1、 本本科科畢畢業(yè)業(yè)論論 文文（設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)）題目一些特殊類型的一階微分方程的解法探討學(xué)生姓名 學(xué) 號 系 名數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)信息工程系專業(yè)年級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2008 級指導(dǎo)教師 職 稱單位 輔導(dǎo)教師 職 稱單位 完成日期20122012年5 5月2020日 材材 料料 目目 錄錄 xx 大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)書大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)書（指導(dǎo)教師用）xx 大學(xué)大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開題報(bào)告本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開題報(bào)告（學(xué)生用）xx 大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）中期自查表大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）中期自查表（學(xué)生用）論文正文：論文正文：一些特殊類型的一階微分方程的解法探討一些特殊類型的一階微分方

2、程的解法探討xx 大學(xué)大學(xué)本科畢業(yè)論文本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)）誠信保證書誠信保證書 xx 大學(xué)大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)書本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)書（指導(dǎo)教師用）題目名稱 一些特殊類型的一階微分方程的解法探討學(xué)生姓名 所學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班 級 指導(dǎo)教師姓名 所學(xué)專業(yè) 職 稱 完成期限2011 年 12 月 10 日至 2012 年 5 月 10 日1.畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）主要內(nèi)容或主要技術(shù)指標(biāo)一般的微分方程沒有普遍的解法，即使對于一階微分方程也是如此.在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)家leibnitz 和 euler 分別試圖利用變量替換和積分因子法來統(tǒng)一解決一階微分方程的求解問題，但始終沒有如愿.不過這并

3、不意味著人們就對此束手無策，處理問題的基本原則是具體問題具體分析，對一些具有某種特殊形式的一階微分方程，可采取特定方法求解.作者可從以下幾個(gè)方面作深入研究：（1）一階微分方程（含特殊形式）及其通解的概念；（2）求解特殊一階微分方程通解的理論價(jià)值和實(shí)際意義；（3）一階微分方程解的存在唯一性分析；（4）分析、歸納諸如變量分離方程、齊次方程、bemoulli 方程、一階線性微分方程等經(jīng)典微分方程的方程特點(diǎn)及其求解的數(shù)學(xué)思想方法；（5）考察、分析某些特殊類型的一階微分方程的本質(zhì)特點(diǎn)，探究其轉(zhuǎn)換與求解的方法和技巧.2.畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）基本要求（1）根據(jù)自己所學(xué)專業(yè)的理論知識，結(jié)合社會實(shí)踐，恰當(dāng)選題，旨在

4、理論聯(lián)系實(shí)際，初步培養(yǎng)科研能力，運(yùn)用所學(xué)的理論知識分析問題和解決問題；（2）根據(jù)所選論題，全面收集文獻(xiàn)資料，并對所收集的資料進(jìn)行合理的分析、整理；（3）根據(jù)擁有的資料，結(jié)合自己對論題的理解和研究，做好開題報(bào)告；（4）全面構(gòu)思論文設(shè)計(jì)的主體框架，編寫詳細(xì)的寫作提綱；（5）按論文設(shè)計(jì)的主體構(gòu)想和具體的寫作提綱撰寫論文初稿；（6）在初步完成論文初稿的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步與指導(dǎo)老師交流和勾通，吸取合理的建議，不斷完善結(jié)構(gòu)、補(bǔ)充材料、豐富內(nèi)容、嚴(yán)謹(jǐn)邏輯、規(guī)范格式，提高論文的學(xué)術(shù)水平與實(shí)用價(jià)值；（7）嚴(yán)格按照 xx 大學(xué)畢業(yè)論文設(shè)計(jì)的規(guī)范來撰寫與編輯，確保論文的規(guī)范性；（8）在整個(gè)畢業(yè)論文設(shè)計(jì)的過程中，嚴(yán)格按照

5、大學(xué)的工作要求來開展研究工作，端正態(tài)度，嚴(yán)明紀(jì)律，講究科學(xué)，提高效率，按質(zhì)按量完成畢業(yè)論文研究工作.3.畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）進(jìn)度安排（1）2011 年 12 月 1 日2011 年 12 月 9 日：結(jié)合專業(yè)，完成選題； （2）2011 年 12 月 10 日2012 年 1 月 10 日：收集資料，學(xué)習(xí)相關(guān)理論和專著，實(shí)地調(diào)研； （3）2012 年 1 月 11 日2012 年 1 月 31 日：分析、整理文獻(xiàn)資料，篩選出有價(jià)值的東西； （4）2012 年 2 月 1 日2012 年 2 月 10 日：與導(dǎo)師討論和交流，完成論文開題報(bào)告； （5）2012 年 2 月 11 日2012 年 3 月

