1、近世代數(shù)第四章-環(huán)與域題解講 解第四章 環(huán)與域§ 1環(huán)的定義一、主要內(nèi)容1. 環(huán)與子環(huán)的定義和例子。在例子中，持 別重要的是效域上的多項(xiàng)式環(huán)、n階全陣環(huán)和線 性變換環(huán)，以及集M的冪集環(huán).2. 環(huán)中元素的運(yùn)算規(guī)則和環(huán)的非空子集S作成子環(huán)的充要條件：a tiG S >戊 f 占 S *3 循環(huán)壞的定義和性質(zhì).；加群是循環(huán)群的環(huán)稱為循環(huán)環(huán)其性債在本節(jié)內(nèi)的主要有s1）循環(huán)環(huán)必為交怏環(huán)；，2）循壞環(huán)的子環(huán)也是循壞環(huán)；3循環(huán)環(huán)的子加群必為子環(huán)；.'4）pq是互異素?cái)?shù)）階環(huán)必為循環(huán)環(huán)*二、釋疑解難1 設(shè)R是一個(gè)關(guān)于代數(shù)運(yùn)算十，作成的環(huán)應(yīng)注意兩個(gè)代數(shù) 運(yùn)算的地位是不平等的，是要講究次序

2、的.所以 有時(shí)把這個(gè)環(huán)記為（R,十，）（或者就直接說(shuō)“ R 對(duì)十，作成一個(gè)環(huán)”）但不能記為R,-,十）因 為這涉及對(duì)兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算所要求滿足條件的不 同我們知道，環(huán)的代數(shù)運(yùn)算符號(hào)只是一種記 號(hào).如果集合只有二代數(shù)運(yùn)算記為:,®，又R對(duì)：作成一個(gè)交換群，對(duì)®滿足結(jié)合律且對(duì):滿足左、右分配律，即by） = （仍叮門門*（力匸=0小底芒扎則就左能說(shuō)尿?qū)?，靜作成一個(gè)氐或記為偵宀X就是說(shuō)，在環(huán)的定義里要留意兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算的順 序.2 設(shè)R對(duì)二代數(shù)運(yùn)算十，作成一個(gè)環(huán)那 么，R對(duì)“十”作成一個(gè)加群，這個(gè)加群記為（R, 十）；又R對(duì)“ ”作成一個(gè)半群，這個(gè)乍群記 為（R，- ）再用左、右分配

3、律把二者聯(lián)系起來(lái)就 得環(huán)（R，十.）.現(xiàn)在啊，引：K 中的這個(gè)半辟（氏，* 是占lit有可能作血一小將 呢？回甞是百定的"降非I 1 = H禺若tJA刖空#?中任蕊元隸 日興O懸右<.D-0=0,這說(shuō).明Q 不是尺* 7杓單悅元.W.B. <1在C R,）中坦逑有逆元* 因此- ） Hftfe作血半PT而不能作庇曲.遊-比"如覲去艸 OiPA R 的全睹耶呼元索對(duì)乘怯是否作成 群呃？這是可能的.例如任何敢據(jù)就舅于這軸繪磁.芳播，R旳全 休卄*元血荷不fife作就靜的*如傾數(shù)環(huán)和整觀殲等等-& 由于在環(huán) K 中倉(cāng)；a *0 = （） P =<D &#

4、187;寂-'芒顯7?的左電右rXX邊）單位兀=!=>芒啟半那杞* 的屋g r雙邊單便元.兒丹階詬環(huán)環(huán)的稠竽元和其有単悅元酌承件-設(shè) R<a> 0 > cz » Su .< n 1£1、戈一個(gè) n 階餡環(huán)環(huán)，且/ 臭業(yè)収T 三例闡弱艮有學(xué)位元的鋼件和I其稱警兀的情況-以下三例均假W 尺=<« ）. h 階餡環(huán)環(huán)，B- a2 山WWE.0>1 1 R有單位元 Mn 保1. 證發(fā)、則有整救材心茨矗 lt+ HU = 1 -于屋對(duì)R中仟意元巌如冇（伍心）（珂“ ）（sztjfc »U = 5< 1 NTT

5、 JtL Sti 由于斥足可換環(huán)，故叫是尺的單也元*反之+設(shè)尺有樂位尤-=燉則w = a、 «(r<? * =s C/>r>Hti U(tk 1 ><!/ = 0 T于是算I M 丄”設(shè)th 一 1 =呵丫則tk + «<7 >1 > 放"山)1“例2 田是R的科等元=> k泌產(chǎn)一札證 設(shè)S顯環(huán)尺的科尊元，恥£«>'= t2Au = co > CA；F f)a=0,01由于aR灼加醉的H砂応索.枚比I和一"反之設(shè)kt “則因科皿一0.故(點(diǎn)盧一i、0=a冃.ta

6、 jfer14 e£ *ku = <iu)卻皿是*的幕等元.例3 環(huán)R有2沖一"屛個(gè)幕零元Jl中少【小為扣的不同*因 數(shù)的個(gè)栽聲 n 為壓與打 的盤大公閔ffcdm的不同素因數(shù)的 個(gè)數(shù).證 設(shè)”=時(shí)擰金冇 是啊旋標(biāo)準(zhǔn)分解式由上例知R中壽 等充的個(gè)數(shù)就足冋余式kI1 J 0 (nvl rr)( 1 )的解的個(gè)數(shù)疝這牛同余式的濟(jì)的個(gè)數(shù)等于m個(gè)同余式b匕工* j=0 < mod<i1 ,2 »*- t JM)< 2)的解的個(gè)敷的來(lái)稅.但易知，對(duì)一令固定2,當(dāng)帆I(xiàn)矗時(shí)ft(2)R 冇冊(cè)小半a杠fll-bT(X故脅證致獲儀|總剔=1.于是 p.Vt戸

7、？丨此匸一】* 悄譏屋巳一、一2 工戰(zhàn)卞是方磊住> 的一個(gè)非零粧*又0晁然為其一解哀而冃方程(仍沒 冇別昶搟.即此時(shí)方程O 只有阿亍解.干堆同余式門)有 2旳l申w個(gè)解,即R有曠梢計(jì)名柿牛慕奪元.三、習(xí)題4. 1解答11H 雖據(jù)覇知乘怯。満足結(jié)合律，又。對(duì)+也構(gòu)足左分配律卜但 是右分配律不満足團(tuán)如易知£<1+(1)>2 = 0, (1«2) + <<1>*2> = 4?9(1 - ( 1)吃#門辺)十仇一門記)，故R對(duì)+汁不作成環(huán).解 F上一切方陣樣顯然作成環(huán)但不可換個(gè)為冏如L二者不相鴛又屜然切方眸I ； f V此環(huán)的左單也元.但無(wú)

