1、tn F Ft Fn0limnAAFp0limnnnnAdAdAFFp0limttntAdAdAFFpkjifzyxfffxyza0 xf0yf zfa g nnndpdA Fpnxyzpxpzpypn x y zABCD 如圖所示，在靜止流體中的點(diǎn)A取一微元四面體，與坐標(biāo)軸相重合的邊長(zhǎng)分別為x、y、z，三角形BCD的面積設(shè)為S，各微小平面中心點(diǎn)上的壓強(qiáng)分別為px、py、pz，單位質(zhì)量力在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的投影分別為fx、fy、fz。由于流體靜止，則作用在四面體上的力平衡，即：000zyxFFF11cos,026xxnpy zfx y zp S n i以x坐標(biāo)軸方向?yàn)槔?，作用在四面體上的力在x

2、方向上的平衡方程為：zyS21,cosin106xxnpfxpxnppynppznppxyznpppp),(zyxpp 在靜止流體中取一邊長(zhǎng)分別為x、y、z的微小立方體，中心點(diǎn)為a（x,y,z），該點(diǎn)的密度為，靜壓強(qiáng)為p。abcxzy x y zfx2xxpp2pxpx022xpxpxpy zpy zfx y zxx 作用在立方體上的力在x方向的平衡方程為:xyz除以上式，得a點(diǎn)在x方向的平衡方程：101010 xyzpfxpfypfz寫成矢量形式：10 fp將流體平衡微分方程的兩端分別乘以dx、dy、dz，然后相加，得：xyzpppf dxf dyf dzdxdydzxyz即：xyzdpf

3、dxf dyf dzdp=0p(x,y,z)=const。0 xyzf dxf dyf dz0 rf d寫成矢量形式：xyzz2z1p1p212p0o在重力場(chǎng)中，單位質(zhì)量力只有重力，即：代入壓力差公式，得：積分得： pgzC 00 xyzfffg ，dpgdz gCgpz如圖所示，上式可寫成：1212ppzzggz p/(g) z+p/(g) xzzhpapp0hob如圖所示，玻璃管上端抽真空，對(duì)于a點(diǎn)和b點(diǎn)，流體力學(xué)基本方程式為：gphhzgpzppzp/(g)z+ p/(g)z1z2AA1 p1gp12pgp2 2p0apgz1z2AA1 p11epg2epgp2 2p0pa完全真空完全真

4、空積分常數(shù)根據(jù)自由表面上的邊界條件確定：00,zzpp在重力場(chǎng)中，單位質(zhì)量力只有重力，即：代入壓力差公式積分得： pgzC 00 xyzfffg ，xyzz0zp0oh00gzpC所以任意坐標(biāo)z處的壓強(qiáng)為：ghpzzgpp000p=pa+gh ppe=p-pa=gh pepv=- pe= pa-pppepvppp=0pappahp0ppahpapghppaghpppaeappghvpghh1h2pap1122由于1和2點(diǎn)在同一流體的等壓面上，故：21pp 111ghpp222ppgh故有：1122ghghppa2211eapppghgh其中：h1h2pap11222211appghgh2211

5、vapppghghhh2h1B11A212 由于1、2兩點(diǎn)在同一等壓面上，故有：ghghpghpBA22111A、B兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差為：ghghghghpppBA121121212(sin)aApppgHglA A2A1paphhl00兩液面的高度差為：21sinAAlhhH所測(cè)的壓強(qiáng)差為：h1h2h3h4h511223344B BA1123已知已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm， 1=1000kg/m3， 2=800kg/m3， 3=13598kg/m3，求，求A、B兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差。兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差。h1h2h3h4h511223344B BA

6、1123已知已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm， 1=1000kg/m3， 2=800kg/m3， 3=13598kg/m3，求，求A、B兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差。兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差。解：圖中1-1、2-2、3-3均為等壓面，可以逐個(gè)寫出有關(guān)點(diǎn)的靜壓強(qiáng)為：32232312111ghppghppghppA)(45144334hhgppghppB聯(lián)立求解得：4543322311hhgghghghghppABA、B兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差為：Pa67864324231451ghhhghhhgppBAF2F1hped1d2aa兩圓筒用管子連接，內(nèi)充水銀。第一個(gè)圓筒直徑兩圓筒

7、用管子連接，內(nèi)充水銀。第一個(gè)圓筒直徑d1=45cm，活塞上受力，活塞上受力F1=3197N，密封氣體的計(jì)示壓強(qiáng)，密封氣體的計(jì)示壓強(qiáng)pe=9810Pa；第二圓筒直徑；第二圓筒直徑d2=30cm，活塞上受力活塞上受力F2=4945.5N，開口通大氣。若不計(jì)活塞質(zhì)量，求平衡狀態(tài)時(shí)，開口通大氣。若不計(jì)活塞質(zhì)量，求平衡狀態(tài)時(shí)兩活塞的高度差兩活塞的高度差h。（已知水銀密度。（已知水銀密度 =13600kg/m3)。F2F1hped1d2aa兩圓筒用管子連接，內(nèi)充水銀。第一個(gè)圓筒直徑兩圓筒用管子連接，內(nèi)充水銀。第一個(gè)圓筒直徑d1=45cm，活塞上受力，活塞上受力F1=3197N，密封氣體的計(jì)示壓強(qiáng)，密封氣體