6、 31 日：撰寫論文并完成初稿； （6）2012 年 4 月 1 日2012 年 4 月 25 日：反復(fù)與導(dǎo)師交流，修改初稿，完成論文第二稿； （7）2012 年 4 月 26 日2012 年 5 月 5 日：進(jìn)一步修改論文，嚴(yán)格按論文規(guī)范編輯，定稿； （8）2012 年 5 月 6 日2012 年 5 月 10 日：編寫畢業(yè)論文答辯提綱，完成最后的掃尾工作. 指導(dǎo)教師簽名： 2011 年 1 2 月 10 日xx 大學(xué)大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開題報(bào)告本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開題報(bào)告（學(xué)生用）學(xué)號 學(xué)生姓名 系 名數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)信息工程系專業(yè)年級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師 職稱論文（設(shè)計(jì)）題目一些特殊類

7、型的一階微分方程的解法探討1.本論題國內(nèi)外研究動態(tài)及研究意義：微分方程與微積分同時(shí)誕生，目前數(shù)學(xué)家掌握了一些可以用初等積分法求解的一階微分方程類型, 也發(fā)現(xiàn)有許多無法用初等積分法求解，所以,探討一階微分方程是微分方程領(lǐng)域的一個(gè)基本研究內(nèi)容.隨著時(shí)代的不斷進(jìn)步和科技的迅速發(fā)展，一階常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有重要的應(yīng)用，如飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、自動控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)等.這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題.在國外，當(dāng)代數(shù)學(xué)家 leibnitz 和 euler 對一階微分方程解法的研究活動，有十分重要的學(xué)術(shù)意義.1691 年，他們提出了常微分方程的分離變量

8、法，解決了可化為變量分離型方程的求解問題；同年還提出了求解一次齊次方程的方法；1694 年，leibnitz 證明了使用了變量替換能把一階線性常微分方程化成積分方程；1694 年，leibnitz 引進(jìn)了找等交曲線或曲線族的問題，求出了一些特殊問題的解；1696 年，他又證明了利用變量替換將伯努利方程變換，并將一些微分方程進(jìn)行簡化.通過求解微分方程，這兩位科學(xué)家解決了研究活動中的許多具體問題.這些年來，一階線性、非線性微分方程、可分離變量微分方程、齊次微分方程、全微分方程、一階隱方程等問題已得以解決.然而一部分一階微分方程還未能轉(zhuǎn)化為經(jīng)典類型的方程，它們是沒有統(tǒng)一的初等解法.目前,關(guān)于這一部分

9、一階微分方程的特殊解法,還在探索中.而本文的主要目的，就在于總結(jié)四種特殊類型的微分方程（變量分離方程、齊次微分方程、線性方程、伯努利微分方程）的解法特點(diǎn).通過對其進(jìn)行分析和研究，從中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、解題思想進(jìn)而對一階高次微分方程及其新類型的解法進(jìn)行探討.因此，通過探討新的一階微分方程，從而培養(yǎng)我們的機(jī)智性和靈活性，以及思維能力.2.畢業(yè)論文（設(shè)計(jì))研究內(nèi)容、擬解決的主要問題：（1）研究內(nèi)容本論文首先對經(jīng)典類型的一階微分方程的解法總結(jié)歸納，進(jìn)一步對一階常系數(shù)高次微分方程的一般形式的解法總結(jié)，通過對經(jīng)典一階微分方程的解法運(yùn)用，進(jìn)一步擴(kuò)展到對一階常系數(shù)高次微分方程新類型的解法探討.（2）擬解決的主要問題通

10、過總結(jié)及研究，找出幾類常見的一階微分方程并對其解法進(jìn)行探討.每類特殊的一階微分方程通過案例尋找合適的解法對問題進(jìn)行分析.總結(jié)常見的幾類微分方程的解法規(guī)律，進(jìn)一步對常系數(shù)高次微分方程及其新類型的解法進(jìn)行探討.3.畢業(yè)論文（設(shè)計(jì))研究方法、步驟及措施：（1）擬采取的研究方法文獻(xiàn)資料法：主要通過查閱關(guān)于本課題新文獻(xiàn)和新成果，時(shí)刻關(guān)注所研究問題的新動向，對國內(nèi)外有關(guān)特殊類型的一階微分方程的解法的資料進(jìn)行收集和研究，更深層次的了解特殊一階微分方程解法.使所立論文研究的內(nèi)涵和外延更豐富，方向更明確，方法更科學(xué)，以保證論文的研究質(zhì)量.舉例法：通過列舉相關(guān)的事實(shí)，更具體的特殊一階微分方程應(yīng)用.積極與導(dǎo)師交流學(xué)