8、右單位元”臥而此環(huán)無(wú)單位元；' 3.» R對(duì)斯給加法士兼法作成一個(gè)有單位元的交換拆單位元 是（1匕又當(dāng)心y/0時(shí)<«L>>有逆兀mJ人而當(dāng)生-0 時(shí)如皿門段有逆元.4.證 設(shè)R址布爾環(huán)T則對(duì)R中任意元素S占有心亠由=<a-!*&）=直2 +a&昴十應(yīng)胡+ d序f加H-右*故"+珀= ）（1 ）在上戒屮取心宀則由于R中元累都是鬲聲元.故有-Het3 0 ”卩 n +肚=0；再由日十吃=0擇（t=a.從面由d）武得u6 一 ba = bci即布爾環(huán)R為交換環(huán).）5.證 設(shè)&的全體口同態(tài)映射作成的集合為R,則J?

9、一定包含 &的零同態(tài)趴故RH0.又任直 cyC J?g?G,則，、：.&+“】盤=恥亠gbg （tr 卜莊=<juT <ru = 0 T口十 r） +（r+ r）aH-/arw） I yu= 即十（w + yG 別（+ r+y）a = &十匸十和莊*比十a(chǎn)的任盤性.故由L諸式辭ff 0A/J * (?+皿=夕*<<r H-r> 亠”件+ fF)*卄L r*r<Ji即R時(shí)所翳仙決來(lái)說(shuō)/為零元，-a為口的負(fù)元且加決満足結(jié)合 津奩換律故R作就加群一 XE<?r>rJa<tfr)<y«>r(7a>

10、壬宛(r/)a J = Hf/) Ju +.otr ' y) Ju fff <t + y)a ru4- ya )=b( ra)十<K ya) Ci7r)a d-<(?7>a *故crCr-F/)=兀+蓿人類個(gè)地有"十 wr>.卻乘扶満址結(jié)臺(tái)聲*乘法対加法構(gòu)足分配律、故K時(shí)所第加恢和 乗法作成環(huán)*'乂顯然G前恒等自同構(gòu)迪這個(gè)環(huán)的單位元.6.證 設(shè)藝星環(huán)尺附單侑元idtfrE R.則(口 一刃丫"+優(yōu))=a+刃一機(jī)存十a(chǎn))=“十占 +一總)(+«) h(口 + b)十(一巧( ea=皿 + 血十(潔b 亠 C tf>

11、u = eadr«F+(已)_占+ (e)a 二旳+ 0+(1總應(yīng)弓>十(一e_)h = (h枚口+ b =開R中的加法碉足交換徉.7iff 因?yàn)閚+b=“故有(1a) (1W *- la十肋十血=1”又國(guó)為1-0可逆，故l-6=(l-a)_從丙1 =( 1 仍(1 一&)“1 a+切 I 加 I ab + Iki因圮ab=g8.證明：循環(huán)環(huán)必是交換環(huán)，并且其子環(huán) 也是循環(huán)環(huán).證設(shè)加一sOz,為為循環(huán)環(huán)且* =対 則任取工*衣嶺攵一JUt yla. Jl>| jcyyx stka.故R可換-又由于循環(huán)辭的子群仍為循環(huán)群，故備環(huán)環(huán)的子環(huán)仍為械環(huán)壞.§ 4.

12、 2環(huán)的零因子和特征一、主要內(nèi)容1. 環(huán)的左、右零因子和特征的定義與例子.2. 若環(huán)R無(wú)零因子且階大于1,則R中所 有非零元素對(duì)加法有相同的階.而且這個(gè)相同的 階不是無(wú)限就是一個(gè)素?cái)?shù).這就是說(shuō)，階大于I且無(wú)零因子的環(huán)的特征 不是無(wú)限就是一個(gè)素?cái)?shù).有單位元的環(huán)的特征就是單位元在加群中 的階.3. 整環(huán)（無(wú)零因子的交換環(huán)）的定義和例子.二、釋疑解難1.由教材關(guān)于零因子定義直接可知，如果 環(huán)有左零因子，則R也必然有右零因子.反之亦 然.但是應(yīng)注意，環(huán)中一個(gè)元素如果是一個(gè)左零因 子，則它不一定是一個(gè)右零因子例如，教材例 I中的元素P 0 j就是一個(gè)例子反之，一個(gè)右零因子也不一定是一個(gè)左零因子.例如，設(shè)

13、置為由 一切方陣(-x,y Q)對(duì)方陣普通加法與乘法作成的環(huán)則易知爲(wèi)是R的一個(gè)右零因子，但它卻不是 R的左零因子. 2關(guān)于零因子的定義.關(guān)于零因子的定義，不同的書往往稍有差異， 關(guān)鍵在于是否把環(huán)中的零元也算作零因子. 本教 材不把零元算作零因子，而有的書也把零元算作 零因子.但把非牢的零因子稱做真零因子. 這種 不算太大的差異，讀者看參考書時(shí)請(qǐng)留意.3.關(guān)于整環(huán)的定義.整環(huán)的定義在不同的書中也常有差異.大致有 以下4種定義方法：定義1無(wú)零因子的交換環(huán)稱為整環(huán)（這是本 教材的定義方法）.定義2階大于I且無(wú)零因子的交換環(huán)，稱為 整環(huán).定義3有單位元且無(wú)零因子的交換環(huán)，稱為 整環(huán).定義4階大于1、有

14、單位元且無(wú)零因子的交1 .換環(huán)，稱為整環(huán).以上4種定義中，要求整環(huán)無(wú)零因子、交換是 共同的，區(qū)別就在于是否要求有單位元和階大于 1.不同的定義方法各有利弊，不宜絕對(duì)肯定哪 種定義方法好或不好.這種情況也許到某個(gè)時(shí)期 會(huì)得到統(tǒng)一.但無(wú)論如何現(xiàn)在看不同參考書時(shí)應(yīng) 留意這種差異.本教材采用定義1的方法也有很多原因，現(xiàn)舉 一例。本章§ 8定理1:設(shè)P是交換環(huán)R的一個(gè) 理想.則P是R的素理想二R/ P是整環(huán).這樣看起來(lái)本定理表述顯得干凈利索.但若整環(huán) 按定義2（或定義3、4）要求，那么以上定理表述 就需變動(dòng).究竟要怎樣變動(dòng)，作為練習(xí)請(qǐng)讀者自 己給出.。三、習(xí)題4. 2解答1）設(shè)S是由葉出的全體