8、的計(jì)示壓強(qiáng)pe=9810Pa；第二圓筒直徑；第二圓筒直徑d2=30cm，活塞上受力活塞上受力F2=4945.5N，開口通大氣。若不計(jì)活塞質(zhì)量，求平衡狀態(tài)時(shí)，開口通大氣。若不計(jì)活塞質(zhì)量，求平衡狀態(tài)時(shí)兩活塞的高度差兩活塞的高度差h。（已知水銀密度。（已知水銀密度 =13600kg/m3)。解：在F1、F2作用下，活塞底面產(chǎn)生的壓強(qiáng)分別為：Pa699644Pa20101422222111dFpdFp， 圖中a-a為等壓面，第一圓筒上部是計(jì)示壓強(qiáng)，第二圓筒上部的大氣壓強(qiáng)不必計(jì)入，故有：21pghppem3003. 012gppphe單位質(zhì)量液體上的質(zhì)量力沿坐標(biāo)軸的分量為：0 xyzfaffg ，代入壓

9、強(qiáng)差公式得：dpadxgdz積分上式得：paxgzC 根據(jù)邊界條件：x=0，y=0，z=0時(shí)p=p0，代入上式得積分常數(shù)C=p0，故有：0ppaxgzaxz p0g-afo 以（xs，ys，zs）表示自由液面上點(diǎn)的坐標(biāo)，由于在自由液面上的任意一點(diǎn)都有p=p0，所以由靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律可得自由液面的方程為：將質(zhì)量力代入等壓面方程得：0adxgdz積分上式得：1axgzC等壓面與水平面之間的夾角為：gaarctan0ssaxgz如果x坐標(biāo)都相同，對(duì)于液面內(nèi)任意一點(diǎn)，有：ssgxxza 將上式代入靜壓強(qiáng)分布規(guī)律得：00sppg zzpghaxz p0oh 作用在半徑為r處的液體質(zhì)點(diǎn)上的單位質(zhì)量力沿坐標(biāo)

10、軸的分量為：gfyrfxrfzyx，2222sincos代入壓強(qiáng)差公式得：積分上式得：gdzydyxdxdp22CzgrgCgzyxp222222222yxyoo2r2y2xhzp0r根據(jù)邊界條件：r=0，z=0時(shí)p=p0，代入上式得積分常數(shù)C=p0，故有：2202rppgzg將質(zhì)量力代入等壓面方程得：積分上式得：220 xdxydygdz1222Cgzr 以下標(biāo)s表示自由液面上點(diǎn)的坐標(biāo)，由于在自由液面上的任意一點(diǎn)都有p=p0，所以由靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律可得自由液面的方程為：2202ssrgz如果考察的是相同半徑r處的情況，則由上式得液面下任一點(diǎn)處：222222ssrrzgg將上式代入靜壓強(qiáng)分布規(guī)

11、律得：00sppg zzpghzoRpagR2222222cossinxyzfrxfryfg ，代入壓強(qiáng)差公式并積分得：222rpgzCg根據(jù)邊界條件：r=0，z=0時(shí)p=pa，代入上式得積分常數(shù)C=pa，故有：222arppgzg作用在頂蓋上的計(jì)示壓強(qiáng)為：222erp2222cossinxyzfrxfryfg ，代入壓強(qiáng)差公式并積分得：222rpgzCg根據(jù)邊界條件：r=R，z=0時(shí)p=pa，代入上式得C=pa-2R2/2，故有：2222aRrppgzg作用在頂蓋上的真空度為：2222rRpvzoRpagR222h2h1Lazyoh2h1Lazyo解：質(zhì)量力在坐標(biāo)軸方向的分量為：gfaffz

12、yx, 0代入壓強(qiáng)差公式并積分得：Cgzayp在y=0，z=0處，p=pa求得C=pa，即：appaygz在y=-L，z=h1-h2處，p=pa，代入上式得：021hhgaL即：12ahhLgdh2h1Hzdh2h1Hz解：設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)始終位于凹液面的最低點(diǎn)。 當(dāng)水恰好觸及容器口時(shí)，自由液面所包容的體積等于原來(lái)無(wú)水部分的體積，即：szdhHd2124214其中：gdgrzs82221221所以：rad/s67.1816211dhHgr/min3 .178/3011n 當(dāng)自由液面形成的拋物面恰好觸及容器底部時(shí)，拋物面所包容的體積正好為容器體積的一半，此時(shí)：gdHzs82222820.88 rad/

