1、本章主要內容本章主要內容 數字濾波器的基本概念數字濾波器的基本概念 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIRIIR數字低通濾波器數字低通濾波器 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIRIIR數字低通濾波器數字低通濾波器 數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計第第6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計 數字濾波器數字濾波器(DF)(DF)的定義的定義 輸入和輸出均是數字信號，通過一定運算關系輸入和輸出均是數字信號，通過一定運算關系( (數值運算數值運算) )，改，改變輸入數字信號所含變輸入數字信號所

2、含頻率成份的相對比例頻率成份的相對比例或或濾除某些頻率成份濾除某些頻率成份的器件。的器件。 數字濾波器的特點數字濾波器的特點( (相對模擬濾波器相對模擬濾波器) )：精度高、穩定、體積小、重量輕、不要求阻抗匹配。精度高、穩定、體積小、重量輕、不要求阻抗匹配。 數字濾波器處理模擬信號數字濾波器處理模擬信號通過通過A/DCA/DC和和D/ACD/AC，使用數字濾波器對模擬信號的處理。，使用數字濾波器對模擬信號的處理。6.16.1 數字濾波器的基本概念數字濾波器的基本概念1 1、數字濾波器的分類、數字濾波器的分類(1) (1) 一般分類一般分類經典濾波器經典濾波器：輸入信號中的有用的頻率成分和希望濾

3、除的頻：輸入信號中的有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分占用不同的頻帶，通過率成分占用不同的頻帶，通過選頻濾波器選頻濾波器達到濾波的目的。達到濾波的目的?，F代濾波器現代濾波器：信號和干擾的頻帶相互重疊，要利用信號的統：信號和干擾的頻帶相互重疊，要利用信號的統計分布規律，從干擾中最佳提取信號，如：維納濾波器、卡計分布規律，從干擾中最佳提取信號，如：維納濾波器、卡爾曼濾波器和自適應濾波器等。爾曼濾波器和自適應濾波器等。(2) (2) 從濾波器的功能上來分類從濾波器的功能上來分類 分為分為低通、高通、帶通、帶阻低通、高通、帶通、帶阻濾波器濾波器6 6.1 .1 數字濾波器的基本概念數字濾波器的基本概念

4、理想濾波器幅度特性理想濾波器幅度特性 6 6.1 .1 數字濾波器的基本概念數字濾波器的基本概念ww0 0 - - |H(e|H(ejwjw)|)|低通低通(LF)LF)頻率響應頻率響應2 2 -2-2 ww0 0 - - |H(e|H(ejwjw)|)|高通高通(HF)(HF)頻率響應頻率響應2 2 -2-2 ww0 0 - - |H(e|H(ejwjw)|)|帶通帶通BFBF頻率響應頻率響應2 2 -2-2 ww0 0 - - |H(e|H(ejwjw)|)|帶阻帶阻BSBS頻率響應頻率響應2 2 -2-2 特點：特點：(1)(1)單位脈沖響應是非因果且無限長，不可能實現，只單位脈沖響應是

5、非因果且無限長，不可能實現，只能盡可能逼近；能盡可能逼近；(2)DF(2)DF的傳輸函數是以的傳輸函數是以2 2 為周期，為周期，低通的中心低通的中心頻帶頻帶處于處于2 2 的整數倍處的整數倍處，高通的中心頻帶，高通的中心頻帶處于處于 的奇數倍附近。的奇數倍附近。(3)(3)從濾波器的實現網絡結構或從單位脈沖響應分類從濾波器的實現網絡結構或從單位脈沖響應分類 無限脈沖響應無限脈沖響應(IIR)(IIR)數字濾波器數字濾波器 有限脈沖響應有限脈沖響應(FIR)(FIR)數字濾波器：數字濾波器：6 6.1 .1 數字濾波器的基本概念數字濾波器的基本概念0110()1()()MrrrNkkkNnnb

6、zHzazHzhnz0110()1()()MrrrNkkkNnnbzHzazHzhnz在數字濾波器中，一般考察其半個周期在數字濾波器中，一般考察其半個周期 =0=0， 的頻域特性；的頻域特性；在模擬濾波器中，通?？疾炱湓谀M濾波器中，通?？疾炱?=0=0， 范圍內頻率域的特性。范圍內頻率域的特性。 NN階階IIRIIR濾濾波器函數波器函數NN1 1階階FIRFIR濾波器函濾波器函數數2、數字濾波器的技術要求、數字濾波器的技術要求這里介紹的數字濾波器屬于這里介紹的數字濾波器屬于選頻濾波器選頻濾波器(1). (1). 數字濾波器的傳輸函數數字濾波器的傳輸函數H(eH(ejwjw) )|H(e|H(

7、ejwjw)|)|系統的幅頻特性系統的幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率：表示信號通過該濾波器后各頻率成分衰減情況。成分衰減情況。QQ( () )系統的相頻特性系統的相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時：反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。間上的延時情況。6 6.1 .1 數字濾波器的基本概念數字濾波器的基本概念( )()()jjjH eH eeQ(Q() )(2)(2)數字濾波器的幅頻特性數字濾波器的幅頻特性|H(e|H(ejwjw)|)|的指標的指標6 6.1 .1 數字濾波器的基本概念數字濾波器的基本概念過渡帶過渡帶低通數字濾波器的幅頻特性技術指標低通數字濾波器的幅頻特

