1、題組層級快練(六十七)1(2014·新課標全國理)設(shè)f為拋物線c：y23x的焦點，過f且傾斜角為30°的直線交c于a，b兩點，o為坐標原點，則oab的面積為()a.b.c. d.答案d解析先求直線ab的方程，將其與拋物線的方程聯(lián)立組成方程組化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求解由已知得焦點坐標為f(，0)，因此直線ab的方程為y(x)，即4x4y30.方法一：聯(lián)立拋物線方程化簡，得4y212y90.故|yayb|6.因此soab|of|yayb|××6.方法二：聯(lián)立方程，得x2x0，故xaxb.根據(jù)拋物線的定義有|ab|xaxbp12，原點到直線ab的距離為h.

2、因此soab|ab|·h.另解：|ab|12，sabo·|of|·|ab|·sin··12·.2設(shè)o為坐標原點，f為拋物線y24x的焦點，a為拋物線上一點，若·4，則點a的坐標為()a(2，±2) b(1，±2)c(1,2) d(2,2)答案b解析設(shè)a(x0，y0)，f(1,0)，(x0，y0)，(1x0，y0)，·x0(1x0)y4.y4x0，x0x4x040x3x040，x11，x24(舍)x01，y0±2.3已知拋物線c：y28x與點m(2,2)，過c的焦點且斜率為k的

3、直線與c交于a，b兩點若·0，則k()a. b.c. d2答案d解析由題意知拋物線c的焦點坐標為(2,0)，則直線ab的方程為yk(x2)，將其代入y28x，得k2x24(k22)x4k20.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2，x1x24.由·0，(x12，y12)·(x22，y22)0.(x12)(x22)(y12)(y22)0，即x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)40.由式，解得k2.故選d.4.(2015·河南豫東、豫北十所名校)如圖所示，過拋物線x22py(p>0)的焦點f的直線l交拋物線于a，b兩點，交其準線于點

4、c，若|bc|bf|，且|af|42，則p的值為()a1 b2c. d3答案b解析過b作準線的垂線bb，則|bb|bf|，由|bc|bf|，得直線l的傾斜角為45°.設(shè)a(x0，y0)，由|af|42，得x0|af|22.(22)p42，p2.5(2015·江西重點中學盟校聯(lián)考)已知拋物線c：yx22，過原點的動直線l交拋物線c于a，b兩點，p是ab的中點，設(shè)動點p(x，y)，則4xy的最大值是()a2 b2c4 d4答案a解析設(shè)直線l的方程為ykx，與拋物線c的方程yx22聯(lián)立，消去y，得x2kx20.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2k，所以x，y，所以4

5、xy2k(k2)22.故當k2時，4xy取最大值2.6.(2015·湖南益陽模擬)如圖所示，已知直線l：yk(x1)(k>0)與拋物線c：y24x相交于a，b兩點，且a，b兩點在拋物線c準線上的射影分別是m，n，若|am|2|bn|，則k的值是()a. b.c. d2答案c解析設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，聯(lián)立方程組消去x，得ky24y4k0.因為直線與拋物線相交，所以有424×k×4k16(1k2)>0.(*)y1，y2是方程的兩個根，所以有又因為|am|2|bn|，所以y12y2.解由組成的方程組，得k.把k代入(*)式檢驗，不等式成立所以

6、k，故選c.7設(shè)f為拋物線y24x的焦點，a，b，c為該拋物線上三點，若0，則|()a9 b6c4 d3答案b解析焦點f坐標為(1,0)，設(shè)a，b，c坐標分別為a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)(x11，y1)，(x21，y2)，(x31，y3)0，x11x21x310.x1x2x33.|x11x21x316.8已知拋物線y24x，過點p(4,0)的直線與拋物線交于a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點，則yy的最小值是_答案32解析設(shè)直線方程為xky4，與拋物線聯(lián)立得y24ky160，y1y24k，y1y216.yy(y1y2)22y1y216k232.故最小值為32.9.

