1、4神奇的自然常數(shù)h 二十世紀(jì)的偉大發(fā)現(xiàn)“雖然h的數(shù)值很小，但是我們應(yīng)承認(rèn)它是關(guān)系到保證宇宙存在的.如果說(shuō)，h嚴(yán)格地等于零，那么宇宙間的物質(zhì)能量將會(huì)在十億分之一秒的時(shí)間內(nèi)全部變成為輻射.” 金斯( Atomicity and Quanta Cambridge, 1926.) 在物理學(xué)中有許多重要的基本常數(shù).這些基本常數(shù)在物理學(xué)中起著至關(guān)重要的作用.如光在自由空間的速度c、電子電量e、萬(wàn)有引力恒量G、普朗克常數(shù)h.其中萬(wàn)有引力常數(shù)G是1687年牛頓在建立萬(wàn)有引力定律時(shí)引入的一個(gè)常數(shù).1797年英國(guó)的卡文迪許(Henry Cavendish , 17311810)用扭秤對(duì)G值進(jìn)行了精確測(cè)量，所得到的

2、G值為G=6.75×10-11N·m2/kg2.目前G的精確值為G=6.673×10-11N·m2/kg2.研究證明，G值是由宇宙本身的結(jié)構(gòu)所決定的.光在自由空間的傳播速度c是麥克斯韋在推導(dǎo)電磁場(chǎng)基本方程組時(shí)所得到的電磁波傳播速度，有下式?jīng)Q定.而真正確立光在自由空間的傳播速度之自然常數(shù)地位的是愛(ài)因斯坦.因?yàn)橐粋€(gè)真正的自然常數(shù)應(yīng)當(dāng)是與參照系無(wú)關(guān)的，而在1905年之前，沒(méi)有誰(shuí)認(rèn)為光在自由空間的傳播速度與參照系無(wú)關(guān).只有在愛(ài)因斯坦建立相對(duì)論之后，人們不僅認(rèn)識(shí)到光在自由空間的傳播速度與參照系無(wú)關(guān)，而且發(fā)現(xiàn)它是決定著自然界諸多基本規(guī)律一個(gè)基本常數(shù).特別是在愛(ài)因斯坦

3、的質(zhì)能方程中出現(xiàn)這一自然常數(shù)，使其成為聯(lián)系質(zhì)量與能量的紐帶，這充分表明這一常數(shù)的重要性.伽里略最早對(duì)光的傳播速度進(jìn)行了測(cè)量.目前物理學(xué)確定的c值為：c =2.99792458×10-8m/s. 在這些基本常數(shù)中，普朗克常數(shù)h是最為神奇而又耐人尋味的.普朗克常數(shù)h的發(fā)現(xiàn)是二十世紀(jì)物理學(xué)最偉大的發(fā)現(xiàn)之一，它是1900年12月14日普朗克發(fā)表在物理學(xué)雜志上的一篇論文中通過(guò)公式E=h首次亮相的.正是這一常數(shù)的發(fā)現(xiàn)，奠定了量子理論的基礎(chǔ)，并從此開(kāi)創(chuàng)了現(xiàn)代物理學(xué)的新紀(jì)元.4.1 h -量子力學(xué)的基石與靈魂縱觀量子理論，普朗克常數(shù)h是其基石與靈魂.只有與它攜手，才能跨入量子物理的大門.只要跨入量子

4、理論的大門，就隨處可以看到它的身影.從經(jīng)典物理到量子物理，這是質(zhì)的飛躍.在發(fā)生這種質(zhì)的飛躍中，普朗克常數(shù)h起到了至關(guān)重要的作用.量子力學(xué)是誕生于二十世紀(jì)的偉大理論，它與相對(duì)論共同構(gòu)成了新物理學(xué)的輝煌.伴隨著量子論的建立，普朗克常數(shù)h登上了現(xiàn)代物理學(xué)的舞臺(tái)，并從此成為量子理論的基石.可以設(shè)想，如果沒(méi)有普朗克常數(shù)h ，量子力學(xué)是無(wú)法建立的.無(wú)論是海森堡、狄拉克創(chuàng)立的矩陣形式的量子力學(xué)，還是德布羅意、薛定諤創(chuàng)立的波動(dòng)形式的量子力學(xué)，普朗克常數(shù)都起到了基石與靈魂的作用.1925年，德國(guó)物理學(xué)家海森堡（W.Heisenberg,1901-1976）根據(jù)“原子理論應(yīng)當(dāng)基于可觀測(cè)量”的思想，指出與物理學(xué)可觀

