1、返回返回上頁上頁下頁下頁第一節第一節 微分中值定理微分中值定理定理定理1 (費馬費馬(Fermat)定理定理) 設設f(x)在在U(x0,)，內有定義，若，內有定義，若f(x)在在x0可導且對可導且對任意的任意的xU(x0,) ，有，有f(x)f(x0) （或（或f(x)f(x0) ），則），則f(x0) =0. 0)()(lim)( 0)()( ,),(,)(0000000000 xxxfxfxfxxxfxfxxxUxxfxx故故有有時時當當對任意對任意則由定義則由定義為極大值為極大值不妨設不妨設證證返回返回上頁上頁下頁下頁0)( 0)()(lim)(0)()(,00000000 xfxxx

2、fxfxfxxxfxfxxxx從而得到從而得到有有時時當當通常稱通常稱f (x)=0的根為函數的根為函數f(x)的駐點的駐點.可導函數的極值點一定是駐點可導函數的極值點一定是駐點 返回返回上頁上頁下頁下頁定理定理2 (羅爾羅爾(Rolle)中值定理中值定理) 如果函數如果函數f(x)滿足：滿足： (1) 在在a,b上連續上連續, (2) 在在(a,b)內可導內可導, (3) f(a)=f(b),則至少存在一點則至少存在一點 (a,b),使得使得f ( )=0 在曲線上至少存在一點在曲線上至少存在一點C,在該點曲線具有水在該點曲線具有水平切線或者說，該點的切線平行于弦平切線或者說，該點的切線平行

3、于弦AB. 返回返回上頁上頁下頁下頁證證 因為因為f(x)在在a,b上連續上連續,f(x)在在a,b上必取得最大值上必取得最大值M和最小值和最小值m (1) 如果如果M=m, 則則f(x)在在a,b上恒等于常數上恒等于常數M, 因此因此,對一切對一切x(a,b),都有都有 f (x)=0.于是于是定理自然成立定理自然成立. (2) 若若Mm,由于由于f(a)=f(b),因此因此M和和m中至少有一個不等于中至少有一個不等于f(a).設設Mf(a),則則f(x)應應在在(a,b)內的某一點內的某一點 處達到最大值處達到最大值,即即f( )=M,由費馬定理知由費馬定理知f ( )=0 返回返回上頁上

4、頁下頁下頁例例1 驗證羅爾定理對函數驗證羅爾定理對函數f(x)= x2-2x+3在區間在區間-1,3上的正確性上的正確性顯然函數顯然函數f(x)= -2x+3在在-1,3上滿足羅爾定理的三個條件上滿足羅爾定理的三個條件,解解由由f (x)=2x-2=2(x-1),可知可知f (1)=0,因此存在因此存在 =1(-1,3),使使f (1) =0 返回返回上頁上頁下頁下頁定理定理3(拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理) 若函數若函數y=f(x)滿足下滿足下列條件列條件: (1) 在閉區間在閉區間a,b上連續；上連續； (2) 在開區間在開區間(a,b)內可導內可導則至少存在一點則

5、至少存在一點 (a,b),使得使得abafbff )()( )( 證證 作輔助函數作輔助函數xabafbfxfxF )()( )()(F(x)在在a,b上連續上連續,在在(a,b)內可導內可導,且且 返回返回上頁上頁下頁下頁aabafbfafaF )()( )()(babafbfbfbF )()( )()(0)()(, )()( aFbFaFbFF(x)滿足羅爾定理的條件滿足羅爾定理的條件,故至少存在一點故至少存在一點 (a,b),使得使得F ( )=0,即即 0)()( )()( abafbffF abafbff )()( )( 因此得因此得返回返回上頁上頁下頁下頁 拉格朗日中值定理中的公式

6、稱為拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理中的公式稱為拉格朗日中值公式,也可以寫成也可以寫成f(b)-f(a)= f ( )(b-a) (a b) 是是(a,b)中的一個點中的一個點, =a+ (b-a)(0 1),拉格朗拉格朗日中值公式還可寫成日中值公式還可寫成f(b)-f(a)=(b-a)f a+ (b-a) (0 1) 返回返回上頁上頁下頁下頁例例3)(arctanarctan211212xxxxxx 其其中中證證明明不不等等式式證證)()(11arctanarctan,.arctan)(211221221xxxxxxxxxxf 有有在在設設.arctanarctan, 11112122xxx

