1、第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院第八章第八章 根軌跡法根軌跡法 8.4 8.4 根軌跡法設計與校正控制系統根軌跡法設計與校正控制系統 8.1 8.1 根軌跡法基本概念根軌跡法基本概念 8.2 8.2

2、繪制根軌跡圖的基本規則繪制根軌跡圖的基本規則 8.3 8.3 控制系統的根軌跡分析控制系統的根軌跡分析 第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院8.18.1根軌跡法基本概念根軌跡法基本概念 根軌跡法基本概念 例1 閉環零、極點與開環零、極點之間的關系幅角條件和幅值條件例2 第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineer

3、ing上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院根軌跡法基本概念根軌跡法基本概念 !系統特征根的圖解方法根軌跡：當系統某一參數在規定范圍內變化時，相應的系統閉環特征方程根在s平面上的位置也隨之變化移動，一個根形成一條軌跡。廣義根軌跡:系統的任意一變化參數形成根軌跡。狹義根軌跡（通常情況）： 變化參數為開環增益K，且其變化取值范圍為0到。?希望按性能要求置于合適的位置。閉環極點（即閉環特征方程根）閉環控制系統穩定性、瞬態響應特性?系統的某些參數（如開環增益）變化時，反復求解， 不方便。第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mec

4、hanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院) 1()()(ssKsHsGKssK) s (R) s (C) s (20Kss) s (D2Ks4121212, 14/1K2/121 ss01s1s2K0時4/10 K兩個負實根K值增加相對靠近移動離開負實軸，分別s=-1/2 直線向上和向下移動。 K4/1一對共軛復根第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械

5、與動力工程學院? 根軌跡圖系統的相關動靜態性能信息4/10 K4/1K4/1K過阻尼系統，階躍響應為非周期過程；臨界阻尼系統，階躍響應為非周期過程；欠阻尼系統，階躍響應為阻尼振蕩過程。1）當K值確定之后，根據閉環極點的位 置，該系統的階躍響應指標便可求出。2）閉環極點不可能出現在S平面右半 部，系統始終穩定。!系統開環增益確定閉環極點在S平面上的位置也確定。 第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院閉環零、極點與開環零、

6、極點間的關系閉環零、極點與開環零、極點間的關系q1iif1iiG222221222221G)ps ()zs (K) 1sTsT)(1sT(s) 1ss)(1s(K) s (G前向通道根軌跡增益221221TTKKGGh1jjl1jjH)ps ()zs (K) s (H反饋通道根軌跡增益前向通道增益h1jjl1jjq1iif1ii)ps ()zs ()ps ()zs (K) s (H) s (GHGKKK izjzipjp開環系統根軌跡增益前向通道零點反饋通道零點前向通道極點反饋通道極點f1il1jjiq1ih1jjif1ih1jjiG)zs ()zs (K)ps ()ps ()ps ()zs

7、(K) s (H) s (G1) s (G) s (m個零點(m=f + l )n個極點(n= q + h)m個零點(m=f + l )n個極點(n= q + h)第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院filjjiqihjjifihjjiGzszsKpspspszsKs111111)()()()()()()(3）閉環系統根軌跡增益=開環系統前向通道的根軌跡增益。1）閉環系統的零點=前向通道的零點+反饋通道的極點；2）閉

8、環系統的極點與開環系統的極點、零點以及根軌跡 增益均有關； ！根軌跡法：由開環系統的零點和極點，不通過解閉環特征方程找出閉環極點。單位反饋系統（1）閉環系統的根軌跡增益就等于開環系統的根軌跡增益；（2）閉環系統的零點就是開環系統的零點。HGKKK 第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院幅角條件和幅值條件幅角條件和幅值條件0) s (H) s (G1) s (D1) s (H) s (G根軌跡方程m個零點n個極點（nm）

9、1)ps ()zs (K) s (H) s (Gn1iim1ii1pszsKn1iim1ii幅值條件1）幅值條件不但與開環零、極點有關，還與開環根軌跡增益有關；2）必要條件： n1iim1ii) 1k2()ps ()zs (幅角條件（k=0,1,2, ） 1）幅角條件只與開環零、極點有關2）充要條件： ！用幅角條件來繪制根軌跡，用幅值條件來確定已知根軌跡上某一點K的值。第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院單位反饋系統

