1、排列組合與概率統(tǒng)計基礎知識梳理與高考預測 一、基礎知識梳理1加法原理：做一件事有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事一共有n=m1+m2+mn種不同的方法。2乘法原理：做一件事，完成它需要分n個步驟，第1步有m1種不同的方法，第2步有m2種不同的方法，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有n=m1m2mn種不同的方法。3排列與排列數：從n個不同元素中，任取m(mn)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，從n個不同元素中取出m個(mn)元素的所有排列個數，叫做從n個

2、不同元素中取出m個元素的排列數，用表示，=n(n-1)(n-m+1)=,其中m,nn,mn,注：一般地=1，0！=1，=n!。4組合與組合數：一般地，從n個不同元素中，任取m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合，即從n個不同元素中不計順序地取出m個構成原集合的一個子集。從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用表示：5組合數的基本性質：（1）；（2）；（3）；(4) ；(5) ；6二項式定理：若nn+,則(a+b)n=.其中第r+1項tr+1=叫二項式系數。7隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫

3、隨機事件。在大量重復進行同一試驗時，事件a發(fā)生的頻率總是接近于某個常數，在它附近擺動，這個常數叫做事件a發(fā)生的概率，記作p(a),0p(a)1.8.等可能事件的概率，如果一次試驗中共有n種等可能出現的結果，其中事件a包含的結果有m種，那么事件a的概率為p(a)=9.互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件a1，a2，an彼此互斥，那么a1，a2，an中至少有一個發(fā)生的概率為p(a1+a2+an)= p(a1)+p(a2)+p(an).10.對立事件：事件a，b為互斥事件，且必有一個發(fā)生，則a，b叫對立事件，記a的對立事件為。由定義知p(a)+p()=1.11相

4、互獨立事件：事件a（或b）是否發(fā)生對事件b（或a）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。12相互獨立事件同時發(fā)生的概率：兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積。即p(ab)=p(a)p(b).若事件a1，a2，an相互獨立,那么這n個事件同時發(fā)生的概率為p(a1a2 an)=p(a1)p(a2) p(an).13.條件概率：p(ab)=p(a)p(b|a)=p(b)p(a|b)14.獨立重復試驗:若n次重復試驗中,每次試驗結果的概率都不依賴于其他各次試驗的結果,則稱這n次試驗是獨立的.15.獨立重復試驗的概率:如果在一次試驗中,某事件發(fā)生的概率為p,那么在n次

5、獨立重復試驗中,這個事件恰好發(fā)生k次的概率為pn(k)=pk(1-p)n-k.16離散型隨機為量的分布列：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫隨機變量，例如一次射擊命中的環(huán)數就是一個隨機變量，可以取的值有0,1,2,10。如果隨機變量的可能取值可以一一列出，這樣的隨機變量叫離散型隨機變量。17.一般地，設離散型隨機變量可能取的值為x1,x2,xi,取每一個值xi(i=1,2,)的概率p(=xi)=pi，則稱表x1x2x3xipp1p2p3pi為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列，稱e=x1p1+x2p2+xnpn+為的數學期望或平均值、均值、簡稱期望，稱d=(x1-e)2p1

6、+(x2-e)2p2+(xn-e)2pn+為的均方差，簡稱方差。叫隨機變量的標準差。18二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中，這個事件恰好發(fā)生k次的概率為p(=k)=, 的分布列為01xinp此時稱服從二項分布，記作b(n,p).若b(n,p)，則e=np,d=npq,以上q=1-p.19.幾何分布：在獨立重復試驗中，某事件第一次發(fā)生時所做試驗的次數也是一個隨機變量，若在一次試驗中該事件發(fā)生的概率為p，則p(=k)=qk-1p(k=1,2,)，的分布服從幾何分布，e=，d=(q=1-p).20.超幾何分布：產品抽樣檢查中經常遇到一類實際問題，假定在n件產品中

7、有m件不合格品，即不合格率p=m/n.在產品中隨機抽n件做檢查，發(fā)現x件是不合格品，可知x的概率函數為p(x=k)= （ ）,k=max0,n-n+m,.,minn,m。通常稱這個隨機變量x服從超幾何分布。這種抽樣檢查方法等于無放回抽樣。期望nm/n.21.抽樣方法主要有：簡單隨機抽樣(抽簽法、隨機樣數表法)常常用于總體個數較少時，它的主要特征是從總體中逐個抽??；系統(tǒng)抽樣，常常用于總體個數較多時，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一個；分層抽樣，主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中有明顯差異。它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等。22.用總體估計樣本的方法就是把樣本的頻率作為

