1、高等代數機算與應用作業題學號： 姓名： 成績： 一、機算題1利用函數rand和函數round構造一個55的隨機正整數矩陣A和B。 a=round(rand(5)a = 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 b=round(rand(5)b = 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0(1)計算AB，AB和6A a+bans = 0 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 a-bans = 0 0 1 1 1 1 0 -1

2、 1 -1 1 -1 0 -1 1 -1 0 1 -1 0 0 -1 0 -1 1 6*aans = 0 0 6 6 6 6 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 6 0 0 0 0 6 0 6(2)計算，和 (a*b)ans = 1 1 0 0 0 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2 3 1 2 1 2 0 1 0 1 0 b*aans = 1 1 0 0 0 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2 3 1 2 1 2 0 1 0 1 0 (a*b)100ans = 1.0e+078 * 1.4732 7.6495 6.1764 5.5225 2.1271 1.0117 5.253

3、5 4.2418 3.7927 1.4608 0.9229 4.7921 3.8692 3.4596 1.3325 0.9229 4.7921 3.8692 3.4596 1.3325 0.9229 4.7921 3.8692 3.4596 1.3325(3)計算行列式，和 det(a)ans = 1 det(b)ans = 0 det(a*b)ans = 0(4)若矩陣A和B可逆，計算和 inv(a)ans = 0 0 1.0000 0 -1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 0.0000 2.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 1.0000 -2.0

4、000 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 -1.0000 3.0000b不存在逆矩陣(5)計算矩陣A和矩陣B的秩。 rank(a)ans = 5 rank(b)ans = 3(6)生成一個6行5列秩為3的矩陣，并求其最簡階梯形。a=1,1,1,1,1;0,1,1,1,1;0,0,1,1,1;0,0,0,0,0;0,0,0,0,0;0,0,0,0,0a = 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 rref(a)ans = 1 0

5、0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02求解下列方程組(1)求非齊次線性方程組的唯一解。 a=2,1,2,4;-14,17,-12,7;7,7,6,6;-2,-9,21,-7a = 2 1 2 4 -14 17 -12 7 7 7 6 6 -2 -9 21 -7 b=5;8;5;10b = 5 8 5 10 inv(a)*bans = -0.8341 -0.2525 0.7417 1.3593(2)求非齊次線性方程組的通解。 a=5,9,7,2,8;4,22,8,25,23;1,8,1,8,8;2,6,6,9,7a = 5

6、 9 7 2 8 4 22 8 25 23 1 8 1 8 8 2 6 6 9 7 b=4;9;1;7b = 4 9 1 7 c=a,bc = 5 9 7 2 8 4 4 22 8 25 23 9 1 8 1 8 8 1 2 6 6 9 7 7 d=rref(c)d = 1.0000 0 0 -4.1827 -0.8558 -1.6635 0 1.0000 0 1.3269 1.0577 0.1346 0 0 1.0000 1.5673 0.3942 1.5865 0 0 0 0 0 0對應齊次方程組的基礎解系為a1= 4.1827 a2= 0.8558 -1.3269 -1.0577 -1.

7、5673 -0.3942 1.0000 0 0 1.0000非齊次線性方程組的特解為b= -1.6635 0.1346 1.5865 0 0原方程組的通解為x=k1a1+k2a2+b3已知向量組，求出它的最大無關組，并用該最大無關組來線性表示其它向量。 a=3,1,2,9,0;4,1,3,3,8;0,0,0,2,-2;8,2,6,1,21;3,2,1,2,10a = 3 1 2 9 0 4 1 3 3 8 0 0 0 2 -2 8 2 6 1 21 3 2 1 2 10 rref(a)ans = 1 0 1 0 2 0 1 -1 0 3 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8、 0最大無關組為(a1,a2,a4).a3=a1-a2; a5=2a1+3a2-a3.4求向量空間中向量在基下的坐標 a=1,2,3;0,1,2;0,0,1a = 1 2 3 0 1 2 0 0 1 b=3;2;5b = 3 2 5 inv(a)*bans = 4 -8 5a的坐標為(4,-8,5).5求下列矩陣的特征值和特征向量，并判斷其正定性。(1)；(2) a=1,2,3;2,5,6;3,6,25a = 1 2 3 2 5 6 3 6 25 v,d=eig(a)v = 0.9357 0.3279 0.1303 -0.3518 0.8961 0.2706 -0.0280 -0.2990 0

9、.9538d = 0.1582 0 0 0 3.7297 0 0 0 27.1121a為正定矩陣. b=-20,3,1;3,-10,-6;1,-6,-22b = -20 3 1 3 -10 -6 1 -6 -22 v,d=eig(b)v = -0.3810 0.9059 0.1850 0.4005 -0.0186 0.9161 0.8334 0.4231 -0.3557d = -25.3404 0 0 0 -19.5947 0 0 0 -7.0649b為負定矩陣.6用正交變換法將下列二次型化為標準形。其中“”為自己學號的后三位。k1=0;k2=0;k3=1;二次型的矩陣形式為 1 0 0 0