10、的開環傳遞函數 sK) s (G一個開環極點 P1=0 負實軸上點 s1n1i11im1ii180ps| )ps ()zs (s2=-1-jn1i12im1ii135ps| )ps ()zs (負實軸上都是根軌跡上的點！ 負實軸外的點都不是根軌跡上的點！ ！試探法 第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院11ssK幅值條件2sK2幅值條件成立！不是根軌跡上的一點27212, 1js根軌跡上的一點 必要條件： S平面上的某

11、一點s是根軌跡上的點，則幅值條 件成立； S平面上的任一點s滿足幅值條件，該點卻不一 定是根軌跡上的點。第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院)js)(js)(T/1s ( s)/1s (K) 1sT2sT)(1sT( s) 1s(K) s (H) s (Gdndn122221221TT/KK2nT/122dT112T/1pdn4, 3jp/11z)()ps ()zs ()s (H)s (G432141i1i11ii1

12、1開環極點（“”）p1=0開環零點（“”）!幅角均以反時針方向進行。如果幅角條件成立，則s1即根軌跡上的一個點。 1開環零至s1的幅角1、2、3、4：開環極點至s1的幅角。由幅值條件114131211zspspspssK第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院8.28.2繪制根軌跡圖的基本規則繪制根軌跡圖的基本規則根軌跡的起點和終點根軌跡分支數根軌跡的連續性和對稱性實軸上的根軌跡根軌跡的漸近線根軌跡的分離點 根軌跡的起始

13、角和終止角根軌跡與虛軸的交點閉環特征方程根之和與根之積2）“”、 “”3）加粗線及箭頭1）實軸、虛軸相同的刻度4）關鍵點的標注！繪制注意點課堂練習第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院正反饋系統的根軌跡rlocus(num,den);k,p=rlocfind(num,den);遲滯系統的根軌跡第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Pow

14、er Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院根軌跡的起點和終點根軌跡的起點和終點根軌跡起始于開環極點，終止于開環零點幅值條件miiniizspsK110Ks值必須趨近于某個開環極點根軌跡起始于開環極點Ks值必須趨近于某個開環零點根軌跡終止于開環零點第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院根軌跡分支數根軌跡分支數n階系統，根軌跡有n個起始點，系統根軌跡有n個分支2）實際物理系統，

15、開環極點一般多于開環零點， 即 n m。m條終止于開環零點（有限值零點)；（nm）條根軌跡分支終止于（nm）個無限 遠零點。1）系統特征方程的階次為n次特征方程有n個根 K變化(0到 ),n個根隨著變化n條根軌跡。第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院根軌跡的連續性和對稱性根軌跡的連續性和對稱性 根軌跡是連續曲線，且對稱于實軸。閉環特征方程的根在開環零極點已定的情況下， 各根分別是K的連續函數； 特征方程的根為實根或共

16、軛復數根。！僅需先購畫出S平面上半部和實軸上的根軌跡，下半部由鏡象求得。第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院如果實軸上某一區段的右邊的實數開環零點、極點個數之和為奇數，則該區段實軸必是根軌跡。實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡51ii11ii11)ps ()zs ()s (H)s (G180) 12()()(11ksHsG開環零點：z1開環極點：p1、p2、p3、p4、p5在實軸區段p2，p3上取試驗點s1每對共軛復數極點

17、所提供的幅角之和為360；s1左邊所有位于實軸上的每一個極點或零點所提供的幅角為0。s1右邊所有位于實軸上的每一個極點或零點所提供的幅角為180； ？第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院已知系統的開環傳遞函數，試確定實軸上的根軌跡。22)3s)(2s (s)6s)(4s)(1s (K) s (G-1，-2 右側實零、極點數=3。-4，-6 右側實零、極點數=7。第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎

18、(I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線mnka180) 12(mnzpm1iin1iia當系統nm時，有（nm）條根軌跡分支終止于無限遠零點。沿著漸近線趨于無限遠處，漸近線也對稱于實軸（包括與實軸重合）。漸近線與實軸的傾角（k=0，1，2，） ：漸近線與實軸交點的坐標值：證明證明第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機