7、如圖所示，直線l：yxb與拋物線c：x24y相切于點a.(1)求實數(shù)b的值；(2)求以點a為圓心，且與拋物c的準線相切的圓的方程答案(1)1(2)(x2)2(y1)24解析(1)由得x24x4b0.(*)因為直線l與拋物線c相切，所以(4)24×(4b)0，解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程(*)為x24x40，解得x2.將其代入x24y，得y1.故點a(2,1)因為圓a與拋物線c的準線相切，所以圓a的半徑r等于圓心a到拋物線的準線y1的距離，即r|1(1)|2.所以圓a的方程為(x2)2(y1)24.10.如圖所示，斜率為1的直線過拋物線y22px(p>0)的焦點f，與

8、拋物線交于a，b兩點，m為拋物線弧ab上的動點(1)若|ab|8，求拋物線的方程；(2)求sabm的最大值答案(1)y24x(2)p2解析(1)由條件知lab：yx，與y22px聯(lián)立，消去y，得x23pxp20，則x1x23p.由拋物線定義得|ab|x1x2p4p.又因為|ab|8，即p2，則拋物線的方程為y24x.(2)方法一：由(1)知|ab|4p，且lab：yx，設(shè)m(，y0)，則m到ab的距離為d.因為點m在直線ab的上方，所以y0<0，則d.當y0p時，dmaxp.故sabm的最大值為×4p×pp2.方法二：由(1)知|ab|4p，且lab：yx，設(shè)與直線a

9、b平行且于拋物線相切的直線方程為yxm，代入拋物線方程，得x22(mp)xm20.由4(mp)24m20，得m.與直線ab平行且與拋物線相切的直線方程為yx，兩直線間的距離為dp，故sabm的最大值為×4p×pp2.11(2015·廣東百所高中聯(lián)考)已知拋物線c：y22px(p>0)的焦點為f，點k(1,0)為直線l與拋物線c準線的交點，直線l與拋的線c相交于a，b兩點(1)求拋物線c的方程；(2)設(shè)·，求直線l的方程答案(1)y24x(2)3x4y30或3x4y30解析(1)依題意知1，解得p2.所以拋物線c的方程為y24x.(2)設(shè)a(x1，y

10、1)，b(x2，y2)，且設(shè)直線l的方程為xmy1(m0)將xmy1代入y24x，并整理，得y24my40.由>0，得m2>1，從而y1y24m，y1y24.所以x1x2(my11)(my21)4m22，x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)11.因為(x11，y1)，(x21，y2)，·(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1484m2，故84m2，解得m±滿足m2>1.所以直線l的方程為x±y1.即3x4y30或3x4y30.12(2015·山東萊蕪期末)已知拋物線c的頂點為坐標原點，焦點f(0，c)(

11、c>0)到直線y2x的距離是.(1)求拋物線c的方程；(2)若直線ykx1(k0)與拋物線c交于a，b兩點，設(shè)線段ab的中垂線與y軸交于點p(0，b)，求實數(shù)b的取值范圍答案(1)x22y(2)b(2，)解析(1)由題意，故c.所以拋物線c的方程為x22y.(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則由得x22kx20.所以4k28>0.所以x1x22k，所以線段ab的中點坐標為(k，k21)線段ab的中垂線方程為y(xk)k21，即yxk22.令x0，得bk22.所以b(2，)1平面上一機器人在行進中始終保持與點f(1,0)的距離和到直線x1的距離相等，若機器人接觸不到過點p(1，0)且斜率為k的直線，則k的取值范圍是_答案(，1)(1，)解析由題意可知機器人的軌跡為一拋物線，其軌跡方程為y24x，過點p(1,0)且斜率為k的直線方程為yk(x1)，由題意知直線與拋物線無交點，聯(lián)立消去y，得k2x2(2k24)xk20，則(2k24)24k4<0，所以k2>1，得k>1或k<1.2過拋物線y24x