1、.1高等量子力學狄拉克方程狄拉克方程蘇小強.2內容提要內容提要1.背景知識回顧：波函數、薛定諤方程2.克萊因-戈爾登方程3.狄拉克方程（非相對論的）（非相對論的）相對論的相對論的.3一、波函數和薛定諤方程1. 1. 物質波物質波德布羅意，德布羅意，19291929年的年的諾貝爾物理學獎諾貝爾物理學獎.4電子源電子源感感光光屏屏19261926年，德國物理學家玻恩提出了年，德國物理學家玻恩提出了幾率波幾率波的概的概念念: : 在數學上，用一函數表示描寫粒子的波，這個在數學上，用一函數表示描寫粒子的波，這個函數叫函數叫波函數波函數。波函數在空間中某一點的強度（。波函數在空間中某一點的強度（波波函數

2、模函數模的平方）和在該點找到粒子的幾率成正比。的平方）和在該點找到粒子的幾率成正比。這樣描寫粒子的波叫這樣描寫粒子的波叫幾率波幾率波。2. 玻恩統計解釋玻恩統計解釋玻恩，玻恩，19541954年獲年獲諾貝爾物理學獎諾貝爾物理學獎.5粒子在t時刻r點出現的幾率注意注意(1) 概率振幅(2) 歸一化條件 干涉項干涉項(3) 態疊加、干涉 .6薛定諤方程薛定諤、奧地利物理學家，薛定諤、奧地利物理學家，1926年建立了以薛定諤方程為基礎的年建立了以薛定諤方程為基礎的波動力學，波動力學，19331933年獲諾貝爾物理年獲諾貝爾物理學獎學獎。質點運動、電磁波(光學)牛頓方程、麥克斯韋方程牛頓方程、麥克斯韋

3、方程物質波函數滿足的規律薛定諤方程薛定諤方程.7薛定諤方程的引入薛定諤方程的引入1. 1. 單色平面波（德布羅意波）單色平面波（德布羅意波）(取實部)2. 2. 薛定諤方程薛定諤方程( (一維一維) )尋求波函數隨時間空間變化的規律尋求波函數隨時間空間變化的規律從自由粒子平面單色波出發從自由粒子平面單色波出發.8隨空間的變化：隨空間的變化：隨時間的變化：隨時間的變化：(2)(1)(3)薛定諤方程薛定諤方程(2), (3).93.3.薛定諤方程薛定諤方程( (三維三維) )拉普拉斯算符拉普拉斯算符4.4.算符算符.10二、克萊因-戈爾登方程克萊因克萊因- -戈爾登方程戈爾登方程（Klein-Go

4、rdon equation）是相對論量子力學和量子場論中的最基本方程，它是薛定諤方程的相對論形式，可用來描述自旋為零的粒子。克萊因克萊因- -戈爾登方程戈爾登方程是由瑞典理論物理學家奧斯卡奧斯卡克萊因克萊因和德國人沃爾特戈爾登于二是世紀二三十年代分別獨立推導得出的。1. 1. 簡介簡介.11 KG方程自由粒子薛定諤方程2. 2. 克萊因克萊因- -戈爾登方程的獲得戈爾登方程的獲得 （1）.123. 3. 自由粒子解自由粒子解2422222cmct)(trkiAe24222)(cmkkc.13)(trkiAe)(EtPriAePk E24222)(cmkkc42222cmpcE4222cmpcE

5、德布羅意波“+” 相對論相對論“-” 量子力學、負能量量子力學、負能量（2）.14保羅保羅狄拉克狄拉克：英國理論物理學家，量子力學奠基者之一。雖然已經有了克萊因克萊因- -戈爾登方程戈爾登方程，但狄拉克認為問題并未被解決。這個方程可能給出負值的概負值的概率率，量子力學對概率的詮釋無法解釋。1928年狄拉克狄拉克提出了描述電子的相對論性方程：狄拉克方程狄拉克方程。并獨立于泡利的工作發現了描述自自旋的旋的2x22x2矩陣矩陣。然而狄拉克方程與克萊因-戈登方程有相同的問題，存在無法解釋的負能量解。這促使狄拉克預測電子的反粒子（正電子）反粒子（正電子）的存在。正電子于1932年由安德森安德森在宇宙射線

