1、d7_2可分離變量微分方程 其次節(jié) 可分別變量微分方程可分別變量方程 第七章 dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx m1 ( x)m 2 ( y) d x n1 ( x) n 2 ( y) d y 0轉(zhuǎn)化 解分別變量方程 g ( y) d y f ( x) d x名目 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 分別變量方程的解法: g ( y ) d y f ( x) d xg ( ( x) ( x) d x f ( x) d x兩邊積分, 得 設(shè) y= (x) 是方程的解, 則有恒等式 f ( x) d x 設(shè)左右兩端的原函數(shù)分別為 g(y), f(x), 則有 當(dāng)g(y)與f(x) 可微且 g (

2、y) g(y) 0 時(shí), 說(shuō)明由確定的隱函數(shù) y= (x) 是的解. 同樣, 當(dāng) f (x) = f (x)0 時(shí), 由確定的隱函數(shù) x= (y) 也是的解. 稱為方程的隱式通解, 或通積分.名目 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例1. 求微分方程 的通解. dy 2 3 x d x 說(shuō)明: 在求解過(guò)程中 解: 分別變量得 y 每一步不肯定是同解 變形, 因此可能增、 兩邊積分 減解. 或 3 ln y x c1 得即 令c e c1 ln y x 3 ln c( c 為任意常數(shù) ) ( 此式含分別變量時(shí)丟失的解 y = 0 )名目 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例2. 解初值問(wèn)題 x y d x ( x

3、2 1) d y 0 y(0) 1 dy x 解: 分別變量得 dx 2 y 1 x兩邊積分得即 y x2 1 c ( c 為任意常數(shù) ) 由初始條件得 c = 1, 故所求特解為 y x 1 1名目 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2 例3. 求下述微分方程的通解:解: 令 u x y 1, 則 故有 即 解得 1 u sin 2 u tan u x c 所求通解: tan( x y 1) x c ( c 為任意常數(shù) ) 名目 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 練習(xí):解法 1 分別變量 積分 即 e e c x y ( e c ) e 1 0 ( c 0 ) 令 u x y, u 1 eu y x 解法 2故

4、有 積分 (1 eu ) eu 1 eu du u ln (1 eu ) x c x y ) y c ( c 為任意常數(shù) ) 所求通解: ln (1 e名目 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例4. 已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)拥暮?m 成正比, 已知 t = 0 時(shí)鈾的含量為 衰變過(guò)程中鈾含量 m(t) 隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律. dm m ( 0 ) dt 解: 依據(jù)題意, 有 m t 0 m 0 (初始條件) 求在 對(duì)方程分別變量, 然后積分: t mm0 t 得 ln m t ln c , 即利用初始條件, 得 故所求鈾的變化規(guī)律為 m ce c m0m m0 e . o名目 上頁(yè)

5、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 t 例5. 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 成正比, 并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)( t = 0 ) 速度為0, 求 降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系. dv 解: 依據(jù)牛頓其次定律列方程 m mg k v dt 初始條件為 v t 0 0 對(duì)方程分別變量, 然后積分 : 得 ( 此處 mg k v 0 ) 1 t 足夠大時(shí) 利用初始條件, 得 c ln ( mg ) mg k k v t mg k m 代入上式 后化簡(jiǎn), 得特解 v (1 e ) k名目 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例6. 有高 1 m 的半球形容器, 水從它的底部小孔流 出, 小孔橫截面積 開(kāi)頭時(shí)容器內(nèi)盛

6、滿了水, 求水 從小孔流出過(guò)程中, 容器里水面的高度 h 隨時(shí)間 t 的變 化規(guī)律. 解: 由水力學(xué)知, 水從孔口流出的流量為 h h r1m 流量系數(shù) 孔口截面面積 重力加速度 o h dh 即 設(shè)在 dv k s 2 g h d t內(nèi)水面高度由 h 降到 h d h ( d h 0 ),名目 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)應(yīng)下降體積 d v r 2 dh r 12 (1 h)2 2 h h 2 d v (2h h ) dh2 h h r1m 因此得微分方程定解問(wèn)題: o h dh將方程分別變量:dt k s 2g (2 h h 2 ) d h2 1 3 名目 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 兩端積分,

7、 得5 4 3 2 t ( h2 h2 c ) k s 2g 3 5 14 利用初始條件, 得 c , 因此 15 h h r1m o h dhht 0 14 10 3 3 5 2 t (1 h h 2 ) 7 7 15k s 2 g 1 則得容 以k 0.62, s 10 4 m2 , g 9.8 m s 2 代入上式， 器內(nèi)水面高度 h 與時(shí)間 t 的關(guān)系:5 10 3 3 t 1.068 10 (1 h 2 h 2 ) (s) 7 7 可見(jiàn)水流完所需時(shí)間為 t 1.068 104 (s) 4 名目 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 微分方程的概念 微分方程; 階; 定解條件; 解;

8、通解; 特解說(shuō)明: 通解不肯定是方程的全部解 . 例如, 方程 ( x y ) y 0 有解 y=x 及 y=c 后者是通解 , 但不包含前一個(gè)解 . 2. 可分別變量方程的求解方法: 分別變量后積分; 依據(jù)定解條件定常數(shù) .名目 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟(1) 找出事物的共性及可貫穿于全過(guò)程的規(guī)律列方程. 常用的方法: 1) 依據(jù)幾何關(guān)系列方程 ( 如: p298 題5(2) ) 2) 依據(jù)物理規(guī)律列方程例4 例5 3) 依據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程 例6 (2) 利用反映事物共性的特別狀態(tài)確定定解條件. (3) 求通解, 并依據(jù)定解條件確定特解. 名目 上頁(yè) 下頁(yè)