1、高等數學第五周講義高等數學第五周講義3、掌握無窮小的概念及性質，理解無窮、掌握無窮小的概念及性質，理解無窮小階的概念并能比較兩個無窮小。小階的概念并能比較兩個無窮小。注意無窮小、無窮大、無界的關系注意無窮小、無窮大、無界的關系如判斷：函數如判斷：函數xxycos 是否無界，是否為無窮大量。是否無界，是否為無窮大量。P33:B(1)高等數學第五周講義高等數學第五周講義4、掌握函數連續性的定義及判斷，掌握函數連續性的定義及判斷，會判斷間斷點的類型會判斷間斷點的類型函數常見的間斷點來源：函數無定義的函數常見的間斷點來源：函數無定義的點、分段函數的分界點。點、分段函數的分界點。討論函數討論函數xxfn

2、nxxn2211lim)( 的連續性，若有間斷點，判別其類型。的連續性，若有間斷點，判別其類型。P543（4）高等數學第五周講義高等數學第五周講義掌握初等函數的連續性、并會用閉區間上掌握初等函數的連續性、并會用閉區間上連續函數的性質（最值定理、介值定理連續函數的性質（最值定理、介值定理)進進行簡單的證明。行簡單的證明。如：如：P62（B（2）、）、P64(7)高等數學第五周講義高等數學第五周講義第一章總復習題選講第一章總復習題選講baxbaxxx,求, 1lim112如：當如：當又如：又如：2lim11223xbxaxx時，時，求求a,b113)2(3)2(limnnnnn)(求,)(lim)

3、 1(xfxfnnxnnnnnn)1 (lim211xxxxcbax1)(lim30 xxxtan)2/()(sinlimP64(5)高等數學第五周講義高等數學第五周講義nnnR222sinlim圓內接正圓內接正 n 邊形面積為邊形面積為nnAA lim圓)sin(2221nnRnA2R2n例：求半徑為例：求半徑為R的圓的面積的圓的面積高等數學第五周講義高等數學第五周講義例9（連續復利問題）和為年后本，則此人若：以年為計。，投資的年利率為本金為利期周息trPtrp)1 ( 和為年后本，則此人若：以月為計。，投資的年利率為本金為息期周息trPtrp1212)1 ( 高等數學第五周講義高等數學第五

4、周講義和為年后本，則此人若：以天為計。，投資的年利率為本金為息息周期trPtrp365365)1 ( 和為年后本，則此人年為計若：以。，投資的年利率為本金為息期周息/1tnrPntnrp)1 ( ntnrnp)1 (limrte連續復利公式：連續復利公式：高等數學第五周講義高等數學第五周講義課后作業課后作業 P48(A) 3 P54(A) 3(1,2) P59(A) 奇數題奇數題高等數學第五周講義高等數學第五周講義第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節導數的概念導數的概念 高等數學第五周講義高等數學第五周講義 引例引例1. 變速直線運動的瞬時速度變速直線運動的瞬時速度設描述質點位移與時

5、間的函數為設描述質點位移與時間的函數為)(tfs 0t則則 到到 的平均速度為的平均速度為0tt v)()(0tftf0tt 而在而在 時刻的瞬時速度為時刻的瞬時速度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt so)(0tf)(tft高等數學第五周講義高等數學第五周講義 xyo2. 曲線在某點的切線曲線在某點的切線NT0 xMx割線割線 M N 的斜率的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 00 lim0 xx)f(x)-f(xkxx切線的斜率)(xfy T高等數學第五周講義高等數學第五周講義上述屬同類數學問題。上述屬同類數學問題。瞬時速度瞬時速度 lim0ttv)()(0tftf0tt

6、 切線斜率切線斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 高等數學第五周講義高等數學第五周講義二、函數在一點處可導二、函數在一點處可導定義定義 . 設函數設函數)(xfy 在點在點0 x0limxx00)()(xxxfxf存在存在,)(xf并稱此極限為并稱此極限為)(xfy 記作記作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf則稱函數則稱函數若若的某鄰域內有定義的某鄰域內有定義 , 在點在點0 x處處可導可導, 在點在點0 x的的導數導數. 若上述極限不存在若上述極限不存在 ,在點 不可導. 0 x就說函數就說函數若也稱也稱)(xf在在0 x的導數為的導數為無

