1、高三一題多解 一題多變題目一題多解 一題多變（一）原題： 的定義域為r，求m的取值范圍解：由題意在r上恒成立且，得變1：的定義域為r，求m的取值范圍解：由題意在r上恒成立且，得變2：的值域為r，求m的取值范圍解：令，則要求t能取到所有大于0的實數，當時，t能取到所有大于0的實數 當時，且變3：的定義域為r,值域為，求m,n的值解：由題意，令，得時，-1和9時的兩個根當時， ，也符合題意一 題 多 解-解不等式 解法一：根據絕對值的定義，進行分類討論求解（1）當時，不等式可化為 （2）當時，不等式可化為 綜上：解集為解法二：轉化為不等式組求解原不等式等價于 綜上：解集為 解法三：利用等價命題法

2、原不等式等價于 ，即 解集為解法四：利用絕對值的集合意義原不等式可化為，不等式的幾何意義時數軸上的點的距離大于，且小于，由圖得， 解集為一題多解 一題多變（二）已知是等比數列的前n想項和，成等差數列，求證：成等差數列法一：用公式，因為成等差數列，所以且則所以所以 成等差數列法二用公式，則，所以 成等差數列證法三：（用公式） 解得（下略）變題： 已知且是第二象限角，求 解：是第二象限角，變1：，求 解：，所以是第一或第二象限角 若是第一象限角，則 若是第二象限角，則變2：已知求 解：由條件，所以 當 時，是第一或第二象限角 若是第一象限角時 若是第二象限角 當時不存在變3：已知，求 解：當時，不

3、存在 當時， 當時第一、第四象限角時， 當是第二、第三象限角時， 一題多解 一題多變（三）題目：求函數的值域方法一：判別式法 - 設 ，則，由- 當時，-， 因此當時，有最小值2，即值域為方法二：單調性法 先判斷函數的單調性 任取，則 當時，即，此時在上時減函數 當時，在上是增函數 由在上是減函數，在上是增函數，知時，有最小值2，即值域為方法三：配方法 ，當時，此時有最小值2，即值域為方法四：基本不等式法有最小值2，即值域為變 題原題：若函數的定義域為r，求實數a的取值范圍解：由題意得在r上恒成立，則要求且變式一：函數的定義域為r，求實數a的取值范圍 解：由題意得在r上恒成立，則要求且 變式二

4、：函數的值域為r，求實數a的取值范圍解：令 能取到所有大于0的實數，則 時，能取到所有大于0的實數 時，且綜上一題多解 一題多變（四）題目：求函數的值域方法一：判別式法 - 設 ，則，由- 當時，-， 因此當時，有最小值2，即值域為方法二：單調性法 先判斷函數的單調性 任取，則 當時，即，此時在上時減函數 當時，在上是增函數 由在上時減函數，在上是增函數，知時，有最小值2，即值域為方法三：配方法 ，當時，此時有最小值2，即值域為方法四：基本不等式法有最小值2，即值域為變 題原題：若函數的定義域為r，求實數a的取值范圍解：由題意得在r上恒成立，則要求且變式一：函數的定義域為r，求實數a的取值范圍

5、 解：由題意得在r上恒成立，則要求且 變式二：函數的值域為r，求實數a的取值范圍解：令 能取到所有大于0的實數，則 時，能取到所有大于0的實數 時，且綜上 一題多解 一題多變（五）題目：橢圓的焦點是，橢圓上一點p滿足，下面結論正確的是（ ）（a）p點有兩個 （b）p點有四個 （c）p點不一定存在 （d）p點一定不存在解法一：以為直徑構圓，知：圓的半徑，即圓與橢圓不可能有交點。故選d解法二：由題知，而在橢圓中：，不可能成立故選d解法三：由題意知當p點在短軸端點處最大，設，此時為銳角，與題設矛盾。故選d解法四：設，由知，而無解，故選d解法五：設，假設，則，而即：，不可能。故選d解法六：，故不可能。