15、止則元作成的集合井令sbES,且3磯亡w于是得a （be= 0*但乜是止則元故5（ -0.又因b是正則元.哉i -O.同理.rfl曠3庁）=0可得f =0.因此yA也足正則元*即 訕E S, 從血S作成半辟.、2）設(shè)4#0是環(huán)R的止則兀，且aju = 0/于是譏如 =0.從而 g = U.:故工T.艮之，設(shè)兀素建満足條件，且 W則便有研加一0- 從而6=0.同理”若如=0便有盤如=g從而&=Q殊“不是零丙子，從 而是止則元*2 .惟 由腿設(shè)，對(duì)任意工w丘右応從而由出藝W知#產(chǎn)S 又因?yàn)槎鳵無(wú)右零同子，故"一H=0,*=g.從而r是R的單位元.3證 用MNF）表不數(shù)戦F上的就階

16、全陣開任取OHAC MXF，如臭IAIH0.JU A有迎方陣材從而A是仝陣環(huán)M" 的可逆元，如果iAl =0,則齊歡線性方程組4X=0有非零解.任取及一非零解乂血際則以此非零解為任一列而其余列全是零的推 階方曲B芒。則有AB=O,即A是全陣環(huán)WKF的零因子.4 .證 股尺是一個(gè)交換環(huán)，其全體驀零元作成的集合為S任取r=Q“蔑屮期"為正整SG則由尺可換知二一生)*1三獷以比-4”小古+一存廠丄十(一1)9；卄獷曠+(1>*1 Cit1 k 1 尸 i ( 一 嚴(yán)+“#*=“" G, * 用 % 卄咕+(- 1 嚴(yán)7 Cab*' 十1FC：+耗邛*十一1

17、丫丹比3曠7護(hù)占4 +I 一“必*=0.拽血山一內(nèi)W5從而SM丸5.證 設(shè)旳是最小止整數(shù)使皿如果令砒u抑如十廠 4口卅).Idi則由護(hù)-0可得0 = /=口叫小=a和“但是0<i 4叮0皿這與m的展小性牙庫(kù) 因此，用>炳再設(shè)，n=mq + r (0 罐廠 On*于是有；若r=0iB| ii-ii 0;若/>(h則起千獷* /=(!總之也尸"6.JC0Q、0 o、M例如Jj所有hA0!»np及所有D*專P 0100 01100所有4）所有樂）所有送上】00 0及所有0JF3Qt*r «11 -100一上"Q 0 1丨及所有<工,.0

18、* 0 f-、10 00o0Q0Q0及所有 *« ' 4f1-f1 00斗000g?1及所有7 設(shè)R是一個(gè)無(wú)零因子的環(huán).證明：若R偶數(shù)，貝V R的特征必為2.證 設(shè)乩 是艮的習(xí)題z2第4題知，尺+必有s 階元又&為交換群+故2整除&中戰(zhàn)大階元的階何2上血匸戲 月i方而由于丘是右限的無(wú)零因子年，因此tchar K 一定是 蠹數(shù)卜再山21 char R知，必char 尺=2«8 .證明：P環(huán)無(wú)非零冪零元.£ 設(shè)尺是 個(gè)P-環(huán)*且“是R的一十痔零冗n故可設(shè)R是 使才二仆的最小正整數(shù).若np令斤一阿十于，4尹/） 則因/ = 故當(dāng)廠0吋， 護(hù)=紅戶

19、”二（出）f =臚，/ 屮+=_0*當(dāng)r0時(shí)，有護(hù)肚用一（屮戶=/ =山即0' = 0血擡月一加十4汁門這與71的最小性孑舀故7p 若n=pi則由于屮=（h而 =0,故a-=0;若丹»*令n+ （p - n$則4 = 4?=嚴(yán)=譏宀=0.總之皿=0*即R無(wú)耶零懸零元*§ 4.3除環(huán)和域一、主要內(nèi)容1 除環(huán)和域的定義及例子四元數(shù)除環(huán).2 有限環(huán)若有非零元素不是零因子，則必 有單位元，且每個(gè)非零又非零因子的元素都是可3 有單位元環(huán)的乘群（單位群）的定義和例 子.有單位元的環(huán)的全體可逆元作成的群， 稱為該環(huán)的乘群或單位群.除環(huán)或域的乘群為其全體非零元作成的群； 整數(shù)環(huán)Z的

20、乘群為Z* =1,_1;數(shù)域上n階全陣環(huán)的乘群為全體n階可逆方陣對(duì) 乘法作成的群；Gaus s整環(huán)的乘群為U(Zi) =1,1, i - i二、釋疑解難1階大于I的有限環(huán)可分為兩類：”1) 一類是有零因子的有限環(huán)例如，有限集 M(|m| > 1)上的冪集環(huán)P(M)，不僅是個(gè)有零因子 的有限環(huán)，而且除單位元 M外其余每個(gè)非零元 素都是零因子；后面§5所講的以合數(shù)n為模的 剩余類環(huán)Zn也是一個(gè)有零因子的有限環(huán).2) 另一類就是無(wú)零因子的有限環(huán)實(shí)際上根 據(jù)本節(jié)推論和魏得邦定理可知，這種有限環(huán)就是 有限域例如，以素?cái)?shù)p為模的剩余類環(huán)Zp以 及教材第六章所介紹的伽羅瓦域都屬于這種倩形.這

21、就是說(shuō)，階大子1的有限環(huán)或者有零因子或 者無(wú)零因子，從而為域.2-峻材泄理A指出：階女于1的環(huán)R是除環(huán)=對(duì)R中任意元緊心心 4方躍uxb £或 ytt = h >在尺中臺(tái)解*與群定義中要求兩個(gè)方程ax= b與ya= b都 有解不同，這里僅要求方程ax = b或y a= b (-0工 a, b R)中有一個(gè)在R中有解即可.教材中利用 方程ax= b有解得到R的全體非零元有右單位元且每個(gè)非零元素都有右逆元，從而得到R是除環(huán).如果利用方程ya= b在R中有解，則將得到 R的全體非零元有左單位元且每個(gè)非零元都有 左逆元，從而也得到只是除環(huán).3 關(guān)于有單位元環(huán)的單位群.設(shè)R是階大于I的有