5、測(cè)量密切相關(guān)的在于兩個(gè)玻爾軌道，而不是一個(gè)軌道.如果每個(gè)可觀測(cè)量與兩個(gè)因素有關(guān)，要將兩兩因素決定的某種性質(zhì)的一組量整體表述出來(lái)，這正是數(shù)學(xué)中的矩陣.將物理學(xué)中的可觀測(cè)量作為矩陣中的元素，將每個(gè)元素與兩個(gè)軌道（確切地說(shuō)是兩種狀態(tài)）相聯(lián)系，從而建立一個(gè)力學(xué)變量與一個(gè)矩陣的關(guān)系，這正是海森堡建立描述微觀粒子行為的矩陣力學(xué)的基本思想.矩陣運(yùn)算不滿足乘法交換律.然而，通常的動(dòng)力學(xué)變量卻不具備這一性質(zhì).要將矩陣力學(xué)與已有的動(dòng)力學(xué)理論相協(xié)調(diào)，必須找到它們之間的變換關(guān)系.奇妙的是此前一百多年哈密頓(W.R.Hamilton,18051865)建立的動(dòng)力學(xué)方程對(duì)此可以發(fā)揮作用.海森堡發(fā)現(xiàn)，只要將哈密頓形式的力學(xué)

6、方程中出現(xiàn)的泊松括號(hào)作如下變換：所得到的動(dòng)力學(xué)方程則服從非交換性.這就是說(shuō)，有了上述變換，一切已有的動(dòng)力學(xué)模型都能得到對(duì)應(yīng)的海森堡矩陣力學(xué)模型.按照哈密頓動(dòng)力學(xué)理論，任何一個(gè)動(dòng)力學(xué)變量u有如下方程：H是哈密頓力學(xué)理論中的總能量.結(jié)合泊松括號(hào)的變換，可以得到：這樣就建立了所有動(dòng)力學(xué)方程與海森堡矩陣力學(xué)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.由此可見(jiàn)，海森堡是通過(guò)泊松括號(hào)的變換將普朗克常數(shù)h引入，從而建立了矩陣形式的量子力學(xué)理論.在這種變換中普朗克常數(shù)h起了至關(guān)重要的作用.作為另一種形式的量子力學(xué)理論是同年奧地利物理學(xué)家薛定諤(E.Schrodinger,18871961)在德布羅意(Princk-victor de Bro

7、glie,1892-1987)物質(zhì)波理論基礎(chǔ)上建立起來(lái)的波動(dòng)力學(xué).德布羅意提出的波函數(shù)概念建立了波與粒子的聯(lián)系.按照德布羅意的思想，與微觀粒子狀態(tài)想聯(lián)系的是波函數(shù)，波函數(shù)（x,y,z,t）模的平方|（x,y,z,t）|2與粒子t時(shí)刻出現(xiàn)在（x,y,z）處的幾率相對(duì)應(yīng).然而，德布羅意的理論僅僅適用于不受任何力作用的自由粒子，尚不是一種普遍的理論.薛定諤接受了德布羅意的思想，研究了電場(chǎng)、磁場(chǎng)對(duì)粒子作用下的普遍情況，從而發(fā)展了這一理論.在薛定諤所建立的波動(dòng)力學(xué)理論中，一個(gè)關(guān)鍵性的環(huán)節(jié)是引入了算符對(duì)波函數(shù)（x,y,z,t）的作用.引入動(dòng)量算符P與能量算符E： ； 從而得到波函數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律，即薛定

