1、拉普拉斯變換公式總結(9556EUATWKMWUBWUNN-INNULDDQTY-Kn拉普拉斯變換、連續時間系統的S域分析基本要求通過本章的學習，學生應深刻理解拉普拉斯變換的定義、收斂域的概念： 熟練掌握拉普拉斯變換的性質、卷積定理的意義及它們的運用。能根據時域電 路模型畫出s域等效電路模型，并求其沖激響應、零輸入響應、零狀態響應和 全響應。能根據系統函數的零、極點分布情況分析、判斷系統的時域與頻域特 性。理解全通網絡、最小相移網絡的概念以及拉普拉斯變換與傅里葉變換的關 系。會判定系統的穩定性。知識要點1. 拉普拉斯變換的定義及定義域(1) 定義單邊拉普拉斯變換：正變換 af(t) = F(s

2、) = Qf(t)e-s，dt逆變換JFG) = /(,) =丄廣用尸”也2龍丿0C匸雙邊拉普拉斯變換：正變換 F)= y)e逆變換fit)=丄廣嚴f(2) 定義域若時，Inn= 0則fQ)ea，在b的全部范圍內收斂，積分匸7(尢存在，即/的拉普拉斯變換存在。b>久就是/的單邊拉普拉斯變換的收斂域。久與函數/的性質有關。2. 拉普拉斯變換的性質(1) 線性性若 們=好(S), <(01 =毆)，口心為常數時,則細加)+k2/2 (r)=阻恥)+k2F2 (5)(2) 原函數微分若(01 = F(5)則飢竽=sF(s) -f(0_)H-ldtn-工嚴-嚴(0-)r=0式中f (0_)

3、是階導數啤単在0_時刻的取值。 at(3) 原函數積分若門/(。=尸，則幾)如=少+廠珥°-)式中/(0_)= f° f(t)dt J-xSSJ-x(4) 延時性若af (01 = F(5),則</(r-t0)u(t-tQ) =嚴F(S)(5) s域平移若af (01 = F(5),則少嚴 = F(5 + a)(6) 尺度變換1 r若/(01 = F(5),則af(at) = -F(-) (a>0)a a 初值定理 lHii/(r) = /(0+) = limsF /To*.v->x 終值定理 11111 /(/) = 111115(5)/->+X.

4、V->X(9)卷積定理若 G71(f) = EG), G厶(。=的(s),則有 <LA(r)*£(f) = G)/y$)GZ (0/2 (01 = J-耳 G) * f2 ($)=J-廣"F&p 応(5 -p)dp2兀j2兀嚴產3.拉普拉斯逆變換(1)部分分式展開法首先應用 海維賽展開定理將FG)展開成部分分式，然后將各部分分式逐項進行逆變換，最后疊加起來即得到原函數f。(2)留數法留數法是將拉普拉斯逆變換的積分運算轉化為求被積函數在圍線中所有 極點的留數運算，即LTF ($)=圭匚:F Wds =占如尸($片加=刀F(W的留數丿J若P,為一階級點，則在

5、極點S = Pi處的留數t; = (5- /z)F(s)eJ/應X；仁/=!若門為k階級點，則尸芒加(，-必燈門匚4.系統函數(網絡函數)H (s)(1)定義系統零狀態響應的拉普拉斯變換與激勵的拉普拉斯變換之比稱為系統函數.即H=宴衛沖激響應/?(f)與系統函數HG)構成變換對，即H® = 4加)系統 E(s)的頻率響應特性H(jw) =片(訓嚴式中，片(川)|是幅頻響應特性,0(旳是相頻響應特性。(2)零極點分布圖丹 _ N(s) 一 Kd)($7)(s- j)式中 日一麗(-"()(-幾)式中H(s)的零點；兒P一,化為H(s)的極點。在s平面上，用CT表示零點，“X”

6、表示極點。將H(s)的全部零點和極點畫在s平面上得到的圖稱為系統 的零極點分布圖。對于實系統函數而言，其零極點要么位于實軸上，要么關于 實軸成鏡像對稱分布。(3)全通函數 如果一個系統函數的極點位于左半平面零點位于右半平面，而且零點與極點 對于丿力軸互為鏡像，那么這種系統函數稱為全通函數，此系統則為全通系統或 全通網絡。全通網絡函數的幅頻特性是常數。(4) 最小相移函數如果系統函數的全部極點和零點均位于s平面的左半平面或丿W軸，則稱這種函 數為最小相移函數。具有這種網絡函數的系統為最小相移網絡。(5) 系統函數H(s)的求解方法由沖激響應"(f)求得，即H(s) = JM) o對系統

