1、1.變化率問題研究某個變量相對于另一個變量變化導數研究的問題 的快慢程度變化率問題1.1.1變化率問題變化率問題微積分主要與四類問題的處理相關微積分主要與四類問題的處理相關: 一、已知物體運動的路程作為時間的函數,求物體在任意時刻的速度與加速度等; 二、求曲線的切線; 三、求已知函數的最大值與最小值; 四、求長度、面積、體積和重心等。 導數是微積分的核心概念之一它是研究函數增減、變化快慢、最大（小）值等問題最一般、最有效的工具。1.1.1變化率問題變化率問題 問題1 氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述

2、這種現象呢? 氣球的體積v(單位:l)與半徑r(單位:dm)之間的函數關系是34( )3v rr 如果將半徑r表示為體積v的函數,那么33( )4vr v我們來分析一下我們來分析一下: 當v從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率膨脹率為 當v從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率膨脹率為(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/ )1 00.62rrdm l(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/ )2 10.16rrdm l33( )4vr v思考思考? 當空氣容量從v1增加到v2時,氣球的平均膨脹率是多少?2121()()r vr vvv問題問題2 高臺跳水高

3、臺跳水 在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數關系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用運動員在某些時 間段內的平均速度粗略 地描述其運動狀態?請計算00.52:ttv和1時的平均速度hto請計算請計算00.52:ttv 和1時的平均速度htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10平均變化率定義平均變化率定義: 若設x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1) 則平均變化率為121)()f xxx2f(xfx121)()f xxx2f(xl上述問題中的變化率可用式子 表示稱為函數f(x)從x1到x2的平均變化率 思考思考? 觀察函

4、數f(x)的圖象平均變化率表示什么?121)()f xyxxx2f(xoabxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直線直線ab的斜的斜率率做兩個題吧做兩個題吧! 1 、已知函數f(x)=-x2+x的圖象上的一點a(-1,-2)及臨近一點b(-1+x,-2+y),則y/x=( )a 3 b 3x-(x)2c 3-(x)2 d 3-x d 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+x 練習：練習：1.t2質點運動規律s=t +3,則在時間(3,3+ t)中相應的平均速度為( )9a. 6+ t b. 6+ t+c.3+ t d.9+ t 2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規律作直線運動,求在4s附近的平均變化率.a253 t 小結：小結： 1.函數的平均變化率( )f xx121)()f xxx2f(x 2.求函數的平均變化率的步驟:(1)求函數的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)計算平均變化率fx121)()f xxx2f(x練習：練習： 過曲線y=f(x)=x3上兩點p（1，1）和