13、sghd2230/199.5 r / minn當(dāng)容器停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)容器中水的高度為：20.25 m2Hh 在平面上取一微元面積dA，其中心的淹沒(méi)深度為h，到oy軸的距離為x，液體作用在該微元面積上的微元總壓力為：dAgxghdAdFpsin 在平面上積分上式，可得液體作用在平面上的總壓力：AAppxdAgdFFsin上式中，AxxdAcA為平面對(duì)oy軸的面積矩，xc為平面形心的x坐標(biāo)，故：AghAgxFccpsin總壓力Fp對(duì)oy軸的力矩等于各微元總壓力對(duì)oy軸的力矩的代數(shù)和，即：ApDpxdFxFADcdAxgAxxg2sinsin式中，yAIdAx2為面積A對(duì)oy軸的慣性矩，故有：AxIxcy

14、D 根據(jù)慣性矩平行移軸定理Iy=Icy+xc2A(Icy為面積A對(duì)通過(guò)其形心并平行于oy軸的坐標(biāo)軸的慣性矩），代入上式，得：同理可求得壓力中心的y坐標(biāo)：cycxyDcccIIyyx Ax Ax 式中，yc為平面形心的y坐標(biāo)，Ixy、Icxy分別為平面對(duì)oxy坐標(biāo)系和通過(guò)平面形心并 平行于oxy的坐標(biāo)系的慣性積。cyDccIxxx A, ,h1h2xDxD1xD2F2F1Foyxbh1h2xDxD1xD2F2F1Foyxb解：對(duì)于閘門左側(cè)bghAghFc2111121311111121111212223cyDccIbhxxhhx Abh同理，對(duì)于閘門右側(cè)2222212cFgh Agh b3222

15、22222221212223cyDccIbhxxhhx Abh兩側(cè)總壓力的合力為：bhhgFFF22212121 方向向右。設(shè)合力F的作用點(diǎn)的淹沒(méi)深度為xD，根據(jù)合力矩定理，對(duì)oy軸取矩，有：221211DDDxhhFxFFx222112122212212122 232322332Dgh bhgh b hhhhxhhhgb hh合力作用點(diǎn)的y坐標(biāo)為b/2。 在靜止液體中有一二維曲面，面積為A，它的母線與oy軸平行，它在oxz平面上的投影為曲線ab。在淹沒(méi)深度為h的地方取一微元面積dA，則液體作用在該微元面積上的微元總壓力為：abdAAxAzxzhcxhopadFpdFpxdFpdFpzdAdA

16、xdAzghdAdFpcoscospxpxdFdFghdAghdAsinsinpzpzdFdFghdAghdA微元總壓力在坐標(biāo)軸上的投影為：pxpxxxAAAFdFghdAghdApxcxxFgh A式中，xcxxAhdAh A為投影面積Ax對(duì)oy軸的面積矩，hcx為Ax的形心淹沒(méi)深度。故上式成為：pzpzzzAAAFdFghdAghdA式中，zpAhdAV為曲面上的液體體積，稱為。故上式成為：ppzgVF22pzpxpFFF總壓力與垂線之間的夾角為：pzpxFFarctan并指向曲面。 總壓力的水平分力Fpx的作用線通過(guò)Ax的壓力中心指向受壓面，垂直分力Fpz的作用線通過(guò)壓力體的重心指向受壓

17、面，故總壓力的作用線一定通過(guò)這兩條作用線的交點(diǎn)并與垂線成角。abDAxAzpadFpdFpxdFpzFpzFpzFpz如圖為一溢流壩上的弧形閘門。已知：如圖為一溢流壩上的弧形閘門。已知：R=8m，門寬，門寬b=4m，=30，試求：作用在該弧形閘門上的靜水總壓力。，試求：作用在該弧形閘門上的靜水總壓力。O 解：閘門所受的水平分力為解：閘門所受的水平分力為P Px x，方向向右，方向向右， 即：即：311000 9.84sinsin2940.8 10 xcxPgH ARbRN 閘門所受的垂直分力為閘門所受的垂直分力為P Pz z，方向向上，方向向上閘門所受水的總壓力閘門所受水的總壓力總壓力的方向總

18、壓力的方向 233011000 9.8cossin4cos3602281.7 10zPgVRbRRRRN kNPPPzx9822217arctanxzPPpaHhddd123paHhddd123解：由于作用在底蓋上的壓強(qiáng)左右對(duì)稱，其總壓力的水平分力為零，垂直分力方向向下，大小為：N657912243211dhHdggVFppz頂蓋上總壓力的水平分力為零，垂直分力方向向上，大小為：23223049 N4212pzpdhdFgVgH側(cè)蓋上總壓力的水平分力為：N4814423dgHAghFxcxpx側(cè)蓋上總壓力的垂直分力應(yīng)為作用在半球上的上半部分和下半部分垂直分力的合力，即半球體積水的重量：33321 N12pzdFg故側(cè)蓋上的總壓力：223334825 NppxpzFFF33arctan86.2