10、2 0.5 0 0.5 3 a=1,0,0;0,2,0.5;0,0.5,3a = 1.0000 0 0 0 2.0000 0.5000 0 0.5000 3.0000 v,d=eig(a)v = 1.0000 0 0 0 -0.9239 0.3827 0 0.3827 0.9239d = 1.0000 0 0 0 1.7929 0 0 0 3.2071 c=orth(v)c = 1.0000 0 0 0 -0.9239 0.3827 0 0.3827 0.9239作正交變換 x=cy,則得f的標準型:f=y12+1.7929y22+3.2071y32二、應用題1在鋼板熱傳導的研究中，常常用節點

11、溫度來描述鋼板溫度的分布。假設下圖中鋼板已經達到穩態溫度分布，上下、左右四個邊界的溫度值如圖所示，而表示鋼板內部四個節點的溫度。若忽略垂直于該截面方向的熱交換，那么內部某節點的溫度值可以近似地等于與它相鄰四個節點溫度的算術平均值，如。請計算該鋼板的溫度分布。4T1-T2-T3=70-T1+4T2-T4=50-T1+4T3-T4=50-T2-T3+4T4=30 A=4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4A = 4 -1 -1 0 -1 4 0 -1 -1 0 4 -1 0 -1 -1 4 B=70;50;50;30B = 70 50 50 30 inv(A

12、)*Bans = 30.0000 25.0000 25.0000 20.00001處溫度為30,2處溫度為25,3處溫度為25，4處溫度為20.2 下表給出了平面坐標系中六個點的坐標。x012345y260262941302請過這六個點作一個五次多項式函數，并求當時的函數值。 a=polyfit(0,1,2,3,4,5,2,6,0,26,294,1302,5)a = 1.0000 -3.0000 -0.0000 1.0000 5.0000 2.0000 y=polyval(a,6)y = 3.9560e+0033. 李博士培養了一罐細菌，在這個罐子里存放著A、B、C三類不同種類的細菌，最開始A

13、、B、C三種細菌分別有、2、3個。但這些細菌每天都要發生類型轉化，轉化情況如下：A類細菌一天后有5的變為B類細菌、15的變為C細菌；B類細菌一天后有30的變為A類細菌、10的變為C類細菌；C類細菌一天后有30的變為A類細菌、20的變為B類細菌。請利用MATLAB軟件分析：(1)一周后李博士的A、B、C類細菌各有多少個？(2)兩周后和三周后李博士的A、B、C類細菌各有多少個？(3)分析在若干周后，李博士的各種細菌的個數幾乎不發生變化的原因。第0天s0=a b c第一天s1=0.85a+0.30b+0.30c 0.60b+0.05a+0.20c 0.50c+0.15a+0.10b則其變換矩陣為c=

14、0.85 0.05 0.150.30 0.60 0.100.30 0.20 0.50 c=0.85,0.05,0.15;0.30,0.60,0.10;0.30,0.20,0.50c = 0.8500 0.0500 0.1500 0.3000 0.6000 0.1000 0.3000 0.2000 0.5000 s0=1,2,3s0 = 1 2 3 s0*c7ans =4.4048 1.2320 1.4726 s0*c14ans = 5.4928 1.4867 1.8309 s0*c21ans = 6.8098 1.8426 2.2699單位:108個4. 一個混凝土生產企業可以生產出三種不同型

15、號的混凝土，它們的具體配方比例如表所示。表11.3混凝土的配方型號1混凝土型號2混凝土型號3混凝土水101010水泥222618砂323129石子536450灰058(1)分析這三種混凝土是否可以用其中的兩種來配出第三種？(2)現在有甲、乙兩個用戶要求混凝土中含水、水泥、砂、石子及灰的比例分別為：24，52，73，133，12和36，75，100，185，20。那么，能否用這三種型號混凝土配出滿足甲和乙要求的混凝土？如果需要這兩種混凝土各500噸，問三種混凝土各需要多少？ . a=10,22,32,53,0;10,26,31,64,5;10,18,29,50,8a = 10 22 32 53

16、0 10 26 31 64 5 10 18 29 50 8 rank(a)ans = 3不能用其中兩種配出第三種. a=aa = 10 10 10 22 26 18 32 31 29 53 64 50 0 5 8 b=24;52;73;133;12b = 24 52 73 133 12 c=a,bc = 10 10 10 24 22 26 18 52 32 31 29 73 53 64 50 133 0 5 8 12 rank(a)ans = 3 rank(c)ans = 3能滿足甲的要求. rref(c)ans = 1.0000 0 0 0.6000 0 1.0000 0 0.8000 0

