1、§ 2.5 Z卷積利用卷積積分求系統的零狀態響應卷積圖解說明卷積積分的幾點認識卷積的性質2 卷積 (Convolution )#設有兩個函數;林,積分/(0 =匸 (r)A (f 一 "d T 稱為/衛)和力的卷積積分，簡稱卷積 記為 z(O=/i(O0/2(O 或 /(o=/i(0*/2(0 利用卷積可以求解系統的零狀態響應。二.利用卷積求系統的零狀態響憶任意信號刃)可表示為沖激序列之和£(/) =e(T)S(t - r)d t若把它作用于沖激響應()的LTIS,則響應為 r(Z) = He0=丹卩 e(r)s(t-r)dr=e(r)H 馳-r)d t=r e(

2、T>(r-T)dTJ00這就是系統的零狀態響應。(0=e(t)* h(t)3三.卷積的計算由于系統的因果性或激勵信號存在時間的局限性，卷積的積分限會有所變化。卷積積分中積分限的確定是非常關鍵的。借助于階躍函數M確定積分限例題 利用圖解說明確定積分限例2-6-1£ = 1H_t已知Q(/) = e w(Z)-w(/-2),求i(l)的零狀態響應1. 歹u寫KVL方程 Ldl-vRi(t) = e(t)dt2. 沖激響應為h(t) = u(t)3. i(t)= e(r)-h(t-T)drJ001=f e w(t) - u(t - 2)1-e(r)w( - r)d tJ0000 T0

3、0 T=J-T)dT-e | w(t - 2)u(t - r)d r000064定積分限（關鍵）00 Tl Jew(T- 2)u(t - r)d t0000 Ti0 = e_z Jw(t)w(Z - r)d t -e_00"()#點:宗量 >0時存在,=1W(T)- W(Z -T)c>0U-T>0U(T - 2) W(Z - T)J T 2 > ° nQ<t <t r >02<t <tt>2心e-伍e2dr w(z)- e rj%2Te2dr u(t-2)-T >0波形o29卷積的圖解說明匕用圖解法直觀，尤其

4、是函數式復雜時，用圖形分段求 出定積分限尤為方便準確，用解析式作容易出錯，最好將 兩種方法結合起來。.8對1時延/(0= £-(T-t) = t-T00)-> /"),積分變量改為T£的轟2. /2 W/2(r)f2(-t)上卩 f2(t 一 t)3. 相乘：曲£()例題例題4乘積的積分J00fl CM圖形不動,7*2 (計倒置為A (-訃fl(Y膊移動11例 262(:;厶=g(os3)£(77)t-3浮動坐標t:移動的距離(=0 /2(力未移動 t>0 f2(t-T)右移 t <0 f2(t-T)左移t從-00到+ 8,對

5、應廣2(-萬“左向右移呦浮動坐標： 下限上限從一萬) L3MAWt<-l兩波形沒有公共處，二者乘積為0,即積分為0幾(丁)寸2«-“ = 0g()=/(/)V(f) = O16f - 了）右移從-刃 1 /i(r)f>_l時兩波形有公共部分，積分開始不為0, 積分下限-1,上限/, t為移動時間；g(t ) = J： |(Z - T)d Tt2t 1=+ - + -42 417l<r<218#t-3<-lt>l即1C2#2<r<4t-3>-lt-3<l 即1920g(0=L_r)dr = _j+i+2t>421#fM1

6、/2Wtr#22t3>l即f > 4#g(f)=o#23r t 1-i<r <1l<t<22<Z<4其他卷積結果424+ - + 2 420積分上下限和卷積結果區間的確定0(1) 積分上下限肉/丘/(-“工0的范圍(區間)確定。上限取小，下限取大(2)卷積結果區間 上限一般規律：A0g°)下限A, BC, DA+C, B+DM) 7 1 + /2(003g(” -14當齊C)或為非連續函數時，卷積需分段，積分限分 段定。例263 力(')= 4° %(r)e(t) = Csina)ntfOOfOOC r(t)= I e

7、(r)/i(/-T)dr= Csin®or Ae rJ-ooJ-oo= ACeat ' sinw edr oo= ACcatACat (asinQj C 22a +a)ldrsin(®or 一屮)一 oo GW+oo四對卷積積分的幾點認識0尸(f) = J e(r)hf -T)CiT(1":觀察響應的時刻，是積分的參變量；T：信咅作用的時刻，積分變量從因果關系看，必定有 T(2) 分析信號是手段，卷積中沒有沖激形式，但有其內容;/&/(力是力的加權，求和即dz/(力的加權，積分(3) 卷積是系統分析中的重要方法，通過沖激響應加。建立了響應r(f)與

8、激勵刃)之間的關系。一般數學表示:信號無起因時:f(T)h(t-T)dr卷積是數學方法,也可運用于其他學科。(5)積分限由 齊，九存在的區間決定，即由 人(討2紅一刁工0的范圍決定。30求解響應的方法：時域經典法：完全解=齊次解+特解雙零法：零輸入響應:解齊次方程，用初(起)始條件求系數;零狀態響應:eg)*仇(t)一代數性質/1(0*/2(0 = /2(0*/1(01交換律2分配律/1(0*/2(0+/3(01 = /1(0*/2(0+/1(0*/3(0系統并聯運算3結合律1/(0 * /!(0* /2(0 = /(0 * ft) * /2(01系統級聯運算33系統并聯7x（0* /2（o+

9、/3a）=/1（o*/2（o+/1a）*/3a） 系統并聯，框圖表示：|h(t)1結論：子系統并聯時，總系統的沖激響應等于 各子系統沖激響應之和。系統級聯系統級聯，框圖表示:結論：時域中，子系統級聯時，總的沖激響應等 于子系統沖激響應的卷積。二.微分積分性質推廣：=(/)的積分gi(f)=M) * 小)=廣如 咖)g(")C) = M) *")() =廣虹)*碗)微分性質積分性質聯合實用gW)= f 叫小曠)(£)= fE)柿()(/) 微分次， 積分加次一 一耕=，微分次數 '&()=/*(")喬滬莎積分次數對于卷積很方便。丿J36微積

10、分性質的證明已知37#f(T)h(t-T)dr#兩端對/求導 交換律蟻=/(r)dMr-r)dr = p df(t-r)hMdr dr drdr即三.與沖激函數或階躍函數的卷積0/()/(0*)(Z-Zo) = /-Zo) = £°=/(Z-T)(T)dr = /0推廣:7 /(0 *-0)= f(tto)f (f fl) *5(/ (2)= f (t tlt2)t例題例題 /a)*w(r)= J/(2)d2003839例2-7-1 已知f(諷、(0=/(0*(4o00g(f)="(/)“ o<r <17o1(一1) *8= <3-2tl<t<2t-32<t<3注意40md耐，a o/2a)=/;a)0/2(-1注意當加)寸八仿 i(f)J-°° at 例:sgn(/)05(f) 用微積分性殺 fsgn'C)o直接no伽)00人'/(%i)(/)蠹n=u(t) ® 25(/) =