8、諤方程：這樣就建立了波動(dòng)形式的量子力學(xué)基本方程.由此可見(jiàn)，薛定諤是通過(guò)算符將普朗克常數(shù)h引入，從而建立波動(dòng)形式量子力學(xué)理論的.在這種變換中，h仍然起了至關(guān)重要的作用.從本質(zhì)上講，海森堡的矩陣力學(xué)與薛定諤的波動(dòng)力學(xué)是等價(jià)的.只是處理問(wèn)題的方式不同.無(wú)論是海森堡通過(guò)泊松括號(hào)的變換，還是薛定諤通過(guò)算符的作用，最終都是巧妙地將普朗克常數(shù)h引入才建立量子力學(xué)理論的.無(wú)論何種形式的量子力學(xué)理論，普朗克常數(shù)h都起到了基石與靈魂的作用.4.2 h-量子概念的基準(zhǔn)普朗克常數(shù)h的量綱是能量×時(shí)間，這正是作用量的量綱.這說(shuō)明h是作用的最小單元，因此h也稱作“作用量子”.無(wú)論是普朗克的能量子，還是愛(ài)因斯坦的

9、光量子，最小能量與頻率之比總要等于自然常數(shù)h.由于量子力學(xué)的誕生，產(chǎn)生了諸多與經(jīng)典物理學(xué)完全不同的量子概念.這些量子概念都與普朗克常數(shù)h密切相關(guān).h 成為區(qū)分經(jīng)典物理與量子物理的基準(zhǔn). 1）h是不確定度的基準(zhǔn)作為量子理論的一條基本原理是海森堡于1927年建立的不確定度原理.不確定度原理指出：“不能以任意高的精確度同時(shí)測(cè)量粒子某些成對(duì)的物理性質(zhì).”應(yīng)用量子力學(xué)的理論可以證明，凡是乘積具有普朗克常數(shù)h量綱的成對(duì)物理性質(zhì)都不能以任意高的精確度同時(shí)確定.而這種精確度正是以普朗克常數(shù)h為基準(zhǔn)的.如粒子動(dòng)量與坐標(biāo)，能量與時(shí)間的不確定度關(guān)系是我們所熟知的：P·rh/2； E·th/2以h

10、為基準(zhǔn)，應(yīng)用不確定度關(guān)系可以對(duì)微觀粒子物理量的不確定程度作出估計(jì)，從而決定是運(yùn)用經(jīng)典力學(xué)處理，還是運(yùn)用量子力學(xué)方法處理.如電子在數(shù)千伏電壓加速下的速度約為107(m/s)，速度的不確定度約為10-1（m/s）.107>>10-1,電子的運(yùn)動(dòng)可視為確定的，可用經(jīng)典力學(xué)方法處理.而電子在原子中的運(yùn)動(dòng)速度約為106(m/s),原子的線度約為10-10(m)，由不確定度關(guān)系可知，速度的不確定量約為106（m/s），這說(shuō)明電子在原子中的運(yùn)動(dòng)并沒(méi)有確定的軌道，不能用經(jīng)典力學(xué)處理，須用量子力學(xué)方法處理.2) h是波粒二象性的基準(zhǔn)波-粒二象性是微觀粒子的基本屬性.微觀粒子的行為是以波動(dòng)性為主要特征

11、，還是以粒子性為主要特征，依然是以普朗克常數(shù)h為基準(zhǔn)來(lái)判定.在粒子物理學(xué)中，微觀粒子的動(dòng)量公式、能量公式是寓意深刻的.動(dòng)量公式為：P=h/能量公式為： E=h動(dòng)量P與能量E是典型的描述粒子行為的物理量，波長(zhǎng)與頻率是典型的描述波動(dòng)行為的物理量.將描述波動(dòng)行為的物理量與描述粒子行為的物理量用同一個(gè)公式相聯(lián)系，這正寓意了波-粒二象性.而聯(lián)系二者的正是普朗克常數(shù)h，這的確是神來(lái)之筆.根據(jù)上述公式可以了解動(dòng)量為P、能量為E的粒子的波長(zhǎng)與頻率，結(jié)合相應(yīng)的物理過(guò)程自然可以判斷是粒子性呈主要特征，還是波動(dòng)性呈主要特征. 3）h是量子化條件的限度量子化條件是量子力學(xué)的基本特征.繼普朗克提出能量量子化條件之后，1