7、窮大無窮大 .0limxx00)()(xxxfxf高等數學第五周講義高等數學第五周講義0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx函數在函數在x0處可導的增量形式處可導的增量形式0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000高等數學第五周講義高等數學第五周講義在在 時刻的瞬時速度：位移關于時間的導數時刻的瞬時速度：位移關于時間的導數。0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲線在曲線在 M 點處的切線斜率：曲線在點處的切線斜率：曲線在M處的導數處的導數 lim0 xxk)()(0 xfxf0

8、 xx )(0tf )(0 xf 引例問題的解：引例問題的解：導數就是一種特殊類型的極限。導數就是一種特殊類型的極限。高等數學第五周講義高等數學第五周講義例例1：求函數：求函數y=x2+1在在x=2處的導數。處的導數。xxxfxfxfxxfy 4)()12(1)2()2()2()()(22200解： 函數的增量：xxxxyxx 4)(limlim2004)4(lim0 xx4)2( f高等數學第五周講義高等數學第五周講義若函數在開區間若函數在開區間 I 內每點都可導內每點都可導,此時導數與自變量之間構成的函數稱為此時導數與自變量之間構成的函數稱為導函數導函數.記作記作:;y; )(xf ;dd

9、xy.d)(dxxf就稱函數就稱函數在在 I 內可導內可導. 函數在區間上的導數（導函數）函數在區間上的導數（導函數）高等數學第五周講義高等數學第五周講義Cxf)(求基本初等函數的導數求基本初等函數的導數)()(1aaxaxxx1)(lnaaaxxln)(0)()( Cxf高等數學第五周講義高等數學第五周講義hxhxhsin)sin(lim0例例6. 求函數求函數xxfsin)(的導數的導數. 解解:,xh令則)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即即xxcos)(sin類似可證得類似可證得xxsin)(

10、cosh高等數學第五周講義高等數學第五周講義在點在點0 x的某個的某個右右 鄰域內鄰域內四、四、 單側導數單側導數)(xfy 若極限若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000則稱此極限值為則稱此極限值為)(xf在在 處的處的右右 導數導數,0 x記作記作)(0 xf即即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0( x)0( x)(0 xf定義定義 . 設函數設函數有定義有定義,存在存在,高等數學第五周講義高等數學第五周講義定理定理. 函數函數在點在點0 x)(xfy ,)()(00存在與xfxf且且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0

11、 xf簡寫為簡寫為可導的可導的充分必要條件充分必要條件是是高等數學第五周講義高等數學第五周講義例例. 證明函數證明函數xxf)(在在 x = 0 不可導不可導. 證證:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在不存在 , .0不可導在即xx高等數學第五周講義高等數學第五周講義處可導在點xxf)(五、五、 函數的可導性與連續性的關系函數的可導性與連續性的關系定理定理.處連續在點xxf)(證證: 設)(xfy 在點在點 x 處可導處可導,)(lim0 xfxyx存在存在 , 因此必有因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故故xxxfy)(0 x0所以函數所以函數

12、)(xfy 在點在點 x 連續連續 .注意注意: 函數在點函數在點 x 連續未必可導連續未必可導.反例反例:xy xyoxy 在在 x = 0 處連續處連續 , 但不可導但不可導.即高等數學第五周講義高等數學第五周講義在點在點處處右右 導數存在導數存在0 x定理定理3. 函數)(xf)(xf在點在點0 x必必 右右 連續連續.(左左)(左左)若函數若函數)(xf)(af)(bf與都存在都存在 , 則稱)(xf顯然顯然:)(xf在閉區間 a , b 上可導,)(baCxf在開區間在開區間 內可導內可導,),(ba在閉區間 上可導.,ba且高等數學第五周講義高等數學第五周講義第二節第二節函數的求導

