1、 圓的概念及確定 1. 圓定義：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓。固定的端點O叫做圓心。（確定圓的位置）線段OA叫做半徑。（確定圓的大小）記法：以點O為圓心的圓，記作“O”，讀作“圓O”注意：（1）圓指的是“圓周”而不是“圓面”。（2）半徑指的是線段，為了方便也把半徑的長稱為半徑。圓的確定：（1）一個圓心一個半徑（2）圓心、圓上一個一個的已知點（3）直徑2. 圓的集合定義：（1）角平分線上的點到角兩邊的距離相等。到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。所以：角平分線可以看做是到角的兩邊距離相等的點的集合。（2）線段的垂直平分線上的點到線段

2、的兩個端點的距離相等。到線段的兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上。線段的垂直平分線可以看做是和線段兩個端點距離相等的點的集合。*把一個圖形看成是滿足某種條件的點的集合，必須符合：a.圖形上的每一點都滿足某個條件，b.滿足某個條件的每一個點，都在這個圖形上。（3）圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長（半徑r），到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上。（圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點組成的圖形）圓的集合定義：圓是到定點的距離等于定長的點的集合。點和圓的位置關系有：點在圓內、圓上，圓外三種，設O的半徑為r，點P和圓心O的距離為d，則有： 

3、60;  點在圓內；    點在圓上；    點在圓外。  6. 理解定理，不在一直線上的三點確定一個圓，并掌握不在同一條直線上三點作圓的方法。  7. 會用尺規作經過不在同一直線上三點的圓。  8. 了解三角形外心的概念。  9. 過三點的圓  確定一個圓有兩個基本條件：圓心（定點），確定圓的位置；半徑（定長），確定圓的大小。只有當圓心和半徑都確定時，圓才能確定。  此外，下列條件都可以確定圓心和半徑，因而都能確定圓：（1）經過不在一直線上的三點的圓；（2）已知圓

4、心和圓上一點的圓；（3）以已知線段為直徑的圓。推薦精選 特別要注意的是，過任意三點不一定能作圓，如果三點在同一直線上，則不能作圓。  10. 反證法： 從命題結論的反面出發，引出矛盾，從而證明命題成立，這樣的證明方法叫反證法。關系定義圓心實質半徑圖示外接圓經過三角形各頂點的圓外心三角形各邊垂直平分線的交點交點到三角形各頂點的距離內切圓與三角形各邊都相切的圓內心三角形各內角角平分線的交點交點到三角形各邊的距離2、如何畫一個三角形的外接圓與內切圓？畫圓的關鍵：確定圓心；確定半徑3、性質有哪些？(1)外接圓性質：銳角三角形外心在三角形內部。直角三角形外心在三角形斜邊中點上。鈍角三角形外心在

5、三角形外。有外心的圖形，一定有外接圓。直角三角形的外心是斜邊的中點。 外接圓圓心到三角形各個頂點的距離相等（OA=OB=OC）。(2)內切圓性質：三角形一定有內切圓，圓心定在三角形內部。一般三角形的內切圓半徑：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt(p-a)(p-b)(p-c)/p （a、b、c是3個邊，S是面積，p=(a+b+c)/2）直角三角形的內切圓半徑：（a, b是Rt的2個直角邊，c是斜邊）r=(a+b-c)/2 兩直角邊相加的和減去斜邊后除以2r=ab/(a+b+c) 兩直角邊乘積除以直角三角形周長推薦精選 注意：等邊三角形的內心、外心重合。練習：1、ABC中，A=55度，I是內心

6、，則BIC（ 117.5 ）度。2、ABC中，A=55度，其內切圓切ABC 于D、E、F，則FDE（62.5）度。3、三角形的三邊長分別為3cm、4cm、5cm，則其內切圓的半徑為（1cm）。4、直角三角形的兩條直角邊分別是5cm和12cm，則它的外接圓半徑（6.5cm）內切圓半徑（2cm）。5、等邊三角形外接圓半徑與內切圓半徑之比（2:1）  例1. 如圖所示，已知矩形ABCD的邊。  （1）以點A為圓心，4cm為半徑作A，則點B、C、D與A的位置關系如何？  （2）若以點A為圓心作A，使B、C、D三點中至少有一點在圓內，且至少有一點在圓外，則A的半徑

