1、C2.2 一般概念一般概念1. 歐拉運動方程歐拉運動方程 （無粘）（無粘）ptvvvf22ptvvvvf蘭姆蘭姆葛羅米柯方程葛羅米柯方程（無粘（無粘)2. 歐拉積分（無粘、無旋歐拉積分（無粘、無旋 正壓、重力正壓、重力 、定常）、定常）伯努利積分（無粘、無旋伯努利積分（無粘、無旋不可壓、重力、定常）不可壓、重力、定常）2d2vpgz常數常數 (全流場）全流場）22vgzp常數常數 （全流場）（全流場）C2.2 C2.2 一般概念一般概念C2.1 2.1 引言引言( (工程背景工程背景)ddlAAvrn 3. 斯托克斯定理斯托克斯定理（封閉曲線、渦束）（封閉曲線、渦束）開爾文定理開爾文定理（無粘

2、、正壓、有勢力）（無粘、正壓、有勢力）d0dt （沿封閉流體線）（沿封閉流體線）C2.2 C2.2 一般概念一般概念(2-2)(2-2) 例例C2.2.2 C2.2.2 有自由面的勢渦：無旋流伯努利方程有自由面的勢渦：無旋流伯努利方程已知已知: : 渦量處處為零的渦旋運動稱為勢渦（參見渦量處處為零的渦旋運動稱為勢渦（參見C2.4.3C2.4.3），速度分布為），速度分布為 v= =v0 0= =C/ /r，C為常數，為常數，r為徑向坐標。為徑向坐標。求：求： 若勢渦具有自由面（例如河中的水旋，見圖若勢渦具有自由面（例如河中的水旋，見圖），）， 試確定自由面方程。試確定自由面方程。 解：解： 勢

3、渦流場為無旋流場，伯努利方程在全流勢渦流場為無旋流場，伯努利方程在全流場成立，在任意高度的兩點上流體微元的總能量場成立，在任意高度的兩點上流體微元的總能量守恒。設自由面的水平邊界漸近線為守恒。設自由面的水平邊界漸近線為z=z 0，漸近線，漸近線的無窮遠點與自由面上的任意點有關系式的無窮遠點與自由面上的任意點有關系式 2200022ssvppvgzgz在水平邊界上在水平邊界上r0，v0=c/r00；且在自由面上，；且在自由面上，ps=p0，由上式可得，由上式可得 202svgzgz將將v=C/r代入上式可得自由面方程為旋轉雙曲線方程代入上式可得自由面方程為旋轉雙曲線方程 2022sCzzgrC2

4、.3 速度勢與流函數速度勢與流函數名稱名稱 : 勢函數勢函數(x,y) 條件條件: 無旋流無旋流引入引入:0zvu xy0uv xyv定義定義:u ,v=xyu ,v=yx等值線等值線: =C (等勢線等勢線)性質性質: 等勢線與速度垂直等勢線與速度垂直ABBAQ 流函數流函數(x,y)平面不可壓縮平面不可壓縮=C (流線）流線）,流線與等勢線正交流線與等勢線正交C2.3 C2.3 速度勢與流函數速度勢與流函數 例例C2.3.2 C2.3.2 9090角域流的速度勢和流函數角域流的速度勢和流函數(2-1) (2-1) 已知已知: : 90角域流的速度分布式為：角域流的速度分布式為：u=kx,

5、,v=ky（k為常數）。為常數）。 求：求：（1 1）判斷該流場是否存在速度勢，若存在請確定其形式并畫等勢線圖；）判斷該流場是否存在速度勢，若存在請確定其形式并畫等勢線圖； （2 2）判斷該流場是否存在流函數。若存在請確定其形式并畫流線圖；）判斷該流場是否存在流函數。若存在請確定其形式并畫流線圖； 解：解：（1 1）先計算速度旋度）先計算速度旋度 上式中上式中C為常數。速度勢函數為為常數。速度勢函數為 0vuxy說明流場是無旋的，存在速度勢說明流場是無旋的，存在速度勢(x, y)，由（，由（C2.3.2C2.3.2）式）式 21( )2ukx,kxf yx 21( )( )2f yvky, f