22、單位元的環(huán).則顯然R是除環(huán)二R的單位群是 R0；R是域二R 0是交換 群.顯然，除環(huán)或域有“最大的單位群又顯 然冪集環(huán)P（M）的單位群只有單位元（因其他元素 那是零因子），它是“最小”的單位群.三、習(xí)題4. 3解答1. 證略.2. 證略.3. 證明：域和其子域有相同的單位元.證 設(shè)F】是域F的子域J 雄F的單儻無(wú)"呈巧 的單位 元.則任取口已F冃出云0.由Fj是域甘，町 E F,貝 必一1 = 13 H a,* 1i * 】，故（= 1 . *即F與Fi有相同的單位元.（也可由F*與fi有 相同單位元直接得出）4.Uh 令幺=化-*-切：十砒口# f十十加直（英中叫仏 為實(shí)數(shù)）.則直

23、接根據(jù)四元數(shù)乘醫(yī)可得；OT0陽(yáng) =2（盹爲(wèi)一如橋卅丄2（弼&1 中矗），+£（qi6n伽）怎*又易知當(dāng)占=咼扌+斗j+乂花時(shí)，護(hù)=一諸巴成一協(xié)是實(shí)散-它同 任就元數(shù)均可換，因此（卓一護(hù)是實(shí)數(shù)它同任意四元數(shù)可 換*即有(apfla ,= Yfcrfi妙S5.解 1）易知尺柞底一個(gè)有單位元的交換環(huán)，但不一定柞成域. 例如，當(dāng)F為實(shí)數(shù)域時(shí)，方陣屬于從但1遇| =0,枚A在氏中沒有逆兀，從洵此時(shí)A不能作戰(zhàn) 域又此時(shí)尺的單位群電1（: ?）Z樸2）個(gè)屋當(dāng)F為有理數(shù)城時(shí)很能作成域”事實(shí)上設(shè)覽R中任一非零方薛（即出是不全対0的有理數(shù)幾則 IA 卜=Z 2!/.因若不然設(shè)|A|=fl,則有/

24、 =于星必然&護(hù)0,且這蔓不可能的.fc IaIto.從而.4右逆方陣，且即A在R中有逆元縱而此時(shí)尺作成城.證 1設(shè)城F的特征是素?cái)?shù)曠則F中每亍非零元集的階 （作為伽群）都是儀但|F|=4故和4,從而尸占即cti&r F 2_6.2)設(shè)F-fgl山八剛對(duì)F的乘法作成一個(gè)聊即城F的求群.由于s；在&中的階整 除G|=3,故心“的階只能足匯令工是口：中的任一卜則 x=ia之工一l-x-l I )=0.但工且域兀零因子*故j：: + 丈氣 1 = 0 或 xT = jc 1*又因chai F=2*故£=41 = 1，從而有F工十1”§ 4環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)一、

25、主要內(nèi)容1. 環(huán)的同態(tài)映射和同構(gòu)映射的定義和例子2. 環(huán)同態(tài)映射的簡(jiǎn)單性質(zhì).設(shè)®是環(huán)R到環(huán)豆R的同態(tài)滿射，則1) ®(0)是 R 的零元，®( a) = _® (a) ($aR)；2) 當(dāng)R是交換環(huán)時(shí)，R也是交換環(huán)；3) 當(dāng)R有單位元時(shí)，R也有；并且R的單位 元的象是R的單位元.3. 在環(huán)同態(tài)映射下，是否有零因子不會(huì)傳 遞.即若環(huán)RR，則當(dāng)R有零因子時(shí)，R可能沒 有，當(dāng)R無(wú)零因子時(shí)，R卻可能有.二、釋疑解難1. 在§ 1已經(jīng)強(qiáng)調(diào)過(guò)，對(duì)于環(huán)的兩個(gè)代數(shù) 運(yùn)算一定要區(qū)分前后順序.同樣，對(duì)于環(huán)的同態(tài) 映射，也要注意其保持運(yùn)算必須是：加法對(duì)加法，乘法對(duì)乘

26、法.即(a+ b) = (a) + (b),(ab) =0 (a)® (b).第一式中等號(hào)左邊的加號(hào)“ + ”是環(huán) R的加法， 而等號(hào)右邊的加號(hào)“ + ”是環(huán)R的代數(shù)運(yùn)算.二 者雖然都用同一符號(hào)，但在實(shí)際例子中這兩個(gè)代 數(shù)運(yùn)算卻可能點(diǎn)很大差異，根本不是一回事.對(duì)上述第二個(gè)式子中等號(hào)兩端的乘法完全 類似，不再贅述.2. 由于零因子在環(huán)同態(tài)映射下不具有傳遞 性，因此，若環(huán)RR，則當(dāng)R為整環(huán)時(shí)，R不一 定是整環(huán)；又當(dāng) R不是整環(huán)時(shí)，R卻可能是整 環(huán)教材中的例1和例2說(shuō)明了這一點(diǎn).3. 關(guān)于環(huán)的挖補(bǔ)定理，設(shè)"是環(huán)*又且密門【尺一3= 0.挖補(bǔ)杲說(shuō)可 在壞R市把干環(huán)自甘防出來(lái)世計(jì)補(bǔ)”

27、進(jìn)去，從而可把S吞作尺 的 子環(huán)(妊間構(gòu)意:戈F九，累實(shí)挖補(bǔ)定理對(duì)群也成立不再贅述* ：三、習(xí)題4. 4解答1. 證略.2.證 設(shè)e是有理數(shù)城Q的一個(gè)白同構(gòu).曲于在同構(gòu)映射下單 位兀與單位元對(duì)應(yīng)，貴元與負(fù)元對(duì)應(yīng)*逆元與逆元對(duì)應(yīng)，儀存(1)弋 1 * 蟲2)=已(1十2.一般地2(附)=機(jī)2一皿=協(xié)，甚中m為正整數(shù)*又易覽V.C 1 ) = _ 1 +/w/ ( /« MO )-即存為Q的恒等自同構(gòu)，從而有理數(shù)域只有恒等自同構(gòu)”3.證 恒等變換和try十尉 一a-bi顯然是數(shù)域Q(i)的兩個(gè)自 同構(gòu).現(xiàn)在設(shè)r也是Q(i>的一個(gè)自同構(gòu)*則由上曲知”對(duì)枉意有理數(shù) s啟H=d另外，設(shè)必