7、的微分方程進行零狀態條件下的拉普拉斯變換，然后由H(s)= 學E(s)獲得。根據s域電路模型，求得零狀態響應的像函數與激勵的像函數之比，即為H。5.系統的穩定性若系統對任意的有界輸入，其零狀態響應也是有界的，則此系統為穩定系統。(1) 穩定系統的時域判決條件匚(充要條件)若系統是因果的，貝IJ式可改寫為(2) 對于因果系統，其穩定性的s域判決條件 若系統函數H(s)的全部極點落于s左半平面，則該系統穩定； 若系統函數H(s)有極點落于s右半平面，或在虛軸上具有二階以上的極點， 則該系統不穩定； 若系統函數H(s)沒有極點落于s右半平面但在虛軸上有一階極點，則該系 統臨界穩定。內容摘要J拉氏變換

8、的定義和收拉普拉嫻J斂域f部分分式展開二.單邊拉氏變換逆變換的兔法三拉氏變換的基本性質四用拉普拉斯變換法分析電路系統函數的定義五系統函彳由零極點的決定系統的時域特性 數上T7 I- X.L. / I r- F" /亠丄厶 T舛亠JUI例題例題1:求拉氏變換例題2 :求拉氏變換，拉氏變換的性質例題3 :拉氏變換的微分性質例題4 :系統函數，求解系統的響應例題5 :用拉氏變換法分析電路例41求下列函數的拉氏變換/(/)=加(r-l)分析拉氏變換有單邊和雙邊拉氏變換,為了區別起見，本書以尸(s)表示/(f)單邊拉氏變 換，以耳(S)表示/(/)雙邊拉氏變換。若文字中未作說明，則指單邊拉氏變

9、換。單 邊拉氏變換只研究f no的時間函數，因此，它和傅里葉變換之間有一些差異，例如 在時移定理，微分定理和初值定理等方面。本例只討論時移定理。請注意本例各 函數間的差異和時移定理的正確應用。解答F(s)=1)=厶(f l)w(f l)+u(f-1)=(丄+ 丄 e5I s- s)例42求三角脈沖函數f(/)如圖4-2 (a)所示的象函數0<t<l1/(0l<t<2 其他分析和傅里葉變換類似，求拉氏變換的時，往往要借助基本信號的拉氏變換和拉氏 變換的性質，這比按拉氏變換的定義式積分簡單，為比較起見，本例用多種方 法求解。解答方法一：按定義式求解方法二：利用線性疊加和時移

10、性質求解方法三：利用微分性質求解 方法四：利用卷積性質求解7方法一：按定義式求解1一于方法二：利用線性疊加和時移性質求解由于f (r)=2(t l)u(f 1)+ (t- 2)u(t 2)恥)詁£/(°)=F($)嚴于是F(滬Z(l_2嚴+嚴)方法三：利用微分性質求解分析信號的波形僅由直線組成，信號導數的象函數容易求得，或者信號經過幾次微分后出現原信號，這時利用微分性質比較簡單。將/(f)微分兩次，所得波形如圖4-2 (b)所示。顯然屮繆卜巫（'）亠（l）+次一 2）卜（1 - ）根據微分性質屮沖卜碎）-用）-金）由圖4-2 （b）可以看出/（0-）=0,廣（0）=

11、0于是s2F（s）=（l e-'）2 弘）詁（1-叭方法四：利用卷積性質求解/（/）可看作是圖4-2（c）所示的矩形脈沖久（/）自身的卷積于是，根據卷積性質1F（$）=F«訊（QO而邛N（嚴）所以 環）=電（1-圖42S例43應用微分性質求圖4-3 （a）審（從広（'），埔豪函數下面說明應用微分性質應注意 的問%隔細砂）從）,從）是的競R +誠）的波形。A從）=必）3 321圖43 （a）°1/1，（0= 3刃）（臚。）趙）（i）4 £。）=死）r Tr T圖4-4 （b）說明（1）對于單邊拉氏變換、由于7；"）= （少（）,故二者的象函

12、數相同，即琲）=幾（訂=半雖.（0=（4但人«）興厶（0因而仍）"徹）對于Z（“ 由 T7,（o_）=o,故心）=曲（$）-0 = 3對丁乞（“由于人（0_）=2,故Lf）=sF（s）-2 = l（3）g紺階導數相同，fifz（o_）=2, /3（0_）=0,因此/2（0=a（x）dx + /2（O）=a（x）dx + 2人 «）= J：工（Qd x + /3（0_）= £<5 （x）d x因而璘）JfM）+2（0）JsssF3（s）=iF5（0+i/3（O.）=isss這是應用微分性質應特別注意的問題。由圖4-3 （b）知L /；（r）=5F（5

13、）-0 = 3則 （5）=-L/：（r）=5F（5）-2 = l則 F2（）=|/3（0= £ 3（x）dx則&（$）=耳5（/）+1 人（0一）=丄例44某線性時不變系統在非零狀條件不變的情況下，三種不同的激勵信號作用于系統。當輸入（。二雄耐，系統的輸出為總）=滅）+曠噸）；當輸入心（0+（必肘，系統的輸出滾（0=3誠）；當輸入"（J為圖中所示的矩形脈沖時，求此時系統爵打出八從）1-萬 123 t(0=兒("+ 兒(0 =兒(0+ 火)川)=兒(f )+W卜兒(f )+曠叫)=兒(f )+g(f )兒0）-兒（0=（0+曠叫）=馳）-2嚴階躍響應則兒(0

