1、長春市普通高中2015屆高三質量監測（三）數學(文科)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，滿分150分.考試時間為120分鐘，其中第卷22題24題為選考題，其它題為必考題.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.注意事項：1 答題前，考生必須將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內.2 選擇題必須用2b鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3 請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4 保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準使用涂改液、刮紙刀.第卷一、選擇題（本大題包

2、括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）.1. 已知集合，則a. b. c. d. 2. 設復數（是虛數單位），則=a. b. c. d. 3. 已知 ，且，則為a. b. c. d. 4. 已知中，內角a，b，c的對邊分別為,，則的面積為a. b. 1 c. d. 25. 是成立的a. 必要不充分條件 b. 充分不必要條件c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件6. 已知雙曲線的離心率為，則的值為a. b. c. d. 7. 閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序. 若輸出的s為，則判斷框中填寫的內容可以是a. b.

3、c. d. 8. 如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為a. b. c. d. 9. 函數對任意都有，則等于a. 或 b. 或 c. d. 或10. 在平面直角坐標系中，若滿足，則的最大值是a. 2 b. 8 c. 14 d. 1611. 已知拋物線的焦點為，直線與交于在軸上方）兩點. 若，則的值為a. b. c. 2 d. 312. 對定義在上，并且同時滿足以下兩個條件的函數稱為函數：(i) 對任意的，恒有；(ii) 當時，總有成立. 則下列三個函數中不是函數的個數是 a. 0 b. 1c. 2d. 3 第卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題21

4、題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22題24題為選考題，考生根據要求作答.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上).13. 函數()的單調遞增區間是_. 14. 將高一9班參加社會實踐編號為：1，2，3,，48的48名學生，采用系統抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知5號，29號，41號學生在樣本中，則樣本中還有一名學生的編號是 . 15. 已知定義在上的偶函數在上單調遞增，且 ，則不等式的解集是 . 16. 底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐. 如圖，半球內有一內接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為 . 三、解

5、答題（本大題包括6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.17. (本小題滿分12分)等差數列的前項和為，且滿足. 求數列的通項公式； 設，數列的前項和為，求證：.18. (本小題滿分12分)某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1，2，3，4，5的學生進行投籃訓練，每人投10次，投中的次數統計如下表： 學生1號2號3號4號5號甲班65798乙班48977 從統計數據看，甲、乙兩個班哪個班成績更穩定（用數字特征說明）； 在本次訓練中，從兩班中分別任選一個同學，比較兩人的投中次數，求甲班同學投中次數高于乙班同學投中次數的概率.19. (本小題滿分12分) 如圖，在四棱錐p-abcd中

6、，底面abcd是菱形，dab，pd平面abcd，pd=ad=1，點分別為為ab和pd中點. 求證：直線平面； 求三棱錐的表面積. 20. (本小題滿分12分)已知橢圓:的上頂點為，且離心率為. 求橢圓的方程； 證明：過圓上一點的切線方程為； 從橢圓上一點向圓引兩條切線，切點為,當直線分別與軸、軸交于兩點時，求的最小值.21. (本小題滿分12分)已知函數，. 若，過點作曲線的切線，求的方程； 若曲線與直線只有一個交點，求實數的取值范圍. 請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 做答時，用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑. 22. (本小題滿分10

7、分) 選修41：幾何證明選講如圖所示，為圓的直徑，為圓的切線，為切點.， 求證：； 若圓的半徑為2，求的值.23. (本小題滿分10分) 選修44：坐標系與參數方程在直角坐標系中，圓的參數方程為（為參數） 以原點為極點、軸正半軸為極軸建立極坐標系，求圓的極坐標方程； 已知，圓上任意一點，求面積的最大值. 24. (本小題滿分10分) 選修45：不等式選講 已知都是正數，且，求證：； 已知都是正數，求證：.長春市普通高中2015屆高三質量監測（三）數學(文科)參考答案及評分參考說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評