13、法則函數的求導法則 第二章 高等數學第五周講義高等數學第五周講義一、四則運算求導法則一、四則運算求導法則 定理定理1.具有導數都在及函數xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、差、 積、 商商 (除分母除分母為為 0的點外的點外) 都在點都在點 x 可導可導, 且且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv高等數學第五周講義高等數學第五周講義此法則可推廣到任意有限項的情形此法則可推廣到任意有限項的情形.證證: 設, 則vuvu )() 1 ()()(

14、)(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故結論成立故結論成立.wvuwvu)( ,例如例如例如,高等數學第五周講義高等數學第五周講義(2)vuvuvu )(證證: 設設, )()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結論成立故結論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論推論: )() 1uC )()2wvuuC w

15、vuwvuwvu( C為常數為常數 )高等數學第五周講義高等數學第五周講義求下列函數的導數：求下列函數的導數：9223 xxxyxxylncosxxxyln)cos2(sin 高等數學第五周講義高等數學第五周講義)()( lim0 xvhxvh(3)2vvuvuvu證證: 設設)(xf則有則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故結論成立故結論成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推論推論:2vvCvC( C為常數為常數 )高等數學第五周講義高等數學第

16、五周講義 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求證求證,sec)(tan2xx證證: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx高等數學第五周講義高等數學第五周講義 )( xf二、反函數的求導法則二、反函數的求導法則 定理定理4. y 的某鄰域內嚴格單調可導的某鄰域內嚴格單調可導, 證證: 在在 x 處給增量處給增量由反函數的單調性知由反函數的單調性知且由反函數的連續性

17、知且由反函數的連續性知 因此因此,)()(1的反函數為設yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx時必有xyxfx0lim)( lim0yyx 1 )(1yf1 )(1yf11高等數學第五周講義高等數學第五周講義證明的另外一種寫法：證明的另外一種寫法：00110)()(01lim )(yyyfyfyyyf 0y )()()(0001limxfxfxxxxyfx 000)()(lim/1xxxfxfxx )(/10 xf 高等數學第五周講義高等數學第五周講義1例例. 求反三角函數的導數求反三角函數的導數.解解: 1) 設,arcsin xy 則則

18、,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得類似可求得 )(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211x0cosy, 則則高等數學第五周講義高等數學第五周講義在點在點 x 可導可導, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、復合函數求導法則三、復合函數求導法則定理定理5.)(xgu )(ufy 在點)(xgu 可導可導復合函數復合函數 fy )(xg且且)()(ddxgufxy在點在點 x 可導可導,證證:)(ufy 在點在點 u 可導可導, 故故)(lim0ufuyuuuufy)(（當

19、時 )0u0故有故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy高等數學第五周講義高等數學第五周講義例：求下列函數的導數。例：求下列函數的導數。xycosln xy5sin 0|,|ln xxy高等數學第五周講義高等數學第五周講義例如例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufuyddvuddxvdd關鍵關鍵: 搞清復合函數結構搞清復合函數結構, 由外向內逐層求導由外向內逐層求導.推廣：推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形此法則可推廣到多個中間變量的情形.復合函數求導的鏈式法則復合函數求導的鏈式法則高等數學第五周講義高等數學第五周講義例例. 設設, )co

20、s(lnxey 求求.ddxy例例6. 設設),sinln(xxy .y求高等數學第五周講義高等數學第五周講義基本初等函數的導數基本初等函數的導數 (P78) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x高等數學第五周講義高等數學第五周講義定義定義.若函數若函數)(xfy

21、 的導數的導數)(xfy可導可導, ,或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd22xyxxy類似地類似地 , 二階導數的導數稱為三階導數二階導數的導數稱為三階導數 ,1n階導數的導數稱為階導數的導數稱為 n 階導數階導數 ,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的的二階導數二階導數 , 記作記作y )(xf 的導數為的導數為依次類推依次類推 ,分別記作分別記作則稱則稱五、高階導數五、高階導數高等數學第五周講義高等數學第五周講義求冪函數求冪函數nxy 的各階導數的各階導數。,2210nnxaxaxaay求求.)(ny例，設例，設例例. ,2xex