7、x 所所以以 返回返回上頁上頁下頁下頁推論推論1 如果如果f(x)在開區間在開區間(a,b)內可導內可導,且且f (x)0,則在則在(a,b)內內,f(x)恒為一個常數恒為一個常數證證 在在(a,b)內任取兩點內任取兩點x1, x2, 設設x1 x2 ,顯然顯然f(x)在在x1,x2上滿足拉格朗日中值定理的條上滿足拉格朗日中值定理的條件件211212)( )()()(xxxxfxfxf 因為因為 f (x)0,所以所以 f ( )=0 .從而從而 f(x2)=f(x1) .返回返回上頁上頁下頁下頁例例5).1(2arccosarcsin xxx 試試證證)1 , 1(, 01111)( ,ar

8、ccosarcsin)(22 xxxxfxxxf則則令令證證 1 , 1,2arccosarcsin)( ,2)1(,2)0()1 , 1(,)( xxxxfffxCxf 故故且且又又因因得得返回返回上頁上頁下頁下頁推論推論2 若若f(x)及及g(x)在在(a,b)內可導內可導,且對任意且對任意x(a,b),有有f (x)=g (x),則在則在(a,b)內內,f(x)=g(x)+C(C為常數為常數). 證證 因因f(x)-g(x) =f (x)-g (x)=0, 由推論由推論1,有有f(x)-g(x)=C,即即f(x)=g(x)+C,x(a,b)返回返回上頁上頁下頁下頁定理定理4 (柯西柯西(

9、Canchy)中值定理中值定理) 若函數若函數f(x)和和g(x)滿足以下條件滿足以下條件: (1) 在閉區間在閉區間a,b上連續上連續, (2) 在開區間在開區間(a,b)內可導內可導,且且g (x)0,那么在那么在(a,b)內至少存在一點內至少存在一點 ,使得使得)()()()()()( gfagbgafbf 證證 若若g(a)=g(b),則由羅爾定理則由羅爾定理,至少存在一點至少存在一點 1(a,b),使使g ( 1)=0,這與定理的假設矛這與定理的假設矛盾盾.故故g(a)g(b).返回返回上頁上頁下頁下頁作輔助函數作輔助函數)()()()()( )()(xgagbgafbfxfxF F

10、(x)滿足羅爾定理的三個條件滿足羅爾定理的三個條件,于是在于是在(a,b)內至少存在一點內至少存在一點 ,使得使得 0)()()()()( )()( gagbgafbffF從而有從而有)()()()()()( gfagbgafbf 返回返回上頁上頁下頁下頁例例6.)()()(- )( ),(:,),(,)(,0 abbafabfffbababaxfba 使使得得至至少少存存在在一一點點試試證證內內可可導導在在上上連連續續在在函函數數設設,1)(,)()(.11)()(柯柯西西中中值值定定理理的的條條件件上上滿滿足足它它們們在在令令原原式式右右邊邊可可寫寫成成baxxGxxfxFabaafbbf

11、 證證返回返回上頁上頁下頁下頁abaafbbfaGbGaFbFGF )()()()()()()( )( 且且有有abbafabfffxGxxfxfxF )()()(- )(1)( ,)()()( 22 代代入入得得將將返回返回上頁上頁下頁下頁第二節第二節 洛必達法則洛必達法則 一、一、 型未定式型未定式 00定理定理1 設設f(x),g(x)滿足下列條件：滿足下列條件： (1) f(x)=0, g(x)=0； (2) f(x),g(x)在在 內可導內可導,且且g (x)0； (3) 存在存在(或為或為)則則0limxx0limxxoU)()(lim0 xgxfxx )()(lim)()(lim

12、00 xgxfxgxfxxxx 返回返回上頁上頁下頁下頁證證 由條件由條件(1),設設f(x0)=0,g(x0)=0.由條件由條件(1)和和(2)知知f(x)與與g(x)在在U(x0)內連續內連續 設設x ,則則f(x)與與g(x)在在x0,x或或x, x0 上滿足柯西定理的條件上滿足柯西定理的條件, )(0oxU)()()()()()()()()(000之之間間與與在在xxgfxgxgxfxfxgxf 當當xx0時時,顯然有顯然有 x0,由條件由條件(3)得得)()(lim)()(lim)()(lim000 xgxfgfxgxfxxxxxx 返回返回上頁上頁下頁下頁注意注意:(1)如果如果

