3）由全等三角形的性質得出所要證的角( 線段)相等(變式）已知：如圖，在mpn 中，h是高 mq 和 nr的交點，且 mq nq 求證： hn pm 。(答案）證明： mq 和 nr是mpn 的高， mqn mrn 90，又 132490, 34 12 在mpq 和nhq 中，12mqnqmqpnqhmpq nhq （asa) pm hn 類型二、全等三角形的判定4-“角角邊”2、已知：如圖，90acb,acbc，cd是經過點c的一條直線，過點a、b 分別作aecd、bfcd,

11、 垂足為 e、f,求證：cebf. （答案與解析 ) 證明：cdae,cdbf90bfcaec90bbcf,90acb90acfbcfbacf在bcf 和cae 中bcacbacebfcaecbcf cae （ aas) bfce(點評) 要證bfce，只需證含有這兩個線段的bcf cae. 同角的余角相等是找角等的好方法. 3、平面內有一等腰直角三角板 （acb 90）和一直線 mn 過點 c作 ce mn 于點 e,過點 b作 bfmn 于點 f當點 e與點 a重合時（如圖 1） ，易證:afbf 2ce 當三角板繞點 a順時針旋轉至圖 2 的位置時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證

12、明；若不成立，線段af 、bf 、ce之間又有怎樣的數量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明（答案與解析） 解：圖 2，af bf 2ce仍成立，證明：過 b作 bh ce于點 h, cbh bch ace bch 90 cbh ace 在ace與cbh 中，90achcbhaecchbacbcace cbh （aas) ch ae ，bf he ，ce ef ，af bfae ef bfch ef he ce ef2ec （點評) 過 b作 bh ce與點 h ，易證 ach cbh ，根據全等三角形的對應邊相等，即可證得af bf 2ce 正確作出垂線，構造全等三角形是解決本題的關鍵。舉一反

13、三：(變式） 錯誤!未找到引用源。 已知 rtabc中,acbc ，c 90,d 為 ab邊的中點 , edf 90，edf繞 d點旋轉，它的兩邊分別交ac 、cb于 e、f當 edf繞 d點旋轉到 de ac于 e時( 如圖 1)，易證12defcefabcsss； 當edf繞 d點旋轉到 de和 ac不垂直時，在圖 2 情況下 , 上述結論是否成立 ?若成立，請給予證明 ; 若不成立 , 請寫出你的猜想，不需證明. （答案）解: 圖 2 成立; 證明圖 2：過點 d 作 dmacdnbc，則90dmednfmdn在amd 和dnb中，amd=dnb=90abadbdamd dnb(aas

14、）dm dn mde edn ndf edn 90， mde ndf 在dme 與dnf中，90emdfdndmdnmdendfdme dnf （asa)dmednfssdefcefdmcndecfs=s=ss.四邊形四邊形可知abcdmcn1s=s2四邊形，12defcefabcsss類型三、全等三角形判定的實際應用4、在一次戰役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望，為了炸掉敵軍的碉堡，要知道碉堡與我軍陣地的距離。在不能過河測量又沒有任何測量工具的情況下，一名戰士想出了這樣一個辦法：他面向碉堡站好，然后調整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部. 然后，他轉身向后，保持剛才的姿態，這時視線落在了自

15、己這岸的某一點上。接著，他用步測的辦法量出了自己與該點的距離, 這個距離就是他與碉堡的距離。這名戰士的方法有道理嗎?請畫圖并結合圖形說明理由. （答案與解析 )設戰士的身高為 ab ，點 c是碉堡的底部 , 點 d是被觀測到的我軍陣地岸上的點，由在觀察過程中視線與帽檐的夾角不變 , 可知 bad bac ，abd abc 90。在abd和abc 中，abdabcababbadbacabd和abc （asa ）bd bc.這名戰士的方法有道理。(點評） 解決本題的關鍵是結合圖形說明那名戰士測出的距離就是陣地與碉堡的距離，可以先畫出示意圖, 然后利用全等三角形進行說明。解決本題的關鍵是建立數學模型

