1、1應用MATLAB分析控制系統的性能這一節將用1個例子描述反饋控制的優點，同時說明如何利用MATLAB來分析控制系統。系統分析的主要內容包括如何抑制干擾、如何減小穩態誤差、如何調節瞬態響應以及如何減少系統對參數變化的影響等。    該例子是帶有負載轉矩干擾信號的電樞控制直流電動機。開環系統結構圖如圖3-37(a)所示，為了改善系統性能，加入速度反饋如圖3-37(b)所示。系統的各元器件參數值在表3-6中給出。表3-6  速度控制系統的參數參數名RaKmJBKeKaKs參數值11020.50.1541圖3-37 速度控制系統結構圖從圖中可以看出，

2、系統有Ua(s)(或Vr(s)和ML(s)兩個輸入。由于這是一個線性系統，按疊加定理可以分別考慮兩個輸入的獨立作用結果。為了研究干擾對系統的作用，可令Ua(s)=0(或Vr(s)=0)，此時只有干擾ML(s)起作用。相反地，為了研究參考輸入對系統的響應，可令ML(s)=0。如果系統具有很好的抗干擾能力，則干擾信號ML(s)對輸出w (s)的影響就應該很小，下面就來驗證此結論。首先，考慮圖3-37(a)所示的開環系統，從ML(s)到w o(s)(此處的下標“o”表示開環)的傳遞函數為假設干擾信號為單位階躍信號，即ML(s)=1/s。利用MATLAB可以計算系統的單位階躍響應如圖3-38(a)所示

3、，而用于分析此開環控制系統的MATLAB程序文本opentach.m示于圖3-38(b)。在輸入信號Ua(s)=0的情況下，穩態誤差就是干擾響應w o(t)的終值。在圖3-38(a)的曲線中，干擾響應w o(t)在t = 7秒后已近似不變，所以近似穩態誤差值為w o() -0.663(弧度/秒)同樣，通過計算從ML (s)到w c(s)(此處下標“c”表示閉環)的閉環傳遞函數可分析圖3-37(b)所示閉環系統的抗干擾性能。對于干擾輸入的閉環傳遞函數為(a)  開環速度系統對階躍干擾的響應曲線(b)    MATLAB程序文本:opentach.m圖3-3

4、8 開環速度控制系統分析閉環系統對單位階躍干擾輸入的響應曲線w (t)和MATLAB程序文本closedtach.m分別示于圖3-39(a)(b)。同前，穩態誤差就是w (t)的終值，穩態誤差的近似值為在本例中，閉環系統與開環系統對單位階躍干擾信號的輸出響應的穩態值之比為可見通過引入負反饋已明顯減小了干擾對輸出的影響，這說明閉環反饋系統具有抑制噪聲特性。 (a)  閉環系統對階躍干擾的響應曲線(b)    MATLAB程序文本:opentach.m2利用Matlab繪制系統的根軌跡 本章前面的內容介紹了控制系統根軌跡的繪制以及利用系統大致的根軌

5、跡圖分析系統性能的方法，若要由根軌跡獲得系統在某一特定參數下準確的性能指標或者準確的閉環極點，需要依據幅值條件精確地作圖。如果利用MATLAB工具箱中函數，則可方便、準確地作出根軌跡圖，并利用圖對系統進行分析。 MATLAB工具箱中，求系統根軌跡的幾個常用函數有rlocus, rlocfind, sgrid，下面通過具體的例子來說明這些函數的應用。例1控制系統的開環傳遞函數為繪制系統的根軌跡圖。解利用函數rlocus函數可直接作出系統的根軌跡圖，程序如下：% example4-13%num=1,5;dun=1,6,11,6,0; rlocus(num,dun)執行該程序后，可得到如圖4-20所

6、示的根軌跡。圖4-20 例4-13題根軌跡圖利用函數rolcus可畫出系統的根軌跡圖后，可用rlocfind函數在根軌跡上選擇任意極點，得到相應的開環增益 和其它閉環極點。例2控制系統的開環傳遞函數為 繪制系統的根軌跡圖，并確定根軌跡的分離點及相應的開環增益 。解將開環傳遞函數寫為Matlab程序如下：% example4-14%num=1;den=0.0002,0.03,1,0;rlocus(num,den)title(Root Locus)k,p=rlocfind(num,den)程序執行過程中，先繪出系統的根軌跡，并在圖形窗口中出現十字光標，提示用戶在根軌跡上選擇一點，這時，將十字光標移

