1、函數(shù)的導數(shù)最新第三章 函數(shù)的導數(shù)200811063.1 導數(shù)的定義 函數(shù)的導數(shù)最新一、問題的提出1.自由落體運動的瞬時速度問題自由落體運動的瞬時速度問題0tt ,0時時刻刻的的瞬瞬時時速速度度求求tt目的：目的：,0tt 的的時時刻刻取取一一鄰鄰近近于于, t 運動時間運動時間tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0時時當當tt 取極限得取極限得2)(limv00ttgtt 瞬時速度瞬時速度.0gt 函數(shù)的導數(shù)最新2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置播放播放函數(shù)的導數(shù)最新 T0 xxoxy)(xfy CNM如圖如圖, 如果割線如果割線MN繞點繞點

2、M旋轉而趨向極限位置旋轉而趨向極限位置MT,直線直線MT就稱為曲線就稱為曲線C在點在點M處的處的切線切線.極限位置即極限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM設設的斜率為的斜率為割線割線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲線線的斜率為的斜率為切線切線MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 函數(shù)的導數(shù)最新二、導數(shù)的定義,存存在在xxfxxfxyxx )()(limlim0000 .0 xxy 記記為為如如果果極極限限有有定定義義的的某某個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在點點設設函函數(shù)數(shù),)(0 xxfy 定義定義.)(,)(00處處

3、的的導導數(shù)數(shù)在在點點極極限限為為函函數(shù)數(shù)并并稱稱這這個個處處可可導導在在點點則則稱稱函函數(shù)數(shù)xxfyxxfy 函數(shù)的導數(shù)最新.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim0000000)(xxxxdxxdfdxdy 或或即即),( 0 xf函數(shù)的導數(shù)最新.,0慢慢程程度度而而變變化化的的快快因因變變量量隨隨自自變變量量的的變變化化反反映映了了它它處處的的變變化化率率點點導導數(shù)數(shù)是是因因變變量量在在點點 x.)(,)(內(nèi)內(nèi)可可導導在在開開區(qū)區(qū)間間就就稱稱函函數(shù)數(shù)處處都都可可導導內(nèi)

4、內(nèi)的的每每點點在在開開區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)IxfIxfy 關于導數(shù)的說明：關于導數(shù)的說明：函數(shù)的導數(shù)最新.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或記作記作的導函數(shù)的導函數(shù)這個函數(shù)叫做原來函數(shù)這個函數(shù)叫做原來函數(shù)導數(shù)值導數(shù)值的一個確定的的一個確定的都對應著都對應著對于任一對于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)()(. 100 xxxfxf . 2固定固定求極限過程中求極限過程中x函數(shù)的導數(shù)最新2.右導數(shù)右導數(shù):單側導數(shù)單側導數(shù)1.左導數(shù)左導數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000

5、 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函數(shù)的導數(shù)最新.,),(),()(000可可導導性性的的討討論論在在點點設設函函數(shù)數(shù)xxxxxxxxf 函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x處處可可導導左左導導數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右導導數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等.如如果果)(xf在在開開區(qū)區(qū)間間 ba,內(nèi)內(nèi)可可導導，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就說說)(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ba,上上可可導導.函數(shù)的導數(shù)最新三、由定義求導數(shù)步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2

6、(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求極極限限例例1 1.)()(的導數(shù)的導數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即函數(shù)的導數(shù)最新例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設設函函數(shù)數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 類似可得：類似可得：.sin)(cosxx 函數(shù)的導數(shù)最新例例3 3.)(的的導導數(shù)數(shù)為為正正整整數(shù)數(shù)求求

7、函函數(shù)數(shù)nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 函數(shù)的導數(shù)最新例例4 4.)1, 0()(的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 函數(shù)的導數(shù)最新例例5 5.)1, 0(log的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .ln1)(logaxx

8、a 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 .ln1ax 函數(shù)的導數(shù)最新例例6 6.0)(處的可導性處的可導性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點點不不可可導導在在函函數(shù)數(shù) xxfy函數(shù)的導數(shù)最新四、導數(shù)的幾何意義與物理意義oxy)(xfy T0 xM1.幾何意義幾何意義)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxMxf

9、yxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 函數(shù)的導數(shù)最新例例7 7.,)2 ,21(1方方程程和和法法線線方方程程并并寫寫出出在在該該點點處處的的切切線線斜斜率率處處的的切切線線的的在在點點求求等等邊邊雙雙曲曲線線xy 解解由導數(shù)的幾何意義由導數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即函數(shù)的導數(shù)最新2.物理意義物理意義非均勻變化量的瞬時變化率非均勻