22、y 求求)5(y高等數學第五周講義高等數學第五周講義課后作業課后作業P73（A）（）（1）P83（A）（）（2、3）高等數學第五周講義高等數學第五周講義第三節第三節隱函數和參變量函數求導法則隱函數和參變量函數求導法則 第二章 高等數學第五周講義高等數學第五周講義31xy一、隱函數的導數一、隱函數的導數若由方程若由方程0),(yxF可確定可確定 y 是是 x 的函數的函數 ,由由)(xfy 表示的函數表示的函數 , 稱為稱為顯函數顯函數 .例如例如,013 yx可確定顯函數可確定顯函數03275xxyy可確定可確定 y 是是 x 的函數的函數 ,函數為函數為隱函數隱函數 .則稱此則稱此（1）隱函

23、數與顯函數的概念。隱函數與顯函數的概念。0sin yexyx高等數學第五周講義高等數學第五周講義（2）隱函數隱函數求導方法：方程兩邊同時求導。求導方法：方程兩邊同時求導。 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對兩邊對 x 求導求導(解含導數解含導數 的方程的方程)y高等數學第五周講義高等數學第五周講義例例. 求由方程求由方程03275xxyy)(xyy 的導數，并求在的導數，并求在 x = 0處的導數值。處的導數值。解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導求導)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因因 x = 0 時時 y = 0 , 故故2

24、10dd xxy0確定的隱函數確定的隱函數高等數學第五周講義高等數學第五周講義求由方程求由方程0sin yexyx確定的函數確定的函數y=y(x)、函數、函數x=x(y)的導數的導數高等數學第五周講義高等數學第五周講義例例. 求求)0(sinxxyx的導數的導數 . 解解: 兩邊取對數兩邊取對數 ,xxylnsinln兩邊對 x 求導yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx兩邊求導法在顯函數上的應用：取對數求導法。兩邊求導法在顯函數上的應用：取對數求導法。高等數學第五周講義高等數學第五周講義用對數求導法求導用對數求導法求導 :uvylnlnyy1uv lnuv

25、u)ln(uvuuvuyv冪指函數冪指函數 的導數的求法。的導數的求法。)()(xvxuy 高等數學第五周講義高等數學第五周講義例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對數yln兩邊對 x 求導yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb高等數學第五周講義高等數學第五周講義二、由參數方程確定的函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數參數方程：參數方程：)()(tytx可以確定一個可以確定一個 y 與與 x 之之間的函數關系間的函數關系高等數學第五周講義高等數學第五周講義由參數方程確定的函數的導數由參數方程確定的函數的導數若參

26、數方程若參數方程)()(tytx可確定一個可確定一個 y 與與 x 之間的函數之間的函數)(, )(tt可導可導, 且且,0 )( )(22tt則則0)( t時時, 有有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時時, 有有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此時看成此時看成 x 是是 y 的函數的函數 )關系關系,高等數學第五周講義高等數學第五周講義例例8：設函數：設函數y=f(x)由參數方程：由參數方程：tbytax33sincos所確定，求此函數的導數。所確定，求此函數的導數。 tyttxcos1sin例例7：設函數：設函數y=f(x)由參數方程

27、：由參數方程：所確定，求此函數的導數。所確定，求此函數的導數。高等數學第五周講義高等數學第五周講義)(, )(tt二階可導二階可導,且且,0)( t則由它確定的函數則由它確定的函數)(xfy 可求二階導數可求二階導數 .)()(tytx若參數方程中若參數方程中高等數學第五周講義高等數學第五周講義例例9. 設由方程設由方程)cos1 ()sin(tayttax確定函數確定函數, )(xyy 求求.dd22xy高等數學第五周講義高等數學第五周講義)(sincos xyteytextt，求，求已知參變量函數已知參變量函數 課堂作業課堂作業高等數學第五周講義高等數學第五周講義第四節第四節微分微分 第二