12、913年玻爾（Niels.Bohr,1885-1962）提出的原子理論是富有創(chuàng)造性的.玻爾在描述原子內(nèi)電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，創(chuàng)造性地引入量子化條件曾被狄拉克譽(yù)為人類超越經(jīng)典理論所邁出的“最偉大的一步.”雖然玻爾的理論并非自然的量子力學(xué)理論，但他最先將盧瑟福的原子核式模型與普朗克的量子論相結(jié)合，創(chuàng)造性地提出了原子內(nèi)電子的能級(jí)條件與電子運(yùn)動(dòng)的軌道角動(dòng)量量子化條件.玻爾于1913年7月在哲學(xué)雜志上以“論原子和分子結(jié)構(gòu)”為題，發(fā)表了他的能級(jí)假說(shuō)：“原子只能具有分立的能量值，能量值的改變與發(fā)射或吸收能量子E=h有關(guān).”并提出了原子內(nèi)電子的躍遷條件與軌道角動(dòng)量的量子化條件： （n=1, 2, 3, ）由此可見(jiàn)，在

13、玻爾的原子理論中，量子化條件是十分重要的.而這種量子化條件依然是以普朗克常數(shù)h為基準(zhǔn)的.按照量子力學(xué)的理論，微觀粒子的狀態(tài)須受到量子化條件的制約.1925年，泡利（Wolfgang Paule，1900-1958）應(yīng)用量子態(tài)、量子數(shù)的概念提出了著名的不相容原理：“在一個(gè)原子系統(tǒng)內(nèi)不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的電子具有相同的狀態(tài).”即：原子內(nèi)的電子不能具有完全相同的量子數(shù).這一原理成為微觀粒子狀態(tài)的客觀描述.如在原子中，不僅原子能量是量子化的，諸如電子軌道角動(dòng)量、軌道角動(dòng)量的空間取向、自旋角動(dòng)量等物理量也是量子化的.軌道角動(dòng)量量子化條件：軌道角動(dòng)量的空間取向量子化條件：自旋角動(dòng)量的空間取向量子化條件：

14、不僅描述原子、電子等微觀粒子的行為須用到量子化條件，在超導(dǎo)現(xiàn)象中，磁通量也須用到量子化條件.對(duì)于非超導(dǎo)體，環(huán)形電流在環(huán)內(nèi)的磁通量可以取任意值.然而，對(duì)于超導(dǎo)體，環(huán)形電流在環(huán)內(nèi)的磁通量卻不可以取任意值.因?yàn)槌瑢?dǎo)電流在環(huán)內(nèi)流動(dòng)時(shí)，要求波函數(shù)的相位須是2的整數(shù)倍.由此可見(jiàn)，量子化條件成為量子理論的重要特征.而所有的量子化條件須以普朗克常數(shù)h為基準(zhǔn).4.3 h- 一個(gè)神奇的常數(shù)縱觀物理學(xué)中的基本常數(shù)，普朗克常數(shù)h是最為神奇的.下面，我們就來(lái)談?wù)勊纳衿嬷?在物理學(xué)基本常數(shù)中，有些是通過(guò)實(shí)驗(yàn)直接觀測(cè)發(fā)現(xiàn)的.如光速c、電子電量e、真空磁導(dǎo)率0、真空電容率0等.也有一些是在建立相關(guān)定律、定理時(shí)被引入，或間

15、接導(dǎo)出的.如萬(wàn)有引力恒量G、阿伏加德羅常數(shù)NA、玻爾茲曼常數(shù)K等.無(wú)論是通過(guò)實(shí)驗(yàn)直接發(fā)現(xiàn)的常數(shù)，還是建立相關(guān)定律引入、導(dǎo)出的常數(shù)，通常是容易被理解、接受的.因?yàn)槲覀儗?duì)這類常數(shù)容易形成感性認(rèn)識(shí).而普朗克常數(shù)h則是在事先沒(méi)有任何感性認(rèn)識(shí)，確切地說(shuō)是在沒(méi)有任何思想準(zhǔn)備的情況下，完全憑著人的創(chuàng)造性智慧偶然發(fā)現(xiàn)的.然而，它卻是物理學(xué)中一個(gè)實(shí)實(shí)在在的基本常數(shù).1900年10月，德國(guó)物理學(xué)家普朗克（Max K.Planck,18581947）在尋找用內(nèi)插法得到的黑體輻射公式的理論依據(jù)過(guò)程中，其中最具根本性意義的是引入了能量不連續(xù)的量子思想.“在整個(gè)計(jì)算中最重要的一點(diǎn)是認(rèn)為E是由一些數(shù)目完全確定的、有限而又相