16、，將實際問題轉化為數學問題并運用數學知識來分析和解決。直角三角形全等判定類型一、直角三角形全等的判定- “hl ”1、 判斷滿足下列條件的兩個直角三角形是否全等，不全等的畫“”，全等的注明理由：(1 ）一個銳角和這個角的對邊對應相等; （）(2 ）一個銳角和斜邊對應相等; ( ）(3) 兩直角邊對應相等 ; （）（4）一條直角邊和斜邊對應相等（）（答案） (1) 全等， “aas ； （2）全等 , “aas ” ；(3 ）全等， “sas ”; （4）全等, “hl”. （解析） 理解題意，畫出圖形，根據全等三角形的判定來判斷. （點評） 直角三角形全等可用的判定方法有5 種:sas、asa

17、 、aas 、sss 、hl 。舉一反三：（變式）下列說法中 ,正確的畫“”；錯誤的畫“”，并舉出反例畫出圖形 . (1）一條直角邊和斜邊上的高對應相等的兩個直角三角形全等（ ) (2）有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等（ ) （3）有兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等（ ) （答案 ) （1）； （2）；在 abc 和dbc中，ab db ，ae和 df是其中一邊上的高， ae df （3）. 在abc和abd中，ab ab ，ad ac ，ah為第三 邊上的高，2、已知：如圖 ,deac ，bf ac ，ad bc,de bf 。求證： ab dc 。（答案與解析） 證

18、明： de ac ，bf ac ，在 rtade 與 rtcbf中.adbcdebf，rtade rtcbf （hl ） ae cf ，de bf ae ef cf ef，即 af ce 在 rtcde 與 rtabf中,debfdecbfaecfartcde rtabf （sas ） dce baf ab dc. (點評） 從已知條件只能先證出rtade rtcbf ，從結論又需證rtcde rtabf.我們可以從已知和結論向中間推進，證出題目。3、舉一反三： （變式）4、如圖, abc 中，acb 90，ac bc ，ae是 bc邊上的中線，過 c作 cfae ，垂足為 f，過 b作 bd

19、 bc交 cf的延長線于 d.（1)求證:aecd;（2）若 ac 12cm，求 bd的長。（答案與解析）（1）證明： db bc ，cf ae ， dcb ddcb aec 90daec 又dbc eca 90，且 bc ca ， dbc eca （aas ） ae cd （2） 解: 由 （1） 得 ae cd,ac bc,cdb aec(hl ） bd ec 12bc 12ac ，且 ac 12bd 6cm（點評 )三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什

20、么條件。角的平分線的性質知識點四、三角形角平分線的性質三角形三條角平分線交于三角形內部一點，此點叫做三角形的內心且這一點到三角形三邊的距離相等.三角形的一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點. 這點叫做三角形的旁心。三角形有三個旁心。所以到三角形三邊所在直線距離相等的點共有 4 個. 如圖所示： abc的內心為1p，旁心為234,pp p，這四個點到abc 三邊所在直線距離相等 .（典型例題 ）類型一、角的平分線的性質及判定1、已知：如圖，在abc中,ad 平分 bac ，de ab于 e，df ac于 f。 求證： ae af （答案與解析 ) 證明: ad平分 bac ，de ab

21、于 e,dfac于 f. de df （角平分線上的點到角兩邊的距離相等）90aedafd( 垂直定義 ) 在rt aed和rt afd中dedfadadrt aedrt afd（hl）aeaf（點評） 先由角平分線的性質得出de df ，再證rt aedrt afd，即可得出 ae af.分析已知，尋找條件，順次證明舉一反三： ( 變式）如圖， ad是bac 的平分線， de ab ，交 ab的延長線于點 e，df ac于點 f,且 db dc.求證： be cf 。（答案） 證明： de ae,df ac ，ad是bac 的平分線 , de df ，bed dfc 90在 rtbde 與

22、rtcdf中，dbdcdedf，rtbde rtcdf(hl ） be cf 2、3、如圖， ac=db, pac與pbd的面積相等求證 :op平分 aob （答案與解析）證明：作 pm oa于 m,pn ob于 n 12pacsac pm，12pbdsbd pn, 且pacspbds12ac pm12bd pn又ac bd pm pn 又pm oa,pn ob op平分 aob (點評）觀察已知條件中提到的三角形pac 與pbd,顯然與全等無關，而面積相等、底邊相等，于是自然想到可得兩三角形的高線相等，聯系到角平分線判定定理可得. 跟三角形的高結合的題目，有時候用面積會取得意想不到的效果.

