1、 第二章第二章 動力學普遍方程和拉各朗日動力學普遍方程和拉各朗日方程方程1.動力學普遍方程動力學普遍方程2.拉格朗日方程拉格朗日方程3.動能的廣義速度表達式動能的廣義速度表達式4.拉格朗日方程的初積分拉格朗日方程的初積分5.碰撞問題的拉格朗日方程碰撞問題的拉格朗日方程6.拉格朗日方程的應用舉例拉格朗日方程的應用舉例引言引言1：非自由質點系的動力學問題：非自由質點系的動力學問題12擺長不定，如何確定擺長不定，如何確定其擺動規律？其擺動規律？K混沌擺問題混沌擺問題多桿擺問題多桿擺問題引言引言2：慣性力的概念：慣性力的概念達朗伯（達朗伯（1717-1785）通過引入）通過引入慣性力慣性力的概念，建立

2、了著名的的概念，建立了著名的達朗伯原理（用靜力學建立平衡方程的方法處理動力學問達朗伯原理（用靜力學建立平衡方程的方法處理動力學問題）；題）；約翰約翰伯努利（伯努利（1667-1748）于）于1717年精確表述了年精確表述了虛位移原理虛位移原理（建立虛位移、虛功的概念，用動力學的方法研究靜力學中（建立虛位移、虛功的概念，用動力學的方法研究靜力學中的平衡問題）；的平衡問題）；拉格朗日（拉格朗日（1736-1813）應用達朗伯原理，把虛位移原理推廣）應用達朗伯原理，把虛位移原理推廣到非自由質點系的動力學問題中，建立了動力學普遍方程，到非自由質點系的動力學問題中，建立了動力學普遍方程，進一步導出了拉格

3、朗日方程。進一步導出了拉格朗日方程。vPMl其加速度為其加速度為令令R=P+T則則ma = R = P + T擺錘擺錘M在受到在受到P、T的同時，將給施力體的同時，將給施力體（地心和繩子）一對應的反作用力，（地心和繩子）一對應的反作用力，反作用力的合力為反作用力的合力為TR=R= ma此力是擺錘被迫作非慣性運動時產生的此力是擺錘被迫作非慣性運動時產生的“ “反作用力反作用力” ”，稱為，稱為慣性力慣性力。a n PTPTPTa na na nsin2lvaan 圖示圓錐擺擺長為圖示圓錐擺擺長為l，擺錘，擺錘M的質量的質量m，在水平面內作勻速圓周運動，速度為在水平面內作勻速圓周運動，速度為v，錐

4、擺的頂角為錐擺的頂角為2，擺錘擺錘 M 受力如圖受力如圖。RvRvRvR結論：質點在作非慣性運動的任意瞬時，對于施力于它的物結論：質點在作非慣性運動的任意瞬時，對于施力于它的物體會作用一個慣性力，該力的大小等于其質量與加速度的乘體會作用一個慣性力，該力的大小等于其質量與加速度的乘積，方向與其加速度方向相反。積，方向與其加速度方向相反。若用若用Fg表示慣性力，則有表示慣性力，則有 Fg = ma說明：說明：1.此力是不是真實的力！此力是不是真實的力！2.此力作用于施力給質點的物體上！此力作用于施力給質點的物體上！3.此力又稱為牛頓慣性力！此力又稱為牛頓慣性力！引言引言3：達朗伯原理：達朗伯原理一

5、、質點的達朗伯原理一、質點的達朗伯原理設質點設質點M的質量為的質量為m，受力有，受力有主動力主動力F、約束反力約束反力FN，加速度為加速度為a，則根據牛頓，則根據牛頓第二定律，有第二定律，有FFNFgaMFFNFgaFFNFgaFFNFgaMMma = F+FNFg= ma令令則則F+FN+Fg = 0形式上的平衡方程形式上的平衡方程結論：結論：在質點運動的任意瞬時，如果在其上假想地加上一慣性在質點運動的任意瞬時，如果在其上假想地加上一慣性力力Fg，則此力與主動力、約束反力在形式上組成一平衡力系，則此力與主動力、約束反力在形式上組成一平衡力系。這就是這就是質點的達朗伯原理質點的達朗伯原理。二、