11、習(xí)有關(guān)文獻(xiàn)、研究心得以及課題的研究進(jìn)展情況，對研究工作中所遇到的難題和關(guān)鍵問題相互討論、交流，而且不斷完善研究目標(biāo).分析法：結(jié)合以上方法來提出問題、分析問題和解決問題.探究法: 深入學(xué)習(xí)，積極探究.（2）畢業(yè)論文的具體步驟2011 年 12 月 1 日2011 年 12 月 9 日：結(jié)合專業(yè)，完成選題；2011 年 12 月 10 日2012 年 1 月 10 日：收集資料，學(xué)習(xí)相關(guān)理論和專著，實(shí)地調(diào)研； 2012 年 1 月 11 日2012 年 1 月 31 日：分析、整理文獻(xiàn)資料，篩選出有價(jià)值的東西；2012 年 2 月 1 日2012 年 2 月 10 日：與導(dǎo)師討論和交流，完成論文開

12、題報(bào)告；2012 年 2 月 11 日2012 年 3 月 31 日：撰寫論文并完成初稿； 2012 年 4 月 1 日2012 年 4 月 25 日：反復(fù)與導(dǎo)師交流，修改初稿，完成論文第二稿； 2012 年 4 月 26 日2012 年 5 月 5 日：進(jìn)一步修改論文，嚴(yán)格按論文規(guī)范編輯，定稿； 2012 年 5 月 6 日2012 年 5 月 10 日：編寫畢業(yè)論文答辯提綱，完成最后的掃尾工作.（3）論文框架 1 摘要 abstract2 正文第一章 緒論1.1 研究動態(tài)1.2 研究意義第二章 常見的具有特殊形式的一階微分方程及可化為此類型的微分方程 2.1 變量分離方程與離變變換 2.1

13、.1 變量分離方程 2.1.2 常見的可化為變量分離方程的類型 2.2 線性微分方程 2.3 伯努利微分方程 第三章 常系數(shù)高次微分方程 3.1 一階常系數(shù)高次微分方程 3.2 一階常系數(shù)高次微分方程新類型解法的探討3 結(jié)束語4 致謝 5 參考文獻(xiàn)4.主要參考文獻(xiàn)：1 王高雄,周之銘，朱思銘,王壽松.常微分方程(第三版)m.高等教育社,2006.72 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系微分方程教研室. 常微分方程m.北京:高等教育出版社,1986.3 中山大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系.常微分方程m.人民出版社,1978.4同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下)m.北京:高等教育出版社,2008:276281.5四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)

14、學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第三冊）m.北京:高等教育出版社,1990.6戴中林.一類一階高次微分方程的解法j.大學(xué)數(shù)學(xué)，2006.7 錢祥征. 常微分方程解題研究m.湖南科技出版社.1987年.8鄒豪思，馮尚.高等數(shù)學(xué)下冊（第二版）m.內(nèi)蒙古大學(xué)出版社,2008.9同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊)(第五版)m.北京:高等教育出社,2002.10劉穎.一類特殊的一階微分方程的初等積分法j.沈陽航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)2004，21（5）：90-91.11張小慧.解一階微分方程j.商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2006,5(2):11-12.12李裕民.談?wù)剮追N可積型一階微分方程的解法j.湖南數(shù)學(xué)訊,1994,2:

15、27-28.13王高雄,周之銘.常微分方程m.北京:高等教育出版社出版,2001.14伍卓群,李勇.常微分方程m.北京:高等教育出版社,2003.15 蔡燧林. 常微分方程.m. 武漢:武漢大學(xué)出版社,2003.16王柔懷.常微分方程講義m.人民教育出版社,1979,2.是否可以進(jìn)入論文（設(shè)計(jì)）研究：指導(dǎo)教師簽名：年 月 日是否可以進(jìn)入論文（設(shè)計(jì)）研究： 系主任簽名：年 月 日xx 大學(xué)大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）中期自查表本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）中期自查表（學(xué)生用）系 名數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)信息工程系年 級2008 級專 業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本人投入的時(shí)間和精力每周平均工作 28 小時(shí)，出勤情況：較好（ ） 、

16、一般（ ） 、差（ ）.影響時(shí)間投入的原因：找工作（ ） 、自身水平（ ） 、其他原因 .指導(dǎo)教師的投入指導(dǎo)教師每周指導(dǎo) 1 次，大約 0.5 小時(shí)；指導(dǎo)形式：網(wǎng)絡(luò)（ ） 、電話（ ） 、面對面（ ） 、其他 ；指導(dǎo)效果： 好（ ） 、 較好（ ） 、一般（ ） 、 差（ ）.畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）工作情況是否能按任務(wù)書的“進(jìn)程安排”完成工作：是（ ） 、否（ ） ，已完成內(nèi)容占全部工作 70 .你的論題是：自選（ ） 、專業(yè)安排（ ） 、跨專業(yè)（ ）.論題是否結(jié)合專業(yè)（是、否） 、難度（高、適當(dāng)、容易） 、工作量（大、一般、小）.自己對畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）文件規(guī)范的學(xué)習(xí)情況：已了解（ ） 、部分了解（

