1、高 中 數 學 必修一 學習內容： 八、函數的方程八、函數的方程函數模型及其應用 復復 習習 引引 入入 一、幾類常見的函數模型 （1）一次函數模型：f(x)kxb （k、b為常數，k0）； （2）反比例函數模型：f(x) b （k、b為常數，k0）； （3）二次函數模型：f(x)ax2bxc （a、b、c為常數，a0）； （4）指數函數模型：f(x)abxc （a、b、c為常數，a0，b0，b1）； x k （5）對數函數模型：f(x)mlogaxn （m、n、a為常數，a0，a1）； （6）冪函數模型：f(x)axnb（a、b、n為常數，a0，n1）； （7）分段函數模型：這個模型實際是以

2、上兩種或多種模型的綜合，因 此應用也十分廣泛 二、通過收集數據直接去解決問題的一般過程如下： （1）收集數據； （2）根據收集到的數據在平面直角坐標系內描點； （3）根據點的分布特征，選擇一個能刻畫其特征的函數模型； （4）選擇其中的幾組數據求出函數模型； （5）將已知數據代入所求出的函數模型進行檢驗，看其是否符合實 際，若不符合實際，則重復步驟(3)、(4)、(5)；若符合實際，則進入 下一步； （6）用求得的函數模型去解決實際問題 題型一、函數圖象變化規律 例例: :汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把 這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數，其圖像可能是 （ ）

3、s tO A s tO s tO s tO BCD 體會將生活實際問題轉化為函數模型，用函數圖象來描述變化規律 默默因為早上起床太晚，為避免遲到，不得不跑步到教 室，但由于平時不注意鍛煉身體，結果跑了一段就累了， 不得不走完余下的路程。 思考一下思考一下 如果用縱軸表示離教室的距離，橫軸表示出發后的時如果用縱軸表示離教室的距離，橫軸表示出發后的時 間，則下列四個圖象比較符合此人走法的是（間，則下列四個圖象比較符合此人走法的是（ ） t 0 (A) t0 (B) t0 (D) t 0 （C) 如圖，有四個平面圖形分別是三角形、平行四邊形、直角梯形、圓垂 直于x軸的直線l：xt(0ta)經過原點O

4、向右平行移動，l在移動過程 中掃過平面圖形的面積為y(圖中陰影部分)，若函數yf(t)的大致圖象如 圖，那么平面圖形的形狀不可能是 （ ） 本題關鍵抓住t每增加單位長度，面積的增量的變化大小 題型二、分段函數模型的應用 例：例：某上市股票在30天內每股的交易價格P（元）與時間t（天）組成 有序數對（t,P），點（t,P）落在圖中的兩條線段上該股票在30天內 （包括30天）的日交易量Q（萬股）與時間t（天）的部分數據如下表 所示： （1）根據提供的圖象，寫出該種股票每股的交易價格P（元）與 時間t（天）所滿足的函數關系式； 解：設表示前20天每股的交易價格P（元）與時間t（天）的一次函 數關系式

5、為Pk1tm， 由圖象得 2 5 1 , 2 5 1 , 206 02 1 1 1 tp m k mk mk 解：設表示第20天至第30天每股的交易價格P（元）與時間t（天） 的一次函數關系式為Pk2tn， 由圖象得 8 10 1 , 8 10 1 , 206 305 2 2 2 tp n k nk nk )( , 3020, 2 10 1 200 , 2 5 1 pNt tt tt 綜上所述， （2）根據表中數據確定日交易量Q（萬股）與時間t（天）的一次函數 關系式； 解：由表知，日交易量Q與時間t滿足一次函數關系式， 設Qatb （a、b為常數），將（4,36）與（10,30）的坐標代入，

6、得 所以日交易量Q（萬股）與時間t（天）的一次函數關系式為 Q40t（0t30且tN） 40 1 , 3010 364 b a ba ba 解得 （1）該種股票每股的交易價格P（元） 與時間t（天）所滿足的函數關系式； )( , 3020, 2 10 1 200 , 2 5 1 pNt tt tt （2）根據表中數據確定日交易量Q（萬 股）與時間t（天）的一次函數關系式； Q40t（0t30且tN） PQ=該股票日交易額 （3）用y（萬元）表示該股票日交易額，寫出y關于t的函數關系式， 并求出這30天中第幾天日交易額最大，最大值為多少？ （3）用y（萬元）表示該股票日交易額，寫出y關于t的函數