8、性技術指標|H(e|H(ejwjw)|)|通帶通帶阻帶阻帶 2 21- 1- 1 1 p p0.7070.7070 01 1C CS S 指標說明：指標說明：p p：通帶截止頻率，通帶頻率范圍：通帶截止頻率，通帶頻率范圍：00 p p ；S S ：阻帶截止頻率，：阻帶截止頻率，阻帶頻率范圍：阻帶頻率范圍：s s ； C C ：3dB3dB截止頻率；截止頻率； P P：通帶最大衰減；通帶最大衰減； S S：阻帶最小衰減阻帶最小衰減 1 1：通帶內幅度響應誤差范圍；通帶內幅度響應誤差范圍； 2 2：阻帶內幅度響應誤差范圍；：阻帶內幅度響應誤差范圍；通帶內和阻帶內允許的衰減一般用通帶內和阻帶內允許的

9、衰減一般用dB數表示，數表示，p和和s分別定義分別定義為：為：如將如將|H(e|H(ej0j0)|)|歸一化為歸一化為1 1，上兩式則表示成，上兩式則表示成當幅度衰減到當幅度衰減到 2/22/2倍時，所對應頻率倍時，所對應頻率 c c，此時此時 P P 3dB3dB，稱稱c c為為3dB3dB截止頻率。截止頻率。6 6.1 .1 數字濾波器的基本概念數字濾波器的基本概念00()2 0 l g()()2 0 l g()psjpjjsjHed BHeHed BHe00()2 0 l g()()2 0 l g()psjpjjsjHed BHeHed BHe2 0 l g()2 0 l g()psjp

10、jsHed BHed B2 0 l g()2 0 l g()psjpjsHed BHed B3. 數字濾波器設計方法數字濾波器設計方法 IIRIIR濾波器設計方法濾波器設計方法： (1)(1)先設計模擬濾波器先設計模擬濾波器(AF)(AF)的傳輸函數的傳輸函數Ha(s)Ha(s)；然后按某種變；然后按某種變換，將換，將Ha(s)Ha(s)轉換成數字濾波器的系統函數轉換成數字濾波器的系統函數H(z)H(z)。 (2) (2) 借助計算機輔助設計在頻域或時域直接進行設計；借助計算機輔助設計在頻域或時域直接進行設計； FIRFIR濾波器設計方法濾波器設計方法 (1)(1)經常采用的是經常采用的是窗函

11、數設計法窗函數設計法和和頻率采樣法頻率采樣法， (2)(2)用計算機輔助的切比雪夫最佳一致逼近法設計用計算機輔助的切比雪夫最佳一致逼近法設計。6 6.1 .1 數字濾波器的基本概念數字濾波器的基本概念模擬濾波器的理論和設計方法已發展得相當成熟，且有若干典型模擬濾波器的理論和設計方法已發展得相當成熟，且有若干典型的模擬濾波器可以選擇。如：的模擬濾波器可以選擇。如：巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)(Butterworth)濾波器濾波器、切切比雪夫比雪夫(Chebyshev)(Chebyshev)濾波器濾波器、橢圓橢圓(Kllipse)(Kllipse)濾波器濾波器、貝塞爾貝塞爾(Bess

12、el)(Bessel)濾波器濾波器等，這些濾波器都有嚴格的設計公式、現成的曲線和圖表等，這些濾波器都有嚴格的設計公式、現成的曲線和圖表供設計人員使用。供設計人員使用。 6.2 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計)(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c各種理想模擬濾波器的幅度特性各種理想模擬濾波器的幅度特性1. 1.模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法模擬低通濾波器的設計指標及逼

13、近方法(1)(1)模擬低通濾波器的設計指標有：模擬低通濾波器的設計指標有：p p、s s、p p、s s其中其中：p p和和s s分別稱為分別稱為通帶截止頻率通帶截止頻率和和阻帶截止頻率阻帶截止頻率; ; p p是通帶是通帶(=0(=0p p) )中的中的最大衰減系數最大衰減系數， s s是阻帶是阻帶s s的的最小衰減系數最小衰減系數，6.2 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計|Ha(j|Ha(j )|)|0.7070.707 p p s s通帶通帶阻帶阻帶過過渡渡帶帶1 10 0 C C p p s s通帶通帶過過渡渡帶帶阻帶阻帶 (dB) (dB) 衰減衰減 p p S S 0 0p

14、 p和和s s一般用一般用dBdB數數表示。對于單調下降的幅度特性，可表示成：表示。對于單調下降的幅度特性，可表示成：6.2 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj2222()1 0 l g()()1 0 l g()apapasasHjHjHjHj|H|Ha a(j0)| (j0)| 2 2 2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj|H|Ha a(j0)|(j0)|2 22222()1 0 l g()()1 0 l g()apapasasHjHjHjHj221 0 lg()1 0 lg()