6、質點系的達朗伯原理二、質點系的達朗伯原理設質點系由設質點系由n個質點組成，個質點組成， 第第i個質點質量為個質點質量為mi，受力有主動力，受力有主動力Fi ，約束反力，約束反力FNi ，加速度為，加速度為ai ，假想地加上其慣性力，假想地加上其慣性力Fgi=miai ，則根據質點的達朗伯原理，則根據質點的達朗伯原理，Fi 、 FNi與與Fgi應組成形式上的應組成形式上的平衡力系，即平衡力系，即對整個質點系來說對整個質點系來說，在運動的任意瞬時，虛加于質點系的各質在運動的任意瞬時，虛加于質點系的各質點的慣性力與作用于該質點系的主動力、約束反力將組成形式點的慣性力與作用于該質點系的主動力、約束反力

7、將組成形式上的平衡力系上的平衡力系。Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，n）MO(Fi) + MO( FNi ) + MO( Fgi ) =0Fi + FNi +Fgi=0質點系的質點系的達朗伯原理達朗伯原理即即或或1 .動力學普遍方程動力學普遍方程動力學普遍方程是虛位移原理與達朗伯原理簡單結合的產物。動力學普遍方程是虛位移原理與達朗伯原理簡單結合的產物。設質點系由設質點系由n個質點組成，第個質點組成，第i個質點質量為個質點質量為mi，受主動力受主動力Fi，約束反力，約束反力FNi，加速度為，加速度為ai，虛加上虛加上其慣性力其慣性力Fgi=miaiFiFNiFgiaiMFNiFN

8、iMMFgiaiFgiaiFiFi則根據達朗伯原理，則根據達朗伯原理， Fi 、FNi 與與Fgi，應組成形式上的平衡力系，即應組成形式上的平衡力系，即Fi + FNi +Fgi= 0若質點系受理想約束作用，應用虛位移原理，有若質點系受理想約束作用，應用虛位移原理，有0)(1niigiirFF或或0)(1niiiiimraF動力學普遍方程動力學普遍方程表明：在理想約束條件下，在任意瞬時，作用于質點系上表明：在理想約束條件下，在任意瞬時，作用于質點系上的主動力和慣性力在質點系的任意虛位移上所做虛功之和的主動力和慣性力在質點系的任意虛位移上所做虛功之和等于零。等于零。則則動力學普遍方程動力學普遍方

9、程的坐標分解式為的坐標分解式為01niiiiiiiiiiiiizzmZyymYxxmX , kjiFiiiiZYX, kjiiiiizyxa ,kjiriiiizyx若若例例1. 兩均質輪質量皆為兩均質輪質量皆為m1，半徑皆為，半徑皆為r，對輪心的轉動慣量為，對輪心的轉動慣量為J；中心用質量為中心用質量為m2的連桿連接，在傾角為的連桿連接，在傾角為的斜面上的斜面上。求。求連桿的加速度。連桿的加速度。研究整個系統，進行受力分析；研究整個系統，進行受力分析；解：解：設桿的加速度為設桿的加速度為a，則，則m2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgam2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg

10、1MgMgam2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgaFg1= m1a，,raJJMgFg2= m2a，給連桿以平行于斜面向下給連桿以平行于斜面向下的虛位移的虛位移 s， 則相應地兩則相應地兩輪有轉角虛位移輪有轉角虛位移 ，且且rs根據動力學普根據動力學普遍方程，得遍方程，得:samm)2(21sgmmsin)2(2102rsraJsgmmsin)2(21sFFgg)2(2102gM于是于是解得解得gJrmmrmma2)2(sin)2(221221(a)(b)2. 拉格朗日方程拉格朗日方程將動力學普遍方程用廣義坐標表示，即可推導出

