1、第5章 截面的幾何性質(zhì) 5-1 截面的靜矩和形心位置設(shè)任意形狀截面如圖所示。設(shè)任意形狀截面如圖所示。AySAxSAxAydd1. 靜矩（或一次矩）靜矩（或一次矩）( (常用單位：常用單位： m m3 3 或或mmmm3 3 。值：可為正、負(fù)或。值：可為正、負(fù)或 0 0 。）。）2.形心坐標(biāo)公式（可由均質(zhì)等厚薄板的重心坐標(biāo)而得）形心坐標(biāo)公式（可由均質(zhì)等厚薄板的重心坐標(biāo)而得）AAyyAAxxAAd dOxdAyyxCxyAAyyAAxxAAd d3. 靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系yASxASxy 結(jié)論：截面對(duì)形心軸的靜矩恒為結(jié)論：截面對(duì)形心軸的靜矩恒為0，反之，亦然。，反之，亦然。4.

2、 組合截面的靜矩組合截面的靜矩 由靜矩的定義知：整個(gè)截面對(duì)某軸的靜矩應(yīng)由靜矩的定義知：整個(gè)截面對(duì)某軸的靜矩應(yīng)等于它的各組成部分對(duì)同一軸的靜矩的代數(shù)和等于它的各組成部分對(duì)同一軸的靜矩的代數(shù)和: :niiixniiiyyASxAS11 形心坐標(biāo)）個(gè)簡單圖形的面積及其分別為第和iyxAiii,(5. 組合截面的形心坐標(biāo)公式組合截面的形心坐標(biāo)公式y(tǒng)ASxASxy niiixniiiyyASxAS11 將將代入代入解得組合截面的形心坐標(biāo)公式為：解得組合截面的形心坐標(biāo)公式為：niiniiiniiniiiAyAyAxAx1111 （注：被（注：被“減去減去”部分圖形的面積應(yīng)代入負(fù)值）部分圖形的面積應(yīng)代入負(fù)值

3、）例例 試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的x軸軸的靜矩。的靜矩。 解：解： 取平行于取平行于x軸的狹長條，軸的狹長條，)()(yhhbyb易求yyhhbAd)(d 因此所以對(duì)所以對(duì)x軸的靜矩為軸的靜矩為6d)(d20bhyyyhhbAyShAxOxyb ( y )yd yhb例例 試計(jì)算圖示截面形心試計(jì)算圖示截面形心C的位置。的位置。解：將截面分為解：將截面分為1、2兩個(gè)矩形。兩個(gè)矩形。建立坐標(biāo)系如圖示。建立坐標(biāo)系如圖示。各矩形的面積和形心坐標(biāo)如下：各矩形的面積和形心坐標(biāo)如下：mm602120mm5210mm120012010 1121yxAmm521

4、0mm4527010mm7007010 2222yxAOxyy112010 xx8010yC ( y ,x )矩形矩形I矩形矩形II代入組合截面的形心坐標(biāo)公式代入組合截面的形心坐標(biāo)公式21212121 iiiiiiiiiiAyAyAxAx解得：解得：mm40mm20yx 52 極慣性矩 慣性矩 慣性積 設(shè)任意形狀截面如圖所示。設(shè)任意形狀截面如圖所示。1.1.極慣性矩（或截面極慣性矩（或截面二次極矩）二次極矩）AIAd2p2.慣性矩（或截面二次慣性矩（或截面二次軸矩）軸矩）AyIAxIAxAydd22（為正值，單位（為正值，單位m4 或或 mm4)222xy 由于所以所以IIAxyAIyxAAd