13、仍為仍為 型未定式型未定式,且且f (x),g (x)滿足定理條件，則可繼續使用洛必滿足定理條件，則可繼續使用洛必達法則；達法則；(2)洛必達法則僅適用于未定式求極限洛必達法則僅適用于未定式求極限,運用洛必達法則時運用洛必達法則時,要驗證定理的條件要驗證定理的條件,當當 既不存在也不為既不存在也不為時時,不能運用洛必達法則不能運用洛必達法則應該注意：求極限時應將洛必達法則和無窮小代換等技巧結合使用，才能使求應該注意：求極限時應將洛必達法則和無窮小代換等技巧結合使用，才能使求解過程更加簡便。解過程更加簡便。00)()(lim0 xgxfxx )()(lim0 xgxfxx 返回返回上頁上頁下頁下

14、頁例例2240sinsincoslim.xxxxxx求解解24030030200sinsincos limsincossinlimlimsincoslimcoscossinsin1limlim.333xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx返回返回上頁上頁下頁下頁例例3200111sin2 sincoslimlim.sincosxxxxxxxxx201sinlim.sinxxxx求解解 上式右端的極限不存在且不為，所以洛必達法則失效 2001sin1limlimsin0sinxxxxxxx返回返回上頁上頁下頁下頁推論推論1 設設f(x)與與g(x)滿足滿足 (1) f(x)=

15、0, g(x)=0; (2) 存在存在X0,當當 x X時時,f(x)和和g(x)可導可導,且且g (x)0; (3) 存在存在(或為或為)則則 xlim xlim)()(limxgxfx )()(lim)()(limxgxfxgxfxx 證證 令令x=1/t,則則x時時,t0 )()(lim1)1(1)1(lim)1()1(lim)()(lim2200 xgxfttgttftgtfxgxfxttx 返回返回上頁上頁下頁下頁例例4arctan2lim.1ln(1)xxx求解解22221arctanarctan122limlimlim111ln(1)lim11xxxxxxxxxxxx返回返回上頁

16、上頁下頁下頁二、二、 型未定式型未定式 定理定理2 設設f(x),g(x)滿足下列條件：滿足下列條件： (1) f(x)=, g(x)=； (2) f(x)和和g(x)在在 內可導內可導,且且g (x)0； (3) 存在存在(或為或為)則則 0limxx0limxx)(0oxU)()(lim0 xgxfxx )()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx 返回返回上頁上頁下頁下頁推論推論2 設設f(x)與與g(x)滿足滿足 (1) f(x)= , g(x)= ; (2) 存在存在X0,當當 x X時時,f(x)和和g(x)可導可導,且且g (x)0; (3) 存在存在(或為或為)則

17、則 xlim xlim)()(limxgxfx )()(lim)()(limxgxfxgxfxx 返回返回上頁上頁下頁下頁例例5200001(csc)ln cotcotlimlim1lnlimsincos1lim1cosxxxxxxxxxxxxx 0lncotlim.lnxxx求解解返回返回上頁上頁下頁下頁122limlimee(1)lime!lim0ennxxxxnxxnxxxnxn nxnlim(,0).enxxxn求為正整數解解例例6返回返回上頁上頁下頁下頁三、三、 其他未定式其他未定式 若對某極限過程有若對某極限過程有f(x)0且且g(x),則稱則稱limf(x)g(x)為為0型未定式

18、型未定式若對某極限過程有若對某極限過程有f(x)且且g(x),則稱則稱limf(x)-g(x)為為-型未定式型未定式若對某極限過程有若對某極限過程有f(x)且且g(x),則稱則稱limf(x)g(x)為為00型未定式型未定式若對某極限過程有若對某極限過程有f(x)1且且g(x),則稱則稱limf(x)g(x)為為1 型未定式型未定式若對某極限過程有若對某極限過程有f(x)且且g(x)0,則稱則稱limf(x)g(x)為為 0型未定式型未定式 返回返回上頁上頁下頁下頁例例9111121ln1 0lim()lim()1ln(1)ln01ln1limlim1112lnxxxxxxxxxxxxxxxx