6、故選d解法七：設由焦半徑知：而在橢圓中而>,故不符合題意，故選d解法八.設圓方程為： 橢圓方程為：兩者聯立解方程組得：不可能故圓與橢圓無交點即 不可能垂直故選d 一題多解 一題多變（六）一變題：課本p110 寫出數列的前5項： 變題：已知函數，設的反函數為，求數列的通項公式。 解：由題意得，令，則是以為首項，為公比的等比數列，故從而，二、一題多解 已知函數 （1）當時，求函數的最小值；- （2）若對于任意恒成立，試求實數的取值范圍， 解：（1）當時，當且僅當時取等號 由性質可知，在上是增函數，所以在是增函數，在區間上的最小值為（2）法一：在區間上，恒成立恒成立設，在上增所以時，于是當且僅

7、當時，函數恒成立，故法二：當時，函數的值恒為正；當時，函數為增函數，故當時，于是當且僅當時，函數恒成，故法三：在區間上，恒成立恒成立恒成立，故應大于，時的最大值-3， 所以一題多解 一題多變（七）原題：:若,則 分析:用倒數換元解: 令, 所以將t換成x得到:變題1：設滿足關系式求的解析式解：將t換成x得到:與原式聯立方程組消去得到變題2：已知，其中試求的解析式解：用相反數換元 令代入到原式當中得到： 將t換成x得到:與原式聯立方程組，得到： 變題3：已知，試求的解析式解：令，則 將 中t換t得到: 與聯立方程組得到：變題4：已知求解：設 代入原式得：將t換成t得到: 與上式聯立方程組得到 的

8、解析式為：一題多解題目：設二次函數滿足且函數圖象y軸上的截距為1，被x軸截的線段長為，求的解析式 分析：設二次函數的一般形式，然后根據條件求出待定系數a,b,c 解法一：設由 得： 又 由題意可知 解之得：解法二：故函數的圖象有對稱軸可設函數圖象與y軸上的截距為1，則又被x軸截的線段長為，則整理得： 解之得： 解法三： 故 函數的圖象有對稱軸，又與x軸的交點為： 故可設一題多解 一題多變（八）原題 設有反函數，又與 互為反函數，則（教學與測試p77）變題 設有反函數，又的圖象與的圖象關于對稱（1） 求及的值；（2） 若均為整數，請用表示及解(1)因的反函數是，從而,于是有，令得；同樣，得反函數

9、為，從而，于是， (2) ,而,故,即, ，從而 同理， 一題多解 1函數，則( )（a） （b） （c） （d） 解法1. 由知的圖象關于對稱，得而，且，因此.解法2.由知的圖象關于對稱，而，而在1,1上遞減，易得答案為b y -1 0 1 x 一題多解 一題多變（九）姜忠杰變 題原題：若在區間=在區間是減函數，則的取值范圍是多少？變1：若函數=在上是減函數，則的取值范圍是多少？變2、若函數=在上是增函數，則的取值范圍是多少？變3、若函數=在上是增函數，且函數的值域為r，則的取值范圍是多少？解：函數的減區間為， -變1、設，則在為減函數，且在，0所以有且（），的取值范圍是變2：設，則在為減函

10、數，且在，0-所以有且（），的取值范圍是變3：設，則在減區間，在取到一切正實數，所以或一題多解：設 ，求的值。解法一（構造函數）：設，則，由于在上是單調遞增函數，所以，故。解法二（圖象法）因為是方程的一個根，也就是方程的一個根是方程的一個根，也就是方程的一個根令，在同一坐標系中作出他們的圖象，如圖所示：是方程的根，即圖中oa=是方程的根，即圖中ob=易得oa+ob=10，所以解法三：方程，的根為，由，得，又， 一題多解 一題多變（十）（課本p102 ）證明：變題：1、如圖所示，是定義在0，1上的四個函數，其中滿足性質：“對0，1中的任意的，任意恒成立”的只有（ a ） a、 b、 c、 d、變

11、題2、定義在r上的函數滿足：如果對于任意都有則稱函數是r上的凹函數。已知二次函數 （1）求證：當時，函數是凹函數； （2）如果時，試求實數的取值范圍。 （1）證明：略 （2）實數的取值范圍是二、一題多解 不查表計算： 解法一：原式= = = =解法二：原式=1-=1解法三：原式=1解法四：原式=1 解法五：原式=1一題多解 一題多變（十一）一題多解-1 已知（，求的值解法1 先求反函數由得 且故原函數的反函數是 解法2從互為反函數的函數的關系看 令解得 即 變題2 已知對于任意實數滿足，當時，（1） 求證（2） 判斷的單調性證明 （1）令得 - 令，得 （2）設，則 在r上是單調函數變題 1.