7、r的取值范圍是什么？   例2. 畫圖說明滿足下列條件的點的軌跡。    （1）經過點A，且半徑等于2cm的圓的圓心軌跡；推薦精選    （2）邊，面積為的ABC的頂點A的軌跡。          例3. 下圖中的五個半圓，鄰近的兩半圓相切，兩只小蟲同時出發，以相同的速度從A點到B點。甲蟲沿路線爬行，乙蟲沿路線爬行，則下列結論正確的是（    ）  A. 甲先到B點  B. 乙

8、先到B點，C. 甲、乙同時到B點 D. 無法確定  例4. O半徑為2.5，動點P到定點O的距離為2，動點Q到P點距離為1，問P點、Q點和O是什么位置關系？為什么？    例5. 求證：菱形四條邊中點在以對角線的交點為圓心的同一圓上。    已知：如圖所示，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點。    求證：E、F、G、H四個點在以O為圓心的同一圓上。推薦精選      例6. 如圖所示，A、B、C、D

9、、E相互外離，它們的半徑都是1，順次連結五個圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個扇形（陰影部分）的面積之和是（    ）    A.     B.      C.       D.   例7. 如圖所示，是一塊圓形砂輪破碎后的部分殘片，試找出它的圓心。      例8. 如圖所示，在ABC中，D、E分別在AC、AB上，BD、CE相交于點O，證明BD和CE不可能互相平分

10、。  例9. 用反證法證明：三角形中，至少有一個內角大于或等于60°。    證明：假設三角形的三個內角都小于60°，則這個三角形的內角和小于180推薦精選°，這與三角形內角和定理矛盾。    所以，三角形中，至少有一個內角大于或等于60°。   例10. 如圖所示，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且OAOB，OCOD。    證明：四邊形ABCD一定有外接圓。    【模擬試題】（答題時間：4

11、5分鐘）  1. AB是O的弦，OQAB于Q，再以OQ為半徑作同心圓，稱作小O，點P是AB上異于A、B、Q的任意一點，則點P的位置是（    ）    A. 在大O上    B. 在大O的外部    C. 在小O的內部    D. 在小O外且在大O內  2. 下列命題正確的是（    ）    A. 經過點A且半徑等于a的圓心O的軌跡，為以O為圓心，a為半徑

12、的圓    B. 如果一個圖形上的每一點到一個角的兩邊距離都相等，那么這個圖形一定是這個角的角平分線    C. 到直線AB的距離等于5cm的點的軌跡是平行于直線AB，且到AB的距離等于5cm的一條平行線  3. 下列命題正確的是（    ）    A. 三點確定一個圓    B. 圓有且只有一個內接三角形    C. 三角形的外心是三角形三個角的平分線的交點    D. 三角

13、形的外心是三角形任意兩邊的垂直平分線的交點  4. 下列說法錯誤的是（    ）    A. 三角形的外心不一定在三角形外部    B. 圓的兩條非直徑的弦不可能互相平分    C. 兩個三角形可能有公共的外心    D. 任何梯形都沒有外接圓  5. 下列命題中，錯誤的個數為（    ）    （1）三角形只有一個外接圓；    （2）

14、鈍角三角形的外心在三角形外部；推薦精選    （3）等邊三角形的外心也是三角形的三條中線、高、角平分線的交點；    （4）直角三角形的外心是斜邊的中點。    A. 0個      B. 1個    C. 2個     D. 3個  6. 用反證法證明，“若O的半徑為r，點P到圓心的距離d大于r，則點P在O的外部”首先應假設（    ） 

15、; A.   B. C. 點P在O外 D. 點P在O上或點P在O內  7. 在一個圓中任意引兩條直徑并順次連結它們的四個端點組成一個四邊形，則這四邊形一定是（    ）    A. 等腰梯形   B. 菱形    C. 矩形    D. 正方形 二. 填空題。  8. 已知AB為O的直徑，AC為弦，ODBC交AC于D，AC6cm，則DC_。  9. 直角三角形外接圓的圓心在_上，它的半徑等于_的一

16、半。  10. P點到O上的點的最小距離是6cm，最大距離是8cm，則O的半徑是_。  11. P是O內與O不重合的點，則在經過P點的所有弦中，最長的弦是_。  12. 若一個圓經過梯形ABCD的四個頂點，則這個梯形是_梯形。  13. 用反證法證明“一個三角形中，不能有兩個角是直角”時，第一個步驟是_。 三. 解答題。  14. 已知ABC中，C90°。求證：ABAC，ABBC。  15. 如圖所示，DEBC于E，DFAC于F，DGAB于G，并且E、F、G三點共線，求證：A、B、C、D四點共圓。  16