19、械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院1）當k值取不同值時，a 有（nm）個值，而a不變；mnka180) 12(2）根軌跡在s時的漸近線為（nm）條與實軸交點為a 、傾角a為的一組射線。mnzpm1iin1iia例例1 1例例2 2第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院已知系統的開環傳遞函數，試確定根軌跡的漸近線。)5s)(1s ( s)4s ( K) 1s2 . 0)(1s ( s) 1s25. 0(K)

20、s (G漸近線與實軸正方向的夾角：三個開環極點：0、-1、-5一個開環零點：-4n-m=3-1=2漸近線與實軸交點：113)4()5() 1()0(mnzpm1iin1iiamn180) 1k2(a270、900a第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院已知系統的開環傳遞函數，試確定根軌跡的漸近線。)2s2s)(4s ( s) 1s (K) s (G2四個開環極點：0、-1+j、-1-j、-4一個開環零點：-1n-m=4

21、-1=3漸近線與實軸交點：3514) 1()4() j1() j1()0(mnzpm1iin1iia漸近線與實軸正方向的夾角：mn180) 1k2(a300、180、600a第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院1)()()()(111111nniinmmiimniimiispsszsKpszsKsHsG證明證明1111Kszsspsmmiimnniin長除法111KszpsmnmiiniimnK時，s，取前兩項改寫為

22、模和相角的形式)12(111kjmnmiiniimneKszps兩邊開（nm）次方mnkjmnmnmiiniieKszps)12(11111牛頓二項式定理展開，由于s，忽略分母為s的二次冪和二次冪以上各項mnkjmnimiinieKszpmns)12(11111aeKeKmnzpsmn1amn)1k2( jmn1n1iin1iimnka180) 12(mnzpm1iin1iia第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院根軌

23、跡的分離點根軌跡的分離點分離點（或會合點）：根軌跡在S平面某一點相遇后又立即分開。分離點必然是為D(s)某一數值時的重根點。0dsdKn1iibm1iibp1z11、b坐標值由分式方程解出解析法試湊法證明證明例例2、由 極值點求解b 坐標值由 解出b 4/1 KK2/121 ss證明證明例例必要條件：!當解得多個s值時，其中k值為正實數時才有效。0) s ( K0) K, s (D第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院

24、3、重根法求解b證明) s (B) s (AK) s (BK) s (A) K, s (D由 解出b 0ds) s (dB) s (Ads) s (dA) s (B第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院分離點（或會合點）處的根軌跡的會合角（或分離角）l) 1k2(b會合（或分離）的根軌跡的條數分離點上的根軌跡的切線方向與實軸正方向的夾角例第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School

25、of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院0) s (D)s () s (BK) s (A) K, s (D) s (D1rb0ds) s (dB) s (Ads) s (dA) s (B0ds) s (dD)s () s (rD)s (ds) s (BKds) s (dAds) s (dD1b11rbr重根 r1ds) s (dD含1rb)s (0| ds) s (BKds) s (dA|ds) s (dDbbss) s (B) s (AK兩邊求導b必要條件：!當解得多個s值時，其中k值為正實數時才有

26、效。第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院)2s)(1s ( sK) s (G42. 0s158. 1s2-1，-2區間無根軌跡舍去由 極值點求解42. 0b902180l180b第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院b坐標值由分式方程解出ni

27、imiipszsKsHsG11)()()()(miiniizsKpssD110)()()(根軌跡在S平面上相遇并有重根，設重根為s1，根據代數中的重根條件，有 miiniizsKpssD111110)()()(0)()()(1111111miiniizsKpsdsdsDdsdmiiniizsKps1111)()(miiniizsdsdKpsdsd111111)()(或miimiiniiniizszsdsdpspsdsd1111111111)()()()(miiniizsdsdpsdsd111111)(ln)(ln兩式相除miiniizsdsdpsdsd111111)ln()ln(或niimii

28、pszs111111即得解出s1，即為分離點b第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院已知某一系統的開環零極點分布，試概略畫出其根軌跡。規則1、2、3根軌跡有三條分支，分別起始于開環極點0、2、3，終止于一個開環有限零點1和二個無限零點。根軌跡對稱于實軸。規則4實軸上0到1和2到3兩個區域段為根軌跡規則5根軌跡有兩條漸近線（nm2), 令k=0 902180180) 12(mnka22) 1()3()2(0mnzpm1i