8、總體的概率。23.正態(tài)態(tài)分布的概念由一般分布的頻數表資料所繪制的直方圖，圖（1）可以看出，高峰位于中部，左右兩側大致對稱。我們設想，如果觀察例數逐漸增多，組段不斷分細，直方圖頂端的連線就會逐漸形成一條高峰位于中央（均數所在處），兩側逐漸降低且左右對稱，不與橫軸相交的光滑曲線圖（3）。這條曲線稱為頻數曲線或頻率曲線，近似于數學上的正態(tài)分布（normal distribution）。由于頻率的總和為100%或1，故該曲線下橫軸上的面積為100%或1。 圖1 圖2 圖3 圖4 正態(tài)曲線的面積分布24正態(tài)分布的特征：1正態(tài)曲線在橫軸上方均數處最高。2正態(tài)分布以均數為中心，左右對稱。3正態(tài)分布有兩個參數

9、，即均數和標準差。是位置參數，當固定不變時，越大，曲線沿橫軸越向右移動；反之，越小，則曲線沿橫軸越向左移動。是形狀參數，當固定不變時，越大，曲線越平闊；越小，曲線越尖峭。通常用n（，2）表示均數為，方差為2的正態(tài)分布。用n（0，1）表示標準正態(tài)分布。4正態(tài)曲線下面積的分布有一定規(guī)律。圖4 正態(tài)曲線與標準正態(tài)曲線的面積分布5這種分布的概率密度函數為：25如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型（geometric models of probability），簡稱為幾何概型.在幾何概型中，事件a的概率計算公式為： .用幾何概率公式計算概率

10、時，關鍵是構造出隨機事件所對應的幾何圖形，并對幾何圖形進行相應的幾何度量. 對于一些簡單的幾何概型問題，可以快捷的找到解決辦法.2010年高考預測1 有兩個盒子，第一盒中裝有2個紅球，1個黑球，第二盒中裝有2個紅球，2個黑球。先從這兩盒中各任取一球放在一起，再從中任取一球，問這個球是紅球的概率2在一次體檢中，某班抽取5名學生身高依次為152，159，153，151，150（單位cm）則該樣本的方差為103已知甲打中靶心的概率為0.8，乙打中靶心的概率是0.6，兩人各獨立打靶一次，則兩人都擊中靶心的概率是 ，兩人都擊不中靶心的概率為 4兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時

11、離去. 求兩人能夠會面的概率. 5 以正方形abcd的邊長為直徑作半圓，重疊部分為花瓣. 現在向該矩形區(qū)域內隨機地投擲一飛鏢，求飛鏢落在花瓣內的概率.概率為.6從5個男生和4個女生中，選出3名代表，選出的全是女生的概率是( )7一名大學生到一單位應聘，面試需回答三道題. 若每一道題能否被正確回答是相互獨立的,且這名大學生能正確回答每一道題的概率都是,則這名大學生在面試中正確回答的題目的個數的期望=_.6給出下列命題：若b(4，)，則e=1，；若n(2，4)，則n(0，1)；若n(1，)(0)，且p(02)=0.8，則p(01)=0.4.其中真命題的序號是a.b.c.d.8從集合a=1，2，3，

12、4，5，6，7，8，9，10的所有由5個元素組成的子集中任取一個集合b，則集合b中任何兩個數的和都不等于11的概率為abcd9設，其中nn*，ak(k=0，1，2，2n1，2n)都是常數，則(a0+a2n)a1+2a2+3a3+(2n1)a2n1+2na2n=abcd10在1，2，3，4，5五條線路的車停靠的同一個車站上，張老師等候1，3，4路車的到來，按汽車經過該站的平均次數來說，2，3，4，5路車的次數是相等的，而1路車的次數是汽車各路車次數的總和，則首先到站的汽車是張老師所等候的汽車的概率為 11在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個球，至少摸到2個黑球

13、的概率是_ 12五種不同的商品隨機地在貨架上排成一排，其中兩種商品排在一起，而兩種商品不排在一起的概率為 c1b1a1badc13（本小題滿分12分）一批產品成箱包裝，每箱6件. 一用戶在購買這批產品前先取出2箱，再從取出的每箱中抽取2件檢驗. 設取出的第一、二箱中二等品分別裝有1件、n件，其余均為一等品.（）若n=2，求取到的4件產品中恰好有2件二等品的概率；（）若取到的4件產品中含二等品的概率大于0.80，用戶拒絕購買，求該批產品能被用戶買走的n的值.14(本小題滿分12分)甲、乙兩人玩猜子游戲，每次甲出1子，2子或3子，由乙猜.若乙猜中，則甲所出之子歸乙；若乙未猜中，則乙付給甲1子.已知甲出1子、2子或3子的概率分別為，.()若乙每次猜1子，2子，3子