6、 ykyCy 221()2k x yC(a)等勢線方程為等勢線方程為x2y2=常數，在常數，在xy平面上是分別以第一、三象限角平分線平面上是分別以第一、三象限角平分線和第二、四象限角平分線為漸近線的雙曲線族，如上圖中的虛線所示。和第二、四象限角平分線為漸近線的雙曲線族，如上圖中的虛線所示。 （2 2）再計算速度散度）再計算速度散度 0uvkkxy v說明該流場是不可壓縮平面流動，存在流函數說明該流場是不可壓縮平面流動，存在流函數(x,y)，由（，由（C2.3.11C2.3.11）式）式 ( )ukx,kxyg xy( )( )0( )kyg xvky,g x, g xCx 上式中上式中C為常數

7、，流函數為為常數，流函數為 流線方程為流線方程為xy=常數，在常數，在 xy平面上是分別以平面上是分別以 x, y軸為漸近線的雙曲線族，軸為漸近線的雙曲線族，如上圖中的實線所示。如上圖中的實線所示。x, y軸也是流線，稱其為零流線。流線族與等勢線族軸也是流線，稱其為零流線。流線族與等勢線族正交。正交。 kxy C(b) 例例C2.3.2 C2.3.2 9090角域流的速度勢和流函數角域流的速度勢和流函數(2-2) (2-2) 平面勢流平面勢流平面流平面流存在速度勢存在速度勢無旋流無旋流不可壓縮不可壓縮存在流函數存在流函數uv0 xy u,vxyu,vyxvu0 xy C2.4 平面勢流與基本解

8、平面勢流與基本解 i 20 i 20 20 挑選一些基本解挑選一些基本解i(i)，疊加后若滿足邊界條件即是所求之解。，疊加后若滿足邊界條件即是所求之解。 20C2.4 C2.4 平面勢流與基本解平面勢流與基本解C2.4.1 均流均流物理背景物理背景 全流場以等速全流場以等速( U )做平行直線流動做平行直線流動cossinU xyycossinUxcosUxUrsinUyUr速度分布速度分布0uU,vcossinuU,vU勢函數勢函數流函數流函數C2.4.1 C2.4.1 均流均流C2.4.2 點源與點匯點源與點匯物理背景物理背景當源匯位于當源匯位于A點點2rQvr1ln2Qr12Qln2Qr

9、2Q當源匯位于原點當源匯位于原點O0v點源（點源（Q 0）：流體從一點均勻地流向各方向）：流體從一點均勻地流向各方向; 點匯（點匯（Q 0）：流體從各方向均勻地流入一點。）：流體從各方向均勻地流入一點。C2.4.2 C2.4.2 點源與點匯點源與點匯C2.4.3 點渦點渦物理背景物理背景 與平面垂直的直渦線（強度為與平面垂直的直渦線（強度為）誘導的流場。）誘導的流場。當點渦位于當點渦位于A點點0rv 121ln2r 2ln2r 當點渦位于原點當點渦位于原點O2vrC2.4.3 C2.4.3 點渦點渦C2.4.4 偶極子偶極子當偶極子位于原點當偶極子位于原點2cos2rMvr 2sin2Mvr

10、22cos22MMxrxy22sin22MMyrxy 等勢線等勢線=C2221124xyCC2221124xyCC流線流線 =C物理背景物理背景 點源點匯無限接近點源點匯無限接近(0)形成的流場。形成的流場。 （偶極矩（偶極矩M = Q= 常數常數，源，源匯）匯）C2.4.4 C2.4.4 偶極子偶極子 例例C2.4.4 C2.4.4 蘭金半體繞流：均流蘭金半體繞流：均流+ +點源點源(2-1)(2-1)已知已知: : 位于原點的強度為位于原點的強度為Q（Q0）的點源與沿）的點源與沿x方向速度為方向速度為U的均流疊的均流疊 加成一平面流場。加成一平面流場。求：求： （1 1）流函數與速度勢函數

11、；（）流函數與速度勢函數；（2 2）速度分布式；（）速度分布式；（3 3）流線方程；）流線方程； （4 4）畫出物面流線及部分流線圖。）畫出物面流線及部分流線圖。解：解：（1 1）流函數與速度勢函數的極坐標形式分別為）流函數與速度勢函數的極坐標形式分別為 （2 2）速度分布式為）速度分布式為 （3 3）流線方程為）流線方程為 C 取不同值代表不同流線。其中通過駐點的流線的一部分為該流場繞流取不同值代表不同流線。其中通過駐點的流線的一部分為該流場繞流物體的輪廓線，即物面流線。物體的輪廓線，即物面流線。sin2QUr(a)1sinvUr(d)cos2rQvUrr(c)cos2QUrlnr(b)si

