1、 1、二次函數的定義、二次函數的定義 定義：定義：y=axbxc （ a 、b 、 c 是常數，是常數， a 0 ） l 條件：條件：a 0 最高次數為最高次數為2 代數式一定是整式代數式一定是整式 1、y=-x， ， y=100-5x，y=3x-2x+5, 其中是二次函數的有其中是二次函數的有_個。個。 3 3 2 x xy 2，函數，函數 當當m取何值時，取何值時， （1）它是二次函數？）它是二次函數？ （2）它是反比例函數？）它是反比例函數？ 2 22 (2) m ymmx （1）若是二次函數，則）若是二次函數，則 且且 當當 時，是二次函數。時，是二次函數。 2 22m 2m 2 20

2、mm （2）若是反比例函數，則）若是反比例函數，則 且且 當當 時，是反比例函數。時，是反比例函數。 2 21m 1m 2 20mm 2、二次函數的圖象及性質、二次函數的圖象及性質 拋物線拋物線 頂點坐標頂點坐標 對稱軸對稱軸 位置位置 開口方向開口方向 增減性增減性 最值最值 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0) y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0,開口向上開口向上a0,開口向下開口向下 在對稱軸的左側在對稱軸的左側,y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小. 在對稱軸的右側在對稱軸的右側, y隨著隨著x的增大而增大的增大而增大. 在對稱軸的左側在對稱軸的左側,y隨著

3、隨著x的增大而增大的增大而增大. 在對稱軸的右側在對稱軸的右側, y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小. a bac a b 4 4 , 2 2 a bac a b 4 4 , 2 2 a b x 2 直線 a b x 2 直線 a bac y a b x 4 4 , 2 2 最小值為時當 a bac y a b x 4 4 , 2 2 最大值為時當 x y 0 x y 0 a bac a b 4 4 , 2 2 a bac a b 4 4 , 2 2 練習練習 1、二次函數、二次函數y= x2+2x+1寫成頂點式為：寫成頂點式為： _，對稱軸為，對稱軸為_，頂點為，頂點為_ 1 2 y= (

4、x+2)2-1 1 2x=-2(-2，-1) 2、已知二次函數、已知二次函數y= - x2+bx-5的圖象的的圖象的 頂點在頂點在y軸上，則軸上，則b=_。 1 2 0 2、已知拋物線頂點坐標（、已知拋物線頂點坐標（h, k），通常設），通常設 拋物線解析式為拋物線解析式為_ 3、已知拋物線與、已知拋物線與x 軸的兩個交點軸的兩個交點(x1,0)、 (x2,0),通常設解析式為通常設解析式為_ 1、已知拋物線上的三點，通常設解析式為、已知拋物線上的三點，通常設解析式為 _ y=ax2+bx+c(a0) y=a(x-h)2+k(a0) y=a(x-x1)(x-x2) (a0) 一般式一般式 頂點

5、式頂點式 交點式或兩根式交點式或兩根式 3、求拋物線的解析式、求拋物線的解析式 1、根據下列條件，求二次函數的解析式。、根據下列條件，求二次函數的解析式。 (1)、圖象經過、圖象經過(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三點；三點； (2)、圖象的頂點、圖象的頂點(2，3)， 且經過點且經過點(3，1) ； (3)、圖象經過、圖象經過(0，0)， (12，0) ，且最高點，且最高點 的縱坐標是的縱坐標是3 。 4、a，b，c符號的確定符號的確定 a a決定開口方向和決定開口方向和大小大小：a a時開口向上，時開口向上， a a時開口向下時開口向下 a a、b b同時決定對稱軸位置：同時決

6、定對稱軸位置：a a、b b同號同號時時對稱軸在對稱軸在y y軸軸左側左側 a a、b b異號異號時時對稱軸在對稱軸在y y軸軸右側右側 b b時時對稱軸是對稱軸是y y軸軸 c c決定拋物線與決定拋物線與y y軸的交點：軸的交點：c c時拋物線交于時拋物線交于y y軸的正半軸軸的正半軸 c c時拋物線時拋物線過原點過原點 c c時拋物線交于時拋物線交于y y軸的負半軸軸的負半軸 決定拋物線與決定拋物線與x x軸的交點軸的交點：時時拋物線與拋物線與x x軸有兩個交點軸有兩個交點 時時拋物線與拋物線與x x軸有一個交點軸有一個交點 時時拋物線與拋物線與x x軸沒有交點軸沒有交點 (上正、下負）上

7、正、下負） (左同、右異左同、右異) (上正、下負上正、下負) = = b b2 2-4ac -4ac -2 二次函數二次函數y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的幾個的幾個特例：特例： 1 1）、當）、當x=1 x=1 時，時， 2 2）、當）、當x=-1x=-1時，時， 3 3）、當）、當x=2x=2時，時， 4 4）、當）、當x=-2x=-2時，時， y= y= y= y= 6）、2a+b 0. x y o 1-12 = 5）、b-4ac 0. a+b+c a-b+c 4a+2b+c 4a-2b+c x y 、二次函數、二次函數y=axy=ax2 2+bx+c(a+

8、bx+c(a0)0)的圖象如圖的圖象如圖 所示，則所示，則a a、b b、c c的符號為（）的符號為（） A A、a0,c0 Ba0,c0 B、a0,c0a0,c0 C C、a0,b0 Da0,b0 D、a0,b0,c0a0,b0,c0,b0,c=0 Ba0,b0,c=0 B、a0,c=0a0,c=0 C C、a0,b0,c0 Da0,b0,c0,b0,b0,b=0,c0,a0,b=0,c0,0 B0 B、a0,c0,a0,c0,b=0,c0,b=0,c0 D0 D、a0,b=0,c0,a0,b=0,c0,0 11；（；（3 3）2 2a ab b00；（；（4)4)a a+ +b b+ +c

9、 c0 0 = b2 4ac= 0 = b2 4ac 0 若拋物線若拋物線y=ax2+bx+c與與x軸有交點軸有交點,則則 = b2 4ac 0 (1) (1)如果關于如果關于x x的一元二次方程的一元二次方程 x x2 2-2x+m-2x+m=0=0有兩個有兩個 相等的實數根相等的實數根, ,則則m=m=, ,此時拋物線此時拋物線 y=xy=x2 2- - 2x+m2x+m與與x x軸有個交點軸有個交點. . (2)(2)已知拋物線已知拋物線 y=xy=x2 2 8x +c 8x +c的頂點在的頂點在 x x軸軸 上上, ,則則c=c=. . 1 1 16 (3) (3)一元二次方程一元二次

10、方程3x3x2 2+x-10=0+x-10=0的兩個根是的兩個根是 x x1 1= -2 ,x= -2 ,x2 2=5/3, =5/3, 那么二次函數那么二次函數y=3xy=3x2 2+x-10+x-10 與與x x軸的交點坐標是軸的交點坐標是. . （-2、0）（）（5/3、0） 1.1.已知拋物線已知拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與拋物線與拋物線y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的形的形 狀相同狀相同, ,頂點在直線頂點在直線x=1x=1上上, ,且頂點到且頂點到x x軸的距離為軸的距離為5,5, 請寫出滿足此條件的拋物線的解析式請寫出滿足此條件的拋物線的解析式. . 解解: :拋物線拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與拋物線與拋物線y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的形狀相同的形狀相同 a=1a=1或或-1-1 又又 頂點在直線頂點在直線x=1x=1上上, ,且頂點到且頂點到x x軸的距離為軸的距離為5,5, 頂點為頂點為(1,5)(1,5)或或(1,-5)(1,-5) 所以其解析式為所以其解析式為: : (1)