29、in1iia規則6在實軸上有根軌跡分離點，且在區段2到3之間 31210111bbbb47. 2b902180b第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院由由 極值點求解極值點求解 b b 假定s點沿實軸自p2點移向p1點,k增益：從零開始逐漸增大， 到達b點時為最大， 逐漸減小， 到p1點時k為零。根軌跡分離點處所對應的k增益具有極值 0)()(11miiniizspsdsddsdK？！取在根軌跡上的解。第八章第八章 根

30、軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院)204)(4()()(2ssssKsHsG規則1、2、3、4 根軌跡對稱于實軸， 有四條根軌跡分支，分別起始于極點0，4和2j4，終止于無限遠零點。 實軸上04區段為根軌跡。 輻角條件 p3、p4的連接線為根軌跡)ps ()ps (21)ps (4)ps (3n1iim1ii) 1k2()ps ()zs (第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of M

31、echanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院)204)(4()()(2ssssKsHsG13545180) 12(，mnka根據規則5 根軌跡有四條漸近線24)2()2()4(0mnzpm1iin1iia0)204)(4(1)()(12ssssKsHsG)80368()204)(4(2342ssssssssK0)8072244(23sssdsdK根據規則6求根軌跡的分離點21b45. 223, 2jbp3、p4的連接線上第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mec

32、hanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院根軌跡的起始角和終止角根軌跡的起始角和終止角起始角p :從開環復數極點出發的一支根軌跡，在該極點處根軌跡的切線與實軸之間的夾角。根軌跡起始角的一般計算式(0360 )nji1iijm1iijjp)pp()zp() 1k2(k0，1， 證明證明 終止角z:進入開環復數零點處根軌跡的切線與實軸之間的夾角。mji1iijn1iijjz)zz()pz() 1k2(根軌跡終止角一般計算式(0360 ) 例例第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)Schoo

33、l of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院根軌跡上，靠近起點p1處取一點s1相角方程) 12()()()()(31211111kpspspszss1p1)(11ps 起始角p)pp()pp()zp() 1k2(3121111p第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院)5 . 15 . 0)(5 . 15 . 0)(5 . 2(

34、)2)(2)(5 . 1()()(jsjsssjsjssKsHsG四條分支起始點p10、p2、30.5+j1.5 、 p42.5終止點z11.5、z2，3 2j、實軸上01.5和2.5兩區段是根軌跡37905 .10859195 .56) 1k2()pp()pp()pp()zp()zp()zp() 1k2(4232123222122p792p取k0793p281793603pp3和p2為共軛復數，根軌跡起始角對稱?；?p第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動

35、力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院901175 .63121199153) 1k2()zz ()zz ()pz ()pz ()pz ()pz () 1k2(3212423222122z5 .1492z5 .1493z取k1z2和z3為共軛復數，根軌跡終止角對稱。2z第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸相交閉環特征方程有純虛根、系統處于穩定邊界。1）應用勞斯判據求出

36、系統處于穩定邊界的臨界值K， 由K值求出相應的值例例2）代數法js 0)()(1jHjG0)()(1Im0)()(1RejHjGjHjG代入特征方程聯立求解，根軌跡與虛軸的交點值和相應的臨界K值。例例第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院系統的開環傳遞函數 求根軌跡與虛軸的交點 。)2)(1()()(sssKsHsG閉環特征方程023)2)(1(23KsssKsss0123ssss3631kk02k系統穩定的臨界K值：

37、K=6陣列中s2行元素構成輔助方程0632s2js根軌跡與虛軸的交點 第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院系統的開環傳遞函數 求根軌跡與虛軸的交點。)2)(1()()(sssKsHsGjs 代入系統閉環特征方程0)2()3()(2)( 3)(3223jKKjjj032K02326K第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power En

38、gineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院閉環特征方程根之和與根之積閉環特征方程根之和與根之積系統閉環特征多項式ninnnnnimiiniiasasasassszsKps11221111)()()(zi 開環零點si閉環極點pi開環極點11asniinnniias) 1(1閉環特征方程的根（即閉環極點）與特征方程的系數關系：niiniips111）(n-m)2時，根之和與根軌跡增益K無關，是個常數， 且有2）根之和不變K增大，一些根軌跡分支向左移動，則 一定會相應有另外一些根軌跡分支向右移動。例例第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)