28、加則一 a 玖卩)一 (c+di)2 一甘一日 +2ML這貝有cO.c/ ±1.但齊止=1時(shí).由v(a)a f r(i)i可得+柄三口十弘艮卩t為恒等自冋構(gòu)辛當(dāng)d=-l時(shí)又得 廠S十?dāng)X)=叼一bi *即r=c故Q有且只有朗個(gè)自同構(gòu).4.證 Q(O與Q<V2)不冏梅*丙若同構(gòu)設(shè)心毘QG/T)到Q£i)的 一亍同構(gòu)映射，則ffCDl.從而穴4) = 4*、令Q(門，則-1k .乳2謔)廠旅松+匹=旗攬、-r ©Q至、=2応K - i .于是P方面小辰焜嫗而另一方面肴魚擂宀冋=總5皿妊、=工-2jt'=2xa t故4=£工但易知Q中不冇在運(yùn)樣的

29、廠從而這與聲屋從Qf慮到QO 的同構(gòu)映射矛盾.故城Q( i：與Q(.V2)不徇構(gòu)，5.證令K及其二運(yùn)算如教材中本題提示所示則可驗(yàn)粹出KM此二運(yùn)算作成一個(gè)有單位兀的環(huán).其單垃兀魁“八兒再令比=仁心也£說(shuō).則易知護(hù)辿 一(G尺到& 的一個(gè)環(huán)同構(gòu)映射因此.R=R于是若現(xiàn)定3,0=宀則即無(wú)單位元環(huán)R撤包含在有單位 兀的環(huán)K中.證 顯然對(duì)所規(guī)定的針運(yùn)算曲"建封閉的令尺対新運(yùn)算 忤痕的集合記為尺曲“下向在R與Rf®, >之問蘿直映射*<p:工 P"十 if' t 興 WR）*易切這足尺到JKCD-）的怒射、即R的雙射變換.衰皆£

30、 £*+&=«口 +巾十"亠“十！/） （ b十肚）一"F【££）+u（ZO 一14 務(wù) 5fr） 爭(zhēng)5、"牡B、l g 肋0彷、韶=（&+&*）u > < a 十“柑,it b u ） -F «- + 托ah- utt- ub- el;仔m t/ 剔由m1 -b4- u=農(nóng)占+憶=尹Cm也）,：.固此許 是R到r<®問構(gòu)映射.由于蠢是環(huán)故尺（e.2也是環(huán)且與尺同構(gòu).7.-址 設(shè)屋實(shí)數(shù)域R的任一自同構(gòu)，于堪由第？題知，t < n / jri） = xi/#n

31、.又設(shè)«為實(shí)數(shù)尸且& A 0.則必r G* ） > 0 ；因?yàn)樵O(shè)qH 則£（口=就扮）= r尸AO.乂若 “Af *則曲丁 口一 c>0*敞1-/ ?.-rCat：） rf«） r（O0” 現(xiàn)在設(shè)4為任一實(shí)數(shù)M存住冇理數(shù) m 使F-V&V.于覽由 上面所證知；.-、M/OVr<QV>（e * 即 /-<r<a）Cs.這就建說(shuō)"才滿足的住何有理數(shù)干“必有廣 U） V $*囚比必r<C=d 即r&R 的恒等自同構(gòu).§ 4. 5模n剩余類環(huán)'主要內(nèi)容1. 以正整數(shù)用為模的樸個(gè)同

32、余類叭丁，LT關(guān)于同余類 的加1法與乘法*作成一個(gè)有單位元的片階交換環(huán)，記為 乙，穂為樓 M剩余類環(huán)*若w-1,則乙=心人因此，以下假設(shè)n>l.環(huán)乙有以下性質(zhì)：1>若（血川）=則總為乙中町逆元，從而乙，中有卩5）仔可 逆若冊(cè),憶）鼻1、則示是環(huán)的零因于”2）Z"的特征是也又Zp為St數(shù)足域$又當(dāng)沖為合數(shù)吋， 監(jiān)有零因子從而不是域.飛一 3> 盤乙，亡=> n | m,: *. ' . 2. 循環(huán)環(huán)定義、例子和簡(jiǎn)單性質(zhì).'1）整數(shù)環(huán)及其子環(huán)以及剩余類環(huán)及其子環(huán) 都是循環(huán)環(huán).而且在同構(gòu)意義下這也是全部的循 環(huán)環(huán).2）循環(huán)環(huán)是交換環(huán)，但不一定有單位元

33、.而 且這種環(huán)的子加群同子環(huán)、理想三者是一回事.因此，n階循環(huán)環(huán)有且只有T（n）（n的正因數(shù) 個(gè)數(shù)）個(gè)子環(huán)（理想）.二、釋疑解難1. 剩余類環(huán)是一類很重要的有限環(huán)，因?yàn)?這種環(huán)是一種具體的環(huán)，特別是它的特征、子環(huán) （理想）、零因子、可逆元和單位群等都很清楚.因 此，在環(huán)的討論里常常以它作為例子來(lái)加以利 用，并說(shuō)明問題.2. 整數(shù)環(huán)的任二不同的非零子環(huán)， 作為加群， 它們顯然是同構(gòu)的（因?yàn)樗鼈兌际菬o(wú)限循環(huán) 群）但是，作為環(huán)，它們并不同構(gòu)因?yàn)?，?如設(shè)< J）= 1 心 2和* < £> = *-* t /tOf.其中整數(shù)$鼻士仆且疔蕪0”若二"幾且卩為其一同

34、構(gòu)映射令帶）=良“ 護(hù)（片=上，于是由爭(zhēng)心）=尬又得f<rs）rkK從而rkllt rk ln 怡二 ±1.若h = l*則甲心=于是強(qiáng)疋二仏從而sf 矛盾若 k= 1,則 ?Cs> = 于是 = f 從而*=一 才盾.因此，S與T不能同構(gòu).3. 剩余類環(huán)Zn中任二不同的子環(huán)也不能同 構(gòu).事實(shí)上，Zn的任二不同階的子環(huán)當(dāng)然不能同 構(gòu)又設(shè)置為Zn的任意k階子環(huán)，則kn .但由 于（Zn, + ）是n階循環(huán)群，從而對(duì)n的每個(gè)正因 數(shù)k，（Zn，+ ）有且只有一個(gè)k階子群，于是環(huán) Zn有且僅有一個(gè)k階子環(huán)因此，Zn的任二不 同的于環(huán)當(dāng)然不同構(gòu).4 但是，有有限環(huán)存在，其有二不同