17、 ） 、不清楚（ ）.條件保障試驗(yàn)設(shè)備和器材是否得到保證：是（ ） 、否（ ）.學(xué)校提供的圖書資料是否滿足需要：是（ ） 、一般（ ） 、否（ ）.學(xué)校計(jì)算機(jī)上機(jī)條件：好（ ） 、較好（ ） 、不好（ ） ；約需 5 機(jī)時(shí).經(jīng)費(fèi)來源：學(xué)校（ ） 、個(gè)人（ ） 、尚無需要（ ）.存在問題及整改思路存在主要問題是：1、本人已申請離校見習(xí)，沒有得到學(xué)校圖書館和學(xué)校網(wǎng)絡(luò)資料的幫助，資料不全；2、本人選的論文題目在大學(xué)期間開的課不是很深入，學(xué)的不是很精，寫前需要很多時(shí)間自學(xué)相關(guān)知識；3、論文中整體的布局還欠很好的考慮，對論文的條理還有待改進(jìn).4、自身原因，已離校見習(xí)，工作多，寫論文的時(shí)間不是很多.整改思

18、路：1、試圖通過其他方法找到更合適的例題；2、多看與自己論文相關(guān)的資料，達(dá)到熟練的地步；3、對自己寫好的論文要多次修改，減少在語言上的毛病；4、對論文的結(jié)構(gòu)要更加熟悉.學(xué)生簽名： 年 月 日 指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日一些特殊類型的一階微分方程的解法探討一些特殊類型的一階微分方程的解法探討數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 摘摘 要要：關(guān)于一階微分方程的求解，大部分教材只討論了變量分離方程、齊次微分方程、線性方程、伯努利微分方程，而對其他類型探討得比較少，針對這種情況，本文將特殊幾類一階微分方程的解法加以分析和歸納，其中運(yùn)用了變量分離法、常數(shù)變易法轉(zhuǎn)化為可積的變量分離方程的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步擴(kuò)充到對常系數(shù)高次微分方

19、程及其新類型解法的探討，目的在于培養(yǎng)我們分析問題和解決問題的能力，為今后解決更復(fù)雜的一階微分方程打下基礎(chǔ).關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：一階微分方程；解法；特殊類型；高次微分方程somesome specialspecial typestypes ofof first-orderfirst-order differentialdifferential equationsequations inin solutionsolution discussiondiscussionabstractabstract：摘要摘要.iabstractabstract.i第一章第一章 緒緒 論論.11.1 研究動態(tài) .11.2

20、研究意義 .1第二章第二章 常見的具有特殊形式的一階微分方程及可化為此類型的微分方程常見的具有特殊形式的一階微分方程及可化為此類型的微分方程.22.1 變量分離方程與變量變換 .22.1.1 變量分離方程.22.1.2 常見的可化為變量分離方程的類型.6 2.2 線性微分方程 .10 2.3 伯努利微分方程 .15第三章第三章 常系數(shù)高次微分方程常系數(shù)高次微分方程.18 3.1 一階常系數(shù)高次微分方程 .18 3.2 一階常系數(shù)高次微分方程新類型解法的探討 .22結(jié)束語結(jié)束語.24致致 謝謝.25參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn).26第一章第一章 緒緒 論論1.11.1 研究動態(tài)研究動態(tài)微分方程與微積分同時(shí)誕

21、生，目前數(shù)學(xué)家掌握了一些可以用初等積分法求解的一階微分方程類型, 也發(fā)現(xiàn)有許多無法用初等積分法求解，所以,探討一階微分方程是微分方程領(lǐng)域的一個(gè)基本研究內(nèi)容.隨著時(shí)代的不斷進(jìn)步和科技的迅速發(fā)展，一階常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有重要的應(yīng)用，如飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、自動控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)等.這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題.在國外，當(dāng)代數(shù)學(xué)家 leibnitz 和 euler 對一階微分方程解法的研究活動，有十分重要的學(xué)術(shù)意義.1691 年，他們提出了常微分方程的分離變量法，解決了可化為變量分離型方程的求解問題；同年還提出了求解一次齊次方程的方法；169

22、4 年，leibnitz 證明了使用了變量替換能把一階線性常微分方程化成積分方程；1694 年，leibnitz 引進(jìn)了找等交曲線或曲線族的問題，求出了一些特殊問題的解；1696 年，他又證明了利用變量替換將伯努利方程變換，并將一些微分方程進(jìn)行簡化.通過求解微分方程，這兩位科學(xué)家解決了研究活動中的許多具體問題.1.21.2 研究意義研究意義這些年來，一階線性、非線性微分方程、可分離變量微分方程、齊次微分方程、全微分方程、一階隱方程等問題已得以解決.然而一部分一階微分方程還未能轉(zhuǎn)化為經(jīng)典類型的方程，它們是沒有統(tǒng)一的初等解法.目前,關(guān)于這一部分一階微分方程的特殊解法,還在探索中.而本文的主要目的，