16、等的部分組成的.”他最終明白，只有輻射能量E與輻射頻率之比是一個(gè)自然常數(shù)h的整數(shù)倍時(shí)才能得到正確的輻射公式.普朗克正是憑著堅(jiān)韌的毅力與創(chuàng)造性思維發(fā)現(xiàn)了這一隱藏在茫茫自然中的物理學(xué)基本常數(shù)h.截止目前，h的公認(rèn)值是6.626176×10-34J·S.雖然發(fā)現(xiàn)h后人們對(duì)h值作過(guò)多次修正，但其數(shù)量級(jí)10-34始終確定.如此之小卻不為零的常數(shù)劃開(kāi)了經(jīng)典物理與量子物理的分界線.正如著名物理學(xué)家金斯(J.H.Jeans,18771946)曾經(jīng)評(píng)論說(shuō)：“雖然h的數(shù)值很小，但是我們應(yīng)當(dāng)承認(rèn)它是關(guān)系到保證宇宙存在的.如果說(shuō)h嚴(yán)格地等于零，那么宇宙間的物質(zhì)能量將會(huì)在十億分之一秒的時(shí)間內(nèi)全部變成

17、輻射禁止發(fā)射任何小于h的輻射的量子論，實(shí)際上是禁止了除了具有特別大量的能可供發(fā)射的那些原子以外的任何發(fā)射.”隨著普朗克常數(shù)h作為物理學(xué)基本常數(shù)地位的確立，普朗克本人也認(rèn)識(shí)到了這一基本常數(shù)的重要性.最初，當(dāng)人們?cè)噲D從量綱的角度考慮描述原子大小時(shí)，用電子的電量e、電子的質(zhì)量m、電子的運(yùn)動(dòng)速度V將原子的半徑表示為（A為常數(shù)）如此的組合雖然有長(zhǎng)度的量綱，但這種組合顯然是錯(cuò)誤的.因?yàn)樯鲜街械腶、v可以取任意值，這與觀測(cè)結(jié)果不符.普朗克在發(fā)現(xiàn)普朗克常數(shù)h后，立即意識(shí)到可以引入普朗克常數(shù)h來(lái)表示原子的大小.依然從量綱分析，他所給出的公式為我們注意到，普朗克在將普朗克常數(shù)h引入的同時(shí)，也將與相對(duì)論有關(guān)的光速c

18、引入到公式中，而普朗克常數(shù)h、光速c、電子電量e的組合恰恰是原子精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的倒數(shù)137.03（高斯制單位）.如此計(jì)算得到的原子大小為0.5×10-10m，這與實(shí)際相吻合.1912年普朗克用微觀領(lǐng)域的基本常數(shù)-普朗克常數(shù)h、宏觀領(lǐng)域的基本常數(shù)-萬(wàn)有引力常數(shù)G、宇宙常數(shù)-光速c這三個(gè)最重要、最特殊的常數(shù)組合，得到了自然界中空間、時(shí)間、質(zhì)量的基本值：Lp=(Gh/c3)1/2=4.05×10-35(m)tp=(Gh/c5)1/2=1.35×10-43(s)Mp=(hc/G)1/2=5.46×10-8(kg)這些基本值分別稱之為普朗克空間、普朗克時(shí)間、普朗克質(zhì)

19、量.令人驚嘆的是這些基本值不僅在現(xiàn)代物理學(xué)微觀領(lǐng)域的研究中發(fā)揮了重要作用，而且在宇觀領(lǐng)域研究中也發(fā)揮了重要作用.普朗克空間、普朗克時(shí)間意味著空間、時(shí)間并非無(wú)限可分，依然存在著最小單元.長(zhǎng)度的最小單元是10-35(m)、時(shí)間的最小單元是10-43(s)，這是空間、時(shí)間的量子化.欲觀測(cè)比10-35(m)更小的空間、或觀測(cè)比10-43(s)更短的時(shí)間是不可能的，無(wú)意義的.10-35(m)、10-43(s)正是空間、時(shí)間的量子極限.小于普朗克空間，萬(wàn)有引力的作用將失效.小于普朗克時(shí)間所有的物理學(xué)定律也都失效.在宇宙學(xué)問(wèn)題的研究中發(fā)現(xiàn)，發(fā)生在約二百億年前的大爆炸至今彌漫在宇宙中的余輝-微波背景輻射，其頻率分布與普朗克公