11、將動力學普遍方程用廣義坐標表示，即可推導出第二類拉格第二類拉格朗日方程朗日方程。111jjjkijjxiijkijjyiijkijjziijfm xFxfm yFyfm zFz n個質點的系統受到個質點的系統受到k 個如個如下形式的完整約束下形式的完整約束fi ,又若系統中又若系統中質量為質量為mj的第的第j個質點受主動力個質點受主動力Fj，則系統的運動滿足，則系統的運動滿足3n個方程個方程如左，稱為如左，稱為第一類拉格朗日方第一類拉格朗日方程程，i稱為拉各朗日未定乘稱為拉各朗日未定乘子。子。*第一類拉格朗日方程用到的較少第一類拉格朗日方程用到的較少拉格朗日拉格朗日1736 1813,法籍法籍

12、意大利人，數學家、意大利人，數學家、力學家、天文學家，力學家、天文學家，十九歲成為數學教十九歲成為數學教授，與歐拉共同創授，與歐拉共同創立變分法，是十八立變分法，是十八世紀繼歐拉后偉大世紀繼歐拉后偉大的數學家。的數學家。設質點系由設質點系由n個質點組成，具有個質點組成，具有s個完整理想約束，則有個完整理想約束，則有N=3n-s個自由度（個自由度（廣義坐標廣義坐標）。）。 用用q1，q2，qN表示系統的廣義坐標，第表示系統的廣義坐標，第i個質點質量為個質點質量為mi，矢徑為矢徑為ri。則。則 ri= ri(q1，q2，qN，t)對上式求變分得對上式求變分得ttqqqqqqiNiiiiN2211r

13、rrrrNikiqq1kr動力學普遍方程可寫成動力學普遍方程可寫成011niiiiniiimrarF其中其中nikNkkiiiniiiiqqmm111rrra Nkknikiiiqqm11rr 根據虛位移原理中廣義力與廣義虛位移的表示形式，有根據虛位移原理中廣義力與廣義虛位移的表示形式，有NkkkniiiqQ11rFniiiiniiim11rarF011kNknikiiikqqmQrr 因為系統為完整約束，廣義坐標相互獨立，所以廣義坐標因為系統為完整約束，廣義坐標相互獨立，所以廣義坐標的變分的變分 qk是任意的，為使上式恒成立，須有是任意的，為使上式恒成立，須有01nikiiikqmQrr (

14、k =1，2，N)廣義力廣義力廣義慣性力廣義慣性力以廣義坐標表示的達朗伯原理以廣義坐標表示的達朗伯原理對式對式111nnniiiki iiiiiiiikkkddQmmmqdtqdtqrrrrvv中廣義慣性力進行變換：中廣義慣性力進行變換：01nikiiikqmQrr kiiikiiikiiiqdtdmqdtdmqdtdmrvrvrvnikiiinikiiinikiiiqdtdmqmqdtdm111rvrrrv kiiikiiiqdtdmqmrvrr 將下列兩個恒等式（有關證明請參閱教材將下列兩個恒等式（有關證明請參閱教材P46）iikkqqrr iikkddtqqrr （ 廣義速度）廣義速度）

15、 kq得得111nnniiii iiiiiiiikkkdmmmqdtqqrvvrvv1112nniiiiiiiikkdmmdtqqvvvv22111122nniiiiiikkdmmdtqqvv所以所以1nii iikkkdTmTqdtqqrr 代入第一項中的括號內代入第一項中的括號內代入第二項中的括號內代入第二項中的括號內得到得到這就是這就是第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程，是一個方程組，該方程組，是一個方程組，該方程組的數目等于質點系的自由度數，各方程均為二階常微分的數目等于質點系的自由度數，各方程均為二階常微分方程，方程，揭示了系統動能的變化與廣義力之間的關系揭示了系統動能的變化與廣義

16、力之間的關系。若作用于質點系的主動力均為有勢力（保守力）若作用于質點系的主動力均為有勢力（保守力）則廣義力則廣義力Qk可寫成質點系勢能表達的形式可寫成質點系勢能表達的形式kkqVQ于是，對保守系統，拉格朗日方程可寫成于是，對保守系統，拉格朗日方程可寫成), 2 , 1(,NkqVqTqTdtdkkk,(1,2,)kkkdTTQkNdtqq用函數用函數L表示系統的動能表示系統的動能T與勢能與勢能V之差，即之差，即 L = TVL稱為稱為拉格朗日函數或動勢拉格朗日函數或動勢。則在保守系統中，用動勢表示的拉格朗日方程的形式為則在保守系統中，用動勢表示的拉格朗日方程的形式為), 2 , 1(0NkqL