7、到所選擇的地方，可得到該處對應的系統開環增益及其它閉環極點。此例中，將十字光標移至根軌跡的分離點處，可得到k =                           9.6115p =-107.7277-21.9341-20.3383若光標能準確定位在分離點處，則應有兩個重極點，即 相等。程序執行后，得到的根軌跡圖如圖4-21所

8、示。圖4-21 例4-14 系統的根軌跡例3開環系統的傳遞函數為                      繪制系統的根軌跡，并分析系統的穩定性。解Matlab程序如下%example 4-15%num=1,3;den1=1,6,5;den=conv(den1,den1);figure(1)rlocus(num,den)k,p=rlocfind(num,den)% analyzing t

9、he stabilityfigure(2)k=159;num1=k*1,3;den=1,6,5;den1=conv(den,den);num,den=cloop(num1,den1,-1);impulse(num,den)title(Impulse Response (k=160)% analyzing the stabilityfigure(3)k=161num1=k*1,3;den=1,6,5;den1=conv(den,den);num,den=cloop(num1,den1,-1);impulse(num,den)由第1段程序得到根軌跡后，將十字線移到根軌跡與虛軸的交點上，可得到在交點

10、處 ，可知，使系統臨界穩定的根軌跡增益為 ，根軌跡如圖4-15(a)所示。當系統的根軌跡增益 時，系統是穩定的，但系統的阻尼非常小，超調量近似為100，已接近臨界穩定的狀態。當 時，系統具有正實部的復數極點，系統不穩定。執行第2、3段程序后，得到圖4-22(b)和(c)。由圖4-22(b)和(c)可清楚看到，當 時，閉環系統的脈沖響應是收斂的，故系統穩定，而當 時，閉環系統的脈沖響應是發散的，故系統不穩定。圖4-22(a) 例題4-15系統的根軌跡圖圖4-22(b) 時系統的脈沖響應         &#

11、160;圖4-22(c) 時系統的脈沖 響應例4單位反饋系統的開環傳遞函數為 試繪制系統的根軌跡，確定當系統的阻尼比 時系統的閉環極點，并分析系統的性能。解  Matlab程序如下：%example 4-16%num=4 3 1;den=3 5 1 0;sgridrlocus(num,den)k,p=rlocfind(num,den)執行以上程序后，可得到繪有由等阻尼比系數和自然頻率構成的柵格線的根軌跡圖，如圖4-23所示。屏幕出現選擇根軌跡上任意點的十字線，將十字線的交點移至根軌跡與 的等阻尼比線相交處，可得到k =   0.2752p = -1.7089

12、60;           -0.1623 + 0.1653i  -0.1623 - 0.1653i此時系統有三個閉環極點，一個負實數極點，兩個共軛復數極點，實數極點遠離虛軸，其距虛軸的距離是復數極點的10倍，且復數極點附近無閉環零點，因此，這對共軛復數極點滿足主導極點的條件，系統可簡化為由主導極點決定的二階系統，系統的性能可用二階系統的分析方法得到。系統的特征方程為所以，系統的閉環傳遞函數為圖4-23 例4-16根軌跡圖3 MATLAB在系統頻域分析中的應用前面介紹了幾種用曲線表示開環系統頻率

13、特性的方法，利用這些曲線可以分析系統的穩定性及其它的頻域性能指標，還可由開環頻率特性求取控制系統的閉環頻率特性。利用MATLAB工具箱中函數，可以準確地作出系統的頻率特性曲線，為控制系統的設計和分析提供了極大的方便。 MATLAB工具箱中，繪制系統頻率特性曲線的幾個常用函數有bode, nyquist，nichols, ngrid, margin等，下面通過具體的例子來說明這些函數的應用。1 Bode函數函數bode可以求出系統的Bode 圖，其格式為mag,phase,w=bode(num,den)mag,phase,w=bode(num,den,w)bode(num,den)可以繪制傳遞函

14、數為 時系統的Bode圖。bode(num,den,w)可利用指定的頻率值 繪制系統的Bode圖。當帶輸出變量引用函數時，可以得到系統Bode圖相應的幅值、相角及頻率值。其中mag= ,  phase= 2Nyquis函數 函數nyquis的功能是求系統的奈氏曲線，格式為re,im,w=nyquist(num,den)re,im,w=nyquist(num,den,w)nyquist(num,den)可以得到開環傳遞函數為 時系統的nyquist曲線。nyquist(num,den,w)可以根據指定的頻率值 繪制系統的nyquist曲線。當帶輸出變量引用函數時，可以得到系統nyqui