19、xxx型11lim().1lnxxxx求解解返回返回上頁上頁下頁下頁例例10解解xxyxyxlnsinlnsin 則則設設.limsin0 xxx 求求0sinlimcos1limsincos1limsin1lnlim)ln(sinlimlnlim20020000 xxxxxxxxxxyxxxxxx1elim,eelimlim0sin0lnlimln00ln0 xxyyxxyxyeyx所所以以有有由由返回返回上頁上頁下頁下頁例例13eeeeeelimlimlimeeeeeexxxxxxxxxxxxxxxeelim.eexxxxx求解解 這是這是 型未定式型未定式 22ee1elimlim1ee

20、1exxxxxxxx而返回返回上頁上頁下頁下頁第三節第三節 泰勒公式泰勒公式 一、一、 泰勒公式泰勒公式將一個復雜函數將一個復雜函數f(x)用一個多項式用一個多項式Pn(x)a0a1x+ a1xn來近似表示來近似表示 當當x很小時很小時,有有ex1+x,sinxx, xnxn111 兩點不足：兩點不足：(1)精度不高精度不高,誤差僅為誤差僅為x的高階無窮小的高階無窮小o(x);(2)沒有準確好用的誤差估計式沒有準確好用的誤差估計式 返回返回上頁上頁下頁下頁設設f(x)在在U(x0)內有直到內有直到n+1階導數階導數 (1) 試求一個關于試求一個關于x 的的n次多項式次多項式 使得在使得在x0附

21、近附近,有有f(x)pn(x),換言之換言之,要求要求 即即f(x)和和pn (x)在在x x0處的函數值及處的函數值及k階階(kn)導數值相等導數值相等. nnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 )()(,),()(),()(0)(0)(0000 xpxfxpxfxpxfnnnnn (2) 給出誤差給出誤差f(x)- pn(x)的表達式的表達式 將將x=x0代入代入pn (x)的表達式的表達式,得到得到)(),()(00000 xfaxfxpan 即即返回返回上頁上頁下頁下頁對對pn (x)求導求導,再將再將x=x0代入代入,得到得到)(),()(01001xfaxfx

22、pan 即即對對p n (x)求導求導,再將再將x=x0代入代入,得到得到! 2)(),()(! 202002xfaxfxpan 即即, 2 , 1 , 0!)(0)( kkxfakknnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)( )(! 2)()(! 1)()()(00)(200000 返回返回上頁上頁下頁下頁定理定理(泰勒中值定理泰勒中值定理) 設函數設函數f(x)在在(a,b)內具有直到內具有直到n+1階導數階導數,x0(a,b),則對于任則對于任意意x(a,b),有有 其中其中 ( 介于與介于與x之間之間) )()(!)( )(! 2)()()()(00)(200000 xRxxn

23、xfxxxfxxxfxfxfnnn 10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 證證 令令G(x)= (x=x0)n+1函數函數f(x)在在x= x0點的點的n階泰勒展開式階泰勒展開式.返回返回上頁上頁下頁下頁nnnxxnxfxxxfxxxfxfxfxR)(!)( )(! 2)()()()()(00)(200000 在在(a,b)內具有直到內具有直到n+1階的導數階的導數,由前面的公式知由前面的公式知 0)()()(0)(00 xRxRxRnnnn)()()1(0)1(xfxRnnn 0)()()(0)(00 xGxGxGnnnn)!1()()1( nxGn返回返回上頁上頁下頁下頁),

24、()()( )()()()( ),()()()()()()( ),()()()()()()()()(10)()(0202102220101011100之之間間介介于于之之間間介介于于之之間間介介于于 nnnnnnnnnnnnnnnnxGRxGGxRRxGRxGGxRRxxGRxGxGxRxRxGxR 對對Rn(x)與與G(x)在相應區間上使用柯西定理在相應區間上使用柯西定理n+1次次, 有有返回返回上頁上頁下頁下頁),()!1()()()()()()()(00)1()1()1(0)()(0)()(之之間間因因而而也也在在之之間間介介于于xxxnfGRxGGxRRnnnnnnnnnnnnn ),

