1、第四節 函數(hnsh)展開成冪級數前面研究的是冪級數的收斂域及和函數,現在反過來,某個函數是否可以(ky)在某個區間內用冪級數表示一. 泰勒(ti l)級數第三章研究過泰勒公式:其中f(x) 在 的某鄰域內具有n+1階導數.0 x余項第1頁/共16頁第一頁，共17頁。此時, f(x)可以用前n+1項近似表示,誤差為| )(|xRn由此引入泰勒(ti l)級數:1. 定義(dngy)若f(x)在 的某鄰域內具有各階導數,則0 xf(x)在 的泰勒級數0 x泰勒(ti l)系數麥克勞林級數第2頁/共16頁第二頁，共17頁。2. 泰勒(ti l)定理:若f(x) 在 的某鄰域內具有各階導數,0 x

2、(由泰勒公式很容易(rngy)得出結論,證明略)注: (1) 則f(x)在 的泰勒級數在該鄰域內收斂于f(x)0 x若f(x)在 的泰勒級數收斂于f(x),即0 x泰勒(ti l)展開式(2) 如果函數可以展開成冪級數,則展開式唯一.則稱 f(x)在 可以展開成泰勒級數0 x第3頁/共16頁第三頁，共17頁。二. 函數(hnsh)展開成冪級數主要研究函數如何(rh)展開成 x 的冪級數. 麥克勞林級數1. 直接(zhji)展開法(1) 求出 ),(,),(),()(xfxfxfn如果某階導數不存在,說明不能展開(2) 求出 ),0(,),0(),0(),0()(nffff(3) nnxnfxf

3、xff!)0(! 2)0()0()0()(2求出收斂半徑R(4) 在(-R,R)內,如果0)(limxRnn則 f(x)第4頁/共16頁第四頁，共17頁。例 將函數(hnsh)展開成 x 的冪級數收斂半徑R有限(yuxin)趨于零,因為 收斂01)!1(|nnnx所以0)(limxRnn)( ,! 212 xnxxxenx第5頁/共16頁第五頁，共17頁。(循環(xnhun)收斂半徑R所以0)(limxRnn0)( ,)!12() 1(0121xnxnnn第6頁/共16頁第六頁，共17頁。牛頓(ni dn)二項式級數注: 1時,展式在 x =1成立(chngl);0時,展式在 x = 1成立(

4、chngl).2.間接展開法利用已知的基本展開式和冪級數的性質(1).逐項積分,逐項求導法(2)變量替換法(3)四則運算法第7頁/共16頁第七頁，共17頁。例 將函數(hnsh)展開成 x 的冪級數第8頁/共16頁第八頁，共17頁。作變量替換2xt第9頁/共16頁第九頁，共17頁。例 將 分別展開成 x 的及 x1 的冪級數x31第10頁/共16頁第十頁，共17頁。例 將 展開成 x1的冪級數3412 xx)31(x)53(x)31(x第11頁/共16頁第十一頁，共17頁。練習(linx)第12頁/共16頁第十二頁，共17頁。第13頁/共16頁第十三頁，共17頁。第14頁/共16頁第十四頁，共17頁。第15頁/共16頁第十五頁，共17頁。感謝您的觀看(gunkn)！第16頁/共16頁第十六頁，共17頁。NoImage內容(nirng)總結第四節 函數展開成冪級數。第四節 函數展開成冪級數。前面研究的是冪級數的收斂域及和函數,現在反過。第1頁/共16頁。此時, f(x)可以(ky)用前n+1項近似表示,誤差為。若f(x)在 的某鄰域內具有各階導數,則。(2) 如果函數可以(ky)展開成冪級數,則展開式唯一.。主要研究函數如