39、(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院)22)(3()2(3)()(2sssssKsHsG根軌跡增益K=3K。根軌跡對稱于實軸，有四條根軌跡分支分別起始于開環極點0，3，1j，終止于零點2和另外三個無限遠零點。實軸上區段02和3為根軌跡。根軌跡有三條漸近線（nm3），與實軸的傾角為3180) 12(ka取k0、160、60、180第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineeri

40、ng上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院114)2()1130(jja漸近線與實軸交點坐標為系統特征方程02)6(85234KsKsss01234sssss234506) 6(51851KKKKK0268KK02K02. 7K3K0K2s) K6(5182614. 1 js根軌跡與虛軸的交點第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院6 .26)6 .2690135(45180) 12(kp兩條根軌跡

41、分支起始于共軛 復數極點1j各閉環極點之和為5 當實軸上根軌跡分支向左趨 向于無限零點時，兩個從復數極 點出發的根軌跡分支趨向于右邊 無限零點。614. 14, 3jsK2.34時根軌跡與虛軸兩個交點閉環極點之和為5閉環交點之積為2K=-14.0458. 11s42. 32s第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院)Bs (s) 1s (K) s (H) s (G2分別繪B=4 4、9 9、1212、時閉環系統的根軌跡的

42、大致形狀。16)4s(sK) s (H) s (G2分別繪如下閉環系統的根軌跡的大致形狀。 1)4s(sK) s (H) s (G2 3) 3s(sK) s (H) s (G2已知單位反饋系統的開環傳遞函數，試繪制根軌跡的大 致形狀。)2s2s)(3s ( sK) s (G2第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院P263 P263 第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of

43、Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院P279 8.1P279 8.1 第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院2s) 1s (K) s (H) s (GB=B=n-m=1實軸-1,-)為根軌跡1ssK0) 1s (Ks) s (D220s2sds) s (dB) s (Ads) s (dA) s (B20b2b分離點（或會合點）：

44、0) 1s (Ks) s (D2Ks0KsK1s012K:0故根軌跡與虛軸不相交與虛軸交點：mn180) 1k2(a180a漸近線出射角902)pp()zp() 1k2(nji1iijm1iij21第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院2s) 1s (K) s (H) s (GB=B=n-m=1 實軸-1,-)為根軌跡0) 1s (Ks) s (D2Ks0KsK1s012K:0故根軌跡與虛軸不相交與虛軸交點：mn180

45、) 1k2(a180a漸近線出射角902)pp()zp() 1k2(nji1iijm1iij211ssK0) 1s (Ks) s (D220s2sds) s (dB) s (Ads) s (dA) s (B20b2b分離點（或會合點）：902) 1k2(b第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院)4s (s) 1s (K) s (H) s (G2B=4B=4n-m=2實軸-1,-4為根軌跡mn180) 1k2(a90a1

46、ss4sK230s8s7s2ds) s (dB) s (Ads) s (dA) s (B230bj968. 075. 1s3、20) 1s (Ks4s) s (D23Ks04KK4sK4sK1s0123K:0故根軌跡與虛軸不相交分離點（或會合點）：與虛軸交點：漸近線出射角23mnzpm1iin1iia902)pp()zp() 1k2(nji1iijm1iij21！舍去第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院)4s (s)

47、 1s (K) s (H) s (G2B=4B=4n-m=2實軸-1,-4為根軌跡mn180) 1k2(a90a1ss4sK230s8s7s2ds) s (dB) s (Ads) s (dA) s (B230bj968. 075. 1s3、20) 1s (Ks4s) s (D23Ks04KK4sK4sK1s0123K:0 故根軌跡與虛軸不相交分離點（或會合點）：與虛軸交點：漸近線出射角23mnzpm1iin1iia902)pp()zp() 1k2(nji1iijm1iij21！舍去第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical &a

48、mp; Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院)9s (s) 1s (K) s (H) s (G2B=9B=9n-m=2實軸-1,-9為根軌跡mn180) 1k2(a90a1ss9sK230s18s12s2ds) s (dB) s (Ads) s (dA) s (B230) 1s (Ks9s) s (D23Ks04KK9sK9sK1s0123K:0故根軌跡與虛軸不相交分離點（或會合點）：與虛軸交點：漸近線出射角4mnzpm1iin1iia902)pp()zp() 1k2(nji1iijm1iij21！三條軌跡重合0b33、2b180、60