25、()()!1()()(010)1(之之間間介介于于于于是是xxxxnfxRnnn 拉格朗日型余項拉格朗日型余項 返回返回上頁上頁下頁下頁拉格朗日中值定理可看作是零階拉格朗日中值定理可看作是零階(n=1)拉格朗日型余項的泰勒公式拉格朗日型余項的泰勒公式 )()()(00 xxfxfxf 對于多項式對于多項式pn(x)近似表達函數近似表達函數f(x),對于某個固定的對于某個固定的n,當當x在開區間在開區間(a,b)內變動內變動時有時有 M(M為常數為常數),則其誤差有估計式則其誤差有估計式 .而且而且 =0.從而當從而當x x0時時,Rn(x)是關于是關于 的高階無窮小的高階無窮小,即余項又可以表

26、示為即余項又可以表示為 稱這種形式的余項為皮亞諾稱這種形式的余項為皮亞諾(Peano)余項余項 )()1(xfn 10)!1()( nnxxnMxRnnxxxxxR)()(lim00 nxx)(0 )()(0nnxxoxR 返回返回上頁上頁下頁下頁當當x0 0時的泰勒公式時的泰勒公式,又稱為馬克勞林公式又稱為馬克勞林公式 1)1()(2)!1()(!)0( ! 2)0()0()0()( nnnnxnfxnfxfxffxf 具有拉格朗日型余項的馬克勞林公式也可寫成具有拉格朗日型余項的馬克勞林公式也可寫成 )10()!1()( !)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfx

27、nfxfxffxf返回返回上頁上頁下頁下頁二、二、 函數的泰勒展開式舉例函數的泰勒展開式舉例 例例1 求求f(x)=ex的的n階馬克勞林公式階馬克勞林公式. ).1 , 0(,)!1()( )(! 21e ), 2 , 1 , 0(1)0(,)(12)()( nxnnnxkxkxnexRxonxxxkfexf其拉格朗日余項為其拉格朗日余項為解解返回返回上頁上頁下頁下頁例例2 求求f(x)=sinx的的n階馬克勞林公式階馬克勞林公式.), 2 , 1 , 0( 12,)1(2, 0)0(),2 , 1 , 0)(2sin()()()( jjkjkfkkxxfjkk故故 解解).()!12()1(

28、! 5! 3sin,2212153mmmxomxxxxxmn 得得取取返回返回上頁上頁下頁下頁)1 , 0(,)!12(cos)1()!12(2)12(sin)( 12122 mmmmxmxxmmxxR其其拉拉格格朗朗日日余余項項為為返回返回上頁上頁下頁下頁第四節第四節 函數的單調性與極值函數的單調性與極值 一、一、 函數的單調性函數的單調性 定理定理1 設設f(x)C(a,b),且在且在(a,b)內可導內可導,則則 (1) 若對任意若對任意x(a,b),有有f (x)0,則則f(x)在在a,b上嚴格單調增加上嚴格單調增加; (2) 若對任意若對任意x(a,b),有有f (x)0,則則f(x)

29、在在a,b上嚴格單調減少上嚴格單調減少.證證 對任意對任意x1 , x2 a,b, 設設x10, x(- /2, /2),所以所以y=sinx在在(- /2, /2)上嚴格單調增加上嚴格單調增加.例例1 證明證明y=sinx 在在(- /2, /2)上嚴格單調增加上嚴格單調增加.返回返回上頁上頁下頁下頁 函數單調增減區間的分界點是導數為零的點或導數不存在的點函數單調增減區間的分界點是導數為零的點或導數不存在的點. 如果函數在定義域區間上連續如果函數在定義域區間上連續,除去有限個導數不存在的點外導數存在除去有限個導數不存在的點外導數存在,那么只要那么只要用用f (x) =0的點及的點及f (x)