23、就在于總結(jié)四種特殊類型的微分方程（變量分離方程、齊次微分方程、線性方程、伯努利微分方程）的解法特點(diǎn).通過對其進(jìn)行分析和研究，從中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、解題思想進(jìn)而對一階高次微分方程及其新類型的解法進(jìn)行探討.因此，通過探討新的一階微分方程，從而培養(yǎng)我們的機(jī)智性和靈活性，以及思維能力.第二章第二章 常見的具有特殊形式的一階微分方程及可化為此類型常見的具有特殊形式的一階微分方程及可化為此類型的微分方程的微分方程2.12.1 變量分離方程與變量變換變量分離方程與變量變換2.1.12.1.1 變量分離方程變量分離方程1245101113形如 ， （2.1）( , )( , )0p x y dxq x y dy在方程

24、（2.1）中，變量與對稱，它既可以看作是以為自變量、為未知函數(shù)的方程：xyxy （這時(shí)）， ( , )( , )dyp x ydxq x y ( , )0q x y （2.1.1）也可看作以為自變量、為未知函數(shù)的方程：yx （這時(shí)） ， ( , )( , )dyq x ydxp x y ( , )0p x y （2.1.2）如果一階微分方程能化成：， （ 2.2 ( ) ( )dyf xydx）的形式，則稱（2.2）式成為變量分離方程變量分離方程，而原方程為可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程，這里，分別是，的連續(xù)函數(shù).( )f x( )yxy解可分離變量微分方程的方法：解可分離變量微分方

25、程的方法：（1）.首先將可分離變量微分方程改寫為（2.2）形式；（2）.后將（2.2）分離變量，即 如果，我們把（2.2）式改寫成( )0y ， （2.2.1） ( )( )dyf x dxy接著對（2.2.1）方程進(jìn)行兩邊積分，得到 ， （2.3）( )( )dyf x dxcy其中 是任意常數(shù).由該式確定變量分離方程的通解，即函數(shù)關(guān)系式.c( , )yy x c（3）.如果，不適合（2.2.1）式.但如果存在某使得，則直接驗(yàn)( )0y0y0()0y證知也是（2.2）的解.因此，必須找出的解.也就是說，變量分離方0yy( )0y0y程的通解（2.3）不包括時(shí)，必須補(bǔ)上特解.0yy0yy【例

26、2.1】求解方程 (1)(1)0 x ydxy xdy解解 原方程可化為，11dyyxdxyx將方程分離變量得 ，11yxdydxyx兩邊分別積分，得到 ，11yxdydxcyx解之得 ，lnlnyyxxc 即 ， （ 為任意常數(shù)）.容易驗(yàn)證當(dāng)也是原方程的解.ln0 xyxyc c0y 【例 2.2】求解一階可分離變量的微分方程2222(2 )(2 )0 xyy dxxyx dy解解 令，則原方程可化為uxyvxy 或 ，0uvduvduudv(1)0uvduudv當(dāng)、時(shí)，將方程分離變量，得到uv0 ，1udvduuv兩邊積分，即得 ， （是任意常數(shù)）1lnlnuuvc1c 或 （） ，uuc

27、evcce 則原方程的通解為 ，()x yxycexy此外、 =0 時(shí)，即也是該方程的解.uvyx 2.1.22.1.2 常見的可化為變量分離方程的類型常見的可化為變量分離方程的類型1345613解一階可積微分方程的一般思路是：根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用變量變換的適當(dāng)處理方程使之實(shí)現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化，將方程轉(zhuǎn)化為變量分離方程，從而獲解.（1）若一階微分方程可以寫成 ， （2.4）( )dyyfdxx的形式，則這個(gè)方程（2.4）稱為齊次微分方程齊次微分方程.解齊次微分方程的方法：解齊次微分方程的方法：1.在齊次微分方程（2.4）中引入新的變量，就可以化為可分離變量微分方y(tǒng)ux程.2.由于，故 ，于

28、是 ，代入方程（2.4）式，則原方程變yuxyxudyduuxdxdx為( )duuxf udx若；( )0f uu上式可分離變量，得到 ，再將該方程兩邊積分，則得到齊次微分方程( )dudxf uux的（2.4）的通解為 ，( )duf uuxce 若是的一個(gè)解，則是齊次微分方程（2.4）的一個(gè)特解.0u( )0f uu0yu x【例 2.3】求解微分方程2dyyydxxx解解 這是一個(gè)齊次微分方程，以 ，及代入原方程，則原方程變?yōu)閥uxdyduxudxdx，2duxuuudx即 ， 2duudxx講上式分離變量，即得，12dudxxu兩邊積分，得到，lnuxc整理后，得到方程的通解為 ，2