35、子環(huán) 是同構(gòu)的例如：令 R是Z2上的2階全陣環(huán), 則R = 16,且易知都是R的4階子環(huán)，而且易知Ri還是一個(gè)域.但 是，R2無(wú)單位元（且不可換，又非零元都是零因 子），因此，Ri與R2不能同構(gòu).此外易知：< H oK-=（： M ：）C ；）Ri, R2, R3, R4也都是環(huán)R的4階子環(huán)，而且都是互不同構(gòu)的.對(duì)此不再詳述，茲留給讀者作 為練習(xí).有文獻(xiàn)已經(jīng)證明，互不同構(gòu)的 4階環(huán)共有11 個(gè)對(duì)此不再贅述.三、習(xí)題4. 5解答1證明：同余類的乘法是 Zn的一個(gè)代數(shù)運(yùn) 算.證 設(shè)7=7了=7 （八均為整數(shù)），則-.n I i $ * n i t.于是真整除從而匚j =斗即同余類的乘法是乙，

36、的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算.2. 試指出環(huán)Z8中的可逆元和零因子，再給 出它的所有子環(huán).解易卿，玉的全部可逆元為；T<3*5,L-麗Z的全部零憫子為亡刁懇'.'又由于乙是循環(huán)環(huán)，武子加群就是子環(huán)（也是理想八故可知 其全部子環(huán)有T（8）丄4個(gè)'它們是，陰, 0,2 J.6）,厶3. 試給出Zio的所有子環(huán)，并指出它們各自 的特征.斛 Z®有T（1O） = 1個(gè)子壞.這4個(gè)子環(huán)是<0K （0,5, <0.2,4.6.8 乙而且它們的杵征依次是仁2心人也4.證 由于乙 中的元素k岸可逆元當(dāng)自僅當(dāng)（如泊=n伯小于 料且與冷互素的正整數(shù)有華（/0個(gè)*于是乙中的全休

37、可逆元對(duì)乘蕓 作成一個(gè)甲3）階交換群由于Q）= L，股習(xí)是這個(gè)群中的元素. 于是由Lagrange定理可知0在這個(gè)群屮的階整除這個(gè)群的坊 平5“從和區(qū)旳=乳郎屮 ml （m（?d注1制0年費(fèi)馬提出，若（ar=l S是素?cái)?shù)）時(shí)|有afi '壬1 （mod ph此稱為費(fèi)馬小定理，被歐拉于1736年證明.后于17«0年被歐拉證明了更一般惜形，即本題結(jié)論，故常稱其為歐拉定理*.'5.證 設(shè)莒（工一純十切文十十.由于Zp與多項(xiàng)式環(huán)z二刃的特征均為A且對(duì)任意aGZp有 S故r=（仙十口口十十丹"4”+疋工*）11=仙+6工（>* = g（ j>,即以石）卩=

38、打（0）6.證 任取環(huán)乙曲亠介需零元"11存在正整數(shù)，使"二 n I a1 - 沖撐垃"從而松：a （i= I,e ）.但白于Z扎宀“九是互異的素?cái)?shù)，故 彼必丸Ju，從而Q W芯九反之*若Si內(nèi)化八即，令jf= rnaxtz息嚴(yán)f爲(wèi)），則（仇為“|應(yīng)但是尸碎p?p> I（P】P上久兒故小；因此、即"4BJ是乙的全體黑零元作成的集合宴際挺由Pi扎化生成的乙的子環(huán)*又由于5；必僅由以卜元素構(gòu)成：中、叭pj 土麗，（珅Tp?T疔'“s嚴(yán)p 故乙有沖-】詩(shī)-】亠必"個(gè)昂零元，7. 證明：整數(shù)環(huán)的不同子環(huán)不同構(gòu)， 證: 見上面“釋疑解難”部

39、分中的 2.8.證設(shè)R蘭忌且R=<G"#=也人則由于在局構(gòu)映 射下生成元與生成元相對(duì)應(yīng)，故R的生成元d的象記為云也是 r的一個(gè)主成元.而且也有a2ka （0O<n）反之，設(shè)口與云分別為R與丘的生成元，且“壬=財(cái)* 護(hù)=菸石（00上 <即）.則易知為非負(fù)整數(shù)）是環(huán)R與氏的一個(gè)同構(gòu)映 射故R二臣§4. 6理 想一、主要內(nèi)容1. 左、右理想、理想的定義和例子.2 單環(huán)的定義以及單環(huán)的一個(gè)重要性質(zhì). 設(shè)環(huán)R有單位元，則R上全陣環(huán)Rnx n的理 想都是R中某個(gè)理想上的全陣環(huán).由此可知：Rnx n是單環(huán)u R是單環(huán). 特別，除環(huán)和域上的全陣環(huán)都是單環(huán).3. 由環(huán)中元素

40、山ai, a?,，am生成的理 想ai, a2,，am >.特別，由一個(gè)元素 a生 成的主理想a>.在一般情況下，主理想a>中元素的表達(dá) 形式在特殊環(huán)（交換環(huán)和有單位元的環(huán)）中a> 的元素表達(dá)形式如下：1）在有單位元的環(huán) R中：3= >陰呵.爼7 &皿內(nèi)正整數(shù) *i'2）在交換環(huán)R中；也=廠口 +啦|廣3）在有單位元的交換環(huán)尺中農(nóng)4 理想的和與積仍為理想.二、釋疑解難1.關(guān)于理想的乘法.我們知道，如果A，B是群G的二子集或（正 規(guī)）子群，則A與B的乘積是如下規(guī)定的：AB = aba A, b B.但當(dāng)A, B是環(huán)R的理想時(shí)，如果仍按以上規(guī)定 相乘，

41、則一般而言其乘積 AB不再是理想由于 這個(gè)原因，環(huán)中理想的乘法規(guī)定為AB = 有限和送 aibilai A, , bi B 易證明，此時(shí)AB(R2. 對(duì)任意環(huán)R,則R至少有平凡理想0 和R.通常把R本身叫做R的單位理想，這是 由于以下原因：對(duì)R的任意理想N，顯然都有RWN，NMN.但當(dāng)R有單位元時(shí)，則顯然又有RN N，NR N 從而有RN = NR = N.這就是說(shuō)，此時(shí)R在理想乘法中的作用類似于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用.3. 設(shè)R為任意環(huán)，a R.貝U易知N = raR是R的一個(gè)左理想.若 R是交換環(huán)，則當(dāng)然 、“.但是應(yīng)注意，由于R不一定有單位元，故 不一定有a N .從而也不能說(shuō)N是由a生