30、不存在的點來劃分函數的定義域區間不存在的點來劃分函數的定義域區間,在每一區間上判別導數的在每一區間上判別導數的符號符號,便可求得函數的單調增減區間便可求得函數的單調增減區間 返回返回上頁上頁下頁下頁例例61( )11,(0)0,211( )0.22 1( )0,)0,( )(0),111.2f xxxffxxf xxf xfxx令則且因此,在上嚴格單調增加.從而當時即10,11.2xxx證明:當時證證返回返回上頁上頁下頁下頁二、二、 函數的極值函數的極值 定義定義1 設設f(x)在在x0的某鄰域的某鄰域U(x0)內有定義內有定義.若對任意若對任意x (x0),有有 f(x)f(x0)f(x)f

31、(x0),則稱則稱f(x)在點在點x0處取得極大值處取得極大值(極小值極小值)f(x0),稱為極大值點稱為極大值點(極小值點極小值點) U極大值和極小值統稱為極值極大值和極小值統稱為極值,極大值極大值點和極小值點統稱為極值點點和極小值點統稱為極值點 返回返回上頁上頁下頁下頁2定定理理.)(, 0)( ),(, 0)( ),()2(;)(, 0)( ),(, 0)( ),()1(,)(,)( 0000000000000取取得得極極小小值值在在則則對對任任意意若若對對任任意意取取得得極極大大值值在在則則對對任任意意若若對對任任意意內內可可導導在在處處連連續續在在設設xxfxfxUxxfxUxxxf

32、xfxUxxfxUxxUxxf 返回返回上頁上頁下頁下頁.)(),()(, 0)( , 0)( .),)( )()( ),(,),()(, 0)( , 0)( .),)( )()( ),(,),1(0022002000010101000取極大值取極大值在在從而從而故故得得由由有有對任意對任意同理同理故故得得由由有有對任意對任意由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理只證只證證證xxfxfxffxfxxxxfxfxfxUxxfxffxfxxxxfxfxfxUx 返回返回上頁上頁下頁下頁例例8221( )e2xfx 221( )e.2xf x求函數的極值解解( )0.0.0( )0,0,( )00(

33、)1(0).2fxxxfxxfxxf xf由解得由于時,而時，因此是的極大值點，極大值返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁3定定理理.)(,0)()2( ;)(,0)()1( , 0)(, 0)(,)()( 0000000取取極極小小值值在在時時當當取取極極大大值值在在時時當當則則且且內內具具有有二二階階導導數數在在設設xxfxfxxfxfxfxfxUxf ).)()(!2)()()(, 0)( )(20200000 xxoxxxfxfxfxfxxf 得得并并注注意意到到處處展展開開為為二二階階泰泰勒勒公公式式在在將將證證返回返回上頁上頁下頁下頁,),(),(),(,)()(,00

34、00020200第第一一項項上上式式右右端端的的正正負負取取決決于于時時使使當當所所以以的的無無窮窮小小量量高高階階是是比比時時因因為為 xUxxUxUxxxxoxx ;)(),()(),(,0)(;)(),()(),(,0)(0000000000為為極極大大值值即即有有對對任任意意時時當當為為極極小小值值即即有有對對任任意意時時故故當當xfxfxfxUxxfxfxfxfxUxxf 返回返回上頁上頁下頁下頁212( )369, ( )66.( )01,( 1)120,(3)120,( )( 1)10,( )(3)22.fxxxfxxfxxxfff xff xf 令得=3.而所以的極大值為的極小

35、值為32( )35.f xxxx求-9的極值例例9解解返回返回上頁上頁下頁下頁第五節第五節 最優化問題最優化問題一、閉區間上連續函數的最大值和最小值一、閉區間上連續函數的最大值和最小值求一個函數求一個函數(稱為目標函數稱為目標函數)的最大值或最小值問題的最大值或最小值問題. .)(,),(,)(,),(),()( 21導導數數不不存存在在的的點點的的極極值值點點只只能能是是駐駐點點或或而而它它一一定定也也是是極極值值則則內內取取得得若若最最值值在在取取得得最最大大值值和和最最小小值值上上必必在在定定理理知知閉閉區區間間連連續續函函數數的的最最值值由由設設其其為為駐駐點點或或導導數數不不存存在在