15、papsasHjHj 221 0 lg()1 0 lg()papsasHjHj如果如果=0=0處幅處幅度已歸一化到度已歸一化到1 1，即即:|H:|Ha a(j0)|=1(j0)|=1圖中圖中c稱為稱為3dB截止頻率截止頻率，因，因 ( )1 /2 ,2 0 lg ( ) 3a ca cHjHjd B ( ) 1 / 2 , 2 0 lg ( ) 3acacHjHjd B(2) (2) 用模擬濾波器逼近方法設計數字用模擬濾波器逼近方法設計數字IIRIIR濾波器步驟：濾波器步驟： 給出模擬濾波器的技術指標給出模擬濾波器的技術指標 ； 設計設計傳輸函數傳輸函數 Ha(s)Ha(s)：使其：使其幅度

16、平方函數幅度平方函數滿足給定指標滿足給定指標a ap p和和a as s，|Ha(|Ha(j j )|)|2 2 = Ha(= Ha(j j ) ) HaHa* *( (j j ) = Ha() = Ha(s s) ) Ha(-Ha(-s s) )| |S=jS=j 確定確定Ha(s)Ha(s)：系統系統Ha(s)Ha(s)應是應是穩定穩定的的系統系統，因此，因此，極點極點應位于應位于6.2 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計2 2、Butterworth Butterworth 低通濾波器的設計方法低通濾波器的設計方法巴特沃斯低通濾波器的巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數幅度平方函數|H

17、a(j)|2用下式表示：用下式表示：6.2 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計221()1()aNcHj c c ，幅度迅速下降，幅度迅速下降，NN越大，幅度下降越快，過渡帶越窄。越大，幅度下降越快，過渡帶越窄。當當 =0=0時，時，|H(j|H(j )|=1)|=1；當當 = c c時，時， | | H(jH(j )|=)|= c c是是3dB3dB截止頻率。截止頻率。()1 /2 ,2 0 l g ()3acacH j H jd B N: N: 濾波器階數。濾波器階數。將幅度平方函數將幅度平方函數|H|Ha a(j)|(j)|2 2寫成寫成s s的函數：的函數：6.2 6.2 模擬濾

18、波器的設計模擬濾波器的設計21( )()1()aaNcHs Hssj此式表明幅度平方函數有此式表明幅度平方函數有2N2N個極點，極點個極點，極點s sk k用下式表示用下式表示：11 21()222( 1)()kjNNkccsje 其中，其中，k=0,1,k=0,1,(2N-1),(2N-1)2N2N個極點等間隔分布在半徑為個極點等間隔分布在半徑為c c的圓上，的圓上，間隔是間隔是 /N/Nradrad，左半平面，左半平面NN個點構成個點構成Ha(s)Ha(s)傳傳輸函數，右半平面輸函數，右半平面NN個點構成個點構成Ha(-s)Ha(-s)傳輸函數。傳輸函數。10( )()NcaNkkHsss

19、Ha(s)Ha(s)表示為：表示為：由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統一，將所有的頻率由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統一，將所有的頻率歸一化。采用對歸一化。采用對3dB3dB截止頻率截止頻率c c歸一化歸一化，歸一化后的，歸一化后的H Ha a(s)(s)表示為表示為 ：6.2 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計101( )()aNkkccHsss101()()aNkkHppp只要知道濾波器的階數只要知道濾波器的階數NN，可得歸一化，可得歸一化的傳輸函數，去歸一化的傳輸函數，去歸一化p=j=s/ p=j=s/ c ,c ,可可得到實際的傳輸函數得到實際的傳輸函數H Ha a(s

20、)(s)令令s/ s/ c c = j j / / c c，=/=/c c，稱為稱為歸一化頻率歸一化頻率，令，令p=jp=j，p p稱為稱為歸歸一化復變量一化復變量，歸一化巴特沃斯的傳輸函數為：歸一化巴特沃斯的傳輸函數為：歸一化極點歸一化極點p pk k=e=ej j ( (+(2k+1)/2N)+(2k+1)/2N)，k=0,1,k=0,1,N-1,N-1。3 3 巴特沃斯濾波器的設計步驟巴特沃斯濾波器的設計步驟(1) (1) 根據給出的技術指標根據給出的技術指標 P P、 S S、 p p、 S S，求濾波器階數，求濾波器階數NN6.2 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計221()1

21、()aNcHj/10/10101()101psapNas/ 10/ 10221()101()10psapNcaNsc/10/10221()101()10psapNcaNsc1010101/ ,101psaspspspak 設設: :lglgspspkN 用上式求出的用上式求出的NN可能有小數部分，可能有小數部分，應取大于等于應取大于等于NN的最小整數的最小整數。20lg ()20lg ()psjpjsHedBHedB10lg|H(j10lg|H(jp p)|)|2 2/1 0/1 01 01( )1 01psap Nas(2) (2) 求歸一化極點求歸一化極點p pk k，確定歸一化傳輸函數，