6、中觀察到而證實。狄拉克方程同時能夠解釋自旋是作為一種相對論性的現象。1933年、狄拉克和薛定諤共同獲得了諾貝爾物理學獎諾貝爾物理學獎。.15 薛定諤方程因為不是相對論性的，它必然要向相對論擴展。克萊因-戈登方程就是第一個相對論性的波動方程，然而卻不能計算氫原子，且一直為負能態和負概率所困擾，所以長期不被物理學家所接受。狄拉克方程正是在這種困境中應運而生的。它融合了狹義相對論、海森伯矩陣力學、薛定諤波動力學三方理論，能夠計算氫原子光譜的精細結構，并且自動產生電子的自旋量子數。更巧妙的是，狄拉克認為負能態對應著一種電子的反粒子，由此預言了正電子的存在，并避免了負概率的困難。下面詳細介紹狄拉克方程的

7、建立過程。三、三、狄拉克方程狄拉克方程.16第一步：建立相對論方程的條件與建立薛定諤方程類似，我們也是先建立自由粒子的狄拉克方程，然后建立力場中的狄拉克方程。這里先列出建立狄拉克方程的兩個假設條件：第一、方程具有量子力學標準波動方程 形式，僅哈密頓算符 不一樣。第二、方程必須滿足相對論的一次能量動量關系，所以應該是(2)式，而不是(1)式。這兩個條件歸結為要確定一個合適的、滿足相對論能量動量關系的哈密頓算符 ，這是建立狄拉克方程的關鍵。因為波動方程左邊是能量算符，所以右邊的哈密頓算符 中就應該包含動量算符 。PHHHP.17 因為量子力學標準波動方程要求的是能量的一次項，但 是(2)式包含有根

8、號，如果直接作算符代換，動量算符將出現在根號內： 對自由粒子，有 對力場中的粒子，有（注意，因為有勢能項V，光速c不能放到等號左邊） 與薛定諤方程相比，(3.2)式和(3.3)式的潛在問題是動量算符在根號內，這不是量子力學標準波動方程形式。（3.1）（3.2）（3.3）.18為了去掉根號，狄拉克采用了一種很巧妙的思路，實際上就是一種待定系數法。對自由粒子，可以把相對論能量動量關系寫成如下形式：狄拉克假定自由粒子的能量E與動量分量 質量 之間存在最簡單的一次線性關系。這樣，對應于(3.4)式，可以拼湊出一個去掉根號的待定系數方程)(,zyxppp第二步：待定系數能量動量關系（3.4）（3.5）0

9、m.19其中 是待定系數。不過它們不是一般的系數，因為一般的系數很難滿足(3.4)式。狄拉克后來從泡利矩陣得到啟發：它們如果是44的矩陣，那么就有可能滿足(3.4)式。比較(3.4)式和(3.5)式，可以得到如下對應關系(3.6)式兩邊平方，（右邊寫成乘式，是考慮到矩陣的不可對易性）展開(3.7)式右邊乘式，（注意：展開時，動量各分量之間可以對易，但矩陣 之間不可對易。也就是 ，但是 。矩陣乘法一般不滿足交換律）),(321aaaa,321aaa（3.6）（3.7）xyyxpppp1221aaaa.20要保證(3.8)式成立，可以讓系數 滿足如下關系（3.9）（3.8）,321aaa.21從(

10、3.9)式可以看出，這四個系數 的位置關系是完全對稱的，類似這樣的四個系數關系稱為彼此“反對易”，它們每一個的平方都是1。可以這么理解對易和反對易： 稱為彼此可對易， 稱為彼此反對易。狄拉克在量子力學中取得的第一個進展，是借用了泊松括號 來表示兩個量的對易關系， 表示兩個量可對易。,321aaa1221aaaa1221aaaaBAABBA,0,BA.22如果把(3.9)式看成一個方程組，然后在整個實數和復數范圍內求解，它是沒有實數或復數解的，因為平方為1與相加為0的方程彼此是矛盾的。因此，要得到滿足(3.9)式的解，只能尋找實數和復數以外的數學工具，狄拉克找到的是泡利矩陣。這提醒我們，任何沒有

11、實數或復數解的方程，很可能都是我們沒有找到合適的數學工具。這種思路將是創造新數學工具的重要源泉，也正是因為這個原因，狄拉克通常也被看作是一個重要的數學家。.23為了簡潔和統一描述(3.9)式，狄拉克采用了克朗內克函數（Kronecker），其定義為：克朗內克函數常用來描述矩陣。通俗地理解就是：如果i和j表示矩陣的行列序號，那么克朗內克函數描述的就是一個對角元素全部為1、其余元素全部為0的單位矩陣。如果令 ，則全部(3.9)式都可以用下式統一描述：第三步：克朗內克函數（3.10）（3.11）4a.24(3.11)式表明，當 時，有 ；當 時，有 。也就是說，(3.11)式與(3.9)式完全等價，