17、0 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 00.6噸1號混凝土,0.8噸2號混凝土,1噸3號混凝土可配成2.4噸甲型混凝土.需1號混凝土500/2.4*0.6=125噸,2號混凝土500/2.4*0.8=167噸,3號混凝土500/2.4*1=208噸. b=36;75;100;185;20b = 36 75 100 185 20 c=a,bc = 10 10 10 36 22 26 18 75 32 31 29 100 53 64 50 185 0 5 8 20 rank(a)ans = 3 rank(c)ans = 4不能配成乙型混凝土.5. 在某網格圖中，每個中間節點的

18、值與其相鄰的上、下、左、右四個節點的值有如下關系：。其中系數，網格圖的上下、左右四個節點的值如圖所示。如，請計算該網格節點1，2，3，4的值。2134a aC Cbbdd令A=a;B=b;C=c;D=d;a=;b=;c=;d=T1=*A+*T3+*B+*T2T2=*A+*T4+*T1+*DT3=*T1+*C+*B+*T4T4=*T2+*C+*T3+*D即T1-*T3-*T2=*A+*BT2-*T4-*T1=*A+*DT3-*T1-*T4=*C+*BT4-*T2-*T3=*C+*D x=sym(1,-d,-b,0;-c,1,0,-b;-a,0,1,-d;0,-a,-c,1)x = 1, -d,

19、-b, 0 -c, 1, 0, -b -a, 0, 1, -d 0, -a, -c, 1 y=sym(a*A+c*B;a*A+d*D;b*C+c*B;b*C+d*D)y = a*A+c*B a*A+d*D b*C+c*B b*C+d*D inv(x)*yans =-(-1+d*c+a*b)/(1-2*d*c-2*a*b+d2*c2-2*c*a*b*d+a2*b2)*(a*A+c*B)+d*(1-d*c+a*b)/(1-2*d*c-2*a*b+d2*c2-2*c*a*b*d+a2*b2)*(a*A+d*D)-b*(-d*c-1+a*b)/(1-2*d*c-2*a*b+d2*c2-2*c*a*b*

20、d+a2*b2)*(b*C+c*B)+2*b*d/(1-2*d*c-2*a*b+d2*c2-2*c*a*b*d+a2*b2)*(b*C+d*D) c*(1-d*c+a*b)/(1-2*d*c-2*a*b+d2*c2-2*c*a*b*d+a2*b2)*(a*A+c*B)-(-1+d*c+a*b)/(1-2*d*c-2*a*b+d2*c2-2*c*a*b*d+a2*b2)*(a*A+d*D)+2*b*c/(1-2*d*c-2*a*b+d2*c2-2*c*a*b*d+a2*b2)*(b*C+c*B)-b*(-d*c-1+a*b)/(1-2*d*c-2*a*b+d2*c2-2*c*a*b*d+a2*b

21、2)*(b*C+d*D) -a*(-d*c-1+a*b)/(1-2*d*c-2*a*b+d2*c2-2*c*a*b*d+a2*b2)*(a*A+c*B)+2*d*a/(1-2*d*c-2*a*b+d2*c2-2*c*a*b*d+a2*b2)*(a*A+d*D)-(-1+d*c+a*b)/(1-2*d*c-2*a*b+d2*c2-2*c*a*b*d+a2*b2)*(b*C+c*B)+d*(1-d*c+a*b)/(1-2*d*c-2*a*b+d2*c2-2*c*a*b*d+a2*b2)*(b*C+d*D) 2*c*a/(1-2*d*c-2*a*b+d2*c2-2*c*a*b*d+a2*b2)*(a

22、*A+c*B)-a*(-d*c-1+a*b)/(1-2*d*c-2*a*b+d2*c2-2*c*a*b*d+a2*b2)*(a*A+d*D)+c*(1-d*c+a*b)/(1-2*d*c-2*a*b+d2*c2-2*c*a*b*d+a2*b2)*(b*C+c*B)-(-1+d*c+a*b)/(1-2*d*c-2*a*b+d2*c2-2*c*a*b*d+a2*b2)*(b*C+d*D)6. 假如一個數據庫包含以下10種圖書：B1：高等代數，B2:線性代數，B3：工程線性代數，B4：初等線性代數，B5：線性代數及其應用，B6：MATLAB在數值線性代數中應用，B7：矩陣代數及其應用，B8：矩陣理論

