1、第二章 2.2橢圓2.2.1橢圓的標準方程(二)1.加深理解橢圓定義及標準方程.2.能靈活運用條件求橢圓的標準方程.3.能夠熟練求解與橢圓有關的軌跡問題.學習目標題型探究問題導學內容索引當堂訓練問題導學思考1知識點橢圓標準方程的認識與推導橢圓標準方程的幾何特征與代數特征分別是什么？答案標準方程的幾何特征：橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸或y軸上.標準方程的代數特征：方程右邊為1，左邊是關于 與 的平方和，并且分母為不相等的正值.思考2依據橢圓方程，如何確定其焦點位置？答案把方程化為標準形式，與x2，y2相對應的分母哪個大，焦點就在相應的軸上.思考3觀察橢圓的形狀，你認為怎樣選擇坐標系才能使橢圓

2、的方程較簡單？并寫出求解過程.答案(1) 如圖所示，以經過橢圓兩焦點f1，f2的直線為x軸，線段f1f2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系xoy. (2)設點：設點m(x，y)是橢圓上任意一點，且橢圓的焦點坐標為f1(c,0)，f2(c,0).(3)列式：依據橢圓的定義式|mf1|mf2|2a列方程，并將其坐標化為 (4)化簡：通過移項、兩次平方后得到：(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)，為使方 程 簡 單 、 對 稱 、 便 于 記 憶 ， 引 入 字 母 b ，令b2a2c2，可得橢圓標準方程為 (5)從上述過程可以看到，橢圓上任意一點的坐標都滿足方程，以方程的解(x，y)為坐標的點

3、到橢圓的兩個焦點f1(c,0)，f2(c,0)的距離之和為2a，即以方程的解為坐標的點都在橢圓上.由曲線與方程的關系可知，方程是橢圓的方程，我們把它叫做橢圓的標準方程.梳理梳理(1)橢圓的標準方程的形式焦點位置形狀、大小焦點坐標標準方程焦點在x軸上形 狀 相 同 ， a ， b ， c滿足ab0，b2a2c2，焦距為2cf1(c,0)，f2(c,0) (ab0)焦點在y軸上f1(0，c)，f2(0，c) (ab0)(2)方程ax2by21表示橢圓的充要條件是 .(3)橢圓方程中參數a，b，c之間的關系為 .a0，b0且aba2b2c2題型探究類型一橢圓標準方程的確定解答方法一方法一(1)當焦點

4、在x軸上時，此時不符合ab0，所以方程組無解.方法二方法二設所求橢圓的方程為ax2by21(a0，b0且ab)，求解橢圓的標準方程，可以利用定義，也可以利用待定系數法，選擇求解方法時，一定要結合題目條件，其次需注意橢圓的焦點位置.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練1求適合下列條件的橢圓的標準方程.(1)兩個焦點的坐標分別是(0，2)，(0,2)，并且橢圓經過點( ， )；解答橢圓的焦點在y軸上，由橢圓的定義知：又c2，b2a2c26.(2)焦點在 y 軸上，且經過兩點(0,2)和(1,0).解答橢圓的焦點在 y 軸上，又橢圓經過點(0,2)和(1,0)，類型二相關點法在求解橢圓方程中的應用例例2如圖，

5、在圓x2y24上任取一點p，過點p作x軸的垂線段pd，d為垂足.當點p在圓上運動時，求線段pd的中點m的軌跡.解答設點m的坐標為(x，y)，點p的坐標為(x0，y0)，把x0 x，y02y代入方程，所以點m的軌跡是一個焦點在x軸上的橢圓.引申探究引申探究若本例中“過點p作x軸的垂線段pd”，改為“過點p作y軸的垂線段pd”.那么線段pd的中點m的軌跡又是什么？解答設m(x，y)，p(x0，y0)，(*)故點m的軌跡是一個焦點在y軸上的橢圓.反思與感悟如果一個動點p隨著另一個在已知曲線上運動的動點q而運動，則求p點的軌跡方程時一般用轉代法來求解.基本步驟為：(1)設點：設所求軌跡上動點坐標為p(

6、x，y)，已知曲線上動點坐標為q(x1，y1).(2)求關系式：用點p的坐標表示出點q的坐標，即得關系式(3)代換：將上述關系式代入已知曲線方程得到所求動點軌跡的方程，并把所得方程化簡即可.跟蹤訓練跟蹤訓練2如圖所示，b點坐標為(2,0)，p是以o為圓心的單位圓上的動點，pob的平分線交直線pb于點q，求點q的軌跡方程.解答設q(x，y)，p(x0，y0)，則(x2，y)2(x0 x，y0y)，又點p在單位圓x2y21上，當堂訓練因為焦點在x軸上，故m1，故選a.1.若方程 y21表示焦點在x軸上的橢圓，則m的取值范圍為a.(1，) b.( ，)c.1，) d.(，1)答案解析123452.設

7、b(4,0)，c(4,0)，且abc的周長等于18，則動點a的軌跡方程為答案解析12345由已知|ab|ac|bc|18，|bc|8，得|ab|ac|10.由橢圓的定義可知，點a的軌跡是橢圓的一部分，且2a10 ， 2c8，即a5，c4，所以b2a2c225169，則橢圓方程為 .當點a在直線bc上，即y0時，a，b，c三點不能構成三角形.所以頂點a的軌跡方程是 (y0).12345123453.已知橢圓e： (ab0)的右焦點為f(3,0)，過點f的直線交e于a，b兩點.若ab的中點坐標為(1，1)，則橢圓e的方程為_.答案解析12345設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則2211222

8、2222211xyabxyab由題意，得x1x22，y1y22，又c2a2b29，b29，a218，橢圓e的方程為 .123454.在橢圓 y21中，有一沿直線運動的粒子從一個焦點f2出發經橢圓反射后經過另一個焦點f1，再次被橢圓反射后又回到f2，則該粒子在整個運動過程中經過的路程為_.把粒子運動軌跡表示出來，可知整個路程為4a，即4 .答案解析12345解答5.abc的三邊長a，b，c成等差數列，且b6，求頂點b的軌跡方程.以直線ac為x軸，ac的中點為原點，建立直角坐標系，設a(3,0)，c(3,0)，b(x，y)，則|bc|ab|ac2b2|ac|12，b點的軌跡是以a，c為焦點的橢圓，且a6，c3，b227.規律與方法1.兩種形式的橢圓的標準方程的比較如下表：標準方程 (ab0) (ab0)不同點圖形焦點坐標f1(c,0)，f2(c,0)f1(0，c)，f2(0，c)相同點定義平面內到兩個定點f1、f2的距離的和等于常數(大于|f1f2|)的點的軌跡a、b、c的關系a2b2c22.所謂橢圓的標準方程，指的是焦點在坐標軸上，且兩焦點的中點為坐標原點.在 與 這兩個標準方程中，都有ab0的要求，如方程 (m0，n0，mn)就不能