49、3) 1k2(3、2b第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院)9s (s) 1s (K) s (H) s (G2B=9B=9n-m=2 實軸-1,-9為根軌跡mn180) 1k2(a90a1ss9sK230s18s12s2ds) s (dB) s (Ads) s (dA) s (B230b33、2b0) 1s (Ks9s) s (D23Ks04KK9sK9sK1s0123K:0故根軌跡與虛軸不相交分離點（或會合點）：與

50、虛軸交點：漸近線出射角4mnzpm1iin1iia902)pp()zp() 1k2(nji1iijm1iij21！三條軌跡重合180、603) 1k2(3、2b第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院)12s (s) 1s (K) s (H) s (G2B=12B=12n-m=2 實軸-1,-12為根軌跡mn180) 1k2(a90a1ss12sK230s24s15s2ds) s (dB) s (Ads) s (dA)

51、s (B2301b0) 1s (Ks9s) s (D23Ks04KK12sK12sK1s0123K:0故根軌跡與虛軸不相交分離點（或會合點）：與虛軸交點：漸近線出射角211mnzpm1iin1iia902)pp()zp() 1k2(nji1iijm1iij21902) 1k2(3、2b18. 53b31. 22b第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院)12s (s) 1s (K) s (H) s (G2B=12B=12

52、n-m=2實軸-1,-12為根軌跡mn180) 1k2(a90a1ss12sK230s24s15s2ds) s (dB) s (Ads) s (dA) s (B2301b0) 1s (Ks9s) s (D23Ks04KK12sK12sK1s0123K:0故根軌跡與虛軸不相交分離點（或會合點）：與虛軸交點：漸近線出射角211mnzpm1iin1iia902)pp()zp() 1k2(nji1iijm1iij21902) 1k2(3、2b18. 53b31. 22b第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power

53、Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院n-m=3 負實軸為根軌跡mn180) 1k2(a180、60a漸近線67. 238mnzpm1iin1iia與虛軸交于4.61 1)4s(sK) s (H) s (G275)Pp()pp() 1k2(32122p出射角nji1iijm1iijjp)pp()zp() 1k2(753p第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院0Ks17s8s)

54、 s (D23與虛軸交點：臨界K=136將K=136、s=j代入D(s)=0=4.123分離點（或會合點）：s17s8sK230sK465. 11b865. 32b第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院16)4()()(2ssKsHsGn-m=3 負實軸為根軌跡mn180) 1k2(a180、60a0Ks3s8s) s (D23分離點（或會合點）：與虛軸交點：漸近線出射角67. 238mnzpm1iin1iia45)P

55、p()pp() 1k2(32122pnji1iijm1iijjp)pp()zp() 1k2(453p與虛軸交于4.61臨界K=256將K=256、s=j代入D(s)=0 =5.66s3s8sK230sKs=-2.67j1.89！舍去第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院 3) 3s(sK) s (H) s (G2n-m=3 負實軸為根軌跡mn180) 1k2(a180、60a0Ks12s8s) s (D23分離點（或會

56、合點）：與虛軸交點：漸近線出射角2mnzpm1iin1iia60)Pp()pp() 1k2(32122pnji1iijm1iijjp)pp()zp() 1k2(603p與虛軸交于3.46臨界K=72將K=72、s=j代入D(s)=0=3.46s12s6sK230sK！三條軌跡重合180、603) 1k2(2、1b22、1b第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院已知單位反饋系統的開環傳遞函數，試繪制根軌跡的大致形狀。)2

57、s2s)(3s ( sK) s (G2開環極點：P1=0，P2=-3、P3=-1+j、P4=-1-j無開環零點n-m=4實軸上0，-3為根軌跡漸近線與實軸交點：漸近線與實軸正方向的夾角：25. 104) j1() j1() 3()0(mnzpmiiniia315、225、135、45mn180) 1k2(a第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機械與動力工程學院0dsdK根軌跡實軸的分離點3 . 21b37. 0 j73. 0s3 , 206s16s15s423（舍去）根軌跡在開環極點p3處的起始角6 .71)901356 .26() 1k2()pp()zp() 1k2(nji1iijm1iijjp第八章第八章 根軌跡法根軌跡法控制理論基礎控制理論基礎 (I)(I)School of Mechanical & Power Engineering上海交通大學機械與動力工程學院上海交通大學機