12、待求的這四個系數 必須滿足(3.11)式或(3.9)式。必須說明的一點是，因為(3.11)式與(3.9)式等價，因此這里采用克朗內克 函數得到(3.11)式，主要是形式上的意義。其實，(3.11)式比(3.9)式更加抽象和難以理解，去掉(3.11)式和克朗內克函數絲毫不影響我們對狄拉克方程的學習。但是，狄拉克是從克朗內克函數得到重要的啟發后，才提出狄拉克函數的。而且，克朗內克函數本身就很適合描述矩陣，這對于狄拉克最后想到用矩陣表示(3.9)式，很可能也有啟發作用。由此可以想見，狄拉克為何要在這里“多此一舉”引入克朗內克函數。ji122jiaa0ijjiaaaaji4321、aaaa.25 為了

13、最終確定這四個系數，狄拉克從泡利矩陣入手進行分析。最初，電子的自旋是作為假設提出來的，泡利就是為了描述電子的自旋角動量而創建的三個2階矩陣 。有時為了表示方便，還可以加入兩個輔助矩陣：單位矩陣I和0矩陣O，泡利矩陣滿足如下關系（可以直接驗證），或者說有如下一些性質：第四步：泡利矩陣（3.12）（3.13）（3.14）321、.26這與(3.9)式非常相似，說明用類似泡利矩陣這樣的數學工具來構造狄拉克方程是非常合理和自然的。這就是狄拉克會想到系數可能是矩陣的原因，也是狄拉克在數學和物理上的巨大突破。.27狄拉克認為，如果把這四個系數看成矩陣，那么它們應該具有與泡利矩陣類似的性質。但是，基于兩個理

14、由，它們應該是44的矩陣，而不是22的矩陣：第一、 22的矩陣無法描述超過三個以上的反對易量，而現在有四個反對易量。第二、原來假設的電子自旋只要求波函數有兩個分量，但是現在因為出現了負能量的狀態，波動方程解的數目必定是以前的兩倍，即波函數必須要有四個分量。第五步：狄拉克矩陣 .28為了得到一組矩陣系數，狄拉克介紹了一種方法。他先把22的泡利矩陣擴展為如下44的矩陣，用 表示。然后，狄拉克參照這三個44的泡利矩陣，又拼湊出了三個類似的44矩陣 ，（ 不是從 變過來的，是狄拉克憑經驗拼湊出來的，兩者沒有關系），321、321、（3.15）（3.16）321、321、321、321、.29最后，所求

15、的四個矩陣系數 就由 和 組合出來，組合的公式和結果為321、321、（3.17）321、4321、aaaa.30這就是狄拉克構造出來的滿足(3.9)式或(3.11)式的一組矩陣系數，所有滿足這種關系的四個矩陣都稱為狄拉克矩陣。不過，(3.17)式并不是唯一的狄拉克矩陣，它們一般被稱為“泡利組”，因為它們是2泡利矩陣的最簡擴展形式。費米也介紹過另外一種從泡利矩陣擴展出不同狄拉克矩陣的方法，費米稱之為“標準組”，現在也稱為矩陣，它在量子場論中有著廣泛的應用。.31得到狄拉克矩陣后，實際上(3.5)式的待定系數 和 就求出來了，這樣，去掉根號的自由粒子相對論能量動量關系也就得到了，其一般形式就是

16、利用能量和動量算符 進行代換，并作用于波函數，就得到了自由粒子的狄拉克方程),(321aaaa第六步：自由粒子狄拉克方程 4a.322321mccPcPcPHzyxHti42222cmpcE)(2mcPcti422222223212)( )(cmPPPcmccPcPcPHzyxzyx狄拉克方程.33)(2mcPcti2mcti1 00 1如果動量為零（假設）：1. 狄拉克方程的解狄拉克方程的解(負能量負能量)：.342mcti1 00 11 00 12mcti.351 00 12mctiBABABAmcmctiti22根據上述方程：波函數也必須為矩陣形式.36BA1WdBBAABABAW* ),(tzyxW：在某時刻、地點找到粒子的概率波函數的物理意義：AA*：在某時刻、地點找到粒子處于狀態A的概率BB*：在某時刻、地點找到粒子處于狀態B的概率AB.37BABAmcmctiti22AAmcti2BBmcti2.38)(2mcPcti)(2mcPctizz1 00 10 02mczcitizz0 0iii2. 狄拉克方程狄拉克方程 (自旋自旋)：.391 00 10 02mczcitizzBABAzzBAm