23、，B9：線性代數及MATLAB入門，B10：基于MATLAB的線性代數及其應用。而檢索的6個關鍵詞按拼音字母次序排列為：“代數，工程，矩陣，MATLAB，數值，應用”。讀者1的檢索策略為：“代數，MATLAB”；讀者2的檢索策略是：“代數，應用”。請用矩陣運算來為這兩位讀者檢索圖書。以關鍵詞為行,圖書類別為列,建立數據庫矩陣:1 1 1 1 1 1 1 0 1 10 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 0 00 0 0 0 0 1 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 0 0 1讀者1的檢索矩陣:1 0 0 1 0 0a=

24、1,1,1,1,1,1,1,0,1,1;0,0,1,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,0,0;0,0,0,0,0,1,0,0,1,1;0,0,0,0,0,1,0,0,0,0;0,0,0,0,1,1,1,0,0,1a = 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 b=1,0,0,1,0,0b = 1 0 0 1 0 0 b*aans = 1 1 1 1 1 2 1 0 2 2

25、找到圖書B6,B9,B10.讀者2的檢索矩陣:1 0 0 0 0 1b = 1 0 0 0 0 1 b*aans = 1 1 1 1 2 2 2 0 1 2找到圖書B5,B6,B7,B10.7 某城市有如圖所示的9節點交通圖，每一條道路都是單行道，圖中數字表示某一個時段該路段的車流量。若針對每一個十字路口，進入和離開的車輛數相等。請計算每兩個相鄰十字路口間路段上的交通流量。若已知AB段和FO段在修路，即：，又已知，。求此時各個路段的交流流量。單行道9節點交通流圖x1+x8=200x1-x2+x10=300x2-x3=166-x7+x8+x9=350-x9-x10+x11+x12=0x3-x4-

26、x12= -500x6+x7=150x5-x6-x11= -400x4-x5= 134x8=0x12=0x10=300x11=660 a1= 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 200a1 = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 200 a2=1 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 300a2 = 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 300 a3=0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 166a3 = 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 166 a4=0 0 0 0 0 0 -1 1 1 0 0 0 350a4 = 0 0

27、 0 0 0 0 -1 1 1 0 0 0 350 a5=0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 1 0a5 = 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 1 0 a6=0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1 -500a6 = 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1 -500 a7=0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 150a7 = 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 150 a8=0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 -1 0 -400a8 = 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 -1 0 -400 a9=0 0 0 1

28、 -1 0 0 0 0 0 0 0 134a9 = 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 134 a10=0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0a10 = 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 a11=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0a11 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 a12=0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 300a12 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 300 a13=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 660a13 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

29、 0 660 a=a1;a2;a3;a4;a5;a6;a7;a8;a9;a10;a11;a12;a13a = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 200 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 300 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 166 0 0 0 0 0 0 -1 1 1 0 0 0 350 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1 -500 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 150 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 -1 0 -400 0 0 0 1 -1 0

30、 0 0 0 0 0 0 134 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 300 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 660 rank(a)ans = 12 rref(a)ans = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 200 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 200 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 34 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 534 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 400 0 0 0 0

31、 0 1 0 0 0 0 0 0 140 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 360 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 300 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 660 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0此時各路段流量為200,200,34,534,400,140,10,0,360,300,660,0.8用MATLAB軟件實現以下操作：(1)構造一個直角三角形剛體矩陣X；(2)先對剛

32、體逆時針轉動，然后再向下移動20，向右移動20； (3)先對剛體向下移動20，向右移動20，然后對剛體逆時針轉動。逆時針轉動45的變換矩陣為cos(45) -sin(45) 0sin(45) cos(45) 00 0 1向下移動20,向右移動20的變換矩陣為1 0 00 1 020 -20 1構造一個直角三角形剛體矩陣x: a=0 0 1;0 4 1;3 0 1a = 0 0 1 0 4 1 3 0 1 b=0.7071 -0.7071 0;0.7071 0.7071 0;0 0 1b = 0.7071 -0.7071 0 0.7071 0.7071 0 0 0 1.0000 c=1 0 0;

33、0 1 0;20 -20 1c = 1 0 0 0 1 0 20 -20 1先對剛體逆時針轉動，然后再向下移動20，向右移動20: a*b*cans = 20.0000 -20.0000 1.0000 22.8284 -17.1716 1.0000 22.1213 -22.1213 1.0000先對剛體向下移動20，向右移動20，然后對剛體逆時針轉動: a*c*bans = 0 -28.2840 1.0000 2.8284 -25.4556 1.0000 2.1213 -30.4053 1.00009 (1)甲方收到與之有秘密通信往來的乙方的一個密文信息，密文內容如下： WOWUYSBACPGZSAVCOVKPEWCPADKPPABUJCQLYXQEZAACPP已知密鑰為能否知道這段密文的意思？ a=1 2;0 3a = 1 2 0 3 A=det(a)A = 3 alpha=mod(inv(a