5、)(d222p（即截面對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩，等于截面對(duì)以該點(diǎn)為原（即截面對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩，等于截面對(duì)以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。）點(diǎn)的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。） OxyyxdA3. 慣性積慣性積AxyIAxyd（其值可為正、負(fù)或（其值可為正、負(fù)或0，單位單位:m4 或或 mm4)截面對(duì)于包含對(duì)稱軸在內(nèi)的一對(duì)正交軸的慣性積為截面對(duì)于包含對(duì)稱軸在內(nèi)的一對(duì)正交軸的慣性積為0 0。結(jié)論：結(jié)論：4. 4. 慣性半徑慣性半徑AIiAIixxyy（單位（單位m 或或 mm）OxyyxdA例例 試計(jì)算圖試計(jì)算圖a所示矩形截面對(duì)于其對(duì)稱軸（即形心軸）所示矩形截面對(duì)于其對(duì)稱軸（即形心軸）x和和y

6、的慣性矩。的慣性矩。 解：解：取平行于取平行于x軸的狹長條，軸的狹長條，則則 dA=b dy12dd32222bhybyAyIhhAx同理同理123hbIyyhCx dyyb(a) 若截面是高度為若截面是高度為h的平行的平行四邊形（圖四邊形（圖b），則其對(duì)形心），則其對(duì)形心軸軸x 的的慣性矩慣性矩同樣為同樣為123bhIxhxyb(b)C例例 試計(jì)算圖示圓截面對(duì)于其形心軸（即直徑軸）的試計(jì)算圖示圓截面對(duì)于其形心軸（即直徑軸）的慣性矩。慣性矩。 xdyyx解：解：由于圓截面有極對(duì)稱性，由于圓截面有極對(duì)稱性，IIyz所以所以IIIyxp由于所以所以6424pdIIIyz5-3 慣性矩和慣性積的平移

7、軸公式1.1.慣性矩和慣性積的平行移軸公式慣性矩和慣性積的平行移軸公式 設(shè)有面積為設(shè)有面積為A的任意形狀的截面。的任意形狀的截面。C為其形心，為其形心，Cxcyc為形心坐標(biāo)為形心坐標(biāo)系。與該形心坐標(biāo)軸分別平行系。與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)系為的任意坐標(biāo)系為Oxy ,形心形心C在在在在Oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(a , b) 任意微面元任意微面元dA在兩坐標(biāo)系在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為：下的坐標(biāo)關(guān)系為：ayybxxCCaycyxcxCObdAxcycyxAaIAayAaIAaAyaAyAayAyIccxcxAAcAcAcAx2222222dd2ddd同理，有：同理，有：AaIIc

8、xx2AbIIcyy2abAIIccyxxy（此為此為平行移軸公式平行移軸公式 ）注意：注意：式中的式中的a、b代表坐標(biāo)值，有時(shí)可能取負(fù)值。代表坐標(biāo)值，有時(shí)可能取負(fù)值。等號(hào)右邊各首項(xiàng)為相對(duì)于形心軸的量。等號(hào)右邊各首項(xiàng)為相對(duì)于形心軸的量。思考思考：O為直角三角形為直角三角形ABD斜邊上的中點(diǎn)，斜邊上的中點(diǎn)，x、y軸為軸為過點(diǎn)過點(diǎn)且分別平行于兩條直角邊的兩根軸，關(guān)于慣性且分別平行于兩條直角邊的兩根軸，關(guān)于慣性積和慣性矩有四種答案積和慣性矩有四種答案(已知已知ba)： （A）Ixy （B） Ixy (C) Ixy= （D） Ix=Iy正確答案是正確答案是(C)xABDyOab5-4 慣性矩和慣性積的

9、轉(zhuǎn)軸公式組合截面的慣性矩和慣性積截面的主慣性軸和主慣性矩1.1.慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式 任意面元任意面元dA 在舊坐標(biāo)系在舊坐標(biāo)系oxy和新坐標(biāo)系和新坐標(biāo)系ox1y1的關(guān)系為：的關(guān)系為：sincossincos11xyyyxx代入代入慣性矩慣性矩的定義式：的定義式：AyIAxd211xyOxyxy11ABCDEdAxy11cossin2sincos dcossin2 dsindcos2222221xyyxAAAxIIIAxyAxAyI 利用二倍角函數(shù)代入上式，得利用二倍角函數(shù)代入上式，得轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 ：2cos2sin22sin2cos222sin2cos2211