42、成的 理想.例1 設(shè)R為偶數(shù)環(huán)，a=4，則N =廠lfi* 一5* r,R 4低N,和且宴師上N足制敷環(huán)沖由召生成的主理想*即J = Sr + iiTtXI <Sn但足rtr R t Z) = 4n nZ31, 8 t 4 ?0 »4 T乩；.因此工沁兒實(shí)際上足 nnug.住一収環(huán)屮當(dāng)然：如果環(huán)R有單位元時(shí) '則晶黙，*N"口|蟲糾=3.4教材中只介紹了由一個(gè)元恚生成的主理想 <小和由有限個(gè) 元素咗戰(zhàn)的理想3】旳匸皿2其實(shí)這一概念也可因推廣.設(shè)S為環(huán)R的任一韭空子集則R中所有包含S的連想的仝 記為$兒它足R中包含占兩最小理憩，并稱其為尺中由t生戰(zhàn)的 理想

43、.當(dāng)S只包含一個(gè)元素或有限個(gè)元素時(shí)，就是我們上面灰 說(shuō)旳理想.5."階循環(huán)環(huán)的有單位元的理患£子環(huán)人例2 沒為科階循環(huán)環(huán)且”=心則R的丁（2個(gè)子 環(huán)理想）中冇2曲叫55（參考前面§ 1釋疑解難中的例3）個(gè)有單 位兀的于環(huán)，它們正好都是由帚等生成元生成的子殲*it 設(shè)尹是環(huán)尺的一個(gè)辛等元，則由衣生成的子環(huán)亦即予加 群）2中* f壬取一個(gè)尤素廠令工=r,則君苫 e（re） = re" = re =工、故世是子環(huán) <小的單位元.其次，設(shè)e和於都是環(huán)說(shuō)的壽等元，且八則由上面知b *和/是F子環(huán)的單位元，故/=即不同的毎薯元t成不同的有 單位元的FiR最后設(shè)

44、NW&且N有單位元?jiǎng)t（QUM另一方面，任取 hW U測(cè)血=工但“是子環(huán)從而也堀理想，故工老E<Q，因此 NG3八N-G）.得證.三、習(xí)題4. 6解答1. 證略.2. 證 1）略.2）由于a.rj h Z2ft = a< rt r3 >ft , rarj h * dtr£ b = fl < T）r2 » 其中故得aRbn.住般uRb不是環(huán)尺的理iSL3.證 舸s 表示s的全體左零化子作成的集命呈然oesf +又 苦 a卩 uS = DS = O.于 MxrCLMS 及 f K 有5 h）j?= ffrr Zrr =。*= 0*即理一乩til此*

45、勻是取的一b左理爆+ 類似有S的右零化子和S刖右零化理想.3. 證參考上面“釋疑解難”部分3.5.證 1 > z是為單位兀的奩1ft環(huán)，又N.故 又任取占WN*并令* 'b -r CO忑廣Va>.-則r= b N.再由a的最小性知訂=0*從而b = q* Wit*.M NU J兒因此,25、2)任取3 £ <5皿亍.*并令由于dit故由業(yè)從而 a G kdy *儀1 *口£ *、U(d>反之，由于(叭 心，皿J = d,故存在難數(shù)切山廠如使d = i u( 一比蚣 H 如口 就 W(口 | *城丫,丫5、故<dU仙 '處，孤:從

46、而得證.由于<7 ： s $故</2.，從而口 F < MMs心二日- 反之卞由F (a ( »«-十g他)一 r/*枚存在酪Sft切*盹"s鏤tZ J161. (7.u± I 十冷“燈 w <口 |它獷*，吃 M，枚7 S_ < M 9 t -£* i> f ' * * t rrj 匚從而得證”6-證明：域 F上多項(xiàng)武環(huán)FOI的毎牛理想鄒是主理想. 證 說(shuō) 2 O若 N = 2八則 Z = 0 I若 Z H 0八則中存在次數(shù)最小的多項(xiàng)式和任取Z令八工、=(7< -z ? wi C丿)十廠 J)

47、共屮 Ym)=o或以工)的次數(shù)力、于 <r>的以數(shù).因?yàn)閣j ( zW ?V > 卩匸疋1 iA號(hào)嚴(yán)(工)=/Xjt> gtjr'mtz怎 AJ.但 mCr>J& N 屮秋敢最小的君項(xiàng)式，故7-( jr) =0,即ft =/r »斛(才),2匸<”江 r)>,又 55X 匸Z 他 N=5a、.I7,舉例指出I環(huán)R的中心不一定是R的理想、« 例如有JS數(shù)域Q±«(«>1)階全陣環(huán)Q“的中心為FC = 5EeCQ；,它不是Q,的珥想，因?yàn)橐字嬷鵄Q八使 uE A=aA $ C*其中口

48、工0又例如，設(shè)R為數(shù)域F上的2階全陣環(huán)其中心C為F上一 切純量方陣eE JEF*E為2階單位矩陣作成的子環(huán).但C不是 R的理想：因?yàn)槔?. &證明：§ 4中例3中的環(huán)Fn，當(dāng)N為 降秩方陣時(shí)，不是單環(huán).證 設(shè)穴因N為降秩方陣，故0<r<n.而且線性方 程組NX-0 與 YN=Q均有季零解.各取其非零解，設(shè)分別為及（也-”丿丁.現(xiàn)令A(yù)是第一列元素為小皿其余各列 元看全為0的范階方陣，而B是第一行元素為擠，徐小、亠，英余 各行元素全為0的"階方陣顯然AB#O而且NA = E?V=O由此可知對(duì)任蔥CWF料都有C-MXB）-（AXB）C= O （VXCrw&g

49、t;T故易知W = IAXB1XF"<F小又顯熬任何滿秩方陣都不屬于W+故W OF廠再因?yàn)锳BO,而幷B從而WR 郎W是壞 心 的一個(gè)非平汕理想，故F制不是單址.辻 悴顯然是一個(gè)零乘環(huán).§ 4.7商環(huán)與環(huán)同態(tài)基本定理一、主要內(nèi)容1設(shè)y則所有（關(guān)于加法的）陪集x十N(-x R)對(duì)于陪集的加法與乘法(a+ N)十(b+ N) = (a + b) + N ,(a +N)(b+ N) = ab+ N 作成一個(gè)環(huán)，稱為R關(guān)于理想N的商環(huán)，記為R / N.R“ 一 jt + N).反之，若環(huán)R並且枝為N,則即在同構(gòu)意義下，任何環(huán)能而且只能與其商環(huán)同態(tài)此稱為環(huán)同態(tài)基本定理或環(huán)的第一

