1、絕密啟用前2021年普通高等學校招生全國統一考試(黑龍江卷）理科數學答案注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效3考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 設，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設，利用共軛復數的定義以及復數的加減法可得出關于、的等式，解出這兩個未知數的值，即可得出復數

2、.【詳解】設，則，則，所以，解得，因此，.故選：C.2. 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析可得，由此可得出結論.【詳解】任取，則，其中，所以，故，因此，.故選：C.3. 已知命題命題，則下列命題中為真命題的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦函數的有界性確定命題的真假性，由指數函數的知識確定命題的真假性，由此確定正確選項.【詳解】由于，所以命題為真命題；由于在上為增函數，所以，所以命題為真命題；所以真命題，、為假命題.故選：A4. 設函數，則下列函數中為奇函數的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分別求出

3、選項的函數解析式，再利用奇函數的定義即可.【詳解】由題意可得，對于A，不是奇函數；對于B，是奇函數；對于C，定義域不關于原點對稱，不是奇函數；對于D，定義域不關于原點對稱，不是奇函數.故選：B【點睛】本題主要考查奇函數定義，考查學生對概念的理解，是一道容易題.5. 在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，所以.故選：D6. 將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道

4、速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）A. 60種B. 120種C. 240種D. 480種【答案】C【解析】【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數有4！種，根據乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點睛】本

5、題考查排列組合的應用問題，屬基礎題，關鍵是首先確定人數的分配情況，然后利用先選后排思想求解.7. 把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解法一：從函數的圖象出發，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達式；解法二：從函數出發，逆向實施各步變換，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達式.【詳解】解法一：函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應當得到的圖象，根據已知得到了函數的圖象，所以，令,則

6、,所以,所以；解法二：由已知的函數逆向變換，第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.【點睛】本題考查三角函數的圖象的平移和伸縮變換，屬基礎題，可以正向變換，也可以逆向變換求解，關鍵是要注意每一步變換，對應的解析式中都是的變換，圖象向左平移個單位，對應替換成,圖象向右平移a個單位，對應x替換成,牢記“左加右減”口訣；圖象上每個點的橫坐標伸長或縮短到原來的k倍，對應解析式中替換成.8. 在區間與中各隨機取1個數，則兩數之和大于的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】設從區間中隨

7、機取出的數分別為，則實驗的所有結果構成區域為，設事件表示兩數之和大于，則構成的區域為，分別求出對應的區域面積，根據幾何概型的的概率公式即可解出【詳解】如圖所示：設從區間中隨機取出的數分別為，則實驗的所有結果構成區域為，其面積為設事件表示兩數之和大于，則構成的區域為，即圖中的陰影部分，其面積為，所以故選：B.【點睛】本題主要考查利用線性規劃解決幾何概型中的面積問題，解題關鍵是準確求出事件對應的區域面積，即可順利解出9. 魏晉時劉徽撰寫的海島算經是關測量的數學著作，其中第一題是測海島的高如圖，點，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”

8、，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（ ）A. 表高B. 表高C. 表距D. 表距【答案】A【解析】【分析】利用平面相似的有關知識以及合分比性質即可解出【詳解】如圖所示：由平面相似可知，而，所以，而，即故選：A.【點睛】本題解題關鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標進行轉化即可解出10. 設，若為函數的極大值點，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先考慮函數的零點情況，注意零點左右附近函數值是否編號，結合極大值點的性質，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調函數，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變

9、號，在左右附近是變號的.依題意，為函數的極大值點，在左右附近都是小于零的.當時，由，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，故.當時，由時，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，故.綜上所述，成立.故選：D【點睛】本小題主要考查三次函數的圖象與性質，利用數形結合的數學思想方法可以快速解答.11. 設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設，由，根據兩點間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構建齊次不等式，解出即可【詳解】設，由，因為，所以，因，當，即時，即，符合題意，由可得，即；當，即時，即，化簡得，顯然該不等式不成立故選：

10、C【點睛】本題解題關鍵是如何求出的最大值，利用二次函數求指定區間上的最值，要根據定義域討論函數的單調性從而確定最值12. 設，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用對數的運算和對數函數的單調性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關系，將0.01換成x,分別構造函數,，利用導數分析其在0的右側包括0.01的較小范圍內的單調性，結合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關系.【詳解】,所以;下面比較與的大小關系.記,則,，由于所以當0x0時,所以,即函數在0,+)上單調遞減，所以,即,即bc;綜上，,故選：B.【點睛】本題考查比較大小問題，難