22、確定歸一化傳輸函數Ha(p)Ha(p) 根據求極點公式：根據求極點公式： p pk k=e=ej j ( (+(2k+1)/2N)+(2k+1)/2N)，k=0,1,k=0,1,N-1,N-1。再帶入：再帶入： 或根據階數或根據階數NN，查表，查表P157P157 表表6.2.16.2.1得到極點和歸一化傳輸函數得到極點和歸一化傳輸函數6.2 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計101()()aNkkHppp10 . 1210 . 12( 1 01 )( 1 01 )psaNcpaNcs阻帶指標阻帶指標有富裕度有富裕度10. 1210. 12( 101 )( 101 )psaNcpaNcs

23、通帶指標通帶指標有富裕度有富裕度(3)(3)求求3dB3dB截止頻率截止頻率 c c由由:|H(j:|H(j )|)|2 2=1/1+(=1/1+( / / c c) )2N2N ， = p p時時：1+(1+( p p/ / c c) )2N2N=10=10 p p/10/10。(4)(4) 將將H Ha a(p)(p)去歸一化，去歸一化，得到實際的濾波器傳輸函數得到實際的濾波器傳輸函數Ha(s)Ha(s) 將將p=s/p=s/ c c，代入代入H Ha a(p)(p)中得：中得：Ha(s)=Ha(p)| Ha(s)=Ha(p)| p=s/p=s/ c c。 6.2 6.2 模擬濾波器的設計

24、模擬濾波器的設計表表6.2.1 6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數巴特沃斯歸一化低通濾波器參數 表示兩極點表示兩極點P P1 1、P PN-N-2 26.2 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計6.2 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計總結以上，低通巴特沃斯濾波器的設計步驟如下：總結以上，低通巴特沃斯濾波器的設計步驟如下： (1)根據技術指標根據技術指標p,p,s和和s，用，用 求出濾求出濾波器的階數波器的階數N。 (2)按照按照 ，求出歸一化極點，求出歸一化極點pk，將將pk代入代入 ，得到歸一化傳輸函數，得到歸一化傳輸函數Ha(p)。 (3)將將Ha(p)去歸一化。將去歸一

25、化。將p=s/c代入代入Ha(p)，得到實際的，得到實際的濾波器傳輸函數濾波器傳輸函數Ha(s)。 lglgspspkN 1 21()22,0,1,1kjNkpekN101( )()aNkkHppp【例例】已知通帶截止頻率已知通帶截止頻率f fp p=5kHz=5kHz，通帶最大衰減，通帶最大衰減p p=2dB=2dB，阻，阻帶截止頻率帶截止頻率f fs s=12kHz=12kHz，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減s s=30dB=30dB，按照以上技術，按照以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。指標設計巴特沃斯低通濾波器。解：解：(1) (1) 設計模擬濾波器的指標為設計模擬濾波器的指標為 p p=

26、2=2 f fp p= 10104 4(rad/s)(rad/s)， a ap p=2dB=2dB s s=2=2 f fs s=2.4=2.4 10104 4(rad/s)(rad/s)， a as s=30dB=30dB (2) (2) 確定濾波器的階數確定濾波器的階數NN6.2 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計0 . 10 . 11 010 . 0 2 4 21 0122 . 42l g0 . 0 2 4 24 . 2 5 ,5l g2 . 4psas pass ppkffNN0 .10 .11 010 .0 2 4 21 0122 .42l g 0 .0 2 4 24 .2 5

27、 ,5l g 2 .4psas pass ppkffNN0 . 10 . 11 010 . 0 2 4 21 0122 . 42l g 0 . 0 2 4 24 . 2 5 ,5l g 2 . 4psas pass ppkffNN取取NN為為5 5lglgspspkN =(3) (3) 求極點求極點6.2 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計3455016523754,jjjjjseseseseseP P0 03455016523754,jjjjjseseseseseP P1 1P P2 23455016523754,jjjjjses eseseseP P3 33455016523754,

28、jjjjjseseseseseP P4 43455016523754,jjjjjsesesesese代入歸一化傳輸函數公式代入歸一化傳輸函數公式401( )()akkHppp5432432101()aHppb pb pb pb pb) 1)( 1618. 1)( 1618. 0(1)(1) (2240 pppppp ppHakk) 1)(1618. 1)(1618. 0(1)(1)(2240 ppppppppHakkp pk k=e=ej j ( (+(2k+1)/2N)+(2k+1)/2N)最簡便的方法：由最簡便的方法：由N=5N=5，直接查表得到：，直接查表得到： 極點形式：極點形式：-0

29、.3090-0.3090j0.9511j0.9511； -0.8090-0.8090j0.5878; -1.0000j0.5878; -1.0000 分母多項式的形式分母多項式的形式： 分母因式的形式分母因式的形式：(4) (4) 將將H Ha a(p)(p)去歸一化，先求去歸一化，先求3dB3dB截止頻率截止頻率c c6.2 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計10 .1210 .12(1 01 )25 .2 7 5 5/(1 01 )21 0 .5 2 5/psaNcpaNsck r a dsk r a ds 10.1210.12(101)2 5.2755/(101)2 10.525/