17、qLdtdkk若作用于質點系的主動力為有勢力及非有勢力兩部分構成時若作用于質點系的主動力為有勢力及非有勢力兩部分構成時kkkQqVQ), 2 , 1(NkQqLqLdtdkkktqqLLkk, 用拉格朗日方程的意義用拉格朗日方程的意義1.拉格朗日方程是解決具有完整約束的質點系動力學問題拉格朗日方程是解決具有完整約束的質點系動力學問題的普遍方程，是分析力學中的重要方程。的普遍方程，是分析力學中的重要方程。2.拉格朗日方程是標量方程，以動能為方程的基本量，是拉格朗日方程是標量方程，以動能為方程的基本量，是用廣義坐標表示的運動微分方程。用廣義坐標表示的運動微分方程。3.拉格朗日方程形式簡潔，運用時只

18、需要計算系統的動能；拉格朗日方程形式簡潔，運用時只需要計算系統的動能；對于保守力系統，只需要計算系統的動能和勢能。對于保守力系統，只需要計算系統的動能和勢能。用拉格朗日方程概述用拉格朗日方程概述1.靜力學靜力學：對受完整約束的多自由度的平衡問題，根據虛：對受完整約束的多自由度的平衡問題，根據虛位移原理，采用廣義坐標，得到與自由度相同的一組獨立平位移原理，采用廣義坐標，得到與自由度相同的一組獨立平衡方程。這種用分析方法建立的平衡條件，避開了未知的約衡方程。這種用分析方法建立的平衡條件，避開了未知的約束反力，使非自由質點系的平衡問題的求解變得簡單。束反力，使非自由質點系的平衡問題的求解變得簡單。2

19、.動力學：動力學：對受完整約束的多自由度的動力學問題，可以對受完整約束的多自由度的動力學問題，可以根據能量原理，采用廣義坐標，推導出與自由度相同的一組根據能量原理，采用廣義坐標，推導出與自由度相同的一組獨立的運動微分方程。這種用廣義坐標表示的動力學普遍方獨立的運動微分方程。這種用廣義坐標表示的動力學普遍方程，稱為拉格朗日第二類方程，簡稱為拉格朗日方程。程，稱為拉格朗日第二類方程，簡稱為拉格朗日方程。用拉格朗日方程解題的步驟用拉格朗日方程解題的步驟1.確定系統的自由度數（廣義坐標數）；確定系統的自由度數（廣義坐標數）；2.選廣義坐標；選廣義坐標；3.計算系統的動能計算系統的動能T，且用廣義速度來

20、表示動能；，且用廣義速度來表示動能；4.計算廣義力（對保守系統可計算勢能）；計算廣義力（對保守系統可計算勢能）；5.代入拉格朗日方程即可得質點系運動微分方程。代入拉格朗日方程即可得質點系運動微分方程。rRMMO AM例例1 位于水平面內的行星輪機構中，質量為位于水平面內的行星輪機構中，質量為m1的均質細桿的均質細桿OA，可繞，可繞O軸轉動，另一端裝有質量為軸轉動，另一端裝有質量為m2、半徑為、半徑為r的均質的均質小齒輪，小齒輪沿半徑為小齒輪，小齒輪沿半徑為R的的固定固定大齒輪大齒輪純滾動純滾動。當細桿。當細桿受力偶受力偶M的作用時，求細桿的的作用時，求細桿的角加速度角加速度 。OA解：解： 研

21、究整個系統，選廣義坐標研究整個系統，選廣義坐標 ， OA則則OA)(rRvA系統的動能為系統的動能為221)(3121rRm2221)(92(121rRmmARMrO 221OJ2222121AAAJvm22222222121)(21rrRrmrRmP P P行星輪瞬心為行星輪瞬心為P，rrRrvAA)( 角速度為角速度為vAvAvAO AvAR Mr又關于廣義坐標又關于廣義坐標 的的廣義力為廣義力為代入代入Lagrange方程：方程：于是得于是得221)(92(6rRmmMOA FWQMMdTTQdt2121(29)() 2 ,12TmmRr2121(29)()6dTmmRrdt0T2121