7、關系式， 并求出這30天中第幾天日交易額最大，最大值為多少？ 3020,32012 10 1 200 ,806 5 1 3020),40)(8 10 1 ( 200),40)(2 5 1 ( 2 2 ttt ttt y ttt ttt y 即 解：由（1）（2）可得 當0t120， 第15天日交易額最大，最大值為 125萬元萬元 分段函數及其應用問題是當前最熱的函數類型，這是 由分段函數特點決定的 由于分段函數兼具多種初等函數的性質，因此可以將 多種函數的性質考查到，這在要求能力的高考命題中無疑 是重要的命題素材 題型三、指數、對數型函數及直線函數模型的應用 例：例：三個變量y1、y2、y3隨

8、變量x的變化情況如下表： 其中x呈對數函數型變化的變量是 ， 呈指數函數型變化的變量是 ， 呈直線函數型變化的變量是 y2 y3 y1 x 1 y 2 y 3 y f(x)abxc f(x)kxb f(x)mlogaxn 例：例：某化工廠生產一種溶液，按市場要求，雜質含量不能超過0.1%， 若初時含雜質2%，每過濾一次可使雜質含量減少 ，問至少應過 濾幾次才能使產品達到市場要求？（已知：lg20.3010，lg30.4771） 3 1 解:每次過濾雜質含量降為原來的 ,過濾n次后雜質含量 為 結合按市場要求雜質含量不能超過0.1%，即可建立數學 模型依題意，得 3 2 nn ) 3 2 ( 1

9、00 2 3 2 %2）（ 20 1 ) 3 2 (, 1000 1 ) 3 2 ( 100 2 nn 即 例：例：某化工廠生產一種溶液，按市場要求，雜質含量不能超過0.1%， 若初時含雜質2%，每過濾一次可使雜質含量減少 ，問至少應過 濾幾次才能使產品達到市場要求？（已知：lg20.3010，lg30.4771） 3 1 20 1 ) 3 2 (, 1000 1 ) 3 2 ( 100 2 nn 即 則n(lg2lg3)(1lg2) 考慮到nN，即至少要過濾8次 才能達到市場要求 4 . 7 2lg3lg 2lg1 n 一般地，形如yax （a0且a1）的函數叫做指數函數，而在生 產、生活實

10、際中，以函數ybaxk作為模型的應用問題很常 見，稱這類函數為指數函數模型 以指數函數、對數函數為模型的實際應用問題通常與增長率、 衰減率有關，在現實生活和科學技術領域，諸如人口普查中的 人口增長、細胞分裂次數的推算、考古中根據碳14的衰減推算 年代以及藥物在人體內殘留時間的推算等問題都屬于這一模 型 【方法與技巧總結】【方法與技巧總結】 解決函數應用問題應著重注意以下幾點： 1、閱讀理解、整理數據：通過分析、畫圖、列表、歸類等方法，快速弄 清數據之間的關系，數據的單位等等； 2、建立函數模型：關鍵是正確選擇自變量將問題的目標表示為這個變量 的函數，建立函數模型的過程主要是抓住某些量之間的相等

11、關系列出函 數式，不要忘記考察函數的定義域； 3、求解函數模型：主要是計算函數的特殊值，研究函數的單調性，求函 數的值域、最大（小）值等，注意發揮函數圖象的作用； 4、還原評價：應用問題不是單純的數學問題，既要符合數學學科又要符 合實際背景，因于解出的結果要代入原問題進行檢驗、評判最后作出結 論，作出回答 實際問題實際問題 數學模型數學模型 抽象概括抽象概括 數學模型數學模型 的解的解 推理推理 演算演算 實際問題實際問題 的解的解 還原說明還原說明 1、某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿市場售 價與上市時間的關系用圖中（1）的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖 中（2）的拋物線表示 （1）寫出圖中（1）表示的市場售價與時間的函數關系式Pf（t）； 寫出圖中（2）表示的種植成本與時間的函數關系式Qg（t）； （2）認定市場售價減