10、變化量的瞬時變化率.變速直線運動變速直線運動: :路程對時間的導數(shù)為物體的路程對時間的導數(shù)為物體的 瞬時速瞬時速度度.lim)(0dtdststvt 交流電路交流電路: :電量對時間的導數(shù)為電流強度電量對時間的導數(shù)為電流強度.lim)(0dtdqtqtit 非均勻的物體非均勻的物體: :質(zhì)量對長度質(zhì)量對長度(面積面積,體積體積)的導數(shù)為物體的導數(shù)為物體 的線的線(面面,體體)密度密度.函數(shù)的導數(shù)最新五、可導與連續(xù)的關系定理定理 可導函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)可導函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). .證證,)(0可可導導在在點點設設函函數(shù)數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ,)(0 xfxy,)(0 xxxfy )(l

11、imlim000 xxxfyxx 0 .)(0連連續(xù)續(xù)在在點點函函數(shù)數(shù)xxf)0(0 x 注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立.函數(shù)的導數(shù)最新連續(xù)函數(shù)不存在導數(shù)舉例連續(xù)函數(shù)不存在導數(shù)舉例.,)()()(,)(. 1000函函數(shù)數(shù)在在角角點點不不可可導導的的角角點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點若若連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的的角角點點為為處處不不可可導導在在xfxx 函數(shù)的導數(shù)最新31xyxy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可導不可導有無窮導數(shù)有無窮導數(shù)在點在點稱函數(shù)

12、稱函數(shù)但但連續(xù)連續(xù)在點在點設函數(shù)設函數(shù)xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, 1)(3 xxf.1處不可導處不可導在在 x函數(shù)的導數(shù)最新., )()(. 30點點不不可可導導則則指指擺擺動動不不定定不不存存在在在在連連續(xù)續(xù)點點的的左左右右導導數(shù)數(shù)都都函函數(shù)數(shù)xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如,.0處不可導處不可導在在 x011/1/xy函數(shù)的導數(shù)最新例例8 8.0,0, 00,1sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性與與可可導導性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解,1sin是有界函數(shù)是有界函數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf處處有有但但在在

13、0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之之間間振振蕩蕩而而極極限限不不存存在在和和在在時時當當 xyx.0)(處不可導處不可導在在 xxf0)(lim)0(0 xffx函數(shù)的導數(shù)最新.)()(,)(. 4000不可導點不可導點的尖點的尖點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點符號相反符號相反的兩個單側導數(shù)的兩個單側導數(shù)且在點且在點若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 函數(shù)的導數(shù)最新六、小結1. 導數(shù)的實質(zhì)導數(shù)的實質(zhì): 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義: 切線的斜率切線的斜率;4. 函數(shù)可導

14、一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導函數(shù)可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導;5. 求導數(shù)最基本的方法求導數(shù)最基本的方法: 由定義求導數(shù)由定義求導數(shù).6. 判斷可導性判斷可導性不連續(xù)不連續(xù),一定不可導一定不可導.連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導數(shù)是否存在且相等看左右導數(shù)是否存在且相等.函數(shù)的導數(shù)最新作業(yè) (數(shù)學分析習題集)習題習題3.1導數(shù)的定義導數(shù)的定義 1；2；3；4；5; 7; 8；10; 12. 函數(shù)的導數(shù)最新思考題思考題 函數(shù)函數(shù))(xf在某點在某點0 x處的導數(shù)處的導數(shù))(0 xf 與導函數(shù)與導函數(shù))(xf 有什么區(qū)別與聯(lián)系？有什么區(qū)別與聯(lián)系？函數(shù)的導數(shù)最新思考題解答思考題解答 由導數(shù)的定義

15、知，由導數(shù)的定義知，)(0 xf 是一個具體的是一個具體的數(shù)值，數(shù)值，)(xf 是由于是由于)(xf在某區(qū)間在某區(qū)間I上每一上每一點都可導而定義在點都可導而定義在I上的一個新函數(shù)，即上的一個新函數(shù)，即Ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 與之對應，所以兩與之對應，所以兩者的者的區(qū)別區(qū)別是：一個是數(shù)值，另一個是函數(shù)兩是：一個是數(shù)值，另一個是函數(shù)兩者的者的聯(lián)系聯(lián)系是：在某點是：在某點0 x處的導數(shù)處的導數(shù))(0 xf 即是導即是導函數(shù)函數(shù))(xf 在在0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值函數(shù)的導數(shù)最新2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置函數(shù)的導數(shù)最新2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置函數(shù)的導數(shù)最新2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置函數(shù)的導數(shù)最新2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切