12、n2QUrC(e)通過駐點通過駐點A（-b,0）的右半部分物面流線由的右半部分物面流線由A點的流函數值決定點的流函數值決定 （4 4）物面流線的左半支是負）物面流線的左半支是負x軸的一部分（軸的一部分（=），駐點），駐點A（-b,0）由）由 下式決定下式決定cos202r,Qv(U)rQUb 22A,QQUrsin 流線方程為流線方程為 物面流線及部分流線如右上圖所示，右半部分所圍區域稱為蘭金物面流線及部分流線如右上圖所示，右半部分所圍區域稱為蘭金( (Rankine) )半體，在無窮遠處半體，在無窮遠處00和和2，物面流線的兩支趨于平行。由（，物面流線的兩支趨于平行。由（g g）式可）式可確

13、定兩支距確定兩支距x軸的距離分別為軸的距離分別為 00 20 2( sin ) (),yrbb2QbU()2sinsinQbrU(g) 例例C2.4.4 C2.4.4 蘭金半體繞流：均流蘭金半體繞流：均流+ +點源點源(2-2)(2-2)C2.5 繞圓柱的平面勢流繞圓柱的平面勢流C2.5.1 無環量圓柱繞流無環量圓柱繞流一、求解流場一、求解流場均均 流流求流函數求流函數偶極子偶極子cosa+rr=U221同理同理基本解疊加基本解疊加邊界條件邊界條件sin =Ur1sinMr =-22+= 12sinM = U -rr22 圓柱面為零流線圓柱面為零流線r=a,=0UMa=22sina-rr=U2

14、21C2.5.1 無環量圓柱繞流無環量圓柱繞流(2-1)(2-1)C2.5.1 無環量圓柱繞流無環量圓柱繞流(2-2)(2-2)二、流場分析二、流場分析221cosravUr221sinavUr 0rsv 2 sinsvU 1. 速度分布速度分布在圓柱面在圓柱面(S)上上221 4sin12spppCU 2211 4sin2sppU2. 圓柱面上壓強分布圓柱面上壓強分布表面壓強系數表面壓強系數3. 壓強合力壓強合力 Fx= 0（達朗貝爾佯繆），（達朗貝爾佯繆），Fy= 0C2.5.2 有環量圓柱繞流有環量圓柱繞流在無環量圓柱繞流流場中再疊加一個點渦（順時針）在無環量圓柱繞流流場中再疊加一個點渦

15、（順時針）一、求解流場一、求解流場221sinaUrr221cosaUrr二、流場分析二、流場分析1. 速度分布速度分布221cosravUr221sinavUr 在圓柱面在圓柱面(S)上上0rsv 2 sinsvU ln2r22 r2 aC2.5.2 有環量圓柱繞流有環量圓柱繞流(2-1)(2-1)C2.5.2 有環量圓柱繞流有環量圓柱繞流(2-2)(2-2)2 sin02crUa222222sin1 4sin4pCaUa U 2. 求解駐點位置求解駐點位置(cr)3. 表面壓強系數表面壓強系數1sin4craU|4aU 無駐點無駐點(自由駐點自由駐點)4. 壓強合力壓強合力Fy=U升力公式

16、升力公式Fx=0,C2.6 繞機翼的平面勢流繞機翼的平面勢流C2.6.1 儒可夫斯基升力定理儒可夫斯基升力定理FL=U式中式中U為來流速度矢量，為來流速度矢量，為環量矢量（按右手法則確定方向）為環量矢量（按右手法則確定方向）C2.6.2 庫塔條件庫塔條件繞翼型產生環量的四個階段繞翼型產生環量的四個階段1) 運動前（運動前（=0）2) 運動后（開爾文定理）運動后（開爾文定理）3) 環量大小（庫塔條件）環量大小（庫塔條件）4) “起動渦起動渦”和和“附著渦附著渦”將有環量圓柱繞流的將有環量圓柱繞流的升力公式升力公式推廣到對任意形狀截面的繞流推廣到對任意形狀截面的繞流C2.6 C2.6 繞機翼的平面勢流繞機翼的平面勢流C2.6.3 機翼升力機翼升力1. 機翼升力機翼升力 2. 壓強分布壓強分布3. 翼型翼型C2.6.3 C2.6.3 機翼升力機翼升力(2-1)(2-1)C2.6.3 機翼升力機翼升力4. 升力系數升力系數5. 有限翼展有限翼展C2.6.3 C2.6.3 機翼升力機翼