22、(29)()6mmRrMO例例2 質量為質量為m的質點懸在不計質量的軟線上，線的另一端的質點懸在不計質量的軟線上，線的另一端繞在半徑為繞在半徑為R的的固定圓柱固定圓柱上。設在平衡位置時，線的下垂上。設在平衡位置時，線的下垂部分長度為部分長度為l。求此擺的運動微分方程。求此擺的運動微分方程。Rml l lRlOmm系統的動能為系統的動能為22)(21RlmT選選 =0處為系統勢能的零勢點，則處為系統勢能的零勢點，則V = mg（l+Rsin ）（）（lR ）cos 系統的動勢為系統的動勢為VTL,)(2RlmL 22)()(2RlmRlmRLdtdsin)()(2RlmgRlmRLcos)()s

23、in()(2122RlRlmgRlm 解：此擺為單自由度保守系統，選廣義坐標解：此擺為單自由度保守系統，選廣義坐標 ， 22)()(2RlmRlmRLdtdsin)()(2RlmgRlmRL已求得已求得0LLdtd將式上式代入保守系統的拉氏方程將式上式代入保守系統的拉氏方程得擺的運動微分方程得擺的運動微分方程0sin)(2gRRl O O O例例3 3 已知質量為已知質量為m1的三棱柱放在光滑水平面上，質量為的三棱柱放在光滑水平面上，質量為m2的均質圓柱體的均質圓柱體O由靜止沿三棱柱的斜面向下純滾動。求由靜止沿三棱柱的斜面向下純滾動。求三棱柱的加速度。三棱柱的加速度。OO( (設圓柱設圓柱o

24、o的半徑為的半徑為r r) )選選x1、x2為廣義坐標，為廣義坐標，x1x2O1x 1x 2x 圓柱中心的速度為圓柱中心的速度為 cos22122212xxxxvO圓柱的角速度為圓柱的角速度為rxO2vO解：解：系統具有兩個自由度，系統具有兩個自由度，o1o2所以，系統的動能為所以，系統的動能為21121xm cos43)(212122222121xxmxmxmm21121xmT2222121OOOJvm)cos2(212122212xxxxm22222121rxrm則三棱柱速度為則三棱柱速度為,1x 加速度為加速度為1x x21x 1x 2x vOx21x 1x 2x vOx21x 1x 2

25、x vO x2x1x2Oo1o201xT02xTm1gFNm2gx1,111xQxTxTdtd,222xQxTxTdtd0cos)(22121xmxmm sincos2321222gmxmxm 聯立解得：聯立解得：222121cos2)(32sinmmmgmx 2221212cos2)(3sin)(2mmmgmmx 1xTdtd,cos)(22121xmxmm 2xTdtd,cos231222xmxm 代入代入L程：程：m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1系統關于廣義坐標系統關于廣義坐標x1 、x2的廣義力的廣義力分別為：分別為：, 011xWQFxsinsin2222

26、22gmxxgmxWQFx例例4 4 圖示均質桿圖示均質桿AB質量為質量為m1，長為，長為3l，B端鉸接一質量為端鉸接一質量為m2，半徑為，半徑為r的均質圓盤。桿的均質圓盤。桿AB在在O處為鉸支，兩彈簧的剛處為鉸支，兩彈簧的剛性系數均為性系數均為k；桿在水平位置平衡。求系統的微幅振動的固；桿在水平位置平衡。求系統的微幅振動的固有頻率。有頻率。Okkllll2rACB解：解：系統具有兩個自由度，且為保守系統。系統具有兩個自由度，且為保守系統。選選 1、 2為廣義坐標，為廣義坐標，OkkllllACB2r12則桿的角速度為則桿的角速度為,1圓盤的角速度為圓盤的角速度為 ,2所以，系統的動能為所以，