28、章 高等數學第五周講義高等數學第五周講義一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少問此薄片面積改變了多少? 0 xx20 xA xx 02)( x0 x變到變到,0 xx邊長由邊長由其其2020)(xxxA 20)(2xxx主要部分主要部分可忽略部分可忽略部分高等數學第五周講義高等數學第五周講義故xxA02稱為函數在稱為函數在 的微分的微分0 x高等數學第五周講義高等數學第五周講義的微分微分,定義定義: 若函數若函數)(xfy 在點在點 的增量可表示為的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A

29、 為不依賴于為不依賴于x 的常數的常數)則稱函數則稱函數)(xfy 而 稱為xA在)(xf0 x點記作yd,df或即xAyd)( xoxA在點在點0 x可微可微,微分就是函數增量的線性主要部分微分就是函數增量的線性主要部分高等數學第五周講義高等數學第五周講義例：若例：若x=1，對于，對于x=0.1,0.05=0.1,0.05時，對時，對于于y= =x3 3，d dy分別是多少？分別是多少？高等數學第五周講義高等數學第五周講義定理定理 : 函數函數證證: “必要性必要性” 已知)(xfy 在點在點 可微可微 ,0 x則則)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故故Axf

30、)(0)( xoxA)(xfy 在點在點 可導可導,0 x且且)(xfy 在點在點 可微的可微的充要條件充要條件是是0 x)(xfy 在點在點 處可導處可導,0 x且, )(0 xfA即即xxfy)(d0微分的求法微分的求法高等數學第五周講義高等數學第五周講義“充分性充分性”已知已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 線性主部 即即xxfy)(d0在點在點 可導可導,0 x則則高等數學第五周講義高等數學第五周講義求函數y=x在任意一點處的微分dxdy xxfxxfyd)()(d 從而)(ddxfxy導數也叫作微商xx

31、x )(高等數學第五周講義高等數學第五周講義微分的幾何意義微分的幾何意義xx0 xyo)(xfy 0 xyyd切線縱坐標的增量切線縱坐標的增量高等數學第五周講義高等數學第五周講義例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112又如又如,高等數學第五周講義高等數學第五周講義二、二、 微分運算法則微分運算法則設設 u(x) , v(x) 均可微均可微 , 則則)(d. 1vu )(d. 2uC(C 為常數為常數)(d. 3vu)0()(d. 4vvuvudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv高等數學第五周講義高等數學第五周講義基

32、本初等函數的微分公式基本初等函數的微分公式 (見見 P91)高等數學第五周講義高等數學第五周講義的微分的微分求求xxxycosln 高等數學第五周講義高等數學第五周講義微分運算法則：復合函數的微分。微分運算法則：復合函數的微分。分別可微分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分為的微分為xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d一階微分形式的不變性一階微分形式的不變性則復合函數則復合函數dxydyx duydtyut 高等數學第五周講義高等數學第五周講義例例., )1(ln2xey求 .dy解解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeex

33、xxd12222xe高等數學第五周講義高等數學第五周講義課堂練習xeyeyxbaxsin1)cos( 求下列函數的微分：求下列函數的微分：高等數學第五周講義高等數學第五周講義例例. 設設,0)cos(sinyxxy求求 .dy0)d(cos()sin( dyxxyxyyxdsindsin )sin(yx0)(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(隱函數的微分：兩邊求微分隱函數的微分：兩邊求微分xxyyxdcosdsin)sin(yx0)(d ydx高等數學第五周講義高等數學第五周講義三、三、 微分的應用：近似計算微分的應用：近似計算dxxfxfxxf)()()(00

34、0 )()(0 xoxxfy當x很小時,dyy xxf )(0 xxfxfxxf)()()(000得近似等式:)()()(000 xxxfxfxf高等數學第五周講義高等數學第五周講義328的近似值的近似值 .例例5. 計算計算近似計算使用原則近似計算使用原則:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近與xx高等數學第五周講義高等數學第五周講義特別當特別當00 xxffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x證明證明: 令)1 ()(xxf得得, 1)0(f)0(f,很小時當 xxx1)1 ()()()(000 xxxfxfxf（x要接近要接近0）高等數學第