1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容二元、三元線性方程組的幾何意義二階、三階行列式的幾何意義平面上線性變換的幾何意義二階矩陣特征值的幾何意義 中向量組的線性相關(guān)性的幾何意義2R第1頁(yè)/共30頁(yè)二元、三元線性方程組的幾何意二元、三元線性方程組的幾何意義義 二元一次方程在幾何上表示的是一條直線，則含兩個(gè)二元一次方程的方程組在幾何上則表示兩條直線的位置關(guān)系： 相交=有唯一解 平行=無(wú)解 重合=無(wú)窮多解第2頁(yè)/共30頁(yè) 121225(1)234xxxx 121232(2)396xxxx121235(3)266xxxx12121223(4)2235xxxxxx例1 求解下列四個(gè)線性方程組第3頁(yè)/共30頁(yè) 以方程組（1）為例

2、：在MATLAB的M文件編輯器中，輸入 syms x1 x2 % % 定義定義x1x1、x2x2為符號(hào)變量為符號(hào)變量 U1=rref(1,2,5;2,-3,-4) % % 把增廣矩陣通過(guò)初等行變換把增廣矩陣通過(guò)初等行變換 % % 變?yōu)樽詈?jiǎn)階梯矩陣變?yōu)樽詈?jiǎn)階梯矩陣 subplot(2,2,1) % % 準(zhǔn)備畫(huà)準(zhǔn)備畫(huà)2 22 2個(gè)圖形中的第一個(gè)個(gè)圖形中的第一個(gè) ezplot(x1+2*x2=5) % % 繪制直線繪制直線x1+2x1+2* *x2=5x2=5 hold on % % 保留原來(lái)圖形保留原來(lái)圖形 ezplot(2*x1-3*x2=-4) % % 再繪制直線再繪制直線2 2* *x1-3

3、x1-3* *x2=-4x2=-4 title(x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4) % % 在圖上標(biāo)注在圖上標(biāo)注x1+2x1+2* *x2=5 2x2=5 2* *x1-3x1-3* *x2=-x2=-4 4 grid on % % 顯示網(wǎng)格顯示網(wǎng)格第4頁(yè)/共30頁(yè)繪制圖形如圖1所示：第5頁(yè)/共30頁(yè) 方程組（1）的解為 ； 方程組（2）的通解為： ； 方程組（3）和方程組（4）這兩個(gè)方程組無(wú)解。2121xx0213k從運(yùn)行結(jié)果可以看出:第6頁(yè)/共30頁(yè) 方程組（1）的兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)，故有唯一解（適定）； 方程組（2）的兩條直線重合，則有無(wú)窮組解（欠定）； 方程組（3）的兩條直

4、線相平行，永遠(yuǎn)沒(méi)有交點(diǎn)，即無(wú)解； 方程組（4）的三條直線不共點(diǎn)，則也無(wú)解（超定），可求最小二乘解。 從圖1中可以形象地看出: AX=b 最小二乘解 命令：x=pinv(A)*b x=Ab第7頁(yè)/共30頁(yè) 三個(gè)三元一次方程構(gòu)成的方程組： 若三個(gè)平面只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程組有唯一解； 若三個(gè)平面相交于一直線，即方程組有無(wú)窮多解； 若三個(gè)平面沒(méi)有交點(diǎn)或交線，即方程組無(wú)解。 三元一次方程組的幾何表示三元一次方程組的幾何表示 第8頁(yè)/共30頁(yè) 12312312351(1)33220.53xxxxxxxxx12312312380(2)2030 xxxxxxxxx123123123575(3)412425xx