11、度較大，關鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構造函數，利用導數研究相應函數的單調性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_【答案】4【解析】【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出的關系，再結合雙曲線中對應關系，聯立求解，再由關系式求得，即可求解【詳解】由漸近線方程化簡得，即，同時平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），故焦距故答案為：4【點睛】本題為基礎題，考查由漸近線求解雙曲線中參數，焦距，正確計算并聯立關系式求解是關鍵14. 已知向量，若，則_【答案】【解析】【分析】根據平

12、面向量數量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出【詳解】因為，所以由可得，解得故答案為：【點睛】本題解題關鍵是熟記平面向量數量積的坐標表示，設，注意與平面向量平行的坐標表示區分15. 記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，則_【答案】【解析】【分析】由三角形面積公式可得，再結合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，所以，所以，解得（負值舍去）.故答案為：.16. 以圖為正視圖，在圖中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為_（寫出符合要求的一組答案即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由題意結合所給的圖形確定一組三視圖的組合即

13、可.【詳解】選擇側視圖為，俯視圖為，如圖所示，長方體中，分別為棱的中點，則正視圖，側視圖，俯視圖對應的幾何體為三棱錐.故答案為：.【點睛】三視圖問題解決的關鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關系.三、解答題：共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據要求作答（一）必考題：共60分17. 某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：舊設備9.810.310.010.29.99.810.

14、010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為和，樣本方差分別記為和（1）求，；（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）【答案】（1）；（2）新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.【解析】【分析】（1）根據平均數和方差的計算方法，計算出平均數和方差.（2）根據題目所給判斷依據，結合（1）的結論進行判斷.【詳解】（1），.（2）依題意，所以新設備生產產品的該項指標

15、的均值較舊設備有顯著提高.18. 如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點，且（1）求；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系，設，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長；（2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結合同角三角函數的基本關系可求得結果.【詳解】（1）平面，四邊形為矩形，不妨以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則、，則，則，解得，故；（2）設平面的法向量為，則，由，取，可得，設平面的法向量為，由，取，可得，所以，因此，二面角的正弦值為.【點睛】思路點睛：利用空間向量

16、法求解二面角的步驟如下：（1）建立合適的空間直角坐標系，寫出二面角對應的兩個半平面中對應的點的坐標；（2）設出法向量，根據法向量垂直于平面內兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標平面，直接取法向量即可）；（3）計算（2）中兩個法向量的余弦值，結合立體圖形中二面角的實際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值.19. 記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知（1）證明：數列是等差數列;（2）求的通項公式【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關系,進而證明數列是等差數列;（2）由（1）可得的表達式

17、,由此得到的表達式,然后利用和與項的關系求得.【詳解】（1）由已知得,且，,取,由得,由于為數列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數列以為首項，以為公差等差數列;（2）由（1）可得，數列是以為首項，以為公差的等差數列，,當n=1時，,當n2時,顯然對于n=1不成立,.【點睛】本題考查等差數列的證明，考查數列的前n項和與項的關系，數列的前n項積與項的關系，其中由,得到，進而得到是關鍵一步；要熟練掌握前n項和，積與數列的項的關系，消和（積）得到項（或項的遞推關系），或者消項得到和（積）的遞推關系是常用的重要的思想方法.20. 設函數，已知是函數的極值點（1）求a；（2）設函數證明

18、:【答案】1；證明見詳解【解析】【分析】（1）由題意求出，由極值點處導數為0即可求解出參數；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉化為要證，即證在和上恒成立，結合導數和換元法即可求解【詳解】（1）由，又是函數的極值點，所以，解得；（2）由（1）得，且，當 時，要證， ，即證，化簡得；同理，當時，要證， ，即證，化簡得；令，再令，則，令，當時，單減，假設能取到，則，故；當時，單增，假設能取到，則，故；綜上所述，在恒成立【點睛】本題為難題，根據極值點處導數為0可求參數，第二問解法并不唯一，分類討論對函數進行等價轉化的過程，一定要注意轉化前后的等價性問題，構造函數和換元法也常常用于解決復雜函數的

19、最值與恒成立問題.21. 已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為（1）求；（2）若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據圓幾何性質可得出關于的等式，即可解出的值；（2）設點、，利用導數求出直線、，進一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯立，求出以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式結合二次函數的基本性質可求得面積的最大值.【詳解】（1）拋物線的焦點為，所以，與圓上點的距離的最小值為，解得；（2）拋物線的方程為，即，對該函數求導得，設點、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點為這兩條直線的公共點，則，所以，點、的坐標滿足方程，所以，直線的方程為，聯立，可得，由韋達定理可得，所以，點到直線的距離為，所以，由已知可得，所以，當時，的面積取最大值.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值（二）選考題，共10分請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計分選修4-4：坐標系與參數方程（10分）22. 在直角坐標系中，的圓心為，半徑為1（1）寫出的一個參數方程