8、分細則. 二、對解答題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分. 三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數. 四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分. 一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1. c2. a3. b4. c5. a6. b7. c8. d9. b10. c11. d12. b簡答與提示：1. 【命題意圖】本小題主要考查集合的計算，是一道常規問題.【試題解析】c，故選c. 2. 【命題意圖】

9、本小題主要考查復數的基本運算，特別是復數的除法運算，對考生的運算求解能力有一定要求.【試題解析】a由，故選a. 3. 【命題意圖】本小題主要考查平面向量的的位置關系以及平面向量的數量積運算，另外本題也對考生的分析判斷能力進行考查.【試題解析】b因為，所以，于是由，于是可求得，故選b. 4. 【命題意圖】本小題主要考查余弦定理在解三角形中的應用，以及三角形面積的求法，對學生的推理論證能力和數形結合思想提出一定要求.【試題解析】c由，可得，則所求面積，故選c. 5. 【命題意圖】本小題通過二次不等式的解法來考查充分必要條件，是一道經典題. 【試題解析】a由解得，再根據已知條件易知選a. 6. 【命

10、題意圖】本小題是一道簡單題，考查雙曲線離心率的表達式，以及雙曲線的標準方程. 【試題解析】b由雙曲線的離心率為，則. 故選b. 7. 【命題意圖】本小題主要通過程序框圖的理解考查學生的邏輯推理能力，同時考查學生對算法思想的理解與剖析.【試題解析】c，因此應選擇時滿足，而時不滿足條件，故選c. 8. 【命題意圖】本小題主要考查立體幾何中的三視圖問題，并且對考生的空間想象能力及利用三視圖還原幾何體的能力進行考查，同時考查簡單幾何體的體積公式.【試題解析】d由三視圖可知，該多面體是一個四棱錐，且由一個頂點出發的三條側棱兩兩垂直，長度都為4， 其體積為，故選d. 9. 【命題意圖】本小題結合函數的對成

11、性來考查三角函數的圖像與性質，不但要求考生對三角函數的圖像與性質有著深刻的認識，更重要的是對基本抽象函數的表達有著充分的認知.【試題解析】b由可知函數圖像關于直線對稱，則在處取得最值，所以，故選b. 10. 【命題意圖】本小題主要考查二元一次不等式組所表示的可行域的獲取以及目標函數的幾何意義，是線性規劃的一種簡單應用，對學生的數形結合思想提出一定要求.【試題解析】c根據線性規劃的方法可求得最優解為點，此時的值等于14，故選c. 11. 【命題意圖】本小題主要考查直線與拋物線的位置關系，對學生的運算求解能力和數形結合思想提出一定要求.【試題解析】d將聯立，解得，因為所給直線經過拋物線的焦點，且其

12、準線為，所以a點到準線的距離為4，b點到準線的距離為，據拋物線定義可有，結合已知條件即可確定，故選d. 12. 【命題意圖】本小題通過函數的運算與不等式的比較，另外也可以利用函數在定義域內的變化率、函數圖像的基本形式來獲得答案，本題對學生的運算求解能力和數形結合思想提出一定要求.【試題解析】b(i)在上，三個函數都滿足；(ii)；對于，滿足；對于，不滿足.對于，滿足；故選b. 二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分)13. 14. 1715. 16. 簡答與提示：13. 【命題意圖】本小題主要考查輔助角公式的應用以及三角函數單調區間的求取，屬于基本試題.【試題解析】，函數的增區間為

13、，又，增區間為. 14. 【命題意圖】本小題主要考查系統抽樣的基本概念，屬于概念題，也是考生必須準備的簡單題. 【試題解析】根據系統抽樣的概念，所取的4個樣本的編號應成等差數列，故所求編號為17. 15. 【命題意圖】本小題主要考偶函數的性質以及函數圖像的平移變換等，同時對考生的數形結合思想. 【試題解析】由已知或，解集是. 16. 【命題意圖】本小題通過對球的內接幾何體的特征考查三角函數的計算，對考生的空間想象能力與運算求解能力以及數形結合思想都提出很高要求，本題是一道綜合題，屬于較難題. 【試題解析】設所給半球的半徑為，則棱錐的高，底面正方形中有，所以其體積，則，于是所求半球的體積為.三、