5、xxxxxxx2323358(4)71015xxxxx例例2 求解下列線性方程組，并畫(huà)出三維 圖形來(lái)表示解的情況。第9頁(yè)/共30頁(yè)利用MATLAB的M文件編輯器繪圖可得： 圖2 三元線性方程組解的幾何意義第10頁(yè)/共30頁(yè) 方程組（1）的解為三個(gè)平面的交點(diǎn)，故該方程組有唯一解； 方程組（2）的三個(gè)平面剛好相交于同一條直線，該齊次線性方程組有無(wú)窮多解，且其對(duì)應(yīng)的解空間是一維的； 方程組（3）的三個(gè)平面沒(méi)有共同的交點(diǎn)，即方程組無(wú)解； 方程組（4）也無(wú)解。從圖2中可以看出：第11頁(yè)/共30頁(yè) 二階、三階行列式的幾何意二階、三階行列式的幾何意義義 二維情形： 在平面上有一個(gè)平行四邊形OACB，A、B兩

6、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為： 、 ，如下圖所示，求平行四邊形OACB的面積。11,ba22,ba 分析：過(guò)點(diǎn)A做x軸垂線，交x軸于點(diǎn)E；過(guò)點(diǎn)B做平行x軸直線與過(guò)點(diǎn)C做平行y軸直線相交于點(diǎn)D。顯然可以得到三角形CDB和三角形AEO全等，則有：OACBOEDBCDBAEOAEDCOEDBAEDC1 22 1S=S+S-S-S=S-S=ab -a b第12頁(yè)/共30頁(yè) 根據(jù)二階行列式的定義，該平行四邊形的面積剛好是以A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)所構(gòu)成的二階行列式:2211baba二階行列式的幾何意義二階行列式的幾何意義O AO B ， 一般情況下也可以證明：過(guò)原點(diǎn)的兩條直線(向量) ，如 構(gòu)成的一個(gè)平行四邊形的面積為A、B兩

7、點(diǎn)坐標(biāo)所構(gòu)成的二階行列式的絕對(duì)值。第13頁(yè)/共30頁(yè) 三維情形 已知三個(gè)向量 由這三個(gè)向量所構(gòu)成的平行六面體的體積即為 三階行列式的絕對(duì)值 （如圖） ),(),(),(321321321cccwbbbvaaau111222333abcabcabc第14頁(yè)/共30頁(yè)平面上線性變換平面上線性變換(y=Ax)的幾何意的幾何意義義例3 已知向量及矩陣 請(qǐng)分析經(jīng)過(guò)線性變換 后，向量 與原向量 的幾何關(guān)系 。 21x 10011A10012A2005 . 03Acossinsincos4A3xAyiiiyx4 , 3 , 2 , 1i第15頁(yè)/共30頁(yè) 繪制圖形如下圖所示： 圖3 線性變換的幾何意義第16

8、頁(yè)/共30頁(yè) 例4.設(shè)二維平面上第一象限中的一個(gè)單位方塊， 其四個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)據(jù)可寫(xiě)成 把不同的A 矩陣作用于此組數(shù)據(jù)，可以得到多種多樣的結(jié)果 Ci = AiB。 令B=（X1，X2，X3，X4），則 AiB=Ai(X1,X2,X3,X4)=（AiX1，AiX2，AiX3，AiX4）01100011B第17頁(yè)/共30頁(yè) 用MATLAB程序進(jìn)行計(jì)算，并畫(huà)出B及C圖形： B=0,1,1,0;0,0,1,1; subplot(2,3,1), fill(B(1,:),0,B(2,:),0,r)A1=-1,0;0,1,C1=A1*Bsubplot(2,3,2), fill(C1(1,:),0,C1(2,:)

9、,0,g)第18頁(yè)/共30頁(yè) 繪制幾何圖形可得：繪制幾何圖形可得：-101-1012(a) B=0,1,1,0;0,0,1,1-101-1012(b)A1=-1,0;0,1-101-1012(c)A2=1.5,0;0,1-101-1012(d)A3=1,0;0,0.5-101-1012(e)A4=1,0.5;0,1-101-1012(f)A5=cos(t),-sin(t);sin(t),cos(t)第19頁(yè)/共30頁(yè) 對(duì)二維空間（平面），行列式的幾何意義實(shí)際上是兩個(gè)向量所構(gòu)成的平行四邊形的面積。 一個(gè)變換所造成的圖形的面積變化，取決于該變換矩陣的行列式,A1 ,A4 和A5 的行列式絕對(duì)值都是