29、(ln)yxxc其中 是任意常數(shù).c【例 2.4】求解方程21tan22dyyydxxyx解解 顯然這不是一個(gè)齊次微分方程，但方程兩邊乘以，得到2y ，222tandyyyydxxx即 ，222tandyyydxxx并令，則原方程可化為2zy ，tandzzzdxxx顯然這是一個(gè)以為自變量、為未知函數(shù)的齊次微分方程，再令及xzzux代入上式，則方程變?yōu)閐zduxudxdx ， tanduxuuudx即 ，tanduxudx將上式分離變量，得到 ，tandudxux兩邊積分，得到 ，1ln sinlnuxc這里是任意常數(shù)，整理后，得到1c，1sincue x 令，得到1cec ，sinucx于是

30、原方程的通解為 ，2arcsinyxcx此外，若時(shí)，則，從而為方程的特解.tan0u 0u 0y （2）形如 ，令 ，即可化為關(guān)于，的變量分離()dyaxbycdxuaxbycxu方程，從而可解.( )duabudx2.22.2 線性微分方程線性微分方程178若一階微分方程可以寫成 ， （2.5.1）( )( )dyp x yq xdx的形式，其中，在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù).( )p x( )q xx若，則稱（2.5.1）式為一階非齊次線性微分方程一階非齊次線性微分方程.( )0q x 若，則（2.5.1）式變?yōu)? )0q x ， （2.5.2）( )0dyp x ydx的形式，則稱（2.5

31、.2）為一階齊次線性微分方程一階齊次線性微分方程，其通解為 ， （2.6）( )p x dxyce其中為任意常數(shù). c解線性微分方程的方法：解線性微分方程的方法：由于方程（2.5.2）是方程（2.5.1）的特殊情形，那么兩者的通解應(yīng)該存在一定的聯(lián)系，我們試圖利用方程（2.5.2）的通解（2.6）的形式去求方程（2.5.1）的通解.因此我們設(shè)想:把式（2.6）中的任意常數(shù)變易為的待定函數(shù)，使之滿足cx( )c x（2.5.1） ，從而求出.為此，令( )c x ， （ 2.7 ） ( )( )p x dxyc x e為方程（2.5.1）的解，得到 -( )( )( )( ) ( )p x dxp

32、 x dxdydc xec x p x edxdx(2.8)以（2.7） 、 （2.8）代入（2.5.1） ，得到 ，-( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )p x dxp x dxp x dxdc xec x p x ep x c x eq xdx即 ，( )( )( )p x dxdc xq x edx兩邊分別積分，求得，( )1( )( )p x dxc xq x edxc這里是任意常數(shù)，將上式代入（2.7）式，得到方程（2.5.1）的通解為1c （2.8）( )( )1( )p x dxp x dxyq x edxc e這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，稱之為常數(shù)變易

33、法常數(shù)變易法.這種方法在以后的解題中應(yīng)用比較廣泛.【例 2.5】求解微分方程sindyyxdxxx解解 該方程為一階非齊次線性微分方程，且，代入公式（2.8） ，1( )p xxsin( )xq xx則 原方程的通解為 ，111sin()dxdxxxxyedxc ex即 1( cos)yxcx 其中為任意常數(shù).c【例 2.6】求微分方程 的通解.2(6 )20yx dyydx解解 把方程改寫成 ，226dyydxyx故在該微分方程中，將看作的函數(shù)，顯然它關(guān)于不是線性微分方程，但若變成yxy，262dxyxdyy即 ， （2.9.1）32dxxydyy把看作未知函數(shù)，看作自變量，這樣，對于及來說

34、，方程（2.9.1）是一階xyxdxdy非齊次線性微分方程.首先，求出齊次線性微分方程 ，3dxxdyy 的通解為 ， （2.9.2）31xcy其中為任意常數(shù).c其次，利用常數(shù)變易法求非齊次微分方程（2.9.1）的通解.把看作，微c( )c y分（2.9.2） ，得到 ，34( ) 11.3 ( )dxdc yc ydydyyy代入（2.9.1） ，得到 ，3341( )( ) 11.3 ( )32c ydc yyyc ydyyyy即 ，4( )2dc yydy兩邊積分得到 51( )10yc yc從而，原方程的通解為，5131()10yxcy即 ，213110yxcy這里的是任意常數(shù).1c2

35、.32.3 伯努利微分方程伯努利微分方程191013 若一階微分方程可以寫成 ， ( )( )ndyp x yq x ydx（2.10）的形式，則稱（2.10）為伯努利微分方程伯努利微分方程，這里、為的連續(xù)函數(shù)，( )p x( )q xx是常數(shù).0,1n 解伯努利微分方程的方法：解伯努利微分方程的方法：利用變量代換的方法將方程（2.10）化為線性微分方程.具體步驟為：對于，方程（2.10）兩邊同時(shí)乘以得到0y ny， （2.11）1( )( )nndyyyp xq xdx引入變量代換 ， （2.12）1 nzy再對（2.12）式求導(dǎo)，得到 ， (1)ndzdyn ydxdx（2.13）將（2.