27、系統的動能為2121OJT22222121BBJvm2121212)3(12121lmlm22222122121)2(21rmlm22222122141)4(21rmlmm12 12系統的勢能為系統的勢能為OkACkllll2rB 2m1gm1gm1gm1gm2gm2gm2gm2g1l1l1F1F2l1l1l1l 1重力與振動方向相同，重力與振動方向相同，系統受力如圖，系統受力如圖，2121)(21)(21lklkV212kl系統的動勢為系統的動勢為VTL21222222122141)4(21klrmlmm1Ldtd1221)4( lmm 1212klL2Ldtd22221 rm02LF1F2

28、F1F2F1F2取平衡位置處為零勢點，取平衡位置處為零勢點，彈性力變形從平衡位置處計彈性力變形從平衡位置處計算，可以不計重力勢能！算，可以不計重力勢能！代入保守系統的拉氏方程代入保守系統的拉氏方程, 011LLdtd022LLdtd02)4(121221kllmm 021222 rm0421211mmk 02 可見，圓盤的角加速度為零！可見，圓盤的角加速度為零！圓盤作平動！系統的固有頻率為圓盤作平動！系統的固有頻率為得得所以所以2142mmknOkACkllll2rB 2m1gm1gm1gm1gm2gm2gm2gm2g1l1l1F1F2l1l1l 1l 1F1F2F1F2F1F2例例5 5 桿

29、桿OA與與AB以鉸鏈相連，且以鉸鏈相連，且OA=a，AB=b，O懸掛于圓懸掛于圓柱鉸鏈上柱鉸鏈上， A、B處質點質量分別為處質點質量分別為 m1和和m2，各處摩擦及，各處摩擦及兩桿質量均不計，求系統微幅擺動的微分方程。兩桿質量均不計，求系統微幅擺動的微分方程。m1bam2OABvAvAvAvAbaOAB,1avA 1 2則則解解 系統具有兩個自由度，系統具有兩個自由度， 選選 1、 2為廣義坐標，為廣義坐標，2bvBA)cos(212222BAABAABvvvvv系統動能為系統動能為212222122211221)(21abbamamT212222122abba21222222122121)(

30、21abmbmamm1Tdtd221221)( abmamm01T2Tdtd12222 abmbm02TvAvB 2 1vBA 1 2vAvB 2 1vBA 1 2vAvB 2 1vBA 1 2vAvB 2 1vBA系統作微幅擺動，系統作微幅擺動，cos( 2 1)1 1 2 2 1系統受力如圖。系統受力如圖。m2g求系統關于廣義坐標求系統關于廣義坐標 2的廣義力：的廣義力：1 1 2XOYO1211)(1gammWQF112111sinsingamgamWFm2gm1g22222gbmWQF222singbmWFm1gm2gXOYOm1gYOm2gXOm1gm2gYOm1gXO1 12 2b

31、2b2b2a1a1a1a1a1a111sin22sin給給1，則，則給給2，則，則求系統關于廣義坐標求系統關于廣義坐標 1的廣義力：的廣義力：,111QTTdtd,222QTTdtd代入代入Lagrange方程：方程：121221221)()(gmmaabmamm 2222212gbmbmabm 0122121agabmmm 0221agab 化簡得化簡得3. 動能的廣義速度表達式動能的廣義速度表達式質點系的動能質點系的動能 iniiiniiiiniiirrmvvmvmT1112212121 拉格朗日方程是關于廣義坐標的二階微分方程組。應拉格朗日方程是關于廣義坐標的二階微分方程組。應用拉格朗日

32、方程時用拉格朗日方程時,須先計算出以廣義坐標和廣義速度表示須先計算出以廣義坐標和廣義速度表示的系統的動能。為便于應用拉格朗日方程的系統的動能。為便于應用拉格朗日方程,一般可將質點系一般可將質點系的動能表示為廣義速度的代數齊次式結構的形式。的動能表示為廣義速度的代數齊次式結構的形式。 由于由于r是廣義坐標及時間的是廣義坐標及時間的函數函數,所以所以akj, bk, c也是廣義坐標也是廣義坐標及時間的函數。及時間的函數。111111112122nNNiiiiikjikjkjnNNNiiiiiiikjkikjkkjkrrrrTmqqqtqtrrrrrrmq qqqqqttt令令11112niikji