30、psaNcpaNsckrad skrad s 5 5554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsbb b0 0=1.0000=1.0000、b b1 1=3.2361=3.2361、b b2 2=5.2361=5.2361、b b3 3=5.2361=5.2361、b b4 4=3.2361=3.2361(5) (5) 將將p=s/p=s/c c代入代入H Ha a(p)(p)中得到：中得到：四、模擬濾波器的頻率變換四、模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設計設計6.2 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計各類模擬濾波器的設

31、計過程圖各類模擬濾波器的設計過程圖 HPHPBPBPBSBS指標指標LPLP指指標標G(jG(j ) )傳輸傳輸函數函數H HHPHP(j (j ) )H HBPBP(j (j ) )H HBSBS(j (j ) )傳輸函數傳輸函數頻率變換頻率變換頻率變換頻率變換設計設計AFAF濾波器濾波器LPLP其他其他AFAF濾波器濾波器HP, BP, BSHP, BP, BS設：設：傳輸函數傳輸函數G(s)G(s)H(s)H(s)歸一化截止頻率歸一化截止頻率 歸一化拉氏變量歸一化拉氏變量p=jp=j q=jq=j 歸一化傳輸函數歸一化傳輸函數G(p)G(p)H(q)H(q)為了防止符號混淆，先規定一些符

32、號如下：為了防止符號混淆，先規定一些符號如下： 1) 低通到高通的頻率變換低通到高通的頻率變換 和和之間的關系為之間的關系為上式即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通上式即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通G(j)，高通，高通H(j)則用下式轉換：則用下式轉換：11()()H jG j低通與高通濾波器的幅度特性低通與高通濾波器的幅度特性模擬高通濾波器的設計步驟如下：模擬高通濾波器的設計步驟如下： (1)確定高通濾波器的技術指標：通帶下限頻率確定高通濾波器的技術指標：通帶下限頻率p，阻，阻帶上限頻率帶上限頻率s，通帶最大衰減，通帶最大衰減p，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減s。 (2)確定相

33、應低通濾波器的設計指標：按照確定相應低通濾波器的設計指標：按照(6.2.40)式，將式，將高通濾波器的邊界頻率轉換成低通濾波器的邊界頻率，高通濾波器的邊界頻率轉換成低通濾波器的邊界頻率，各項設計指標為：各項設計指標為： 低 通 濾 波 器 通 帶 截 止 頻 率 低 通 濾 波 器 通 帶 截 止 頻 率 p = 1 / p； 低通濾波器阻帶截止頻率低通濾波器阻帶截止頻率s=1/s； 通帶最大衰減仍為通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減仍為，阻帶最小衰減仍為s。 (3)設計歸一化低通濾波器設計歸一化低通濾波器G(p)。 (4)求模擬高通的求模擬高通的H(s)。將。將G(p)按照按照(6.2.40)

34、式，轉式，轉換成歸一化高通換成歸一化高通H(q)，為去歸一化，將，為去歸一化，將q=s/c代入代入H(q)中，得中，得 例例6.2.3 設計高通濾波器設計高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性，幅度特性單調下降，單調下降，fp處最大衰減為處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減s=15dB。( )( )cpsH sG p解：高通技術要求：解：高通技術要求： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB 歸一化頻率歸一化頻率1,0.5pspsccffff低通技術要求：低通技術要求：11,23,15psspsdBdB 設計歸一化低通設計歸一化低通G(p)。

35、采用巴特沃斯濾波器，故。采用巴特沃斯濾波器，故0.10.1321010.181012lg2.47,3lg1( )221psspssppspspkkNNG pppp 求模擬高通求模擬高通H(s)：33223( )( )222cpcccscpsH sG psssf 利用模擬濾波器設計利用模擬濾波器設計IIRIIR數字濾波器設計過程：數字濾波器設計過程：6.3 6.3 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIRIIR數字低通濾波器數字低通濾波器設計技術成熟設計技術成熟有相當簡便的有相當簡便的公式和圖表公式和圖表模擬濾波器模擬濾波器)(sHaAFAF由此設計由此設計數字濾波器數字濾波器)(zHDF

36、DF要求要求DFDF特性特性模仿模仿AFAF的特性的特性實際上是個映射問題實際上是個映射問題MappingMapping離散時間域離散時間域(Z(Z平面平面) )轉換關系轉換關系連續時間域連續時間域(S (S平面平面) )轉換后的H(z)穩定且滿足技術要求，對轉換關系提出兩點要求：(1) 因果穩定的模擬濾波器轉換成數字濾波器，仍是因果穩定的。 (2)數字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應的頻率之間成線性關系。6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器Re(z)jIm(z)0z平面平面1z1z2 j j 0S平面平面S1xS2x滿足上述轉換關系的映射

37、方法有：脈沖響應不變法和雙線性變換法一、脈沖響應不變法的基本思想一、脈沖響應不變法的基本思想 使使h(n)h(n)模仿模仿h ha a(t)(t)，讓，讓h(n)h(n)正好等于正好等于h ha a(t)(t)的采樣值的采樣值二、變換方法二、變換方法1 1、設模擬濾波器、設模擬濾波器Ha(s)Ha(s)只有單階極點只有單階極點，且分母多項式的階次高于，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將分子多項式的階次，將H Ha a(s)(s)用部分分式表示：用部分分式表示： 6.3 6.3 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIRIIR數字低通濾波器數字低通濾波器H Ha a(s)(s)LTL