36、12） 、 （2.13）代入（2.10） ，可將伯努利微分方程（2.10）化為一階非齊次線性微分方程，即 ， (1) ( )(1) ( )dzn p x zn q xdx（2.14）可按前面說介紹的解非齊次線性微分方程的方法求出方程（2.14）的通解，然后代回原來的變量，便得到伯努力方程（2.10）的通解.此外，當(dāng)時(shí)，方程還0n 有解.0y 【例 2.7】求方程的通解.2lndyyyxdxx解解 這是的伯努利微分方程，令2n ，1zy對上式求導(dǎo)，得到 ，2dzdyydxdx 代入原方程得到 ，lndzzxdxx這是非齊次線性微分方程，求得它的通解為 ，2(ln )2xzcx代回原來的變量，得到

37、y ，2(ln )12xcxy這就是原方程的通解，此外，方程還有特解.0y 【例 2.8】求方程 的通解.4dyyxydxx解解 這是的伯努利微分方程.令12n ,12zy算得 ,1212dzdyydxdx代入原來的方程得到 ,22dzxzdxx這是非齊次線性微分方程,求得它的通解為 ,21 ln2zxxc代回原來的變量,得到y(tǒng) ,421 ln2yxxc其中是任意常數(shù).這就是原方程的通解.此外,原方程還有特解.c0y 第三章第三章 常系數(shù)高次微分方程常系數(shù)高次微分方程3.13.1 一階常系數(shù)高次微分方程一階常系數(shù)高次微分方程1212141516眾所周知，可積的一階微分方程的類型是非常的有限，常

38、見的就前面我們介紹的變量分離方程、齊次微分方程、線性微分方程、伯努利微分方程以及全微分方程等，他們都是未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一些簡單的初等解法，但幾乎都不設(shè)計(jì)的高次方程，下yy面我們詳細(xì)地討論了一類一階常系數(shù)的一次齊次微分方程的解法，并將其結(jié)果推廣到對同類型的一階常系數(shù)次齊次微分方程的解法探討.n若一階微分方程可以寫成 （2.15）11011()()0nnnnnnp yp yypy yp y 的形式，則稱方程（2.15）為一階常系數(shù)高次微分方程一階常系數(shù)高次微分方程，其中各項(xiàng)系數(shù)，0p1p，均為常數(shù).1npnp首先，我們先討論當(dāng)時(shí)，即一階常系數(shù)的一次齊次微分方程為1n ， （2.16）010p ypy

39、 的求解，然后把方程（2.16）的解法推廣到解一階次微分方程的.其求解過程為n解解 方程可化為 ，10pdyydxp 將上式分離變量得 ，10pdydxyp 兩邊積分，得到方程（2.16）的通解為 ， （2.17）10pxpyce其中為任意常數(shù).c解一階常系數(shù)高次微分方程的方法為解一階常系數(shù)高次微分方程的方法為由此上面的一階常系數(shù)一次微分方程的通解為（2.17）可見，如果一階常系數(shù)高次微分方程（2.15）也有解（為待定常數(shù)）.將其代入（2.15）可得到代xye數(shù)方程為 ， （2.18）01110nnnnpppp 因此，只要我們能求出滿足代數(shù)方程（2.18）的值，函數(shù)就是常系數(shù)高次微xye分方程

40、的（2.15）的解，故其通解就是（其中為任意常數(shù)）.xycec我們稱方程（2.18）為一階常系數(shù)高次微分方程的特征方程一階常系數(shù)高次微分方程的特征方程，它的根成為特征根特征根.現(xiàn)只須求出特征方程（2.18）的特征根，即可得到常系數(shù)高次微分方程的通解.引理引理 如果函數(shù)是微分方程(2.18)的解,則 ( 為任意常數(shù))是方程1( )y x1( )ycy xc(2.18)的通解.下面根據(jù)特征根的不同情況分別進(jìn)行討論：（1） 特征根是單根的情形設(shè)，是特征方程（2.18）的個(gè)彼此不相等的根，則相應(yīng)地方程12nn（2.15）有如下個(gè)解：n ， ，.11xye22xyenxnye可得微分方程（2.15）在實(shí)