33、ikjniikiikniiiirramqqrrbmqtrrcmtt于是于是,動能動能T可表示為可表示為 再設再設cTqbTqqaTkNkkjNkNjkkj01111221012TTTT 可見可見, T2是廣義速度的二次齊次式是廣義速度的二次齊次式, T1是廣義速度的一次齊是廣義速度的一次齊次式，次式，T0是廣義速度的零次齊次式。這樣是廣義速度的零次齊次式。這樣, 質點系的動能質點系的動能T可可看成是由以上三種不同次的廣義速度的代數齊次式構成看成是由以上三種不同次的廣義速度的代數齊次式構成. 4. 拉格朗日方程的初積分拉格朗日方程的初積分(首次積分首次積分） 求解二階微分方程組的積分時常會遇到數

34、學上的困難求解二階微分方程組的積分時常會遇到數學上的困難,但對于保守系統但對于保守系統,在某些條件下在某些條件下,卻很容易求得其初積分卻很容易求得其初積分,使方使方程組的求解變得簡單起來程組的求解變得簡單起來. 現在現在,我們在上一節闡明的動能的我們在上一節闡明的動能的廣義坐標表達式的基礎上廣義坐標表達式的基礎上,來討論拉格朗日方程的初積分。來討論拉格朗日方程的初積分。 由于勢能函數由于勢能函數 V 僅是廣義坐標和時間的函數，因此它是廣義速僅是廣義坐標和時間的函數，因此它是廣義速度的零次函數。設度的零次函數。設 L2 = T2， L1 = T1， L0 = T0 - V拉格朗日函數可表示為拉格

35、朗日函數可表示為 L = T V = T2 + T1 + T0 V顯然，顯然，L2，L1和和L0分別是廣義速度的二次齊次函數、一次齊分別是廣義速度的二次齊次函數、一次齊次函數和零次齊次函數，得次函數和零次齊次函數，得 L=L2+L1+L0 1廣義能量積分廣義能量積分初積分之一初積分之一將主動力為有勢力時的拉格朗日方程式乘以將主動力為有勢力時的拉格朗日方程式乘以 ，并將這，并將這N個個式子相加，得式子相加，得kq 011kNkkkkNkqqLqqLdtdkkkkkkqqLqqLdtdqqLdtd 其中其中011NkkkkkNkkkqqLqqLqqLdtd 帶入上式得：帶入上式得：當拉格朗日函數不

36、顯含時間當拉格朗日函數不顯含時間t（則（則 ），即），即時有：時有：0tLkkqqLL,NkkkkkqqLqqLdtdL1 帶入上式得：帶入上式得：01NkkkLqqLdtdELqqLNkkk1從而有：從而有： E 為積分常數為積分常數再根據歐拉齊次式定理再根據歐拉齊次式定理(P56)有：有：1210111212LLqqLqqLqqLqqLNkkkNkkkNkkkNkkk帶入上式得：帶入上式得：（2L2+L1）-（L2+L1+L0）= E即即L2-L0 = EEVTTLqqLNkkk021進一步得到：進一步得到：這一結果稱為以拉格朗日變量表示的這一結果稱為以拉格朗日變量表示的廣義能量積分廣義能量積分，又稱，又稱雅可比積分雅可比積分。*由于由于約束是非定常的，系統的機械能并不守恒約束是非定常的，系統的機械能并不守恒。*NkkkLqqL1為廣義能量為廣義能量系統稱為廣義保守系統。系統稱為廣義保守系統。2能量積分能量積分如果約束是定常的如果約束是定常的，則，則0irt可知可知 bk = 0,c = 0, 因此得因此得 T1=0，T0=0， 于是得于是得 T=T2廣義能量積分變為廣義能量積分變為EVTLqqLNkkk1這一結果稱為以拉格朗日變量表示的這一結果稱為以拉格朗日變量表示的能量積分能量積分，上式即為，上式即為保守系統的