17、. 如圖所示，AC、BD是O的兩條直徑，求證：四邊形ABCD是矩形。推薦精選  17. 如圖所示，四邊形ABCD的一組對角B、D都是直角，求證：A、B、C、D四點在同一圓上。  18. 已知點A的坐標是（0，-3），以C為圓心，5個單位長為半徑畫圓，求C與坐標軸的交點的坐標并判斷點P（-3，0）是否在C上。例：思考：車輪為什么是圓的？3. 與圓有關的概念（1）弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。（2）直徑：經過圓心的弦叫做直徑。推薦精選注意：直徑是一種特殊的弦，直徑是最長的弦，但弦不一定是直徑。（3）弧：圓上任意兩點間的部分叫做弧。以A、B為端點的弧記作（4）半圓：圓的任意一

18、條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。注意：半圓是一種特殊的弧。補：（5）弧的分類：優弧：大于半圓的弧  優弧半圓 劣弧：小于半圓的弧注意：優弧、劣弧都是弧，但是優弧大于半圓，劣弧小于半圓。例：如圖：AB、CB為O的兩條弦，試說出圖中的所有弧。補（6）弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形。補（7）同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。補（8）等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓。推薦精選補（9）等弧：在同心圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。例：判斷對錯1、 長度相等的兩條弧是等弧。      

19、0;  2、一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧不可能是等弧。  3、兩個半圓是等弧。                         4、半徑相等的弧是等弧。              

20、;        5、半徑相等的兩個半圓是等弧。                    6、分別在兩個等圓上的兩條弧是等弧。              概念辨析：a) 弦是直的，弧是曲的。b

21、)弓形由弦及其所對的弧組成。扇形由一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成。  c) 同圓指同一個圓，等圓、同心圓指兩個圓的關系。  等圓是指半徑相等而圓心不同的圓，同心圓指圓心相同，半徑不同的圓。例：下列說法錯誤的是  A、直徑相等的兩個圓是等圓。B、圓中最大的弦是通過圓心的弦。C、同圓中，優弧和劣弧的和等于一個整圓。 D、直徑是圓中最長的弦例：AB為圓O的直徑，點C在圓O上，OD/BC。求證：OD是AC的垂直平分線例：圓O的半徑為5，弦AB/CD，且AB=6，CD=8，求以兩平行弦為底的梯形的面積。1. 舉出一些成圓形的物體的實例。2. 設

22、AB3厘米，畫圖說明具有下列性質的點的集合是怎樣的圖形：（1）和點A的距離等于2厘米的點的集合；（2）和點B的距離等于2厘米的點的集合；（3）和點A、B的距離都等于2厘米的點的集合；（4）和點A、B的距離都小于2厘米的點的集合推薦精選3. 在下面的矩形中，如果OA、OB、OC、OD的中點分別為E、F、G、H。求證：E、F、G、H4個點在同一個圓上。 圓心 弧 弦 弦心距之間的關系 1. 圓不但是軸對稱圖形，而且也是中心對稱圖形，實際上圓繞圓心旋轉任意一個角度，都能夠與原來的圖形重合。 2. 圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。從圓心到弦的距離叫做弦心距。 3. 定理：在同圓或等圓中，相

23、等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。 4. 推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。 注意：要正確理解和使用圓心角定理及推論。 （1）不能忽略“在同圓或等圓中”這個前提條件，若沒有這一條件雖然圓心角相等，但所對的弧、弦、弦心距不一定相等。 距也不相切。 （2）要結合圖形深刻理解圓心角、弧、弦、弦心距這四個概念與“所對”一詞的含義，從而正確運用上述關系。 下面舉四個錯例： 這兩個結論都是錯誤，首先CE、FD不是弦，CEA、BFD不是圓心角，就不可以用圓心角定理推論證明。推薦精選 （3）同一條弦

24、對應兩條弧，其中一條是優弧，一條是劣弧，同時在本定理和推論中的“弧”是指同為劣弧或優弧，一般選擇劣弧。 （4）在具體運用定理或推論解決問題時可根據需要，選擇有關部分，比如“等弧所對的圓心角相等”，在“同圓中，相等的弦所對的劣弧相等”等。 5. 1°的弧：因為同圓中相等的圓心角所對的弧相等，所以整個圓也被等分成360份，我們把每一份這樣的弧叫做1°的弧。 一般地，n°的圓心角對著n°的弧，n°的弧對著n°的圓心角，也就是說，圓心角的度數和它所對的弧的度數相等。 注意：這里說的相等是指角的度數與弧的度數相等。而不是角與弧相等，在書寫時要防