14、解答題17. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查有關于數列的基礎知識，其中包括數列基本量的求取，以及利用裂項求和等內容，屬于一道中檔題，對考生的運算求解能力，化歸與轉化能力提出一定要求.【試題解析】解：（）設數列的公差為，則由已知條件可得：，解得，于是可求得；6分 （）因為，故，于是 又因為，所以. 12分18. 【命題意圖】本小題主要考查統計與概率的相關知識，其中包括方差的求法、基本事件概率的求取等內容. 本題主要考查學生的數據處理能力.【試題解析】解：（1）兩個班數據的平均值都為7，甲班的方差，乙班的方差，因為，甲班的方差較小，所以甲班的成績比較穩定.6分（2）甲班1到5號記作

15、，乙班1到5號記作，從兩班中分別任選一個同學，得到的基本樣本空間為= 由25個基本事件組成，這25個是等可能的；將“甲班同學投中次數高于乙班同學投中次數”記作，則，由10個基本事件組成，所以甲班同學投中次數高于乙班同學投中次數的概率為.12分19. 【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關知識，具體涉及到線面的平行關系、空間幾何體表面積的求法等. 本小題對考生的空間想象能力與運算求解能力有較高要求. 【試題解析】解：（1）證明：作fmcd交pc于m. 點f為pd中點，. ，aemf為平行四邊形，afem，直線af平面pec. (6分)（2）連結可知， ， 由此； ；因此三棱錐的表面積. 12分

16、20. 【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到橢圓標準方程的求取，直線與圓錐曲線的相關知識以及圓錐曲線中最值的求取. 本小題對考生的化歸與轉化思想、運算求解能力都有很高要求.【試題解析】解：（1） ， 橢圓方程為.4分（2）當切線的斜率存在時，設切線方程為，又因為，故切線方程為，當不存在時，切點坐標為，切線方程為，符合，綜上，切線方程為. 8分（3）設點坐標為，是圓的切線，切點，過點的圓的切線為， 過點的圓的切線為兩切線都過點，切點弦的方程為，由題知 ，當且僅當， 時取等號，的最小值為.12分21. 【命題意圖】本小題主要考查函數與導數的綜合應用能力，具體涉及到曲線

17、的切線方程的求取，利用導數刻畫函數的單調性等情況. 本小題主要考查考生分類討論思想的應用，對考生的邏輯推理能力與運算求解有較高要求.【試題解析】解：（1）設切點為，則處的切線方程為. 該直線經過點，所以有，化簡得，解得或，所以切線方程為和.4分（2）法一：由題得方程只有一個根，設，則，因為所以有兩個零點，即（），且，不妨設，所以在單調遞增，在單調遞減，為極大值，為極小值，方程只有一個根等價于且，或者且，又，設，所以，所以為減函數，又，所以時，時，所以大于或小于，由知，只能小于，所以由二次函數性質可得，所以. 12分法二：曲線與直線只有一個交點，等價于關于的方程只有一個實根.顯然，所以方程只有一個實根.設函數，則.設，為增函數，又.所以當時，為增函數；當時，為減函數；當時，為增函數；所以在時取極小值.又當趨向于時，趨向于正無窮；又當趨向于負無窮時，趨向于負無窮；又當趨向于正無窮時，趨向于正無窮.所以圖象大致如圖所示：所以方程只有一個實根時，實數的取值范圍為. 12分22. 【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明，具體涉及到圓的切線的性質，三角形相似等內容. 本小題重點考查考生對平面幾何推理能力. 【試題解析】解： (1) 連接是圓的兩條切線， 又為直徑，.5分(2)由，. 10分23. 【命題意圖】本小題主要考查極坐標系與參數方程的相關知識，具體涉及到極坐標方程與平面直角坐