38、T-1 -1HHa a(s)(s)h ha a(t)(t)時域采樣時域采樣h(n)h(n)ZTh(n)ZTh(n)H(z)H(z)所以說脈沖響應不變法是一種時域上的變換方法所以說脈沖響應不變法是一種時域上的變換方法1( )NiaiiAHssss si i為為H Ha a(s)(s)的單階極點的單階極點1( )( )iNsntaiih tAe u t1()()iNsn taiihtA eu tLTLT-1 -1Ha(s)Ha(s)U(t)U(t)為單位階躍函數為單位階躍函數對ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：對上式進行Z變換，得到數字濾波器的系統函數H(z)：結論:(1) S平面的單

39、極點s=si映射到Z平面的極點z=esiT。 (2) Ha(s)部分分式的系數與H(z)部分分式的系數相同。 6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器1( )()()iNs nTaiih nhnTAeu nT11( )1iNis TiAH zez2 2、Ha(s)Ha(s)有共軛復數對極點有共軛復數對極點Ha(s)Ha(s)的極點的極點s si i一般是一個復數，以共軛成對的形式出現，將一一般是一個復數，以共軛成對的形式出現，將一對復數共軛極點放在一起，形成一個二階基本節。對復數共軛極點放在一起，形成一個二階基本節。AFAF二階基本節形式一：二階基本節形式一：6.3 6.3 用脈沖響應

40、不變法設計用脈沖響應不變法設計IIRIIR數字低通濾波器數字低通濾波器21211)s (s) s (Ha:+=形式一極點極點- - 1 1 j j 1 1ha(t)=LTha(t)=LT-1 -1Ha(s)=eHa(s)=e- - t t coscos 1 1t t u(t)u(t)，對，對ha(t)ha(t)進行等間隔采樣進行等間隔采樣1 1h(n)=ha(nT)= eh(n)=ha(nT)= e- - nT nT coscos( ( 1 1nT)nT) u(nT)u(nT)，進行，進行Z Z變換變換1 1+= 0 nnnT1 jnT1 jnT1nnz )ee (21 ez ) n ( h)

41、 z ( H1111121211cos12cosTTTzeTzeTzeAF二階基本節形式二：6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器ha(t)=LT-1Ha(s)=e- tsin1tu(t)，對ha(t)進行等間隔采樣1h(n)=ha(nT)= e- nTsin(1nT)u(nT)，進行Z變換121211)s () s (Ha:+=形式二極點-1j1+= 0 nnnT1 jnT1 jnT1nnz )ee (21 ez ) n ( h) z ( H1111112211112121,()s i n12c o sTTTjszeTzeTze三、三、S S平面和平面和Z Z平面之間的映射關系平面

42、之間的映射關系1 1、采樣信號的拉氏變換與相應的序列的、采樣信號的拉氏變換與相應的序列的Z Z變換之間的映射關系：變換之間的映射關系：(1) (1) 設設h ha a(t)(t)的采樣信號表示為的采樣信號表示為: :(2) (2) 對對 進行拉氏變換，得到進行拉氏變換，得到6.3 6.3 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIRIIR數字低通濾波器數字低通濾波器( )( ) ()aanhthttnT( )aht()()() ()s taas tans n THshted thtn Ted tn Te nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)

43、()()()()()()(nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()(nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()(nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()(nnznhzH)()() () ( s Hz Hae zsT)()(sHzHaezsTsTze2、模擬信號的拉氏變換與相應的序列的Z變換之間的映射關系：模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha(j)和其采樣信號 的傅里葉變換 之間的關系滿

44、足：結論：采樣信號的拉氏變換是原模擬信號的拉氏變換在S平面沿虛軸以s=2/T為周期進行的周期延拓；6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器( )aht( )ah t1()()1()()1()()sTaaskaaskaszekHjHjj kTHsHsj kTHzHsj kT1()()1()()1()()sTaaskaaskaszekHjHjj kTHsHsj kTHzHsj kT()aHj將s=j代入上式，得：說明：說明：采用脈沖響應不變法將采用脈沖響應不變法將AFAF變換為數字變換為數字DFDF時時 H Ha a(s)(s)沿虛軸以沿虛軸以 s=2s=2 /T/T為周期進行周期延拓為周

45、期進行周期延拓; ; 再經過再經過Z=eZ=eSTST的映射關系映射到的映射關系映射到Z Z平面上，從而得到平面上，從而得到H(z)H(z)上面的這種轉換是否滿足對轉換關系提出的上面的這種轉換是否滿足對轉換關系提出的2 2點要求點要求: :設：設：S=S=j j ，Z=rZ=r e ejwjw 脈沖響應不變法標準映射關系：脈沖響應不變法標準映射關系： Z=eZ=eSTST r r e ejwjw=e=e( (j j )T)T=e=e T T e e j j T T得到得到：r= er= e T T； w=w= T T6.3 6.3 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIRIIR數字低通濾