15、st曲線的數據，而不直接繪出nyquist曲線。3nichols函數nichols函數可求出系統頻率特性的nichols圖線，格式為mag,phase,w= nichols (num,den)mag,phase,w= nichols(num,den,w)nichols (num,den)可以得到開環傳遞函數為 時系統的nichols 圖線。nichols (num,den,w)可以根據指定的頻率值 繪制系統的nichols 圖線。當帶輸出變量引用函數時，可以得到系統nichols 圖線的數據，而不直接繪出nichols 圖線。4ngrid函數ngrid  函數的功能是繪制nichol

16、s圖線上的網格。格式為ngridngrid(new)ngrid函數可在nichols圖線上加網格線，ngrid(new) 可在繪制網格前清除原圖，然后再設置程hold,on，這樣，后續的nichols函數可與網格繪制在一起。5 margin函數margin可求出開環系統的幅值裕度和相角裕度，其格式為margin(num,den)gm,pm,wcg,wcp=margin(mag,phase,w)margin(num,den)可計算系統的相角裕度和幅值裕度，并繪制出Bode圖。margin(mag,phase,w)可以由幅值裕度和相角裕度繪制出Bode圖，其中，mag、 phase和 w是由bod

17、e得到的幅值裕度、相角裕度和頻率。當帶輸出變量引用函數時，僅計算幅值裕度、相角裕度及幅值穿越頻率wcg和相角穿越頻率wcp，不繪制Bode圖。例513 二階振蕩環節的傳遞函數為 繪制 取不同值時的Bode圖。解 取wn=8，取0.1;0.1;1.0，由bode函數得到Bode圖，MATLAB程序如下：%example 5-13%wn=5;kosi=0.1:0.2:1.0;w=logspace(-1,1,100);figure(1)num=wn.2;for kos=kosi den=1 2*kos*wn wn.2;mag,pha,w1=bode(num,den,w);subplot(2,1,1)

18、;hold onsemilogx(w1,mag);subplot(2,1,2);hold onsemilogx(w1,pha);endsubplot(2,1,1);grid ontitle('Bode Plot');xlabel('Frequency(rad/sec)');ylabel('Gain dB');subplot(2,1,2);grid onxlabel('Frequency(rad/sec)');ylabel('Phase deg');hold off程序執行后，得到二階振蕩環節的Bode圖如圖563所

19、示。例5 開環系統的傳遞函數為 1 繪制系統的奈氏曲線，并用奈氏判據判斷系統的穩定性，2 求閉環系統的單位脈沖響應。解 利用nyquist函數繪制奈氏曲線如圖564所示。由圖可知，奈氏曲線不圍繞(-1,j0)點，N=0,開環傳遞函數有一個右半s平面的極點，P=1，由奈氏判據系統不穩定。又由系統的脈沖響應曲線圖565，可知脈沖響應是發散的，也說明系統不穩定。MATLAB程序如下：%example 5-14%k=30;z=1;p=-2 -3 2;num,den=zp2tf(z,p,k);figure(1)nyquist(num,den)title('Nyquist Plot');f

20、igure(2)num1,den1=cloop(num,den);impulse(num,den)title('Impulse Response')   例6 系統的開環傳遞函數為 繪制Nichols圖。 解 MATLAB程序為%example 5-15%k=16.7/.0125;z=0;p=-1.25 -4 -16;num,den=zp2tf(z,p,k);figure(1)ngrid('new')nichols(num,den)title('Nichols Plot')程序執行后，可得到系統的Nichols圖如圖

21、566所示。4 MATLAB 在系統校正中的應用 MATLAB為系統校正提供了方便的工具，改變校正裝置的參數，可清楚地看到校正對系統性能的影響。下面例題給出了MATLAB語句的應用，讀者還可根據問題的需要，自己編寫合適的函數，使程序更加簡潔。例7 單位反饋系統的開環傳遞函數為試確定串聯校正裝置的特性，使系統滿足在斜坡函數作用下系統的穩態誤差小于0.1，相角裕度 。解 根據系統穩態精度的要求，選擇開環增益K=12，求原系統的相角裕度。>> num=12;den=2,1,0;gm,pm,wcg,wcp=margin(num,den);gm,pm,wcg,wcpmargin(num,de

22、n)ans =      Inf   11.6548       Inf    2.4240 可知，原系統相角裕度為 ，不滿足指標要求，系統的Bode如圖634所示。考慮采用串聯超前校正裝置，以增加系統的相角裕度。   選擇超前校正裝置的最大超前相角 ，則有為使超前裝置的相角補償作用最大，選擇校正后系統的剪切頻率在最大超前相角發生的頻率上，由圖634，當幅值為時-10lga=-10lg4.77=-6.8dB時，相應的頻率為3.6rad/s。