36、的的點點內內只只有有有有限限個個且且在在若若xfbabaxfxxxbabaCxfn 返回返回上頁上頁下頁下頁 )(),(),(),()(max )(),(),(, )(max)(max ,)(, 1,1,bfxfxfafmixxfbfxfxfafxfbaxfbxaxnbaxnbax 上上的的最最值值在在于于是是達達到到處處或或端端點點最最值值點點也也可可能能在在區區間間的的返回返回上頁上頁下頁下頁.3 , 128)( 24最最小小值值上上的的最最大大值值和和在在求求 xxxf.14)2()(min ,11)3()(max,3 , 1.11)3(,14)2( , 2)0(, 5)1().3 ,

37、1( , 2, 0, 0)2)(2(4)( 3, 13, 1321 fxffxfffffxxxxxxxfxx上上故故在在計計算算出出舍舍去去得得駐駐點點由由例例1解解返回返回上頁上頁下頁下頁二、經濟學中的最優化問題舉例二、經濟學中的最優化問題舉例( )2f xCa,ba,bxf xf xa,ba,bf xa,bxf xxf xa,b00()( )()(, ( )()0000(1)(1)若若 ( )( ) (),(),且且在在()()內內也也只只有有唯唯一一一一個個駐駐點點 ( (或或不不可可導導點點),),則則當當 ()()為為極極大大( (小小) )值值時時, ,它它就就是是 ( )( )在

38、在上上的的最最大大( (小小) )值值. .在在實實際際問問題題中中, ,若若根根據據問問題題的的性性質質可可以以斷斷定定確確有有最最大大最最( (或或最最小小值值),),且且在在內內部部取取得得, ,則則當當在在內內只只有有唯唯一一的的一一個個駐駐點點或或不不可可導導點點) )時時在在取取得得最最大大值值或或最最小小值值. .(3)(3)若若 ( )( )在在上上單單調調增增加加f af bf xa bf af b, ,則則 ( )( )為為最最小小值值, ,( )( )為為最最大大值值; ;若若 ( )( )在在 , , 上上單單調調減減少少, ,則則( )( )為為最最大大值值, ( )

39、, ( )為為最最小小值值. .返回返回上頁上頁下頁下頁1. 最大利潤與最小成本問題最大利潤與最小成本問題 設某種產品的總成本函數為設某種產品的總成本函數為C(Q),總收益函數為總收益函數為R(Q) (Q為產量為產量),則總利潤則總利潤L可表可表示為示為 L(Q) R(Q)- C(Q) 假如假如L(Q)在在(0,+)內二階可導內二階可導,則要使利潤最大則要使利潤最大,必須使產量必須使產量Q滿足條件滿足條件L (Q)=0,即即 R (Q)=C (Q)表明產出的邊際收益等于邊際成本表明產出的邊際收益等于邊際成本 還要求還要求L (Q)=R (Q)-C (Q)0,即即 R (Q)0,則則f(x)在在

40、a,b上是嚴格下凸的上是嚴格下凸的;(2)若在若在(a,b)內內f“ (x)0,則則f(x)在在a,b上是嚴格上凸的上是嚴格上凸的., 06,0, 06,06,32曲曲線線是是下下凸凸的的時時當當曲曲線線是是上上凸凸的的時時當當 xyxxyxxyxy例例2.3的的凸凸性性討討論論函函數數xy 解解返回返回上頁上頁下頁下頁定義定義2 設設f(x)C(U(x0),若曲線若曲線y=f(x)在點在點(x0,f(x0)的左右兩側凸性相反的左右兩側凸性相反,則稱點則稱點(x0,f(x0)為該曲線的拐點為該曲線的拐點.,3并并求求拐拐點點的的凸凸性性討討論論xy 例例5解解.),(,0,92,31 ,0,),(3232內內不不連連續續且且不不具具有有零零點點故故二二階階導導數數在在都都不不存存在在時時當當時時當當內內連連續續函函數數在在 yyxxxyxyx返回返回上頁上頁下頁下頁.)0 , 0(, 0,0,), 0(, 0 ,), 0(,)0 ,(, 0 ,)0 ,()., 0(),0 ,(:),(0是是曲曲線線的的一一個個拐拐點點故故點點時時又又上上是是上上凸凸的的曲曲線線在在內內在在上上是是下下凸凸的的曲曲線線在在內內在在分分成成兩兩個個部部分分區區間間把把 yxyyx 若若(x0,f(x0)是曲線是曲線y=f(x)的拐點的拐