46、波器數字低通濾波器頻率域的坐標變換是線性的頻率域的坐標變換是線性的1()()1()()1()()sTaaskaaskaszekHjHjjkTHsHsjkTHzHsjkT因果穩定因果穩定模仿頻響模仿頻響由采樣信號的拉氏變換與相應的序列的由采樣信號的拉氏變換與相應的序列的Z Z變換之間的映射關系：變換之間的映射關系： 0時，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(r=|z|0時，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外(r=|z|1)以上分析結論：若Ha(s)是因果穩定的，則轉換后的H(z)也是因果穩定的。6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器r= eT因果穩定的分析j0-/T3/T-3/

47、T/TS平面1Re(z)jIm(z)0Z平面當不變，模擬角頻率變化2/T整數倍，映射值不變，S平面上每一條寬度為2/T的水平橫帶都重迭地映射到Z平面的整個全平面上 每條水平橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓內； 水平橫帶右半部分映射到Z平面的單位圓外 j虛軸上每2/T段都對應著單位圓一周6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器j0-/T3/T-3/T/TS平面1Re(z)jIm(z)0Z平面2(),jM TsTTj TTTee ee eMz=esT是周期函數erban由上面分析結果：由上面分析結果： S S平面與平面與Z Z平面的映射關系滿足轉換條件；平面的映射關系滿足轉換條件； 但存在

48、著但存在著多值多值(s)(s)單值單值(z)(z)映射關系映射關系6.3 6.3 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIRIIR數字低通濾波器數字低通濾波器(3) DF(3) DF的頻響是的頻響是AFAF頻響的周期延拓頻響的周期延拓)(jeH0T0T)( jHa頻率混疊頻率混疊sTez (1)(1)雖然雖然)(sHa)(zH直接映射直接映射但并非但并非)(sHa而是而是)(zH映射映射注意：注意：只有只有AFAF頻響限于頻響限于 /T/T之內，之內，DFDF頻響才不失真地復現頻響才不失真地復現AFAF頻響，否則，頻響，否則，設計出來的設計出來的DFDF在在w=w= 附近產生頻率混疊附近產

49、生頻率混疊。(2) (2) 采樣信號的拉氏變換是其模擬信號的拉采樣信號的拉氏變換是其模擬信號的拉氏變換以氏變換以2 2 /T/T為周期，沿虛軸進行周期化。為周期，沿虛軸進行周期化。脈沖響應不變法的應用受限脈沖響應不變法的應用受限只適合設計只適合設計帶限濾波器帶限濾波器，如：低通、帶通濾波器的設計，不適，如：低通、帶通濾波器的設計，不適合高通、帶阻濾波器的設計。合高通、帶阻濾波器的設計。6.3 6.3 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIRIIR數字低通濾波器數字低通濾波器假設假設 沒有頻率混疊現象，即滿足：沒有頻率混疊現象，即滿足： ()aHj()0,/aHjT 按照上式，并將關系式按

50、照上式，并將關系式s=js=j代入，代入，=T=T，代入得到：，代入得到：1()()1()()1()()sTaaskaaskaszekHjHjjkTHsHsjkTHzHsjkT1()(),jaH eHjTT數字濾波器的頻響可以很好數字濾波器的頻響可以很好模仿模擬濾波器的頻響模仿模擬濾波器的頻響四、四、 脈沖響應不變法的優缺點脈沖響應不變法的優缺點優點：優點： 1 1、頻率變換是、頻率變換是線性關系線性關系; ; w=w= T T ，模數字濾波器可以很好重現，模數字濾波器可以很好重現模擬濾波器的頻響特性；模擬濾波器的頻響特性； 2 2、數字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖、數字濾波

51、器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，時域特性逼近好；激響應，時域特性逼近好；缺點：缺點： 1. 1. 有頻譜混迭失真現象；有頻譜混迭失真現象；(S (S平面到平面到Z Z平面有多值映射關系平面有多值映射關系) ) 2. 2. 由于頻譜混迭，使應用受到限制。由于頻譜混迭，使應用受到限制。(T(T失真失真 ，但運算量但運算量 , ,實現困難實現困難) )6.3 6.3 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIRIIR數字低通濾波器數字低通濾波器【例例】 已知模擬濾波器的傳輸函數已知模擬濾波器的傳輸函數H Ha a(s)(s)為為用脈沖響應不變法將用脈沖響應不變法將H Ha a(s

52、)(s)轉換成數字濾波器的系統函數轉換成數字濾波器的系統函數H(z)H(z)解：解：首先將首先將Ha(s)Ha(s)寫成部分分式寫成部分分式：極點為：極點為：根據：根據： ，H(z)H(z)的極點為：的極點為：6.3 6.3 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIRIIR數字低通濾波器數字低通濾波器20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj sTze1212,s Ts Tzeze按照： ，經過整理，得到當：T=1s