10、11xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII注：注：上式中的上式中的 的符號(hào)為：從舊軸的符號(hào)為：從舊軸x至新軸至新軸x1逆時(shí)逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。針為正，順時(shí)針為負(fù)。yxyxIIII11（上式表明，截面對(duì)于通過同一點(diǎn)的任意一對(duì)（上式表明，截面對(duì)于通過同一點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對(duì)該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩并等于截面對(duì)該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩 ）將前兩式相加得將前兩式相加得思考：等腰直角三角形如圖所示，思考：等腰直角三角形如圖所示，x、y軸是過斜邊中點(diǎn)軸是過斜邊中點(diǎn)的任意一對(duì)坐標(biāo)軸（即圖中的任意

11、一對(duì)坐標(biāo)軸（即圖中 為任意值），該圖形的為任意值），該圖形的: :(1)(1)慣性積慣性積Ixy (2)(2)慣性矩慣性矩I Ix 、 I Iy。yxaa答案：答案：0；a4/24; a4/24 2.2.組合截面的慣性矩和慣性積組合截面的慣性矩和慣性積 根據(jù)根據(jù)慣性矩和慣性積慣性矩和慣性積的定義易得的定義易得組合截面對(duì)于某組合截面對(duì)于某軸的軸的慣性矩（或慣性積）慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對(duì)于同一等于其各組成部分對(duì)于同一軸的軸的慣性矩（或慣性積）慣性矩（或慣性積）之和之和：nixxiII1niyyiII1nixyxyiII1 由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可知，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可知

12、，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，慣性積將隨著慣性積將隨著 角作周期性變化，且有正有負(fù)。因此，角作周期性變化，且有正有負(fù)。因此，必有一特定的角度必有一特定的角度 0，使截面對(duì)于新坐標(biāo)軸，使截面對(duì)于新坐標(biāo)軸x0、y0的的慣性積等于零。慣性積等于零。3.3.截面的主慣性軸和主慣性矩截面的主慣性軸和主慣性矩(1) 主慣性軸主慣性軸: :截面對(duì)其慣性積等于截面對(duì)其慣性積等于0的一對(duì)坐標(biāo)軸。的一對(duì)坐標(biāo)軸。(2) 主慣性矩主慣性矩: :截面對(duì)于主慣性軸的慣性矩。截面對(duì)于主慣性軸的慣性矩。(3) 形心主慣性軸：當(dāng)一對(duì)主慣性軸的交點(diǎn)與截面的形心主慣性軸：當(dāng)一對(duì)主慣性軸的交點(diǎn)與截面的形心重合時(shí)。形心重合時(shí)。(4) 形心主慣性矩

13、形心主慣性矩: :截面對(duì)于形心主慣性軸的慣性矩。截面對(duì)于形心主慣性軸的慣性矩。(5)確定確定主慣性軸主慣性軸的位置的位置 設(shè)設(shè) 0 0是舊軸是舊軸x 逆時(shí)針轉(zhuǎn)向逆時(shí)針轉(zhuǎn)向主慣性主慣性軸軸x0的角度，則的角度，則由由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義，得慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義，得02cos2sin200 xyyxIII可改寫為可改寫為yxxyIII22tan0（注：將負(fù)號(hào)置于分子上有利于確定（注：將負(fù)號(hào)置于分子上有利于確定2 0 0角的象限）角的象限）(5) 由上面由上面tan2 0的表達(dá)式求出的表達(dá)式求出cos2 0、sin2 0后，后，再代入再代入慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式 ，