25、止出現“”之類的錯誤。因為角與弧是兩個不能比較變量的概念。相等的弧一定是相同度數的弧，但相同度數的弧卻不一定是相等的弧。 6. 圓中弧、圓心角、弦、弦心距的不等關系 （1）在同圓或等圓中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距較小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距較小時，則弦較大。 當弦為圓中的最大弦（直徑）時，弦心距縮小為零；當弦逐步縮小時，趨近于零時，弦心距逐步增大，趨近于半徑。 （2）在同圓或等圓中，如果弧不等，那么弧所對的弦、圓心角也不等，且大弧所對的圓心角較大，反之也成立。 注意：不能認為大弧所對的弦也較大，只有當弧是劣弧時，這一命題才能成立，半圓對的弦最大，當弧為優弧時，弧越大

26、，對的弦越短。 7. 輔助線方法小結： （1）有弦的中點時，常連弦心距，進而可利用垂徑定理或圓心角、弦、弧、弦心距關系定理；另外，證明兩弦相等也常作弦心距。 （2）在計算弧的度數時，或有等弧的條件時，或證等弧時，常作弧所對的圓心角。 （3）有弧的中點或證弧的中點時，常有以下幾種引輔助線的方法： （I）連過弧中點的半徑；（II）連等弧對的弦；（III）作等弧所對的圓心角。 例1. 已知：如圖，在O中，弦AB、CD的延長線交于P點，PO平分APC。 求證：（1）ABCD；（2）PAPC推薦精選 分析：要證明兩弦相等，可利用弧、圓心角、弦心距之中的一種相等來證，由于已知角平分線PO過圓心，利用弦心距

27、相等可以解決。 例2. 如圖，在O中，AB2CD，那么（ ） 例3. 求證：OEOF推薦精選 例4. 如圖，O中AB是直徑，COAB，D是CD的中點，DEAB。 例5. 交AB于M、N。 求證：AMMNNB 一. 選擇題。 1. 在O與O'中，若中，則有（ ） A. B. 推薦精選 C. D. 的大小無法比較 2. 半徑為4cm，120°的圓心角所對的弦長為（ ） A. B. C. D. 3. 在同圓或等圓中，如果圓心角BOA等于另一個圓心角COD的2倍，則下列式子中能成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 在O中，圓心角AOB90°，點O到弦AB的距離為4，

28、則O的直徑的長為（ ） A. B. C. 24D. 16 5. 在O中，兩弦ABCD，OM、ON分別為這兩條弦的弦心距，則OM、ON的關系是（ ） A. B. C. D. 無法確定 6. 如圖，AB為O的直徑，C、D是O上的兩點，則DAC的度數是（ ） A. 70°B. 45°C. 35°D. 30°二. 填空題。 1. 一條弦把圓分成1：3兩部分，則劣弧所對的圓心角的度數為_。 2. 一條弦等于其圓的半徑，則弦所對的優弧的度數為_。 3. 在半徑為R的圓中，垂直平分半徑的弦長等于_。 4. 在O中，弦CD與直徑AB相交于E，且AEC30°，A

29、E1cm，BE5cm，那么弦CD的弦心距OF_cm，弦CD的長為_cm。 5. 已知O的半徑為5cm，過O內一已知點P的最短的弦長為8cm，則OP_。 6. 已知A、B、C為O上三點，若度數之比為1：2：3，則AOB_，BOC_，COA_。 7. 已知O中，直徑為10cm，是O的，則弦AB_，AB的弦心距_。三. 解答題。推薦精選 1. 如圖：已知，OA為O的半徑，AC是弦，OBOA并交AC延長線于B點，OA6，OB8，求AC的長。 2. 如圖，中，O在的三邊上所截得的弦長都相等，求BOC的度數。 3. 已知：如圖，在O中，弦ABCD，且ABCD于E，BE7，AE3，OGAB于G，求：OG的長

30、？ 4. 已知：如圖，求OFE的度數。 5. 如圖，C是O的直徑AB上一點，過點C作弦DE，使CDCO，使的度數為40°，求的度數。推薦精選 6. 如圖：已知，O中，OB、OC分別交AC、DB于M、N。 求證：是等腰三角形。 7. 如圖，O中弦ABCD，且AB與CD交于E。求證：DEAE。推薦精選一. 選擇題。  1. D   2. D   3. D   4. D   5. A    6. D    7. C二. 填空題。  8. 3cm 9. 斜邊中點，斜邊長10. 1cm或7cm11. 此圓的直徑12. 等腰  13.