53、時用H1(z)表示，T=0.1s時用H2(z)表示，則：將Ha(j) 、H1(ejw)、 H2(ejw)的幅度特性用它們最大值歸一化后，得到它們的幅度特性曲線，如下圖所示：6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器11( )1iNis TiAH zez111212120 . 3 2 7 6()11 . 0 3 2 80 . 2 4 70 . 0 4 8 5()11 . 9 3 0 70 . 9 3 7 5zHzzzzHzzz111212120 . 3 2 7 6()11 . 0 3 2 80 . 2 4 70 . 0 4 8 5()11 . 9 3 0 70 . 9 3 7 5zHzzz

54、zHzzz26449. 011T3224. 0ze)T7772. 0cos(z1z )T7772. 0sin(3224. 0 .e2)z(H-+2-=yiban6.3 用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器很輕的混疊現象嚴重的混疊現象 脈沖響應不變法的主要缺點脈沖響應不變法的主要缺點: :產生頻率譜混迭現象。產生頻率譜混迭現象。 原因原因：模擬低通的最高頻率超過了折疊頻率模擬低通的最高頻率超過了折疊頻率 /T/T，數字化后，數字化后在在w= w= 形成頻譜混疊現象。形成頻譜混疊現象。 解決方法：解決方法：采用非線性壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范采用非線性壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓

55、縮到圍壓縮到/T /T 之間，而后再用之間，而后再用 Z=eZ=eST ST 轉換到轉換到 Z Z 平面上。平面上。 6.4 6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIRIIR數字低通濾波器數字低通濾波器一雙線性變換法消除頻譜混迭的原理一雙線性變換法消除頻譜混迭的原理1 1、非線性壓縮：、非線性壓縮：(S (S平面平面S S1 1平面平面映射映射) )雙線性變換法用雙線性變換法用正切變換正切變換實現非線性頻率壓縮，設實現非線性頻率壓縮，設H Ha a(s)(s)，s=js=j，經過非線性頻率壓縮后用，經過非線性頻率壓縮后用H Ha a(s (s1 1) )， s s1 1=j=j1 1

56、表示。則：表示。則：上式表明：上式表明：當當1 1從從/T/T經過經過0 0變化到變化到-/T-/T時，時，則則由由經過經過0 0變化到變化到-，這樣實現了，這樣實現了s s平面上整個虛軸平面上整個虛軸完全壓縮到完全壓縮到s s1 1平面上虛軸的平面上虛軸的/T/T之間的轉換。之間的轉換。6.4 6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIRIIR數字低通濾波器數字低通濾波器121tan()2TT 0 0 /T/T- - /T/T 1 1 T T：時域采樣間隔；：時域采樣間隔；由上面可得：由上面可得：(- (- ，+ + ) )， 1 1 (- (- /T/T，+ + /T) /T) ；6

57、.4 6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIRIIR數字低通濾波器數字低通濾波器)2(11)2tan(j S12 / 2 /2 / 2 /1111111T SthCeeCe ee eCjjTjCT ST ST j T jT j T j )2(11)2tan(j S12 /2 /2 /2 /1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121t a n ()2TT )2(11)2tan(j S12 /2 /2 /2 /1111111T SthCeeCe ee eCjjTjCT ST ST j T jT j T j )2(11)2tan(j S12 /2 /

58、2 /2 /1111111T SthCeeCeeeeCjjTjCT ST STjTjTjTj 121t a n ()2TT )2(11)2tan(j S12 / 2 /2 / 2 /1111111T SthCeeCe ee eCjjT jCT ST ST j T jT j T j )2(11)2tan(j S12 /2 /2 /2 /1111111T SthCeeCeeeeCjjTjCT ST STjTjTjTj 121t a n ( )2TT )2(11)2tan(j S12 /2 /2 /2 /1111111T SthCeeCeeeeCjjTjCT ST ST jT jT jT j 121

59、t a n ()2TT )2(11)2tan(j S12/2/2/2/1111111T Sth CeeCe ee eCjjTjCT ST ST jT jT jT j )2(11)2tan(j S12/2/2/2/1111111T Sth CeeCe ee eCjjTjCT ST ST jT jT jT j 2 2、S S1 1平面到平面到Z Z平面的映射平面的映射將將S S1 1平面映射到平面映射到Z Z平面上，用標準映射平面上，用標準映射Z=eZ=eS S1 1T T。代入上式。代入上式SCSCzzzCeeCSTSe z TSTS ,111111111即即SCSCzzzCeeCSTSe zT

60、STS ,111111111即即121t a n ()2TT SCSCzzzCeeCSTSe z T ST S ,111111111即即121t a n ()2TT S CS CzzzCeeC ST Se z T ST S ,111111111即即1121122zsTzsTzsT推出推出3 3、雙線性不變法的映射關系、雙線性不變法的映射關系映射過程：映射過程：從從s s平面映射到平面映射到s s1 1平面，再從平面，再從s s1 1平面映射到平面映射到z z平面。平面。 S S平面與平面與Z Z平面是平面是一一對應的單值映射一一對應的單值映射關系，消除了脈沖響應關系，消除了脈沖響應不變法的多值