23、4、舉一反三：（變式）如圖， dc ab ，bad和adc 的平分線相交于e，過 e 的直線分別交 dc 、ab于 c 、b兩點。 求證： ad ab dc. （答案）證明: 在線段 ad上取 af ab ，連接 ef ，ae 是 bad的角平分線， 12, af ab aeae ， abe afe ， bafe 由 cd ab又可得 cb180， afe c180，又 dfe afe180， c dfe ，de 是adc的平分線 ,34, 又de de ， cde fde ，df dc ，ad df af，ad abdc 全等三角形全章復習與鞏固類型一、巧引輔助線構造全等三角形（1） 倍長中

24、線法：1、已知, 如圖, abc中，d是 bc中點，de df,試判斷 be cf與 ef的大小關系 , 并證明你的結論 . fedcba(答案與解析） be cf ef；證明：延長 fd到 g ，使 dg df,連結 bg 、eg d 是 bc中點bd cd 又de df在edg 和edf中edededgedfdgdfedg edf(sas ）eg ef 在fdc與gdb 中dgdfbdcd21fdc gdb （sas) cf bg bg be eg be cf ef (點評 ) 因為 d 是 bc 的中點，按倍長中線法，倍長過中點的線段df,使 dg df,證明edg edf ，fdc g

25、db ，這樣就把be 、cf與 ef線段轉化到了 beg中, 利用兩邊之和大于第三邊可證.有中點的時候作輔助線可考慮倍長中線法（或倍長過中點的線段）。舉一反三 : (變式）已知：如圖所示， ce 、cb分別是 abc 與adc 的中線，且 acb abc 求證： cd 2ce (答案） 證明： 延長 ce至 f使 ef ce ，連接 bf ec 為中線， ae be 在aec與bef中，,aebeaecbefceefaec bef （sas) acbf ，afbe （全等三角形對應邊、角相等）又acb abc,dbc acb a，fbc abc a acab ，dbc fbc ab bf 又

26、bc 為adc 的中線， ab bd 即 bf bd 在fcb與dcb 中,bfbdfbcdbcbcbcfcb dcb （sas ） cf cd 即 cd 2ce （2） 作以角平分線為對稱軸的翻折變換構造全等三角形2、已知：如圖所示，在 abc中， c 2b,12求證： ab ac cd （答案與解析） 證明: 在 ab上截取 ae ac 在aed與acd 中，()12()()aeacadad已作 ，已知 ，公用邊 ，aed acd （sas ） aed c(全等三角形對應邊、角相等） 又c 2b aed 2b由圖可知： aed bedb, 2 bbedb bedb be ed 即 be c

27、d ab ae be ac cd （等量代換）（點評) 本題圖形簡單，結論復雜 , 看似無從下手 , 結合圖形發現ab ac 故用截長補短法在 ab上截取 ae ac 這樣 ab就變成了 ae be ， 而 ae ac 只需證 be cd即可從而把 ab ac cd轉化為證兩線段相等的問題舉一反三 : （變式）如圖 ,ad 是abc的角平分線， h,g分別在 ac ，ab上, 且 hd bd. （1）求證： b與ahd 互補；(2）若 b2dga 180, 請探究線段 ag與線段 ah 、hd之間滿足的等量關系 , 并加以證明。(答案） 證明:(1 ）在 ab上取一點 m ， 使得 am ah

28、, 連接 dm 。 cad bad ， adad, ahd amd. hdmd, ahd amd 。 hddb ， db md. dmb b。 amd dmb 180 , ahd b 180 。 即 b 與ahd 互補。（2）由(1）ahd amd, hd md, ahd b 180 。 b2dga 180 ， ah d 2dga. amd 2dgm. amd dgm gdm. 2 dgm dgm gdm. dgm gdm. md mg 。 hd mg 。 ag ammg ， ag ahhd. （3）. 利用截長 (或補短）法作構造全等三角形: 3、如圖所示，已知 abc中 ab ac,ad是