14、=兒 0)+gC-i)-g«-3)=2w(z)+ *)u(t 一 1)_ e«3)u(t - 3)例4-5電路如圖45 (a)所示(1) 求系統的沖激響應。(2) 求系統的起始狀余(°)%(°4系統的零輸入響應等于沖激響應。求系統的起始狀鑫系統對"(詢激勵時的気全響應仍為u(t解答(1)求系統的沖激響應。系統沖激響應與系統函數H(s)是一對拉氏變換的關系。對H($)求逆變換可求得/心)，這種方法比在時域求解微分方程簡便。sC利用s域模型圖45 (b)可直寫出圖45 (a)電路的系統函數H(s卜|vc(O,)-Q 譏)s2 + 2s + 1s &

15、quot;T 4 一5 (b)113沖激響應/?（r）= £*/（s）=re_/ u（r）（2）求系統的起始狀態為求得系統的零輸入響應，應寫出系統的微分方程或給出帶有初值的S域模型。下面我們用$域模型求解。圖4.5（a）電路的s域模型如圖4-5（b）o由圖4-5（b）可以寫出八恥）-典（0）+匚（0）1 1匕（滬一一2 + s + -s二 E（$）| « + 2九（0）+匚（0）s2 + 2s + 1s2 + 2s + 1零狀態響應零輸入響應上式中第二項只和系統起始狀態有關，因此該項是零輸入響應的拉氏變換。依 題意的要求，該項應和H（$）相等，從而得（$ + 2c（0J+L

16、（0）=1故系統的起始狀態%（oj=o 匚（0）=1說明通過本例可以看出，改變系統的起始狀態可以使系統的完全響應滿足某些特定要求。本質上，系統的零輸入響應完全由系統的起始狀態決定，對一個穩定系統而言，零輸入響應是暫態響應中的一部分，因此，改變系統的起始狀態只能改變系統的暫態響應，使暫態響應滿足某些特定要求，例如，本例要求暫態響 應為零。(3) 求系統的起始狀態當激勵信號如)="(/)根據式(1)求得完全響應 匕心,+(mj' 's2 + 2s + ls2 + 2s + 1_ 1 一$一20 + 2九(0)+ h(0 Js +2s + l52 + 2s + 1由該式容易

17、看出，要僥全響血礙于激勵信號有(s + 2>c(0.)+/l(0.)-s-2 = 0從而求得系統的起始狀態Vc(0-)=l的=0附錄A拉普拉斯變換及反變換1.表AT拉氏變換的基本性質1線性定 理齊次性購W=aF(s)疊加性厶人土厶(/) = F】G)±F2(s)2微分定 理般形式忤me吆® "ST"厶嚴?, $”F(s) - 2： s“7 fZ(0)dtA-i嚴“ 一加初始條件為0時L> = s"F(s)3積分定 理般形式Jss可血劇=弘）+嘰+U"映九S'S's厶口 7W/）" =牛+£

18、; 召“門z*SX-l $初始條件為0時子（曲）"=乎4延遲定理（或稱f域平移定 理）Lf(t-TW-T) = eTsF(s)5衰減定理（或稱s域平移定 理）Lf(t)e-a, = F(S + a)6終值定理lim f(t) = lim sF(s)/->x5 ->07初值定理lun f(t) = lull sF (s)/->05->0C8卷積定理耳龐（1）朋）必=或川）人（1）如=：仟（s）& （s）2.表A-2常用函數的拉氏變換和z變換表序號拉氏變換E（s）時間函數e（t）Z變換E(z)11d(t)121出犯-M）Jt-0z1-嚴Z-l31s1(f)

19、zZ-l41tTzrG-i)'51r尸火+ 1）s322Q - 1)J61tn嚴川d nl 宀-L71zs + aeZ eaT81£1/TzeaT(s + d)te9al-ea,（1-宀乙s(s + a)（乙-1）（乙-嚴）10b-a（5 + a）（s + b）ea, - eb,zzr-aTr-bTZ-ez-e11osinersiii6?Ts + a>Z1 一 2zcos 曲 + 112sCOSOJtZ（Z-cosqT）S2 + CDZ2 -2zcoseT + 113（5 + «）2 + corf/e sm cotzeaT sm coTV - 2zeaT coscoT + e2aT14s + a（s + a）2 +a2嚴cos曲Z2 - zeal cos （STZ2 - 2ze'aT cos oT + e2aT151s-（1/7、） Inc嚴z二一a3.用查表法進行拉氏反變換用查表法