1、龍文教育中小學1對1課外輔導專家武漢龍文教育學科輔導講義授課對象孫嘉鈺授課教師楊鵬授課時間5-5授課題目不等式(二)課型復習使用教具講義、白紙教學目標靈活的運用均值不等式和柯西不等式求最值教學重點和難點重點和難點在于如何用有效的方法去解決最值問題參考教材網資教學流程及授課詳案時間分配及備注 、柯西不等式和均值不等式1、柯西不等式：二維形式的柯西不等式：2 2 2 2 2(a b )(c d ) (ac bd) (a,b,c,d R).當且僅當 ad be時，等號成立三維形式的柯西不等式：(ai2a22a32)(bj b?2 b32)心初a?b2asbs)2.一般形式的柯西不等式：a2. a.

2、)(Q b：.bn )(aib1a2b2.anbn).2、均值不等式及使用條件：均值不等式，若 ai ,a2, an R，則-aja% g a2an (n N)n(1)a1 ,a2 ,an是正數；(2)和(a1a2an)或(a1?a2? ?an )為定值;(3)當且僅當aa2an時，取等號。在運用均值不等式解題時，必須滿足“一正、二定、三相等”的條件。但有的題目不能直接利用均值不等式，因此要作一些技巧性轉化、變形，才能求得正確的最值。 二例題：1、柯西不等式向量求最值1、設 x, y, z R, x2 y22 z25，試求x 2y 2z的最大值與最小值。答：根據柯西不等式2(1 x 2 y 2

3、 z)122小2,222、(2)2 (x y z )2即(x 2y 2z)925而有 15 x 2y 2z 15龍文教育教育是一項良心工程龍文教育中小學1對1課外輔導專家故x 2y 2z的最大值為15,最小值為-52 2 22、設x, y, z R, 2x y 2z 6，試求x y z之最小值。 答案：考慮以下兩組向量u =(2,-)v2 2 2=(x, y, z )根據柯西不等式(u v)u |v ，就有2x(1)y (2)z22 2 2 2 22( 1)( 2) (x y2z )即(2xy 2z)29(x22 2y z )將 2x y 2z6代入其中，得3629(x y2 z2)而有2 x

4、2 2 y z4故x22 2yz之最小值為4。33、設 x, y, z R， 2x y 2z6，求 x2y2z2的最小值m，并求此時x、y、z之值。Ans : m 4; (x, y, z)4243, 3, 34 設 x, y, z R, 2x2y0，則(x1)2(y 2)2(z3)2之最小值為解：2x 2y z 80考慮以下兩組向量2(x1)2(y2)(z3)9,=(uv)22 v22(x1)2(y 2)(z3)2(x1)2(y2) 2(z3) 2 (22 22 12)(x1)2 (y 2) 2(z3) 29)25 設 x, y, z r，若 2x 3yz 3，則 x2(y 1)2 z2之最小

5、值為，又此解:2x3y z32x 3(y1) z考慮以下兩組向量1u =( ,5),v =(,解析x2 (y1)2z222( 3)2 12最小值187xy 1zi *t, 2x 3y z231*32t- y77( ), )222236(2x 3y 3 z)2x2 (y 1)2 z2=143, 2(2t) 3( 3t 1) t 3龍文教育中小學1對1課外輔導專家6設a, b, c均為正數且a b c 9,16之最小值為c解：考慮以下兩組向量u =(,(u v)2=(3bb(4 9蘭)(a bcc)4(a416) 9c16 81(24)2817、設a, b, c均為正數，且a 2b 3c 2，則1

6、a-之最小值為b c，此時a。解：考慮以下兩組向量u =(55),v =(, )(u v)2u|2 2 /(荷2&莎)2(五)2(、卩)2V a(123)2123(T18，最小值為18等號發(fā)生于abc& a u / v 故a3c3 a b c 又 a 2b 3c 2 /. a 132、均值不等式幾種常見的方法、湊正值例1設X0，y0，且一 一 1，求x y的最小值。x y2. 若a0, b0，且ab a b 3，求ab的最小值。3. 求 y sinxcos x，x （0，）的最大值。219答案與提示：1.由一1 （x 1）（y9）9 （定值），又知x1，y9，故當且x y僅當 x- 1=y-

7、9=3，即 x=4, y=12 時，（x y） min 16。2.由Ia b 2 ababa b 32 ab 3ab2 ab 30(ab) min93. sinx 0,cosx 0,y2 sin2 x cos4 x2si n22 2x cos x cos x2 2 21 2sin x cos x cos x、3c()2 32 39中小學1對1課外輔導專家此時，2sin2 x cos2 x, cot2 x 2，故當 x arccot J2 時，ymax 空?。9一、配湊1.湊系數例1當0 x 4時，求y x(82 x)的最大值。2湊項51例2.已知x，求函數f (x) 4x 2的最大值。44x

8、53.分離2x 7x 10例3.求y(xM 1)的值域。x 1二、整體代換1 1例4.已知a 0, b 0, a 2b 1，求t -的最小值。a b#自龍文教育中小學1對1課外輔導專家、換元例5.求函數y x 2的最大值。2x 5四、取平方 15例6.求函數y 2x 152x（2 x ?）的最大值。練一練1.若0 x 2，求y x（6 3x）的最大值。3）的最小值。12.求函數yx*x 315龍文教育中小學1對1課外輔導專家3. 求函數y -(x 1)的最小值。x 11 14. 已知x 0, y 0，且一 一 9 ,求x y的最小值。x y5設x, y是滿足2x y 20的正數，則lg x lg y的最大值是()6右a,x, y R，且丄x Jy apx y恒成立，則a的最小值是()1 27求y= 2 +2 ,(0x0恒成立，試求實數 a的取值范圍9已知x, y R，且x 4y 1,則x y的最大值為 2 i10設x R且x2 :1，求x 1 y2的最大值11求y4(xR)的最小值(z 3)241，求x y z之最大值，最小2 212、設 x，y，z R