29、bac的平分線， m是 ad上任意一點, 求證:mbmc ab ac （答案與解析 ) 證明：因為 ab ac ，則在 ab上截取 ae ac ，連接 me 在mbe 中，mb me be （三角形兩邊之差小于第三邊） 在amc 和ame 中，()()()acaecameamamam所作 ，角平分線的定義，公共邊 ，amc ame （sas ） mcme （全等三角形的對應邊相等） 又 be ab ae ， be ab ac, mbmc ab ac (點評）因為 ab ac,所以可在 ab上截取線段 ae ac ，這時 be ab ac ，如果連接 em ，在bme 中，顯然有 mb me b

30、e 這表明只要證明me mc ，則結論成立充分利用角平分線的對稱性，截長補短是關鍵。舉一反三： ( 變式）如圖， ad是abc的角平分線， ab ac ，求證 :abac bd dc (答案）證明: 在 ab上截取 ae ac,連結 de ad是abc的角平分線， bad cad在aed與acd 中adadcadbadacaeaed adc （ sas ）de dc 在bed中，be bd dc 即 ab ae bd dc ab ac bd dc (4）. 在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段。4、 如圖所示，已知 e為正方形 abcd 的邊 cd的中點，點 f 在 bc上, 且dae fa

31、e mghdcbaedcba求證： af ad cf （答案與解析 ) 證明： 作 me af于 m ，連接 ef 四邊形 abcd 為正方形 , cdema 90又dae fae, ae 為fad的平分線， mede 在 rtame 與 rtade中，()()aeaedeme公用邊 ，已證 ， rt ame rtade(hl) ad am （全等三角形對應邊相等)又 e 為 cd中點， de ec meec 在 rtemf 與 rtecf中，()(meceefef已證 ，公用邊 ) ， rt emf rtecf （hl) mffc （全等三角形對應邊相等 ) 由圖可知： af am mf ，

32、 af ad fc(等量代換 ) （點評） 與角平分線有關的輔助線: 在角兩邊截取相等的線段, 構造全等三角形；在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段 . 四邊形 abcd 為正方形 , 則d 90 而dae fae說明 ae為fad的平分線，按常規過角平分線上的點作出到角兩邊的距離, 而 e 到 ad的距離已有 , 只需作 e 到af的距離 em 即可， 由角平分線性質可知me de ae ae rtame 與 rtade 全等有 ad am 而題中要證 af ad cf 根據圖知 af am mf 故只需證 mf fc即可從而把證af ad cf轉化為證兩條線段相等的問題5、如圖所示，在

33、abc中，ac=bc ，acb=90 ，d 是 ac上一點 , 且 ae 垂直 bd的延長線于 e，12aebd，求證 :bd 是abc的平分線（答案與解析）證明: 延長 ae和 bc ，交于點 f，ac bc ，be ae,ade= bdc （對頂角相等） , ead+ ade= cbd+ bdc 即 ead= cbd 在 rtacf和 rtbcd 中所以 rtacf rtbcd （asa ） 則 af=bd （全等三角 ae=bd,ae=形對應邊相等）af,即 ae=ef 在 rtbea 和 rtbef中，則 rtbea rtbef（sas) 所以abe= fbe(全等三角形對應角相等）

34、, 即 bd是abc的平分線（點評） 如果由題目已知無法直接得到三角形全等, 不妨試著添加輔助線構造出三角形全等的條件，使問題得以解決平時練習中多積累一些輔助線的添加方法。類型二、全等三角形動態型問題6、在 abc中， acb 90，ac bc ，直線 l 經過頂點 c ，過 a，b 兩點分別作 l 的垂線 ae ，bf ，垂足分別為 e,f。（1）如圖 1 當直線 l 不與底邊 ab相交時，求證： ef aebf 。（2）將直線 l 繞點 c順時針旋轉，使 l 與底邊 ab相交于點 d ，請你探究直線 l 在如下位置時 ,ef、ae 、bf之間的關系， ad bd;ad bd ；ad bd

35、。(答案與解析） 證明:（1）ae l ，bf l ，aeccfb90， 1290acb 90， 2390 13。在ace和cbf中，13aeccfbacbcace cbf （aas ）ae cf,ce bf ef ce cf ，ef ae bf 。（2)efae bf ，理由如下 : ae l ,bf l ， aec cfb 90, 1290acb 90, 2390, 13. 在 ace和cbf中13aeccfbacbcace cbf （aas ）ae cf,ce bf efcf ce ，ef ae bf 。 efae bf efbf ae證明同。(點評） 解決動態幾何問題時要善于抓住以下幾