41、數(shù)范圍內(nèi)的個(gè)獨(dú)立的通解：n ， ，.（其中為任意常11xyce22xycenxnycec數(shù)）（2） 特征根有重根的情形設(shè)特征方程（2.18）有重根，這時(shí)只給出微分方程（2.15）的一個(gè)通解：n （為任意常數(shù)）.xycec現(xiàn)以一階二次方程為例用常數(shù)變易罰證明方程（2.15）在重根下只有一個(gè)通解.設(shè)方程還有解為，則有.代入一階二次方程( )xyc x e( )( ) xyc xc xe ，22012p ypy yp y 則有 ，22012( )( ) ( )( ) ( )( )0p c xc xp c xc xc xpcx .222001012( )( ) ( )2( )0pcxc x c xpp

42、cx ppp 由于是特征方程（2.18）的二重根，故有 ，20120102+ =0ppppp 于是，所以（常數(shù)） ，即方程（2.15）在重根的情況下只有一個(gè)通解( )=0c x ( )=c xc.xye（3） 特征方程有復(fù)根的情形因?yàn)槲⒎址匠痰南禂?shù)是實(shí)常數(shù)，復(fù)根將成對共軛地出現(xiàn).設(shè)共軛復(fù)根為時(shí)，方程（2.15）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)通解中不含復(fù)數(shù)解，但在范圍內(nèi)通解中含有i 兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)解： ， ，1(cossin)xyexix 2(cossin)xyexix 故微分方程（2.15）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有兩個(gè)獨(dú)立的通解： ， （為任意常數(shù)）1(cossin)xycexix 2(cossin)xycexix c.【

43、例 2.9】求一階二次微分方程的通解.22320yy yy 解解 特征方程的根為，均為單根，故方程的通解為2320 11 22 ， （為任意常數(shù)）.1xyce22xycec【例 2.10】求一階四次微分方程的通解.43223425840yy yy yy yy 解解 特征方程，即，解得（二43225840 22(4)0 1,2重根） ，故得原方程的三個(gè)通解為3,4i ， ，.1xyce2(cos2sin2 )xycxix e3(cos2sin2 )xycxix e這里為任意常數(shù).c3.23.2 一階常系數(shù)高次微分方程新類型解法的探討一階常系數(shù)高次微分方程新類型解法的探討21516現(xiàn)在我們來探討一

44、階高次微分方程新類型的求解方法：若一階常系數(shù)高次微分方程改成， 11011()()nnnnkxnnp yp yypy yp yce （2.19）的形式，我們稱方程（2.19）式為一階常系數(shù)非齊次微分方程一階常系數(shù)非齊次微分方程，其中各項(xiàng)系數(shù)、 、都是常數(shù).(0,1, )ip inck用前面我們所學(xué)的解決一階非齊次微分方程的方法，即常數(shù)變易法的思想，對一階高次非齊次微分方程進(jìn)行求解.而本文討論不是方程的特征根的情形，此時(shí)，kn10110nnnnpppp顯然有：，1011( )( )( )( )0nnnnkkkkfppppnnnn設(shè)方程（2.19）的特解為（其中為待定系數(shù)） ，將、分別代入1kxn

45、yzez1y1y（2.19）式，則有：，1011( )( )( )nkxnnkxnnkkkz eppppcennn由于，上式變?yōu)?kxe，1011( )( )( )nnnnnkkkzppppcnnn從而有： ，1( )nczkfn于是方程（2.19）的一個(gè)特解： ，11( )nkxncyekfn【例 2.11】 求方程的一個(gè)解222()22xyy yye解：有題可知，、，而.2n 2k 1c 212kn故不是特征方程的特征根.2220令原方程的一階特解為 （為待定系數(shù)） ，將、分別代入原方程，1kxxnyzezez1y1y可得到，因此，原方程存在一個(gè)特解為.1z 1xye結(jié)束語結(jié)束語總所周知，經(jīng)典的微分方程等問題已經(jīng)解決，然而尚有部分一階微分方程還未能轉(zhuǎn)化為經(jīng)典類型的方程，它們是沒有統(tǒng)一的初等解法，其特殊解法,我們還在探索中.而本文主要目的，就在于詳細(xì)地介紹特殊類型的微分方程（變量分離方程、齊次微分方程、線性方程、伯努利微分方程）的解法特點(diǎn)，從中總結(jié)題型經(jīng)驗(yàn)、解題思想進(jìn)一步擴(kuò)充到對常系數(shù)高次微分方程及其新類型解法的探討，對今后解決更復(fù)雜的一階微分方程有著積極的意義.現(xiàn)總結(jié)如下：第一：變量分離方程與變量變換.運(yùn)用分離變量的方法，講方程分離成 ，兩邊積分，得到 ，便可得到方程的通解.( )( )dyf x dxy( )( )dy