12、 已知函數是定義r在上的增函數，且滿足（1） 求的值（2） 若解不等式 解 （1） 令，得 -（3） 在中，令得從而 又原不等式可化為 ，且是上的增函數，原不等式等價于 又 解得 原不等式的解集為（0，4）一題多解 一題多變（十二）考查知識點：函數的對稱中心原題：函數的圖象關于原點對稱。解：該函數定義域為r，且+=，該函數圖像關于原點對稱變題1：已知函數滿足則的圖象的關于對稱解：為奇函數，即的圖象關于原點對稱，故的圖象關于對稱。變題2：已知函數滿足，則函數的圖象關于對稱 解：由得，1為奇函數，即1的圖象關于（0，0）對稱，的圖象關于對稱變題3：已知函數滿足，則的圖象關于（1，1）對稱 解：令，

13、則，故由得，即滿足，即，的圖象關于原點（0，0）對稱，故的圖象關于（1，1）對稱。結論：若函數滿足，則的圖象關于對稱。變題4：已知求證：（1）（2）指出該函數圖象的對稱中心并說明理由。（3）求的值。（1）證明：，得證。-（2）解：該函數圖象的對稱中心為，由得即，的圖象關于原點中心對稱，故的圖象關于對稱。（3）解：，故， =500變題5：求證：二次函數的圖象沒有對稱中心。證明：假設是的圖象的對稱中心，則對任意，都有，即恒成立，即有恒成立，也就是且與矛盾所以的圖象沒有對稱中心。一題多解 一題多變（十三）題目：已知函數若對任意恒成立，試求實數a的取值范圍。解法一：在區間上，恒成立恒成立，設在遞增 ，

14、當x=1時，于是當且僅當時，函數恒成立，故 a>3。解法二：當a的值恒為正,當a<0時,函數為增函數故當x=1時于是當且僅當3+a>)時恒成立, 故 a>3。解法三：在區間上恒成立恒成立恒成立，故a應大于時的最大值3， 當x=1時，取得最大值 3 題目： 將函數的圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位，求所得圖象的函數表達式。解： 將函數中的x換成x+1，y換成y-1得變題1：作出函數的圖象解： 函數=，它是由函數的圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位得到。圖象為： 變題2：求函數的單調遞增區間解： 由圖象知 函數的單調遞增區間為：變題3：求函數的單調遞增區間解：

15、 由 得 所以函數的單調遞增區間為變題4： 求函數的單調遞增區間解： 由，所以函數的單調遞增區間為變題5 函數的反函數的圖象的對稱中心為（-1，3），求實數a解： 由知對稱中心為（a+1，-1），所以它的反函數的對稱中心為（-1，a+1），由題意知：a+1=3 得a=2。變題6 ：函數的圖象關于y=x對稱求a的值解： 因為函數的反函數是它本身，且過點（2，0），所以其反函數的圖象必過點（0，2），即函數也過點（0，2），代入得a=-1。變題7 設（a，b）與（c，d）都是函數f（x）的單調區間， 且則與的大小關系為（ ）（a）（b）（c）（d）不能確定解 ： 構造函數它在上都是增函數，但在上無

16、單調性，故選d變題8：討論函數在上的單調性。解： 由的圖象知 ，當 時在上是增函數；當時在上為減函數一題多解 一題多變（十四）已知，求證：變 題1、已知數列滿足，試比較與的大小2、已知，且，求證：3、已知，求證：解： 原題：證明：作差-， 1、 2、-，又 ， -3、作差， 一 題 多 解已知數列滿足，試比較與的大小 方法一：作差-=，方法二：作商-方法三：（單調性），關于單調遞增方法四：濃度法 把看成是一杯溶液（糖）的濃度，隨著的增大（相當于向溶液中加糖），濃度 當然增大，易得一題多解 一題多變（十五） 例、-恒成立，求的取值范圍解：1、當 時 2、 -變式1：已知函數的定義域為，求實數的取值范圍。 解：由題