36、點：(1) 變化前的結論及說理過程對變化后的結論及說理過程起著至關重要的作用；(2) 圖形在變化過程中 , 哪些關系發生了變化，哪些關系沒有發生變化；原來的線段之間、角之間的位置與數量關系是否還存在是解題的關鍵；(3) 幾種變化圖形之間 , 證明思路存在內在聯系，都可模仿與借鑒原有的結論與過程, 其結論有時變化，有時不發生變化。舉一反三 :（變式）已知：在 abc中，bac 90，ab ac ，點 d為射線 bc上一動點 , 連結 ad ，以 ad為一邊且在 ad的右側作正方形adef （1）當點 d在線段 bc上時( 與點 b不重合） ，如圖 1，求證 :cfbd （2)當點 d運動到線段

37、bc的延長線上時，如圖2，第（ 1）問中的結論是否仍然成立，并說明理由. （答案） 證明:(1 ）正方形 adef ad af ，daf 90daf dac bac dac ，即 bad caf 在abd和acf中，abacbadcafadafabd acf （sas ） bd cf （2）當點 d運動到線段 bc的延長線上時 , 仍有 bd cf 此時 daf dac bac dac ，即 bad caf 在abd和acf中,abacbadcafadafabd acf （sas) bd cf全等三角形全章復習與鞏固(基礎) 類型一、全等三角形的性質和判定1、兩個大小不同的等腰直角三角形三角板

38、如圖1 所示放置 , 圖 2 是由它抽象出的幾何圖形，b，c，e在同一條直線上，連結dc （ 1) 請找出圖2 中的全等三角形, 并給予證明 ( 說明：結論中不得含有未標識的字母) ；（2）證明： dc be . ( 答案與解析 ) 解: （1） bae cad 證明： bac ead 90bac cae ead cae 即 bae cad 又ab ac ， ae ad, abe acd （sas) （2）由（ 1）得 bea cda,又 coe aod bea coe cda aod 90則有 dce 180 90 90，所以 dc be. ( 點評 ) abe與 acd中 , 已經有兩邊，

39、夾角可以通過等量代換找到，從而證明abe acd ；通過全等三角形的性質,通過導角可證垂直。我們可以試著從變換的角度看待abe與 acd ，后一個三角形是前一個三角形繞著a點逆時針旋轉90得到的 , 對應邊的夾角等于旋轉的角度90，即 dc be 。舉一反三：（變式）如圖，已知：ae ab，ad ac ，ab ac ， b c，求證： bd ce。( 答案） 證明 : ae ab ，ad ac， eab dac 90 eab dae dac dae ，即 dab eac. 在 dab與 eac中,dabeacabacbc dab eac （sas ） bd ce 。類型二、巧引輔助線構造全等三

40、角形（1） 作公共邊可構造全等三角形:2、如圖 : 在四邊形abcd 中,ad cb ，ab cd.求證 : b d。（答案與解析）證明 : 連接 ac ， ad cb,abcd 。 1 2， 3 4 在 abc與 cda中1243acca abc cda （asa) b d ( 點評） b與 d不包含在任何兩個三角形中，只有添加輔助線ac ，根據平行線的性質，可構造出全等三角形。添加公共邊作為輔助線的時候不能割裂所給的條件，如果證a c,則連接對角線bd 。舉一反三： ( 變式 ) 在 abc中， abac 。求證： b c ( 答案） 證明：過點a作 ad bc在 rtabd與 rtacd中abacadadrtabd rt acd （hl） b c。(2) 倍長中線法：3、( 點評） 用倍長中線法可將線段ac ，2ad,ab 轉化到同一個三角形中，把分散的條件集中起來。倍長中線法實際上是繞著中點 d旋轉 180。舉一反三：（變式 ) 若三角形的兩邊長分別為5和 7, 則第三邊的中線長x的取值范圍是 ( ） a.1 x 6 b。 5 x 7 c.2 x 12 d。無法確定所以選 a選項 . ( 答案 ) a ；提示：倍長中線構造全等三角形，752x7 5，(3 ）. 作以角平分線為對稱軸的翻折變換構造全等三角形: 4、在 abc中，