14、化簡后可得，化簡后可得主慣性矩的主慣性矩的計(jì)算公式：計(jì)算公式：IIIIIIxyyxyxx2242120IIIIIIxyyxyxy2242120極大值Imax極小值Imin(6) 幾個(gè)結(jié)論幾個(gè)結(jié)論若截面有一根對(duì)稱軸，則此軸即為形心若截面有一根對(duì)稱軸，則此軸即為形心主主慣性軸之一，另一慣性軸之一，另一形心形心主慣性軸為通過形心主慣性軸為通過形心并與對(duì)稱軸垂直的軸。并與對(duì)稱軸垂直的軸。若若截面有二根對(duì)稱軸，則此二軸即為形截面有二根對(duì)稱軸，則此二軸即為形心心主慣性軸。主慣性軸。若若截面有三根對(duì)稱軸，則通過形心的任一截面有三根對(duì)稱軸，則通過形心的任一軸均為形心軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。主慣性軸

15、，且主慣性矩相等。畫出下列圖形形心主慣性軸的大致方位CCCCCCC例例 求圖示直徑為求圖示直徑為d的半圓對(duì)其自身形心軸的半圓對(duì)其自身形心軸xc的形心主的形心主慣慣性矩。性矩。解：解：（1）求形心坐標(biāo)）求形心坐標(biāo)222)(yRyb12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAx3281223dddASyxcxyb(y)ycCdxc（2）求對(duì)形心軸）求對(duì)形心軸xc的的慣性矩慣性矩12826444ddIx181288)(4422dddyIIcxxc由由平行移軸公式得：平行移軸公式得： xyb(y)ycCdxc例例 試求圖試求圖a 所示截面對(duì)于對(duì)稱軸所示截面對(duì)于對(duì)稱軸x的形心主的形心主慣

16、性矩。慣性矩。解：將截面看作一個(gè)矩形和解：將截面看作一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成。兩個(gè)半圓組成。（1）矩形對(duì)）矩形對(duì)x的的慣性矩：慣性矩：44331mm1053331220080122adIx（2）一個(gè)半圓對(duì)其自身形）一個(gè)半圓對(duì)其自身形心軸心軸xc的的慣性矩（見上例）慣性矩（見上例）181288)(4422dddyIIcxxcxyC(a)d=8040100a=10040 a+2d3p（3）一個(gè)半圓對(duì)）一個(gè)半圓對(duì)x的的慣性矩：慣性矩：由由平行移軸公式得：平行移軸公式得：44222222mm103467322324832adaddddaIIcxx（4）整個(gè)截面對(duì)于對(duì)稱軸）整個(gè)截面對(duì)于對(duì)稱軸x的的慣性矩：

17、慣性矩：444421mm101227010346721053332xxxIII例例 試計(jì)算組合截面的形心主慣性矩試計(jì)算組合截面的形心主慣性矩Ixc. 解：（1）求截面形心位置： mmy67.4620100201400201008020140_（2）求個(gè)簡單截面對(duì)形心軸的慣性矩： 46232462311043. 41002067.46201001211068. 714020)67.4680(14020121mmImmIxcxc（3）求整個(gè)截面的慣性矩： 4666211011.121043. 41068. 7mmIIIxcxcxc例例 在矩形內(nèi)挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求圖形的形心主軸。(b=1.5d

18、)解： 建立坐標(biāo)系如圖。求形心位置。 建立形心坐標(biāo)系；求：IyC ， IxC ， I xCy dddddAAyyAAAxxiiii177.0434200222ppdb2dxyOxCyCx1db2dxyOxCyCx1)5 . 0(212ydAIyAIIIIxxxCxCxC圓圓矩矩圓矩4224223685. 0)177. 05 . 0(464)177. 0(312)2(5 . 1dddddddddpp443513. 064122)5 . 1 (ddddIIIxCxCyCp圓矩便是形心主慣性矩軸便是形心主軸yCxCCxCyCIIyxI、 C 0例： 求圖示截面的形心主慣性矩。250125125500120580解：截面顯然為一對(duì)稱截面，對(duì)稱軸即為形心主慣性軸(y軸)，找到形心，則過形心與y軸垂直的軸即為另一根形心主軸。(1) 求形心位置將截面分為、兩部分，x1軸與下底邊重合，根據(jù)形心與靜矩的關(guān)系：25012512550