10、1，所以變換后圖形的面積不改變。而A2 和A3 的行列式分別為1.5和0.5，變換后圖形的面積的增加或減少倍數(shù)等于對(duì)應(yīng)行列式的絕對(duì)值。平面上線性變換的幾何意義第20頁(yè)/共30頁(yè)圖像變換中的示例 在二維的圖像變換模型中，最基本的圖像變換有平移、旋轉(zhuǎn)、縮放（包括各向同性和各向異性）、反射和錯(cuò)切。由這些基本的圖像變換組合，可以得到剛性變換、相似變換、仿射變換、透視變換等復(fù)合變換。第21頁(yè)/共30頁(yè)二階矩陣特征值的幾何意二階矩陣特征值的幾何意義義 例例5.5.已知矩陣 求它們的特征值和特征向量，并繪制特征向量圖，分析其幾何意義。11325A21215A42213A23124A解： 在MATLAB命令窗

11、口輸入： A1=-1,3;2,5; V1,D1=eig(A1) eigshow(A1) A2=1,-2;-1,5; V2,D2=eig(A2) eigshow(A2) A3=1,2;2,4; V3,D3=eig(A3) eigshow(A3) A4=2,-1;3,2; V4,D4=eig(A4) eigshow(A4) 第22頁(yè)/共30頁(yè) 當(dāng)用鼠標(biāo)拖動(dòng)向量 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)， 也開(kāi)始旋轉(zhuǎn)。向量 的軌跡為一個(gè)圓，而向量 的軌跡一般情況為一個(gè)橢圓。同理，可以對(duì)其它三個(gè)矩陣進(jìn)行同樣的操作，繪制圖形如圖5所示。xAx繪制圖形如圖所示繪制圖形如圖所示圖圖5 特征值及其演示特征值及其演示xAx第23頁(yè)/共30

12、頁(yè)第24頁(yè)/共30頁(yè) 函數(shù)eigshow(A)描述了向量 隨向量 的變 換關(guān)系： 當(dāng)向量 在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，如果向量 與向量 共線(包括同向和反向)，則有等式 為一實(shí)數(shù)乘子， 為正表示兩個(gè)向量同向， 為負(fù)表示兩個(gè)向量反向。人們把向量 與向量 共線的位置稱為特征位置，其中實(shí)數(shù) 就稱為矩陣的特征值，而此時(shí)的 即為矩陣 的屬于 的特征向量。 特征值表示線性變換Ax在特征向量x方向上的放大(縮小)量。AxxxAxx1AxxxAxxA第25頁(yè)/共30頁(yè) 針對(duì)矩陣 ，當(dāng)向量 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，向量 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則矩陣 存在(一正一負(fù))兩個(gè)特征值(四個(gè)特征位置); 針對(duì)矩陣 ，當(dāng)向量 勻角速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，向量 也順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其角速度一會(huì)變大，一會(huì)變小，存在四個(gè)特征位置(兩個(gè)特征值均為正)； 針對(duì)矩陣 ，當(dāng)向量 勻角速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，向量 沿一條過(guò)圓心的直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)矩陣 有一個(gè)特征值為零； 針對(duì)矩陣 ，當(dāng)向量 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，向量 也順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，但它永遠(yuǎn)也追不上向量 ，它們之間總保持著一定的角度，則矩陣 沒(méi)有實(shí)特征值 。1AxxA11A2AxxA23AxxA33A4AxxA4x4A第26頁(yè)/共30頁(yè) 二維向量組的線性相關(guān)性的幾二維向量組的線性相關(guān)性的幾何意義何意義例6. 設(shè)平面上的向量112223,41uvuv uv2391.52414, wu v不共線，線性無(wú)關(guān)；共線，線性相關(guān)