50、同構(gòu)定理.2.環(huán)的滾二同構(gòu)定理.設(shè)円總囂押塔JAL則1> HQ忑(H+N*乳 環(huán)的第三同構(gòu)定陶. 眈人心巴石心夙小尺底鵬 二、釋疑解難1. 環(huán)同態(tài)基本定理有的書包括： 但有的書不包括這一結(jié)論，而只指出：RR , N 為核=R/NR . 也有書稱此為"環(huán)的第一同態(tài)定理"或"環(huán)的第 一同構(gòu)定理”.甚至也有的書雖有此定理，但卻 未給予任何名稱.不過(guò)多數(shù)的書均明示“環(huán)同態(tài) 基本定理”且指出“ RR , N 為核=R /NR當(dāng)然，這些問題是非本質(zhì)的，只是在看參考書 時(shí)留意其差異即可.2, 環(huán)的第二同構(gòu)定理與祥的聲二同構(gòu)定理很類似”不僅定理 的殺件和第論類似，而且其證明

51、方法血基本相同.區(qū)別罠在于把康 來(lái)樣中的子群H和帀規(guī)子郴N的裾積HN現(xiàn)在 嚴(yán)+代 換為/fd- N <現(xiàn)往”屋子環(huán)*N是理想九由此可if異同樣園出此同枸宦理的示意圖如右圖，T1Q N3環(huán)的第三同構(gòu)定理與群的第三同構(gòu)定理也基本類似，只是其中有一部分轉(zhuǎn)移到本節(jié)習(xí)題中去了.以上環(huán)的三個(gè)同構(gòu)定理，從敘述（條件和結(jié)論）和證明方法應(yīng)多與群的三個(gè)同構(gòu)定理作比較，這樣不僅可以加深理解而且可以增強(qiáng)記憶.三、習(xí)題4. 7解答1.證 必、魏性起然.觀設(shè) Kuu Z= 3八且尸<2=摯th）f a.站氐 R、*風(fēng)lci 6 = 0.于 Ji. tt 打 0 a 4 叩-護(hù) 足-啊射從南肝是同杓映削一*.

52、.2.1± I、因?yàn)閏har尺8 +團(tuán)禺啊1t n if < V zi C jV - e 足 It 的甲位兀.）足體數(shù)幵 Z 到環(huán)N 的單屈態(tài).從而總乩2>旳為char R二宀網(wǎng)理易知tI Hr 屋-Jrt 的子環(huán)J?t = -jO«f»2F*'- 1 kp 到 i O . 1 -* »/> T 的詡構(gòu)映射，故珂三北嚴(yán)3.證 設(shè)卩（訊>9尺則顯黙;z 口巒7任取¥（） F旺丘丙則存在 ne N -ffi <p（n>喬=亦就.從而1-tpS 一，M）=護(hù)3 ） «3（ 77.） 0 f- .&

53、#39; :'i即"一并EKUM 令7壯=陽(yáng).Z -£iJj?+祐 EW”因此評(píng)一/丙）再由NgQ 盲h可知a_ La . "jBll1N二廠.4.貯： ( cb- Itu層環(huán)R到左的個(gè)雙射.又由于響L (ci + ei i + <c + t/ii = *( ac > t 1 占+&i d + f心+廿bb制 a +=¥(+加-4護(hù)(斗"ij«0ft十川門=卩農(nóng)匸一住H) + 2cf+加)iftiebd ud-hha ad be qc t>ii =樣ci +護(hù)11-卜占i) f枚管足同構(gòu)秧射，從而RZ

54、TR.5” 湮K為耶* Z右&, HE I列11 > W/JJ呵的型 ttXBPHc有丿侵快/<八7X 屮 K 顯 斤 賄古 Z 旳 期想*2 i毎口核同公尺f K#Z NT ,R 的理痕 H misfed< H+ WF2誑 1)設(shè)K<R/Xf.且扛=21冷尺人則任取血， 爲(wèi)WK*總尺，有鮎+ N/* + N氏，且(應(yīng)+ N一£ 虹 +N) =£決1 ZiJ+NEX*CH-jV.JCfe, +- N > = rjk + JV t fC i<t=亡玄，即如-krky MwEK.從而 KR.且 nK/N-和因?yàn)镽t且在自然同倉(cāng)下 H的

55、*為心3,卿任脫 血十 NEK/N，7?在 h 丹，使 + + N=+M 即 ft 一 HE M 令 & A小則庚=力 + 烈 H+N, KcH+ N.又任取h +斯円 + H/CW*則石+ ”衽自然同態(tài)之下的象怕內(nèi) 4-w-b /VA 亠ZE KZ故 h + n K, H + N K因此 K = H 十 N，即 H 的象為(H + N) / N .§4.8素理想和極大理想一、主要內(nèi)容 1 .素理想和極大理想的定義和例子.整數(shù)環(huán)Z的素理想為0、Z以及由任意素?cái)?shù)p生成的理想< p>,而且< p> （p為任意素?cái)?shù)） 還是Z的全部極大理想.< x &g

56、t; , < y>, < x, y>以及< x, y,2>者E 是環(huán)Z x, y 的素理想，而且< x, y,2>還是 Z x, y 的一個(gè)極大理想.2 交換環(huán)R中,理想P是素理想二R/P 是整環(huán).在一般環(huán)R中，理想N是極大理想=R/N 是單環(huán).3. 有單位元的可換單環(huán)必為域.1）設(shè)R是有單位元的交換環(huán)， W K7N 是以 <=> JV 是極大理想.2）有單位元的交換環(huán)中極大理想必為素理 想.二、釋疑解難1. 關(guān)于素理想的定義.多數(shù)的書那是在交換環(huán)中定義素理捲I但1&49年麥珂<N. H.推廣為在任意耳中定義需理想.盤叉 設(shè)卩足壞尺不一定町換的一個(gè)理想若對(duì)R的任意理想盤，E有Q AUP 或 卩則稱P為環(huán)R的一個(gè)素理想.1 j,B1 K若P是現(xiàn)在意義下的索理患*則當(dāng)片為交換壞